Matematyka A kolokwium, 7 maja, godz 8: : Poprawiłem: godz :, 4 września r 3 p Rozwiazać x t x t xt = x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t Pierwiastkami równania charakterystycznego = λ λ = λ + 3λ 4 sa liczby 3 i 4 Wobec tego rozwiazaniem ogólnym równania x t x t xt = jest funkcja c e 3t + c e 4t, c, c dowolne liczby Ponieważ nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wiec istnieja takie liczby a, b, c, że funkcja kwadratowa at + bt + c jest rozwiazaniem równania x t x t xt = + 6 t Podstawiajac xt = at + bt + c otrzymujemy 6 +t = at +bt+c at +bt+c at +bt+c = a at+b at +bt+c = = at + a bt + a b c Stad wynika, że a =, b = = oraz 6 c = + a b = = Wobec tego rozwi azaniem 6 6 6 6 jednym z wielu równania x t x t xt = + 6 t jest funkcja x t = t + t 6 6 Liczba 3i nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, wiec istnieja takie liczby a, b, że funkcja a cos3t+b sin3t jest rozwiazaniem równania cos3t = x t x t xt Podstawiajac xt = a cos3t + b sin3t otrzymujemy cos3t = a cos3t + b sin3t a cos3t + b sin3t a cos3t + b sin3t = = a 3b cos3t + 3a b sin3t Stad wynika, że 3a b =, czyli a = 7b oraz = a + 3b = b, zatem b = i wobec tego a = 7 Rozwiazaniem jednym z wielu równania x t x t xt = cos3t jest funkcja x t = 7 cos3t + sin3t Liczba 3 nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego Wynika stad, że równanie x t x t xt = 36te 3t ma rozwiazanie postaci at+be 3t Podstawiajac xt = at+be 3t otrzymujemy 36te 3t = at + be 3t at + be 3t at + be 3t = = e 3t e 3t 6a + 9at + 9b a + 3at + 3b at + be 3t = 6at + a 6be 3t Stad wnioskujemy, że a = 6 oraz b = Wobec tego rozwiazaniem jednym z wielu równania x t x t xt = 36te 3t jest funkcja x 3 t = 6t e 3t Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, zatem zwi ekszamy stopień! równanie x t x t xt = 7te 3t ma rozwiazanie postaci ate 3t Podstawiajac xt = ate 3t otrzymujemy 7te 3t = x t x t xt = x t+3xt 4 x t+3xt = = ae 3t 3ate 3t + 3ate 3t 4 ae 3t 3ate 3t + 3ate 3t = ae 3t 4ae 3t = 7ae 3t, wiec a = Wynika stad, że rozwiazaniem jednym z wielu równania x t x t xt = 7te 3t jest funkcja x 4 t = te 3t Z tych wszystkich rozważań wynika, że rozwiazaniem ogólnym równania jest funkcja x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t x t + x t + x 3 t + x 4 t + c e 3t + c e 4t = = t + 6 t 6 + 7 cos3t + sin3t + 6t e3t + te 3t + c e 3t + c e 4t
3 p Rozwiazać x t + 8x t + 6xt = x t + 8x t + 6xt = 6e 4t + 6 sin4t + 6te 4t + 4e 4t cos4t Rozwiazanie Równanie charakterystyczne wyglada tak: = λ + 8λ + 6 = λ + 4, wiec ma ono jeden pierwiastek, za to podwójny Jest nim liczba 4 Rozwiazanie ogólne równanie jednorodnego: x t + 8x t + 6xt = ma wi ec postać c + c te 4t Wobec tego równanie x t + 8x t + 6xt = 6e 4t ma rozwiazanie postaci at e 4t Podstawiajac xt = at e 4t do tego równania otrzymujemy 6e 4t = x t + 8x t + 6xt = = x t + 4xt + 4 x t + 4xt = at e 4t + 4at e 4t + 4 at e 4t + 4at e 4t = = ate 4t 4at e 4t +4at e 4t +4 ate 4t 4at e 4t +4at e 4t = ate 4t +4 ate 4t = = ae 4t 8ate 4t + 8ate 4t = ae 4t Stad wynika, że a = 6 = 8 Wobec tego funkcja x t = 8t e 4t jest rozwiazaniem jednym z nieskończenie wielu równania 6e 4t = x t + 8x t + 6xt Ponieważ liczba 4i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi ec istnieje taka liczba a, że funkcja ae 4it jest rozwiazaniem równania x t + 8x t + 6xt = 6e 4it Podstawiajac xt = ae 4it otrzymujemy 6e 4it = 6i ae 4it + 3iae 4it + 6ae 4it = 3iae 4it, zatem a = 6 = 8i Wobec tego funkcja 3i 8ie4it jest rozwiazaniem równania x t+8x t+6xt = 6e 4it Ponieważ 6 sin4t = 6Ime 4it, wiec rozwiazaniem jednym z nieskończenie wielu równania x t + 8x t + 6xt = 6 sin4t jest funkcja x t = Im 8ie 4it = =Im 8i cos4t + 8 sin4t = 8 cos4t Liczba 4 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, wiec istnieja takie liczby a, b, że funkcja at + be 4t jest rozwiazaniem równania x t + 8x t + 6xt = 6te 4t Podstawiajac w tym równaniu xt = at + be 4t otrzymujemy 6te 4t = x t + 8x t + 6xt = = at + be 4t + 8 at + be 4t + 6 at + be 4t = 8a + 6at + 6be 4t + 8 a + 4at + 4be 4t + +6 at + be 4t = 64at + 6a + 64be 4t Stad wynika, że a = 6 = 4 i wobec tego 64 b = 6 4 = Udowodniliśmy, że funkcja x 64 3t = 4t e 4t jest rozwiazaniem jednym z wielu równania x t + 8x t + 6xt = 6te 4t Liczba 4 + 4i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi ec istnieje taka liczba zespolona a, że funkcja ae 4+4it jest rozwiazaniem równania x t + 8x t + 6xt = 4e 4+4it Podstawiajac xt = ae 4+4it w tym równaniu otrzymujemy 4e 4+4it = 4 + 4i ae 4+4it + 84 + 4iae 4+4it + 6ae 4+4it = 6 + 3i 6 + 3 + 3i + 6ae 4+4it = 48 + 64iae 4+4it Stad wnioskujemy, że a = 4 = = 3 4i = 3 4i Wobec tego funkcja 3 4ie 4+4it 48+64i 3+4i 9+6 jest rozwiazaniem równania x t + 8x t + 6xt = 4e 4+4it Prawdziwy jest też wzór 4e 4t cos4t = Re4e 4+4it, zatem rozwiazaniem jednym z wielu równania x t+8x t+6xt = 4e 4t cos4t jest funkcja x 4 t = Re3 4ie 4+4it = e 4t 3 cos4t+ +4 sin4t Z tych przydługich rozważań wnioskujemy, że rozwiazaniem ogólnym równania x t + 8x t + 6xt = 6e 4t + 6 sin4t + 6te 4t + 4e 4t cos4t jest funkcja xt = x t + x t + x 3 t + x 4 t + c + c te 4t = 8t e 4t 8 cos4t + 4t e 4t + e 4t 3 cos4t + +4 sin4t + c + c te 4t
3 3 p Rozwiazać x t 4x t + xt = x t 4x t + xt = t 4t cos t + t sin t + e t + t + e t cos t Równanie charakterystyczne wyglada tak = λ 4λ + = λ +, wiec jego pierwiastkami sa liczby ± i Wobec tego rozwiazaniem ogólnym równania jednorodnego jest funkcja ĉ e it + ĉ e +it = ĉ + ĉ e t cos t + i ĉ + ĉ e t sin t = e t c cos t + c sin t Ponieważ liczba nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi x t 4x t + xt = t ma rozwiazanie postaci at + bt + c Podstawiajac w nim xt = =at +bt+c otrzymujemy t = a 4at+b+at +bt+c = at + 8a+bt+a 4b+c Stad wynika, że a = =, b = a = 8 i c = a+4b =, zatem rozwi azaniem jednym z wielu równania x t 4x t + xt = t jest funkcja x t = t t 4,4 Ponieważ liczba i nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi x t 4x t + xt = 4t cos t + t sin t ma rozwiazanie postaci at + b cos t + ct + d sin t Przyjmujac xt = at+b cos t+ct+d sin t otrzymujemy 4t cos t+t sin t = = at+b cos t+ct+d sin t 4 at+b cos t+ct+d sin t + at+b cos t+ct+d sin t = = a sin t at + b cos t + c cos t ct + d sin t 4 a cos t at + b sin t + c sin t + +ct+d cos t+ at+b cos t+ct+d sin t = at b+c 4a 4ct 4d+at+b cos t+ + a ct d + 4at + 4b 4c + ct + d sin t = 4a ct 4a + 4b + c 4d cos t + + 4a + ct a + 4b 4c + 4d sin t Wynika z otrzymanej równości, że 4a c = 4 i 4a + c =, wiec a = i c =, a stad 4b 4d = i 4b + 4d =, wiec b = d = Wykazaliśmy, że rozwiazaniem równania x t 4x t + xt = 4t cos t + t sin t jest funkcja x t = cos t + sin t sa też inne Ponieważ liczba nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wi x t 4x t + xt = e t + t ma rozwiazanie postaci at + bt + ce t Przyjmujac xt = at + bt + ce t otrzymujemy e t + t = x t 4x t + xt = = a + 4at + b + 4at + bt + c e t 4 at + b + at + bt + c e t + at + bt + ce t = = at + bt + a + ce t Stad od razu wynika, że a =, b = c = Wobec tego funkcja x 3 t = t e t jest rozwiazaniem jednym z nieskończenie wielu równania x t 4x t + xt = e t + t Liczba + i jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, wobec czego równanie x t 4x t + xt = e t cos t ma rozwiazanie postaci ate t cos t + bte t sin t podnosimy stopień o Zamiast tego równania rozpatrzymy równanie x t 4x t+xt = e +it Ma ono, z tego samego powodu, rozwiazanie postaci Ate +it Zastepuj ac w nim xt przez Ate +it otrzymujemy A + i + + i t e +it 4A + + it e +it + Ate +it = e +it, czyli Aie +it = e +it Wynika stad, że A = i Rozwiazaniem jest wiec funkcja ite +it = e t i cos t+sin t Ponieważ Ree +it = e t cos t, wiec rozwiazaniem równania x t 4x t + xt = e t cos t jest funkcja x 4 t = Re ite +it = e t sin t Rozwiazanie równania x t 4x t+xt = t 4t cos t+t sin t+e t +t +e t cos t to t t 4,4 + cos t + sin t + t e t + e t cos t + e t c cos t + c sin t, ogólne oczywiście
4 p Pojemnik zawiera 4 litrów wody, w której rozpuszczono kg soli kuchennej Do pojemnika wlewana jest woda w tempie litrów na minute, zawierajaca kg soli w każdym 4 litrze Jednocześnie przez otwór w dole pojemnika wypływa bardzo dokładnie wymieszana woda z sola z predkości a 8 litrów na minute wiec w pojemniku jest coraz wiecej płynu Ile soli znajdzie si e w pojemniku, gdy obj etość płynu równa b edzie l? Ile soli znajdzie si e w pojemniku, gdy obj etość płynu równa b edzie 8 l? Rozwiazanie Niech V t oznacza ilość płynu w pojemniku w chwili t Mamy, jak można łatwo zauważyć, V t = 4 + t 8 = 4 + 4t Niech xt oznacza ilość soli w roztworze w chwili t Jeśli t jest mała liczba, to xt + t xt +, t xt 8 t = V t xt xt 8 t+3 t Równość jest tylko przybliżona, bo zawartość soli w roztworze zmienia 4+4t sie ciagle, a założyliśmy, że w okresie od t do t + t stale jest xt soli w roztworze Dokładna równość uzyskujemy obliczajac granice przy t Trzeba jednak najpierw podzielić te równość przez t Otrzymujemy x xt+ t xt t = lim = xt + 3 St ad t t +t wynika równość +t x t++txt = 3+t, zatem +t xt = 3+t Stad wynika natychmiast, że +t xt = +t 3 +C dla pewnej stałej C, wi ec xt = +t+ Ponieważ x =, wi ec = + C C +t, czyli C =, zatem xt = +t +t Gdy V t = = 4 + 4t, to t = Mamy x = = 48 = 77 Jeśli V t = 8, to t = Wtedy x = = 7 = 8 3 = 8, 4 4 4 oczywiście kilogramów
7 Niech M = 3 x, v = y x, v = y x3, v 3 = y 3 x4, v 4 = 4 p Znaleźć taki niezerowy wektor v, że M v = v i x, y {,,, 3, 4, } lub wykazać to równanie jest spełnione jedynie przez wektor zerowy Rozwiazać ten sam problem dla równań M v = v, M v 3 = 3v 3, M v 4 = 4v 4 p Znaleźć M oraz M 4 p Wykazać, że jedynym takim wektorem v = x y, że M 7 v = jest wektor zerowy y 4 Szukamy takiego wektora v, że Mv = v, czyli musza być spełnione obie równości 7x y = x, 3x y = y Wynika z nich, że 6x = y i 3x = y, zatem y = 6x = 3x = 4y, wi ec y = i wobec tego x = Teraz szukamy wektora v musza być spełnione obie równości 7x y = x, 3x y = y Wynika z nich, że x = y Przykładem takiego wektora jest v = Kolej na v 3 Ma być 7x 3 y 3 = 3x 3 i 3x 3 y 3 = 3y 3, czyli 4x 3 = y 3 i 3x 3 = 4y 3, wiec również 6x 3 = 4y 3 = 4y 3 = x 3, wi ec x 3 =, wobec czego również y 3 = I ostatnia cz eść tych rozważań Każde z równań 7x 4 y 4 = 4x 4 i 3x 4 y 4 = 4y 4 jest równoważne równaniu 3x 4 = y 4, wiec można przyjać x 4 = i y 4 = 3 Mamy Mv = M = Nast epnie M = M = M = Kontynuuj ac to postepowanie otrzymujemy M = = 3 Łatwo stwierdzamy, że = 3 3, zatem M = 4 3 3 Podobnie jak poprzednio otrzymujemy wzór M = 4M 3 3 M = 4 3 3 Po nast epnych trzech takich operacjach mamy M = 4 3 3 = 4 3 96 = 4 976 Wyznacznik iloczynu macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, wiec zachodzi równość detm 7 = 7 3 7 = 8 7 Macierz M 7 ma wiec macierz odwrotna, zatem z równości M 7 v = wynika równość v = M 7 = Ostatnia cześć rozumowania można zastapić nieco innym rozumowaniem Dla każdego wektora x y istnieje dokładnie jedna para takich liczb c, d, że x y = c + d 3 Jeśli M x y =, to = M 7 x y = 7 c + 4 7 d 3, ale st ad wynika, że c 7 = = =d 4 7, a to oznacza, że c = = d Stad x = = y Ciekawostki: 6 = 64, 8 = 6, 4 = = 4; 3 = 43; punkty,,,,, 3 nie leża na jednej prostej