TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI

Podobne dokumenty
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

Pochodne funkcji wraz z zastosowaniami - teoria

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

OPIS MODUŁ KSZTAŁCENIA (SYLABUS)

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO

Analiza Matematyczna Ćwiczenia

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Informatyki i Nauki o Materiałach. opis efektu kształcenia

Lista 0 wstęp do matematyki

Analiza Matematyczna MAEW101

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

Wykład 6, pochodne funkcji. Siedlce

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1

Analiza Matematyczna I Wydział Nauk Ekonomicznych. wykład XI

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Rachunek całkowy - całka oznaczona

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia

Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 12

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy M+ (zakres rozszerzony) Klasa II

Lista zadań nr 2 z Matematyki II

2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.

Pochodna funkcji jednej zmiennej

Ekstrema globalne funkcji

Pochodna funkcji. Zastosowania

Analiza Matematyczna I

ANALIZA MATEMATYCZNA

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Analiza Matematyczna MAEW101

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

22 Pochodna funkcji definicja

11. Pochodna funkcji

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ. Wykorzystano: M A T E M A T Y K A Wykład dla studentów Część 1 Krzysztof KOŁOWROCKI

Spis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania drugiego 19

Analiza - lista zagadnień teoretycznych

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Matematyka ZLic - 2. Granica ciągu, granica funkcji. Ciągłość funkcji, własności funkcji ciągłych.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.

Spis treści. Rozdział I. Wstęp do matematyki Rozdział II. Ciągi i szeregi... 44

Analiza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami

1 Pochodne wyższych rzędów

Wykłady z matematyki - Pochodna funkcji i jej zastosowania

Rachunek różniczkowy funkcji f : R R

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016/ /20 (skrajne daty)

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

4.3 Wypukłość, wklęsłość l punkty przegięcia wykresu funkcji

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa II zakres rozszerzony

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa II M+ zakres rozszerzony

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Podstawy analizy matematycznej II

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

Zał. nr 4 do ZW 33/2012 WYDZIAŁ MATEMATYKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA LĄDOWEGO I WODNEGO KARTA PRZEDMIOTU

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Pochodna i jej zastosowania

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Wykład 13. Informatyka Stosowana. 14 stycznia 2019 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 34

f(x + x) f(x) . x Pochodne ważniejszych funkcji elementarnych (c) = 0 (x α ) = αx α 1, gdzie α R \ Z (sin x) = cos x (cos x) = sin x

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami

Sylabus - Matematyka

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Spis treści. O autorach 13. Wstęp 15. Przedmowa do wydania szóstego 19

Fakt 3.(zastosowanie różniczki do obliczeń przybliżonych) Przy czym błąd, jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA (skrajne daty)

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

Wykład 7: Szeregi liczbowe i potęgowe. S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3. a k

WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Analiza matematyczna - pochodna funkcji 5.8 POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW

2. Wymagania wstępne w zakresie wiedzy, umiejętności oraz kompetencji społecznych (jeśli obowiązują):

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych

Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki 1

Zadania do Rozdziału X

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 6.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2

Transkrypt:

TO SĄ ZAGADNIENIA O CHARAKTERZE RACZEJ TEORETYCZNYM PRZYKŁADOWE ZADANIA MACIE PAŃSTWO W MATERIAŁACH ĆWICZENIOWYCH. CIĄGI Definicja granicy ciągu Arytmetyczne własności granic przypomnienie Tw. o 3 ciągach Ciągi monotoniczne Warunek zbieżności Cauchy ego SZEREGI Sumy częściowe Ciąg sum częściowych Definicja sumy szeregu Warunek zbieżności Cauchy ego dla szeregów Pojęcie sumy szeregów Warunek konieczny zbieżności (a n 0) Szereg harmoniczny 1/n jako przykład rozbieżnego Arytmetyczne własności szeregów: Szeregi o wyrazach dodatnich: Kryteria zbieżności: Porównawcze (w różnych wersjach) D Alamberta GRANICE FUNKCJI Lewo i prawostronna w punkcie x 0 Granica w punkcie x 0 Definicja granicy Heinego Równoważność obu definicji granic

Działania arytmetyczne na granicach Granica nieskończona w punkcie x 0 Ciągłość funkcji Własność Darboux Tw. O lokalnym zachowaniu znaku Pojęcie ograniczenia górnego i dolnego, sup, inf Tw. Weierstrassa POCHODNE Definicja pochodnej w punkcie Interpretacja geometryczna pochodnej jako kąta nachylenia stycznej do wykresu o Przykład interpretacji fizycznej: prędkość chwilowa jako pochodna drogi, przyspieszenie jako pochodna prędkości Definicja funkcji pochodnej Arytmetyczne własności pochodnych o dowód że (f+g) =f +g Pochodna funkcji złożonej Pochodna funkcji odwrotnej Definicja minimum, maksimum lokalnego Warunek konieczny istnienia ekstremum Warunek wystarczający istnienia ekstremum: zmiana znaku pochodnej w punkcie Tw Rolle a Tw Cauchy ego Tw Lagrange a o wartości średniej Geometryczne interpretacje tych twierdzeń Własności pochodnej a monotoniczność funkcji Reguła de l Hospitala Pochodne wyższych rzędów Wzór dla n-tych pochodnych o Policzone na piechotę wzory na (fg), (fg)

Wypukłość i wklęsłość funkcji Znak drugiej pochodnej a wypukłość/wklęsłość punkt przegięcia (i jego geometryczna interpretacja) Warunki wystarczające ekstremum w terminach własności pierwszej i drugiej pochodnej o (np. zagadnienie typu: jaki trójkąt równoramienny ma największe pole przy danym obwodzie, dlaczego kwadrat jest prostokątem o największym polu przy danym obwodzie) Schemat badania przebiegu zmienności funkcji CAŁKA NIEOZNACZONA definicja funkcji pierwotnej Definicja całki nieoznaczonej Liniowość całki Całkowanie przez części o Uzasadnienie! Całkowanie przez podstawienie o uzasadnienie Czysto formalna manipulacja symbolami dx, dy przy podstawieniu o Na przykładzie oraz CAŁKA OZNACZONA Całka oznaczona definicja o Przykład fizyczny: prędkość jako pochodna drogi - droga jako całka z prędkości Liniowość całki oznaczonej Wzór na całkowanie przed części i przez podstawienie całki oznaczonej wraz z uzasadnieniami Addytywność całki jako funkcji przedziału Monotoniczność całki (jeśli g f to

Twierdzenie o wartości średniej dla całki Interpretacja geometryczna: całka jako pole pod krzywą o Przykłady (pole koła) Wzór na długość wykresu funkcji f Objętość figur obrotowych Pole powierzchni bocznej figury obrotowej Całki niewłaściwe. Definicja KILKA PYTAŃ O CHARAKTERZE TESTOWYM: POCHODNE Proszę policzyć z definicji pochodną funkcji f(x) w punkcie x 0 f(x)=x 2 w x 0 =1 f(x)=x 3 w x 0 =0 f(x)=(x+1) 2 w x 0 =0 f(x)=1/x w x 0 =1 Czy prawdziwe są stwierdzenia (UWAGA! To jest test na czas reakcji - na każde pytanie jest 5 sekund) Każda funkcja ciągła jest różniczkowalna Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła Jeśli funkcja ma obie pochodne jednostronne w punkcie x 0, to jest w tym punkcie różniczkowalna Czy prawdą jest, że (x jest tu zawsze zmienną, inne parametry są stałe). o (e ax ) = e ax o (x 16 ) = 16 x 16 o (cos(ax)) = a cos(ax) o (sin(ax)) = a cos(ax) o (x 2 sinx) = (2x+x 2 )cos(x) o (x 2 e x ) = (2x+x 2 ) e x o (x 2 e ax ) = (2x+x 2 ) e ax o (x ln(x)) = 1+ln(x) o (sin(x) ln(x)) = cos(x)ln(x)+sin(x)ln(x) o (ln(x)) 2 =2ln(x) o (ln(x)) 3 = 3 (ln(x)) 2 /x W wypadku odpowiedzi negatywnych jakie są poprawne?

Proszę udowodnić wzory na arytmetyczne własności pochodnych (sumę, iloczyn, iloraz) Proszę obliczyć pochodną iloczynu trzech funkcji f(x)g(x)h(x), a potem czterech funkcji f(x)g(x)h(x)s(x), a potem pięciu etc. Proszę obliczyć pochodną funkcji F= fg/h Proszę obliczyć pochodną funkcji F= f/gh Proszę obliczyć pochodną złożenia funkcji F= f (gh) (tzn.: F(x) = f(g(x)h(x)) Proszę obliczyć (fg) Proszę obliczyć (fgh) POLICZ CAŁKI NIEOZNACZONE