20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych.

Transkrypt

1 Z1. Sformu lować model dla optymalnego planowania produkcji w nast epujacych warunkach: Wytwórca mebli potrzebuje określić, ile sto lów, krzese l i biurek powinien produkować, aby optymalnie wykorzystać dost epne środki. Do produkcji wykorzystuje si e dwa typy desek. Wytwórca posiada 1000m desek pierwszego typu i 1200m drugiego. Dysponuje kapita lem 800 roboczogodzin. Każdy stó l, krzes lo i biurko wymaga odpowiednio 4, 1, 8 m desek pierwszego typu, 2, 3, 5m desek drugiego typu oraz 3, 2, 6 roboczogodzin. Przy sprzedaży jednego sto lu wytwórca osiaga zysk odpowiednio 35PLN. Zysk ze sprzedaży krzes la wynosi 20PLN dla pierwszych 50 sztuk oraz 15PLN dla dalszych. Zysk ze sprzedaży biurka wynosi 40PLN dla pierwszych 20 sztuk oraz 50PLN dla dalszych. Z2. Zbiór Q R n jest wielościennym zbiorem wypuk lym. Funkcje f i (x), g i (x), i = 1, 2,..., m sa liniowe i spe lniaj a warunki: a f i (x) b, a g i (x) b i = 1, 2,..., m x Q Nast epuj ace zadanie optymalizacji sformu lować w postaci zadania programowania liniowego, jeżeli jest to możliwe, lub w postaci zadania programowania liniowego ca lkowitoliczbowego. max{ min 1 i m f i(x) : min 1 i m g i(x) c, x Q } Z3. Zbiór Q R n jest wielościennym zbiorem wypuk lym. Funkcje f i (x), g i (x), i = 1, 2,..., m sa liniowe i spe lniaj a warunki: a f i (x) b, a g i (x) b i = 1, 2,..., m x Q Nast epuj ace zadanie optymalizacji sformu lować w postaci zadania programowania liniowego, jeżeli jest to możliwe, lub w postaci zadania programowania liniowego ca lkowitoliczbowego: max{ max 1 i m f i(x) : max 1 i m g i(x) c, x Q } Z4. Sformu lować zadanie optymalizacji dla nast epuj acego problemu lokalizacyjnego. Rozważamy kwadratowy obszar o wspó lrz ednych 0 x 8 i 0 y 8. Należy wybrać jeden punkt na lokalizacj e centrum tak, aby minimalizować sumaryczny koszt obs lugi trzech kompleksów A, B, C. Koszt obs lugi kompleksu jest proporcjonalny do odleg lości od centrum mierzonej w normie miejskiej (suma wartości bezwgl ednych różnic wspó lrz ednych) i do rozmiaru kompleksu (liczby klientów w kompleksie). kompleks (x, y) rozmiar A (1,2) 100 B (3,8) 300 C (7,5) 200 1

2 Z5. Sformu lować możliwie najprostszy model programowania matematycznego dla nast epuj acego zagadnienia: Należy osiagn ać możliwie najwi ekszy zysk ze sprzedaży produktów: stali, maszyn, ciagników. Jednostkowa cena sprzedazy wynosi: 900z l dla stali, 2500z l dla maszyn, 4000z l dla pierwszych 50tys. ciagników, 3500z l dla dalszych 25tys., 3000z l dla dalszych 75 tys. i 2700zl dla dalszych ciagników. Na wyprodukowanie jednostki stali potrzeba: 0.05 jednostek maszyn, 0.08 jednostek ciagników, 0.5 jednostki pracy. Koszt produkcji wynosi 300z l. Maksymalne możliwości produkcyne: 300tys. jednostek. Na wyprodukowanie jednostki maszyn potrzeba: 0.75 jednostek stali, 0.12 jednostek ciagników, 5 jednostki pracy. Koszt produkcji wynosi 150z l. Maksymalne możliwości produkcyne: 50tys. jednostek. Na wyprodukowanie jednostki ciagników potrzeba: 1 jednostk e stali, 0.1 jednostek maszyn, 3 jednostki pracy. Koszt produkcji wynosi 500z l. Maksymalne możliwości produkcyne: 550tys. jednostek. Dost epne zasoby pracy wynosza 1200tys. jednostek. Z6. Sformu lować możliwie najprostszy model programowania matematycznego dla nast epuj acego uproszczonego zagadnienia optymalnej konstrukcji portfela inwestycyjnego: Dysponujemy kapita lem o poczatkowej wartości 1500 tys. z l, który trzeba rozdysponować. Wartość wynikowa po okresie inwestycyjnym zależy od przyj etego sposobu lokowania aktywów w rozważanym okresie inwestycyjnym oraz rozwoju sytuacji na rynku finansowym. Możliwe warianty rozwoju rynku zosta l uj ete w postaci 5 możliwych scenariuszy S t (t = 1, 2, 3, 4, 5) o odpowiednich prawdopodobieństwach p t. Należy zaplanować dobór inwestycji tak, aby uzyskać możliwie najwi ekszy oczekiwany przyrost wartości (stop e zwrotu), przy spe lnieniu ograniczeń inwestycyjnych. Dost epne sa różne rodzaje inwestycji I 1,..., I 6 generujace stopy zwrotu (podane w %) r jt w zależności od scenariusza S t rozwoju rynku oraz rachunek bieżacy generujacy zawsze zwrot 0%. Struktura inwestycji musi gwarantować spe lnienie nast epuj acych wymagań: stopa zwrotu portfela w najgorszym możliwym przypadku (scenariuszu) nie może być mniejsza od 2%; odchylenie przeci etne od oczekiwanej stopy zwrotu portfela (E[ R E[R] ]) nie może przekraczać poziomu 5%; co najmniej 2% sumy powinno być dost epne na rachunku bieżacym; żadna inwestycja nie może stanowić wi ecej niż 30% kapita lu. Inwestycje sa obarczone kosztem manipulacyjnym w wysokości 0.5% lokaty ale nie mniej niż 2000 z l. 2

3 Z7. Dla zadania programowania wielokryterialnego: min{(f 1 (x), f 2 (x),...,f m (x)) : x Q} podać przyk lad zadania optymalizacji, które może być wykorzystane do weryfikacji efektywności konkretnej decyzji x Q, jako tzw. test efektywności. Z8. W zadaniu programowania wielokryterialnego: min{(f 1 (x), f 2 (x),...,f m (x)) : x Q} funkcje f i (x) sa liniowe, a zbiór dopuszczalny Q R n jest: wielościennym zbiorem wypuk lym, dowolnym domkni etym zbiorem wypuk lym, c) dowolnym zbiorem zwartym. Rozważamy zadanie skalarne: m min{ w i f i (x) : x Q} (1) i=1 Czy istnieje zbiór W taki, że: 1) dla każdego (w 1, w 2,..., w m ) W każde rozwiazanie optymalne zadania (1) jest rozwiazaniem efektywnym? 2) każde rozwiazanie efektywne jest rozwiazaniem optymalnym (1) dla pewnego (w 1, w 2,...,w m ) W? Z9. Jakie relacje zachodza pomi edzy zbiorami rozwiazań efektywnych nast epuj acych zadań programowania wielokryterialnego: min{(f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x)) : x Q} (2) min{(2f 1 (x) + 5, f 2 (x), 3f 3 (x)) : x Q} (3) min{(2f 1 (x), f 1 (x) + f 2 (x), f 1 (x) + f 3 (x)) : x Q} (4) Z10. Rozważamy zadanie dwukryterialne: max{(x 1, x 2 ) : (x 1, x 2 ) Q}, gdzie Q jest wielościanem wypuk lym. Punkty x i x stanowia sasiednie wierzcho lki wielościanu Q i oba sa rozwiazaniami efektywnymi. Sprawdzić czy prawdziwe sa nast epuj ace stwierdzenia: (1) wszystkie punkty kraw edzi [x ;x ] sa rozwiazaniami efektywnymi? (2) wn etrze kraw edzi [x ;x ] może zawierać jednocześnie punkty efektywne i nieefektywne? 3

4 Z11. Rozważamy zadanie wielokryterialne: max{(f 1 (x), f 2 (x),...,f m (x)) : x Q} funkcje f i (x) sa liniowe, a zbiór dopuszczalny Q R n jest dowolnym zbiorem domkni etym i ograniczonym. Podać dwa przyk lady zupe lnych parametryzacji zbioru rozwiazań efektywnych. Z14. Dla gier dwuosobowych (z suma zerow o nast epuj acych macierzach wyp lat: wyznaczyć rozwiazania optymalne (strategie optymalne dla obu graczy i wartość gry). Z15. Czy poniższe gry sa równoważne grom z suma zerowa? Jeżeli tak, to wskazać odpowiednie przekszta lcenie wyp lat dla jednego z graczy. 1 (0, 10) (1, -10) 2 (3, -50) (-1, 30) 1 (-2, 3) (2, 0) 2 (3, -2) (0, 2) Z16. Dla poniższej gry wyznaczyć równowag e Nasha. Czy jest ona Pareto-optymalna? 1 (3, 2) (2, 1) 2 (4, 3) (1, 4) 4

5 Z17. Dla poniższych gier wyznaczyć wszystkie równowagi w strategiach czystych i wszystkie rozwiazania Pareto-optymalne. Czy gry maja rozwiazania w ścis lym sensie? 1 (2, 2) (4, 3) 2 (3, 4) (1, 1) 1 (2, 2) (4, 1) 2 (1, 3) (3, 4) c) 3 1 (3, 0) (5, 2) (0, 4) 2 (2, 2) (1, 1) (3, 3) 3 (4, 1) (4, 0) (1, 0) d) 3 1 (3, 0) (5, 2) (0, 5) 2 (2, 2) (1, 1) (3, 3) 3 (4, 1) (4, 0) (1, 0) 5