MECHANKA KWANTOWA zacznij o tego Józef E. Sienkiewicz S lawomir Telega
2
Spis Treści 1 Wste ι p 5 2 Postawy matematyczne 7 2.1 Przestrzeń Hilberta............................ 7 2.2 Operatory hermitowskie......................... 8 2.3 Komutatory................................ 12 3 Stara teoria kwantów 15 3.1 Wzór Plancka............................... 15 3.2 Wzór Einsteina.............................. 16 3.3 Zjawisko Comptona............................ 17 3.4 Atom Bohra................................ 17 3.5 Postulat Sommerfela-Wilsona...................... 18 3.6 Hipoteza e Broglie a........................... 19 3.7 Zasaa nieoznaczoności Heisenberga................... 20 4 Postulaty mechaniki kwantowej 23 5 Stany stacjonarne 25 5.1 Wartość oczekiwana w stanie stacjonarnym............... 25 5.2 Ewolucja czasowa wartości oczekiwanej................. 26 5.3 Ca lki ruchu................................ 29 5.4 Twierzenie Ehrenfesta.......................... 30 5.5 Twierzenie wirialne........................... 31 6 Pakiety falowe 35 6.1 Fala. Pre ι kość fazowa.......................... 35 6.2 Pakiet. Pre ι kość grupowa........................ 39 6.3 Rozmywanie sie ι pakietu falowego.................... 40 7 Zasaa opowieniości Bohra 41 8 Zasaa zachowania prawopoobieństwa 45 8.1 Równanie cia ι g lości............................ 45 3
4 SPIS TREŚCI 9 Rozpraszanie na potencja lach 47 9.1 Bariera potencja lu o skończonej wysokości i nieskończonej szerokości. 47 9.2 Bariera potencja lu o skończonej wysokości i skończonej szerokości... 50 9.3 Prostoka ι tna stunia potencja lu o skończonej g le ι bokości........ 55 10 Stany parzyste i nieparzyste 59 11 Liniowy oscylator harmoniczny 61 11.1 Wartości w lasne i funkcje w lasne. Wielomiany Hermite a........ 61 11.2 Funkcje tworza ι ce............................. 67 12 Moment pe ι u 71 12.1 Moment pe ι u w mechanice kwantowej................. 71 12.2 Moment pe ι u jako generator obrotów infinityzymalnych....... 73 12.3 Wartości w lasne i funkcje w lasne (funkcje kuliste)........... 77 12.4 Sztywny rotator.............................. 86 12.5 Wimo pasmowe cza ι steczki wuatomowej............... 88 13 Atom wooru 89 13.1 Wartości w lasne i funkcje w lasne. Wielomiany Laguerre a....... 89 13.2 Dyskusja otrzymanych wyników..................... 97 14 Notacja Diraca 99 15 Funkcja uogólniona Delta Diraca. 101 16 Metoy przybliżone 105 16.1 Rachunek zaburzeń la stanów niezegenerowanych.......... 105 16.2 Rachunek zaburzeń la stanów zegenerowanych............ 109 16.3 Metoa wariacyjna............................ 112 16.4 Rachunek zaburzeń zależny o czasu.................. 116 17 Macierzowe uje ι cie mechaniki kwantowej 123 17.1 Macierzowa reprezentacja funkcji i operatorów............. 123 17.2 Oscylator harmoniczny.......................... 125 17.3 Macierzowa postać operatorów ˆN, Ĥ, â + i â.............. 133 18 Spinowy moment pe ι u 135 19 Ruch elektronu w ciele sta lym 139 19.1 Potencja l perioyczny.......................... 139 19.2 Fale Blocha................................ 140 19.3 Pasma energetyczne............................ 142
Rozzia l 1 Wsteι p Celem pore ι cznika, który oajemy o ra ι k stuentów jest u latwienie stuiowania mechaniki kwantowej. Wyk lay z mechaniki kwantowej na Fizyce Technicznej trwaja ι przez jeen semestr i zajmuja ι trzy goziny tygoniowo. Ten w laśnie materia l zawarty w skrypcie należy potraktować jako wste ι p o stuiowania barziej zaawansowanych pore ι czników, których spis znajuje sie ι na końcu. Ponieważ naszym celem jest osia ι gnie ι cie użej jasności poszczególnych wywoów, cze ι sto używamy w trakcie oatkowych wyjaśnień. Wtey owó przerywany jest na znaku..., a naste ι pnie o tego znaku kontynuowany. Naszym zaaniem sa ι wa skrajne sposoby poejścia o stuiowania mechaniki kwantowej, a jest to ziezina ość zaskakuja ι ca i cia ι gle wprawiaja ι ca w zumienie i fascynacje ι wielu stuentów. Pierwszy sposób to próba zrozumienia wszystkiego o postaw. Nie polecamy tej metoy, a za poparcie niech nam pos luża ι s lowa jenego z twórców mechaniki kwantowej, laureata nagroy Nobla Murraya Gell-Manna,,Wspó lczesna ι fizyka ι rza ι zi imponuja ι ca i ba lamutna ziezina, zwana mechanika ι kwantowa ι, która ι wynaleziono pie ι ćziesia ι t lat temu. Przetrwa la ona wzystkie próby i przypuszczamy, że jest ona koncepcja ι prawi lowa ι. Nikt jej nie rozumie, ale wszyscy wieza ι, jak ja ι stosować i jak onosić o wszystkich zaganień. Nauczyliśmy sie ι wie ι c żyć ze świaomościa ι faktu, że nikt jej nie rozumie. Drugi sposób, praktyczny, polega na szczegó lowym rozpracowaniu poszczególnych zaganień w ramach przyje ι tych aksjomatów. Temu rugiemu poejściu ma s lużyć napisany przez nas skrypt. Chcielibyśmy gora ι co pozie ι kować prof. R. Szmytkowskiemu, r. inż. R. Signerskiemu oraz r. inż. M. Krośnickiemu, r inż. M. Gruchowskiemu, mgr inż. V. Konopińskiej i mgr inż. P. Kowalczykowi za przeczytanie manuskryptu oraz za cenne uwagi i yskusje prze oaniem tekstu o wyawnictwa. Józef E. Sienkiewicz S lawomir Telega 5
6 ROZDZIA L 1. WSTE ι P
Rozzia l 2 Postawy matematyczne 2.1 Przestrzeń Hilberta Definicja Cia ι g wektorów ϕ 1, ϕ 2,... należa ι cy o anej przestrzeni wektorowej Ω nazywamy postawowym (spe lniaja ι cym warunek Cauchy ego) ze wzgle ι u na norme ι, jeżeli la każego ε > 0 istnieje liczba naturalna N, taka że ϕ m ϕ n < ε (2.1.1) la wszystkich m, n > N. Definicja Przestrzeń wektorowa ι nazywamy zupe lna ι ze wzgle ι u na norme ι, jeżeli każy cia ι g postawowy wektorów ϕ 1, ϕ 2,... tej przestrzeni ma granice ι należa ι ca ι o tej przestrzeni, a wie ι c jeżeli istnieje wektor ϕ należa ι cy o tej przestrzeni, taki że lim ϕ n ϕ = 0. (2.1.2) n Definicja Abstrakcyjna ι przestrzenia ι Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorowa ι, w której 1 o zefiniowany jest iloczyn skalarny ϕ ψ C (ϕ, ψ H) spe lniaja ι cy poniższe warunki: aϕ ψ = a ϕ ψ, a C (2.1.3) ϕ ψ = ψ ϕ (2.1.4) (ϕ 1 + ϕ 2 ) ψ = ϕ 1 ψ + ϕ 2 ψ (2.1.5) ϕ ϕ 0 (2.1.6) 2 o zefiniowana jest norma jako ϕ = ϕ ϕ (2.1.7) 7
8 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 3 o zachozi zupe lność ze wzgle ι u na określona ι w niej norme ι. Każy element przestrzeni Hilberta a sie ι kombinacja liniowa wektorów bazy Ψ = i zapisać jako skończona lub nieskończona a i ϕ i, (2.1.8) gzie {ϕ i } i=1,2,... jest uk laem ortonormalnym, tzn. la owolnych i oraz j ϕ i ϕ j = δ ij, (2.1.9) gzie δ ij oznacza elte ι Kroneckera. Taki uk la bazowy nazywa sie ι zupe lny. Pomnożymy wzór (2.1.8) lewostronnie skalarnie przez ϕ n, ϕ n Ψ = ϕ n i a i ϕ i, ϕ n i a i ϕ i = i a i ϕ n ϕ i = i a i δ ni = a n a i = ϕ i Ψ. (2.1.10) Ważnym la nas przyk laem przestrzeni Hilberta jest przestrzeń oznaczana jako L 2. Jej elementami sa ι funkcje, które sa ι ca lkowalne z kwaratem mou lu, tzn. np. w przypaku jenowymiarowym: + ϕ(x) 2 x <. (2.1.11) Iloczyn skalarny w przestrzeni L 2, spe lniaja ι cy wymienione wyżej aksjomaty, any jest wzorem: ψ ϕ = + 2.2 Operatory hermitowskie ψ (x)ϕ(x) x. (2.1.12) Definicja Operatorem sprze ι żonym hermitowsko o anego operatora  jest taki operator ˆB, który la elementów ψ, ϕ z zieziny operatorów  i ˆB spe lnia naste ι puja ι ca ι zależność: ψ Âϕ = ˆBψ ϕ. (2.2.1) Ostatnia zależność w przestrzeni L 2 ma postać: + + ψ (x)âϕ(x) x = ( ˆBψ(x)) ϕ(x) x. (2.2.2) Fakt, że ˆB jest sprze ι żony hermitowsko o  zapisujemy Â+ = ˆB. Definicja Operatorem hermitowskim nazywamy operator, który jest samosprze ι żony, tzn.  + = Â, (2.2.3)
ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 9 przy czym zak laamy, że zieziny operatorów  i Â+ sa ι takie same. Dla operatora hermitowskiego ϕ Âψ = Âϕ ψ. (2.2.4) W mechanice kwantowej używamy operatorów, które sa ι : 1 o liniowe, tzn. Â(aψ 1 + bψ 2 ) = aâψ 1 + bâψ 2 (2.2.5) la owolnych funkcji ψ 1, ψ 2 H, przy czym sta le a i b sa ι liczbami zespolonymi. 2 o hermitowskie czyli samosprze ι żone. Przyk la Uowonić, że operator ˆp x = i h jest operatorem hermitowskim na ziezinie x funkcji które znikaja ι la x ±. Rozwia ι zanie Musimy uowonić, że ϕ ˆp x ψ = ˆp x ϕ ψ Mamy +i h = ϕ ˆp x ψ = ( + + + ) x ϕ (x) ( i h x ϕ(x) ϕ (x)ˆp x ψ(x) x = i hϕ (x)ψ(x) + + ψ(x) x = i h ) ψ(x) x = = ˆp x ϕ ψ. + + ( ) x ϕ(x) ψ(x) x = (ˆp x ϕ(x)) ψ(x) x = Teraz zajmiemy sie ι w lasnościami operatorów sprze ι żonych. Latwo jest pokazać, że Drugi ze wzorów jest naste ι puja ι cy Przeprowaźmy owó. napisać Niech Ĉ =  ˆB. Wówczas ( + ˆB) + = Â+ + ˆB +. (2.2.6) ( ˆB) + = ˆB +  +. (2.2.7) Korzystaja ι c z efinicji sprze ι żenia operatorów, możemy Ψ ĈΦ = Ĉ+ Ψ Φ. Ψ Â ˆBΦ = ( ˆB) + Ψ Φ. Przekszta lćmy lewa ι strone ι powyższego równania, korzystaja ι c z efinicji operatorów sprze ι żonych Ψ Â ˆBΦ = Â+ Ψ ˆBΦ = ˆB +  + Ψ Φ.
10 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE To powinno być równe prawej stronie L = P ˆB +  + Ψ Φ = ( ˆB) + Ψ Φ ( ˆB) + = ˆB +  +, c.n.w. W przypaku operatorów hermitowskich wiemy, że  = Â+ i ˆB = ˆB+, czyli Niech teraz ˆB = Â, sta ι ( ˆB) + = ˆBÂ. (ÂÂ)+ = (Â2 ) + = Â2, czyli kwarat operatora Hermitowskiego jest też operatorem Hermitowskim. Rozważmy funkcje ι f(x) L 2 be ι a ι ca ι nato funkcja ι rzeczywista ι, to znaczy, że f(x) = f (x). Zefinujmy operator ˆF ˆF ψ(x) = f(x)ψ(x), ψ(x) L 2. Wykażemy, że ˆF jest operatorem hermitowskim, czyli, że ˆF + = ˆF. Musimy wykazać, że zachozi poniższa równość Zacznijmy o lewej strony ψ ˆF ϕ = + ψ ˆF ϕ = ˆF ψ ϕ. ψ (x) ˆF ϕ(x) x = + ψ (x)f(x)ϕ(x) x = Zajmijmy sie ι = + (f(x)ψ(x)) ϕ(x) x = ˆF ψ ϕ c.n.w. teraz w lasnościami operatorów hermitowskich. W wyniku zia lania operatora  na jaka ιś funkcje ι ostajemy inna ι funkcje ι Âϕ = ψ, ϕ, ψ H. (2.2.8) Czasami może sie ι zarzyć, że Âϕ = aϕ, ϕ / 0, (2.2.9) gzie a jest liczba ι. Jest to tak zwane równanie w lasne operatora Â, przy czym a jest wartościa ι w lasna ι, a ϕ jest opowiaaja ι ca ι jej funkcja ι w lasna ι. Twierzenie 1 Wartości w lasne operatorów hermitowskich sa ι rzeczywiste. Dowó Weźmy operator hermitowski  = Â+ i opowiaaja ι ce mu równanie w lasne Âϕ = aϕ.
ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 11 Chcemy wykazać, że a = a. Ponieważ operator  jest hermitowski, wolno nam napisać, że ϕ Âϕ = Âϕ ϕ. Przekszta lćmy najpierw lewa ι strone ι powyższej równości Teraz zajmijmy sie ι prawa ι strona ι L = ϕ Âϕ = ϕ aϕ = a ϕ ϕ. P = Âϕ ϕ = aϕ ϕ = a ϕ ϕ. Ponieważ lewa strona musi równać sie ι prawej sta ι mamy, że L = P a ϕ ϕ = a ϕ ϕ a = a, c.n.w. Twierzenie 2 Funkcje w lasne operatora hermitowskiego należa ι ce o różnych wartości w lasnych sa ι o siebie wzajemnie ortogonalne. Dowó Weżmy operator hermitowski  = Â+. Zapiszmy równania w lasne tego operatora la wóch różnych wartości wartości w lasnych Musimy wykazać, że Âϕ l = a l ϕ l, Âϕ n = a n ϕ n. ϕ l ϕ n = 0. Wyjźmy z efinicji hermitowskości operatora  Przekszta lćmy lewa ι strone ι ϕ l Âϕ n = Âϕ l ϕ n. L = ϕ l Âϕ n = ϕ l a n ϕ n = a n ϕ l ϕ n, a teraz prawa ι strone ι P = Âϕl ϕn = alϕl ϕn = a l ϕ l ϕ n. Ponieważ, jak to wcześniej wykazaliśmy, wartości w lasne operatora hermitowskiego, sa ι rzeczywiste, to P = a l ϕ l ϕ n. Przyrównuja ι c o siebie obie strony mamy L = P a n ϕ l ϕ n = a l ϕ l ϕ n. Przenosza ι c wszystko na lewa ι strone ι otrzymujemy Z za lożenia wiemy, że a n a l, ska ι (a n a l ) ϕ l ϕ n = 0. ϕ l ϕ n = 0, c.n.w.
12 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 2.3 Komutatory Definicja Komutatorem wóch operatorów  i ˆB nazywamy operator: [Â, ˆB] =  ˆB ˆBÂ. (2.3.1) W ogólności Gy czyli [Â, ˆB] 0. (2.3.2) [Â, ˆB] = 0, (2.3.3)  ˆB = ˆBÂ. (2.3.4) to mówimy, że operatory  i ˆB komutujaι ze soba ι (sa ι przemienne). Wprowaźmy poje ι cie śreniego ochylenia stanarowego zefiniowane la pewnej wartości a jako a = (a a ) 2. (2.5) Jeżeli [Â, ˆB] = 0, to wtey obserwable zwia ι zane z tymi operatorami sa ι zgone. Na przyk la: [ˆx, ˆp y ] = 0 x p y 0. Jeżeli [Â, ˆB] 0, to mamy na przyk la: Przyk la Obliczyć komutator Rozwia ι zanie: [ˆx, ˆp x ] = i h x p x h 2. [ˆx, ˆp x ]. ˆp x = i h x ˆx = x [ˆx, ˆp x ]ϕ(x) = (ˆxˆp x ˆp xˆx)ϕ(x) = ˆxˆp x ϕ(x) ˆp xˆxϕ(x) = x( i h x ϕ(x)) +i h (xϕ(x)) = i hx ϕ(x) + i hϕ(x) + i hx ϕ(x) = i hϕ(x) x x x [ˆx, ˆp x ] = i h. Twierzenie Jeżeli operatory  i ˆB komutujaι ze soba ι to istnieja ι funkcje, które sa ι jenoczesnymi funkcjami w lasnymi obu operatorów (w przypaku egeneracji nie każa funkcja w lasna operatora ˆB jest funkcja ι w lasna ι operatora Â!). Dowó (s luszny w przypaku, gy a jest niezegenerowana ι wartościa ι w lasna ι ) Z za lożenia mamy:  ˆB = ˆB Âϕ = aϕ.
ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE 13 Zazia lajmy na obie strony powyższego równania lewostronnie operatorem ˆB. ˆBÂϕ = ˆBaϕ Â( ˆBϕ) = a( ˆBϕ) ˆBϕ = bϕ, a, b C c.n.w. Ostatnie przejście polega na zauważeniu, że ˆBϕ jest funkcja ι w lasna ι operatora  przy tej samej wartości w lasnej a, co w przypaku funkcji w lasnej ϕ. Sta ι wniosek, że ˆBϕ i ϕ moga ι jeynie różnić sie ι o pewien czynnik liczbowy. W przestrzeni Hilberta oznacza to, że ˆBϕ i ϕ posiaaja ι ten sam,,kierunek, choć moga ι mieć różne lugości.
14 ROZDZIA L 2. PODSTAWY MATEMATYCZNE
Rozzia l 3 Stara teoria kwantów 3.1 Wzór Plancka Zefiniujmy cia lo oskonale czarne jako cia lo poch laniaja ι ce ca le paaja ι ce na nie promieniowanie. Fizyczna ι realizacja ι cia la oskonale czarnego jest zamknie ι te nieprzezroczyste pue lko z ma lym otworkiem, be ι a ι ce os lona ι la promieniowania. Jeżeli promieniowanie wewna ι trz pue lka jest w równowaze to jest to promieniowanie cia la oskonale czarnego. Ge ι stość energii u wypromieniowanej w jenostce czasu przez cia lo oskonale czarne określona jest prawem Stefana-Boltzmana u = σt 4, (3.1.1) przy czym T oznacza temperature ι bezwzgle ι na ι cia la, a σ jest pewna ι sta la ι. Z oświaczenia wiaomo, że ge ι stość energii wypromieniowanej w jenostce czasu w przeziale cze ι stości o ν o ν + ν jest proporcjonalna o ν i zależy o cze ι stości i o temperatury promieniowania, a zatem można zapisać ja ι w postaci u(ν, T )ν. (3.2) Wyste ι puja ι ca w powyższym wzorze funkcja u(ν, T ) nosi nazwe ι funkcji rozk lau. Pierwszym wzorem otrzymanym w oparciu o klasyczna ι elektroynamike ι i klasyczna ι fizyke ι statystyczna ι by l wzór Rayleigha-Jeansa u(ν, T ) = 8πν2 c 3 kt, (3.1.3) gzie ν oznacza cze ι stość promieniowania, c oznacza pre ι kość świat la, a k to sta la Boltzmana. Jenak wzór ten nie jest prawziwy gyż la użych cze ι stości mamy tak zwana ι katastrofe ι w nafiolecie(ν u ). Osoba ι która rozwia ι za la ten problem by l Max Planck (Max Planck,,,Berliner Berichte, Dezember 14, 1900) wprowazaja ι c poje ι cie kwantu energii. Wtey to po raz pierwszy pojawi lo sie ι określenie kwant, czyli porcja, ke ι s. W swoich rozważaniach Planck przyja ι l ziwna ι na owe czasy hipoteze ι, że energia może być poch laniana i wysy lana tylko w sposób niecia ι g ly, w kwantach wielkości hν, gzie h jest sta la ι zwana ι ziś sta la ι Plancka. Niemniej jenak uważa l on, że pole elektromagnetyczne jest 15
16 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW cia ι g le i że przep lyw energii przez pole obywa sie ι w sposób cia ι g ly. Zaproponowany przez niego wzór na ge ι stość energii promieniowania jest postaci u(ν, T ) = 8πν2 c 3 e hν hν kt 1. (3.1.4) Dla ma lych cze ι stości można wykazać, korzystaja ι c z rozwinie ι cia w szereg funkcji e x, że wzór Plancka przechozi we wzór Rayleigha-Jeansa. Na poniższym wykresie wiać katastrofe ι w nafiolecie wzoru Rayleigha-Jeansa (krzywa R--J), oraz wie krzywe opowiaaja ι ce wzorowi Plancka la wóch różnych temperatur T 1 i T 2, przy czym T 1 < T 2. u(ν, T ) R J T 2 T 1 Rys. 1 Promienowanie cia la oskonale czarnego. 3.2 Wzór Einsteina W roku 1888 Hertz okry l zjawisko fotoelektryczne. Polega ono na wybijaniu elektronów z metalu przez promieniowanie. Nieco później Lenar na roze oświaczenia wykaza l, że liczba fotoelektronów (elektronów wybijanych z metalu przez świat lo) jest proporcjonalna o nate ι żenia świat la, i że maksymalna pre ι kość fotoelektronów (a wie ι c i energia) nie zależy o nate ι żenia paaja ι cego świat la, a tylko o jego cze ι stości. Drugi z powyższych faktów by l niemożliwy o wykazania metoami klasycznymi, a także przy pomocy hipotezy Plancka. Powyższy problem zosta l rozwia ι zany w 1905 roku przez Alberta Einsteina (Albert Einstein,,,Annalen er Physik 17, 132 (1905)), który zapostulowa l, że przenoszenie energii w polu elektromagnetycznym również jest niecia ι g le i obywa sie ι w porcjach zwanych fotonami (kwantami świetlnymi). Einstein za loży l, że foton, paaja ι c na powierzchnie ι metalu, zerza sie ι z jenym z elektronów, przekazuja ι c mu ca la swoja ι energie ι. Dzie ι ki uzyskanej energii elektron jest w stanie uwolnić sie ι z metalu (czyli wykonać prace ι wyjścia W ) i otrzymać pewna ι pre ι kość. Progowa ι energia ι jest energia równa pracy wyjścia, która pozwala na uwolnienie elektronu z metalu bez naania mu pre ι kości. Proces ten opisywany jest wzorem Einsteina hν = mv2 2 ν + W, (3.2.1)
ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 17 gzie m oznacza mase ι elektronu, a v jego pre ι kość. 3.3 Zjawisko Comptona Zjawiskiem Comptona nazywamy rozpraszanie promieniowania elektromagnetycznego (fotonów) na swobonych (lub s labo zwia ι zanych) elektronach. W roku 1921 Arthur Compton zaobserwowa l, że w promieniowaniu rozproszonym oprócz oczekiwanego promieniowania o niezmienionej lugości fali wyste ι puje też cze ι ść o zmienionej lugości fali. W swoich rozważaniach Compton potraktowa l to zjawisko jako zerzenie cza ι stki (fotonu) z elektronem, przyjmuja ι c, że oprócz zasay zachowania energii spe lniona jest również zasaa zachowania pe ι u, i że fotonowi przypisany jest pe ι, którego wartość bezwzgle ι na wynosi p = E c = hν c. (3.3.1) Zmiane ι lugości fali można opisać wzorem (niezależnym o materia lu tarczy) Λ = Λ C (1 cos ϑ) (3.3.2) gzie Λ C oznacza tzw. comptonowska ι lugość fali i wynosi 0, 024 Angstrema, natomiast ϑ oznacza ka ι t rozpraszania. Ważnym faktem jest to, że wartość Λ nie zależy o pierwotnej lugości fali promieniowania. 3.4 Atom Bohra Jakkolwiek obecnie stosuje sie ι kwantowe poejście oparte na równaniach Schröingera lub Diraca, to moel atomu Nielsa Bohra by l pierwszym moelem atomu (lub jonu) jenoelektronowego, który w miare ι satysfakcjonuja ι cy sposób t lumaczy l buowe ι atomu. W swojej pracy Bohr wysze l z planetarnego moelu atomu Rutherfora, w którym elektron kra ι ży l po ko lowej lub eliptycznej orbicie wokó l cie ι żkiego ja ι ra, jenak zaproponowa l kilka barzo ziwnych jak na owe czasy postulatów. Cytuja ι c za Cooperem [Leon N. Cooper, Istota i struktura fizyki, PWN, Warszawa 1975, str. 519],,w wyg laszaniu stwierzeń sprzecznych z elektroynamika ι Maxwella i mechanika ι Newtona kry la sie ι pewna zarozumia lość, ale Bohr by l m loy. Zacytujmy te postulaty. 1) W atomie wooru elektron kra ι ży wokó l ja ι ra ruchem ko lowym spowoowanym si la coulombowska ι zgonie z prawami ruch Newtona. 2) Dozwolone sa ι jeynie te orbity, la których moment pe ι u L jest ca lkowita ι wielokrotnościa ι h = h 2π L = n h, n = 1, 2, 3,... 3) Elektron kra ι ża ι cy po ozwolonej orbicie, w niezgozie z elektroynamika ι klasyczna ι, nie promieniuje energii.
18 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 4) Elektron przy przejściu z orbity o wyższej energi E a na orbite ι o niższej energii E b emituje foton o energii E a b = hν a b = E a E b. (3.4.1) Energia elektronu znajuja ι cego sie ι na n-tej orbicie wynosi E n = mv2 n 2 Ze2 r n = RZ2 n 2, (3.4.2) przy czym v n oznacza pre ι kość elektronu na n-tej orbicie, r n jej promień, natomiast R oznacza sta la ι Ryberga R = me4 2 13, 6 ev. (3.4.3) 2 h 3.5 Postulat Sommerfela-Wilsona Moel atomu Bohra zosta l uogólniony na przypaek torów eliptycznych przez urozonego w Królewcu Arnola Sommerfela. Zamieni l on warunek kwantowy Bohra L = n h na barziej ogólny zwany ziś warunkiem kwantowym Sommerfela-Wilsona. Za lóżmy, że mamy uk la o f stopniach swoboy opisywany przez wspó lrze ι ne uogólnione q 1, q 2,..., q f i pe ι y uogólnione p 1, p 2,..., p f. Sommerfel zapostulowa l, że la każego stopnia swoboy na torze stacjonarnym p l q l = nh, l = 1,..., f (3.5.1) przy czym n jest liczba ι ca lkowita ι, a symbol oznacza ca lke ι po konturze zamknie ι tym (tu po orbicie). Wykażemy, że w przypaku orbity ko lowej warunek kwantowy Sommerfela-Wilsona przechzi w warunek kwantowy Bohra. Wiemy, że energia uk lau ana jest wzorem E = mv2 2 Ze2 r (3.5.2) Pre ι kość punktu poruszaja ι cego sie ι po okre ι gu o promieniu r ana jest wzorem v = r ϕ, (3.5.3) przy czym ϕ oznacza pre ι kość ka ι towa ι. Postawiaja ι c to o wzoru na energie ι mamy E = mr2 ϕ 2 2 Ze2 r. (3.5.4) Z mechaniki teoretycznej wiemy, że pe ι uogólniony any jest wzorem p l = L ϕ. (3.5.5)
ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 19 W naszym przypaku l = 1, ponieważ mamy jeen stopień swoboy. Wyste ι puja ι ce we wzorze L oznacza lagrangian zefiniowany jako różnica energii kinetycznej i energii potencjalnej L = E k V = mr2 ϕ 2 ( ) Ze2 2 r W naszym przypaku wspó lrze ι na uogólniona q 1 uogólniony any jest wzorem = mr2 ϕ 2 2 p l = L ϕ = ( mr2 ϕ 2 ) + Ze2 = mr 2 ϕ 2 ϕ 2 r ϕ 2 = mr 2 ϕ. + Ze2 r. (3.5.6) = ϕ, sta ι q 1 = ϕ. Czyli pe ι Wstawiamy to o warunku kwantowania Sommerfela-Wilsona i mamy Sta ι ostajemy co jest równe Wiemy jenak, że 2π 0 mr 2 ϕ ϕ = nh. 2π mr 2 ϕ 0 ϕ = nh, 2πmr 2 ϕ = nh. mr 2 ϕ = mvr = L oraz h 2π = h. Po postawieniu ostajemy warunek kwantowy Bohra L = n h, n = 1, 2,.... = 3.6 Hipoteza e Broglie a Do pocza ι tków XIX wieku świat lo by lo uważane za szybko poruszaja ι ce sie ι cza ι stki (korpusku ly). W roku 1801 oświaczalne baanie interferencji zmieni lo ten pogla ι i sugerowa lo falowa ι nature ι świat la. Hipoteza cza ι stkowej natury świat la zosta la zarzucona o roku 1923, kiey to Arthur Compton okry l, że kwanty promieniowania X maja ι pe ι i energie ι. W sumie pokazano, że świat lo posiaa zarówno cechy falowe, jak i cechy cza ι steczkowe. W roku 1924 ksia ι że ι Louis e Broglie opublikowa l swoja ι prace ι oktorska ι po tytu lem,,baania na teoria ι kwantów, w której postulowa l, że ponieważ świat lo wykazuje wiele w laściwości korpuskularnych, to cza ι stki (elektrony), ze wzgle ι u na symetrie ι w przyrozie, powinny wykazywać w laściwości falowe. Te iee zosta ly uowonione oświaczalnie już w roku 1924, gy wykazano,
20 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW że elektrony, tak jak świat lo, moga ι ulegać yfrakcji. W swoich pracach Max Planck stwierzi l, że energia fotonu (cza ι stki świetlnej) wyrażona jest wzorem E = hν, gzie ν wyraża cze ι stość fotonu, przy czym ca la energia jest energia ι kinetyczna ι. Arthur Compton okry l, że falom świetlnym można przypisać pe ι i że energie ι fotonu można przestawić w postaci E = pc, gzie p jest pe ι em przyporza ι kowanym fotonowi, a c oznacza pre ι kość świat la w próżni. Korzystaja ι c z tych wóch wzorów wolno nam napisać, że Korzystamy ze zwia ι zku c ν p = hν c = λ, gzie λ oznacza lugość fali i mamy (3.6.1) p = h λ. (3.6.2) Wzór ten może sie ι na pocza ι tku wyawać nieco ziwny, bowiem laczy on w lasność cza ι steczki jaka ι jest pe ι p z w lasnościami typowo falowymi, jak lugość fali λ, czy cze ι stość ν. Korzystaja ι c z tego wzoru i kieruja ι c sie ι symetria ι przyroy, e Broglie wysuna ι l hipoteze ι, że skoro fala jaka ι jest świat lo może wykazywać w lasności w laściwe la cza ι stek, to cza ι stki (elektrony) powinny wykazywać w lasności falowe.wolno zatem napisać, że pe ι elektronu wynosi p = mv = h λ (3.6.3) przy czym v oznacza pre ι kość elektronu, a m jest jego masa ι relatywistyczna ι. Z powyższej równości barzo latwo możemy otrzymać lugość fali przyporza ι kowanej elektronowi λ = h mv = h p. (3.6.4) W swojej pracy e Broglie zajmowa l sie ι elektronami, ale powyższe rozważania możemy rozszerzyć na owolne cia lo materialne. 3.7 Zasaa nieoznaczoności Heisenberga Heisenberg zapostulowa l, że istnieja ι wartości, których jenoczesny ok lany pomiar na poziomie kwantowym jest niemożliwy. Pary takie nazywamy parami komplementarnymi. Do takich par należa ι pe ι cza ι stki i jej po lożenie, la których zachozi tzw. relacja nieoznaczoności x p x h 2. (3.7.1) Analizuja ι c powyższy wzór możemy stwierzić, że gy znamy ok lanie pe ι cza ι stki, to nie możemy nic powiezieć na temat miejsca, w którym sie ι ona znajuje. Innymi
ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW 21 parami komplementarnymi sa ι na przyk la (y, p y ), (z, p z ), energia i czas (E, t) oraz sk laowe momentu pe ι u (L x, L y ). Natomiast o par niekomplementarnych, czyli zgonych zaliczamy (L 2, L x ), wspó lrze ι ne po lożenia (x, y), lub też (p x, z). Zajmijmy sie ι teraz nierównościa ι, która w szczególnym przypaku przechozi w zasae ι nieoznaczoności Heisenberga. Niech  i ˆB beι a ι operatorami hermitowskimi spe lniaja ι cymi zwia ι zek komutacyjny [Â, ˆB] = iĉ. (3.7.2) Z analizy funkcjonalnej wiemy, że norma jest zawsze wie ι ksza lub równa zeru, czyli wolno nam napisać, że ( + iλ ˆB)ψ 2 = ( + iλ ˆB)ψ ( + iλ ˆB)ψ 0, (3.7.3) przy czym λ jest pewna ι sta la ι rzeczywista ι. Rozpisuja ι c lewa ι strone ι powyższej nierówności, mamy co jest równoważne Âψ Âψ + Âψ iλ ˆBψ + iλ ˆBψ Âψ + iλ ˆBψ iλ ˆBψ 0, Âψ Âψ + iλ( Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ ) + λ2 ˆBψ ˆBψ 0. Uporza ι kujmy to wyrażenie wzgle ι em pote ι g λ λ 2 ˆBψ ˆBψ + λi( Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ ) + Âψ Âψ 0. Aby ta nierówność by la prawziwa, to wyróżnik opowiaaja ι cego jej równania kwaratowego powinien być mniejszy ba ι ź równy zeru. Mamy [i( Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ )]2 4 ˆBψ ˆBψ Âψ Âψ 0. Korzystaja ι c z hermitowskości operatorów  i ˆB, możemy przekszta lcić pierwszy cz lon w powyższym wzorze Âψ ˆBψ ˆBψ Âψ = ψ  ˆBψ ψ ˆBÂψ = ψ ( ˆB ˆBÂ)ψ = ψ [Â, ˆB]ψ. Natomiast rugi z cz lonów możemy zapisać, korzystaja ι c również z hermitowskości, jako ˆBψ ˆBψ Âψ Âψ = ψ ˆB 2 ψ ψ Â2 ψ. Korzystaja ι c z tych obliczeń, możemy zapisać nasza ι nierówność jako [i ψ [Â, ˆB]ψ ] 2 4 ψ ˆB 2 ψ ψ Â2 ψ 0. Pamie ι tamy, że la anego operatora srenia ι Ô, czyli ostajemy Ô wyrażenie ψ Ôψ opisuje jego wartość [i [Â, ˆB] ] 2 4 ˆB 2 Â2 0.
22 ROZDZIA L 3. STARA TEORIA KWANTÓW Sta ι po prostych przekszta lceniach ochozimy o wzoru ˆB 2 Â2 1 2 [i [Â, ˆB] ] 4 Ponosimy obie strony o pote ι gi 1 2 Zasta ι pmy teraz  i ˆB przez  i ˆB ˆB 2 Â2 1 2 [i [Â, ˆB] ] 2. ( ˆB) 2 ( Â)2 1 2 [i [ Â, ˆB] ] 2. Komutator wyste ι puja ι cy po prawej stronie powyższej nierówności możemy zapisać jako [ Â, ˆB] = [ Â, ˆB ˆB ] = [Â, ˆB] [Â, ˆB ] [ Â, ˆB] + [ Â, ˆB ]. Ponieważ  i ˆB sa ι liczbami, to trzy ostatnie komutatory sa ι równe zeru i w rezultacie ostajemy [ Â, ˆB] = [Â, ˆB] = iĉ. (3.7.4) Po wstawieniu otrzymanego wyniku o rozważanej przez nas nierówności ochozimy o wyrażenia ( ˆB) 2 ( Â)2 1 Ĉ. (3.7.5) 2 W praktyce cze ι sto oznaczamy przez O, sta ι wolno nam napisać, że ( Ô)2 A B 1 2 Ĉ. Wstawmy teraz zamiast operatorów  i ˆB operatory ˆx i ˆp. Wiemy, że [ˆx, ˆp] = i h. Wstawiaja ι c to o otrzymanej przez nas postacinierówności ostajemy x p 1 2 h, czyli jena ι z postaci zasay nieoznaczoności Heisenberga.
Rozzia l 4 Postulaty mechaniki kwantowej Postulat 1. Obserwable i operatory. Każej obserwabli A w fizyce, takiej jak pe ι, energia, moment pe ι u czy liczba cza ι stek, można przyporza ι kować operator hermitowski Â. Wartość pomiaru anej obserwabli jest wartościa ι w lasna ι operatora Â, pochoza ιca ι z równania w lasnego Âϕ a = aϕ a. (4.0.1) Postulat 2. Pomiar w mechanice kwantowej. Jeżeli w wyniku pomiaru obserwabli A otrzymamy wartość a, to stan mierzonego uk lau pozostanie opisany funkcja ι ϕ a, która jest funkcja ι w lasna ι operatora Â. Postulat 3. Funkcja stanu i wartość oczekiwana. Stan uk lau jest opisany funkcja ι falowa ι Ψ(x, t), która jest cia ι g la i różniczkowalna. Wartość oczekiwana pomiaru obserwabli w tym stanie określona jest wzorem A = + Wartość oczekiwana jest wartościa ι śrenia ι. Postulat 4. Ewolucja czasowa. Ψ (x, t)âψ(x, t) x. (4.0.2) Ewolucja czasowa funkcji falowej opisana jest równaniem Schröingera i h Ψ = ĤΨ. (4.0.3) t Dla n cza ι stek Ψ = Ψ( r 1, r 2,,..., r n, t). Dla jenej cza ι stki Ψ = Ψ( r, t). Dla jenej cza ι stki, ale w przypaku jenowymiarowym Ψ = Ψ(x, t). Postulat Borna. 23
24 ROZDZIA L 4. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ Interpretacja funkcji falowej zosta la poana przez Maxa Borna. Dla przypaku jenowymiarowego Ψ(x) 2 określa ge ι stość prawopoobieństwa znalezienia cza ι steczki w przeziale [x, x+x], natomiast Ψ(x) 2 x jest prawopoobieństwem znalezienia cza ι steczki w przeziale [x, x + x]. Ponieważ cza ι stka na pewno jest gzieś zlokalizowana, to z powyższej interpretacji otrzymujemy warunek normalizacyjny + Ψ 2 x = 1, Ψ L 2. (4.0.4) Równanie Schröingera jest równaniem liniowym, tzn. jeżeli ψ i ϕ sa ι rozwia ι zaniami równania (4.0.3), to αψ + βϕ, gzie α, β C, również, jest rozwia ι zaniem tego równania. Niech rozwia ι zanie równania Schröingera be ι zie równe Ψ = αψ i α = α e iϕ, gzie e iϕ jest czynnikiem fazowym. Wspó lczynnik normalizacyjny α jest określony z ok lanościa ι o czynnika fazowego. Dowó Korzystaja ι c z warunku normalizacyjnego możemy napisać 1 = + Ψ 2 x = + = α α + + Ψ 2 x = 1, αψ 2 x = + (αψ) (αψ) x = + ψ ψ x = α e iϕ α e iϕ ψ 2 x = + = α 2 ψ 2 x α = Zwykle wybieramy e iϕ = 1 i wtey α = α. 1 + ψ 2 x.
Rozzia l 5 Stany stacjonarne 5.1 Wartość oczekiwana w stanie stacjonarnym Za lóżmy, że operator Hamiltona Ĥ jest niezależny o czasu, tzn. Ĥ t Rozwia ι żmy równanie Schröingera z czasem gzie ĤΨ = i h t Ψ, = 0. (5.1.1) Ĥ = h2 + V (x) (5.1.2) 2m x2 Za lóżmy, że rozwia ι zanie tego równania jest postaci Wstawiaja ι c je o równania, otrzymujemy 2 Ψ(x, t) = Φ(x)T (t). (5.1.3) Ĥ(Φ(x)T (t)) = i h (Φ(x)T (t)), t co jest równoważne T (t)ĥφ(x) = i hφ(x) t T (t). Dzielimy lewostronnie obie strony przez Φ(x)T (t) 1 1 = i h Φ(x)ĤΦ(x) T (t) t T (t). Ponieważ obie strony równania sa ι funkcjami różnych zmiennych i stoi pomie ι zy nimi znak równości, wnioskujemy, że musza ι być one równe pewnej sta lej, zwanej sta la ι separacji. Oznaczmy ja ι przez E, 1 1 = i h T (t) = E. Φ(x)ĤΦ(x) T (t) t 25
26 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Dostajemy sta ι wa równania, z których pierwsze można przepisać w postaci E = 1 Φ(x)ĤΦ(x) ĤΦ(x) = EΦ(x). (5.1.4) Jest to równanie w lasne la niezależnego o czasu operatora Hamiltona Ĥ, znane jako niezależne o czasu równanie Schröingera. W wyniku jego rozwia ι zania ostajemy wartości w lasne E n i opowiaaja ι ce im funkcje w lasne Φ n (x), czyli ĤΦ n (x) = E n Φ n (x), n = 1, 2,... (5.1.5) Teraz zajmijmy sie ι rugim równaniem E = i h 1 T (t) t T (t) t T (t) = iē T (t). (5.1.6) h Korzystaja ι c z teorii równań różniczkowych zwyczajnych wiemy, że rozwia ι zniem tego równania jest funkcja postaci T (t) = Ae i Ē h t. (5.1.7) Z rozwia ι zania niezależnego o czasu równania Schröingera mamy wartości w lasne energii E n, czyli En i T (t) = Ae h t. (5.1.8) Wiemy, że Ostatecznie mamy E n = ω n h ω n = E n h. (5.1.9) T (t) = Ae iω nt. (5.1.10) Tak wie ι c rozwia ι zanie równania Schröingera z czasem wynosi Funkcja ta opisuje uk la w stanie stacjonarnym. Ψ n (x, t) = AΦ n (x)e iω nt. (5.1.11) 5.2 Ewolucja czasowa wartości oczekiwanej Niech nasz uk la znajuje sie ι w stanie stacjonarnym opisywanym funkcja ι Ψ n (x, t) = AΦ n (x)e iω nt. (5.2.1) Dla chwili t = 0 mamy Ψ n (x, t = 0) = AΦ n (x). (5.2.2)
ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 27 Wprowaźmy operator postaci i zazia lajmy nim na funkcje ι Ψ n (x, 0) e it h Ĥ (5.2.3) Z efinicji funkcji e x wiemy, że e it h ĤΨ n (x, 0) = Ae it h ĤΦ n (x) =... e x = n=0 x n n! = 1 + x + 1 2 x2 +.... (5.2.4) Skorzystajmy z tego rozwinie ι cia ( (... = A 1 + it ) h Ĥ + 1 ( it ) 2 2 h Ĥ +...) Φ n (x) = ( = AΦ n (x) + A it ) ĤΦn (x) + 1 ( it ) 2 h 2 h Ĥ2 Φ n (x) +... =... Korzystaja ι c z niezależnego o czasu równania Schröingera mamy Ĥ 2 Φ n (x) = Ĥ(ĤΦ n(x)) = Ĥ(E nφ n (x)) = E n ĤΦ n (x) = E 2 nφ n (x). Wstawiamy to o naszych przekszta lceń ( (... = A 1 + it ) h E n + 1 ( it ) 2 2 h E n +...) Φ n (x) = Ae it h E n Φ n (x) = Zatem możemy napisać = Ae iω nt Φ n (x) = Ψ n (x, t). e it h ĤΨ n (x, 0) = Ψ n (x, t). (5.2.5) Sta ι e it h Ĥ zwany jest operatorem ewolucji czasowej. Teraz zajmijmy sie ι wartościa ι oczekiwana ι w stanie stacjonarnym. Niech nasz uk la znajuje sie ι w stanie opisywanym funkcja ι Ψ(x, t) = Φ(x)e iωt. (5.2.6) Chcemy znaleźć wartość śrenia ι obserwabli A, zak laaja ι c że opowiaaja ι cy jej operator hermitowski  nie zależy o czasu (tzn.  Â(t)). Dla owolnej chwili czasu t możemy napisać: = +  t = Ψ ÂΨ = + + = Φ (x)e iωt ÂΦ(x)e iωt x = Ψ (x, t)âψ(x, t) x = + Φ (x)âφ(x) x = Ψ (x, 0)ÂΨ(x, 0) x = Ψ ÂΨ t=0 =  t=0.
28 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Tak wie ι c wykazaliśmy, że wartość oczekiwana obserwabli A, opisywanej przez operator  Â(t), w stanie stacjonarnym jest sta la i zawsze równa wartości oczekiwanej w chwili t = 0, czyli  t=0 =  t. (5.2.7) Teraz zajmiemy sie ι ewolucja ι czasowa ι wartości oczekiwanej w owolnym stanie, niekoniecznie stacjonarnym. Wiemy, że w przestrzeni L 2 wartość śrenia obserwabli A opisywanej przez operator hermitowski  ana jest wzorem +  = Ψ ÂΨ x, i że może to być jeynie funkcja czasu. Zróżniczkujmy to wyrażenie po czasie. + t A = + Ψ ÂΨ x = t = ( Ψ ÂΨ + Ψ Â t t Ψ + Ψ Â Ψ t ) x =... Z zależnego o czasu równania Schröingera i z tego, że i h t Ψ = ĤΨ 2 Ĥ = h2 2m x + V (x) 2 Ĥ = Ĥ możemy napisać t Ψ = ī hĥψ, t Ψ = ī. hĥψ Wstawiamy powyższy wynik o naszych przekszta lceń i mamy = +... = + ( ī hĥψ ÂΨ + Ψ Â t Ψ Ψ Â ī hĥψ) x = Ψ Â t Ψ x + ī + ĤΨ ÂΨ x ī + Ψ h h ÂĤΨ x =... Pierwsza ca lka jest z efinicji wartościa ι śrenia ι operatora Â, czyli mamy t... =  t + ī h ĤΨ ÂΨ ī h Ψ ÂĤΨ =... Korzystamy z hermitowskości operatora Hamiltona Ĥ... =  t + ī h Ψ ĤÂΨ ī h Ψ ÂĤΨ =...
ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 29 A teraz wykorzystujemy liniowość iloczynu skalarnego...  = t + ī Ψ ĤÂΨ ÂĤΨ =  h t + ī Ψ (Ĥ ÂĤ)Ψ = h =  t + ī h Ψ [Ĥ, Â]Ψ =... Ale Ψ [Ĥ, Â]Ψ jest wartościa ι oczekiwana ι (śrenia ι ) operatora [Ĥ, Â], czyli Ostatecznie wolno nam napisać, że 5.3 Ca lki ruchu W alszym cia ι gu zak laamy, że... =  t + ī [Ĥ, Â]. h A =  t t + ī [Ĥ, Â]. (5.2.8) h  Â(t) czyli  = 0. (5.3.1) t Wówczas ostajemy równanie ruchu postaci  t Za lóżmy ponato, że mamy stany stacjonarne. Wtey ska ι = ī [Ĥ, Â]. (5.3.2) h A = 0, (5.3.3) t [Ĥ, Â] = 0. (5.3.4) Zajmijmy sie ι teraz owolnym stanem (niekoniecznie stacjonarnym), przy czym wcia ι ż niech obowia ι zuje za lożenie, że  Â(t) czyli  t = 0 i za lóżmy, że operator hermitowski  opisuja ιcy obserwable ι A komutuje z operatorem Hamiltona Ĥ, czyli [Â, Ĥ] = 0. (5.3.5)
30 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Napiszmy wzór opisuja ι cy ewolucje ι czasowa ι wartości śreniej (oczekiwanej) A =  t t + ī [Ĥ, Â]. (5.3.6) h Jeżeli A = 0, t to wartość śrenia (oczekiwana) obserwabli jest sta la w czasie. Nazywamy ja ι wówczas sta la ι ruchu lub ca lka ι ruchu. Dla przyk lau rozpatrzmy operator Hamiltona Ĥ niezależny w sposób jawny o czasu ( tĥ = 0). Ponieważ [Ĥ, Ĥ] = 0, to Ĥ t = 0. Ponieważ obserwabla ι opisywana ι przez operator Hamiltona Ĥ jest energia E to E t = 0. co oznacza, że energia uk lau, którego hamiltonian nie zależy jawnie o czasu, jest ca lka ι ruchu. 5.4 Twierzenie Ehrenfesta W myśl twierzenia Ehrenfesta równania mechaniki kwantowej reukuja ι sie ι o równań mechaniki klasycznej po postawieniu wartości śrenich. Inaczej mówia ι c, równania mechaniki kwantowej la wartości śrenich maja ι postać opowienich równań mechaniki klasycznej. Przestawmy zia lanie tej zasay rozważaja ι c przyk- laowe zaganienie. Weźmy niezależny o czasu operator ˆx, czyli ˆx t = 0. (5.4.1) Wypiszmy raz jeszcze wzór opisuja ι cy ewolucje ι czasowa ι wartości oczekiwanej (śreniej) obserwabli A opowiaaja ι cej operatorowi  A =  t t + ī [Ĥ, Â]. h Wstawmy za  operator ˆx Wiemy ponato, że t x = ī [Ĥ, ˆx]. h [ ˆp x, ˆx] = i h.
ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 31 Korzystaja ι c z tego obliczmy komutator [Ĥ, ˆx] = [ ˆp2 x 1 + V (x), ˆx] = 2m 2m [ˆp2 x, ˆx] + [V (x), ˆx] =... Drugi cz lon wynosi zero, gyż owolna funkcja zależna o x komutuje z ˆx = x. Tak wie ι c mamy... = 1 2m (ˆp xˆp xˆx ˆxˆp xˆp x ) =... Doajemy i oejmujemy o wyrażenia w nawiasie ˆp xˆxˆp x.... = 1 2m (ˆp xˆp xˆx ˆp xˆxˆp x + ˆp xˆxˆp x ˆxˆp xˆp x ) = = 1 2m (ˆp x(ˆp xˆx ˆxˆp x ) + (ˆp xˆx ˆxˆp x )ˆp x ) = = 1 2m (ˆp x[ˆp x, ˆx] + [ˆp x, ˆx]ˆp x ) = = 1 2m ( i hˆp x i hˆp x ) = i h m ˆp x. Wracamy o równania opisuja ι cego ewolucje ι czasowa ι wartości oczekiwanej i wstawiamy otrzymany wynik Po uproszczeniu otrzymujemy wzór t x = ī h [Ĥ, ˆx] = ī h ( i) h m p x. p x = m x (5.4.2) t be ι a ι cy kwantowym opowienikiem znanego z mechaniki klasycznej wyrażenia na wartość pe ι u p x = m x t. (5.4.3) 5.5 Twierzenie wirialne Klasyczne, znane z mechaniki teoretycznej, twierzenie o wiriale ma postać n V = 2 T, (5.5.1) gzie n oznacza stopień jenoroności potencja lu, V wartość śrenia ι potencja lu, a T wartość śrenia ι energii kinetycznej. Wróćmy o mechaniki kwantowej i wprowaźmy niezależny o czasu operator  = ˆ r ˆ p. (5.5.2)
32 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Za lóżmy ponato, że mamy stany stacjonarne. Wtey, zgonie z uowoniona ι wcześniej w lasnościa ι, wartość śrenia operatora jest sta la w czasie. Napiszmy wzór opisuja ι cy ewolucje ι czasowa ι wartości śreniej (oczekiwanej) operatora   =  t t + ī [Ĥ, Â]. h Korzystaja ι c z wcześniejszych wniosków, możemy napisać powyższy wzór w prostszej postaci i [Ĥ, Â] = 0. (5.5.3) h Obliczmy komutator [Ĥ, Â] = [Ĥ, ˆ r ˆ p ]. (5.5.4) Operator Ĥ jest postaci czyli gzie operator ˆ p jest postaci Ĥ = ˆ p 2 2m + ˆV, ˆV = V ( r), (5.5.5) 2 ˆ p [Ĥ, Â] = [ 2m + ˆV, ˆ r ˆ p ] = [ ˆ p 2 2m, ˆ r ˆ p ] + [ ˆV, ˆ r ˆ p ] ˆ p = i h. (5.5.6) Obliczmy najpierw komutator [ ˆV, ˆ r ˆ p ]. Dzia laja ι c nim na funkcje ι próbna ι ϕ( r) i k laa ι c ˆV = V, mamy czyli mamy [V, ˆ r ˆ p ]ϕ( r) = (V ˆ r ˆ p ˆ r ˆ p V )ϕ( r) = = V ˆ r ˆ pϕ( r) ˆ r ˆ p(v ϕ( r)) = V ˆ r ˆ pϕ( r) + i hˆ r (V ϕ( r)) = = V ˆ r ˆ pϕ( r) + i hˆ r ( V )ϕ( r) + i hˆ r V ϕ( r) = = ˆ r V ˆ pϕ( r) ˆ r (ˆ p V )ϕ( r) ˆ r V ˆ pϕ( r) = ˆ r (ˆ p V )ϕ( r) [ ˆV, ˆ r ˆ p ] = ˆ r (ˆ pv ) = i hˆ r V (5.5.7) Aby obliczyć komutator [ ˆp2 2m, ˆ r ˆ p ], wygonie jest najpierw obliczyć pomocniczy komutator [ ˆp x 2, ˆx ˆp x ], pamie ι taja ι c przy tym o obliczonym przy rozpatrywaniu twierzenia Ehrenfesta komutatorze Pamie ι taja ι c ponato o tym, że [ˆp 2 x, ˆx] = 2i hˆp x. [ ˆp x 2, ˆx ˆp x ] = ˆp x2ˆxˆp x ˆxˆp xˆp 2 x = (ˆp 2 xˆx ˆxˆp 2 x)ˆp x = = [ˆp 2 x, ˆx]ˆp x = 2i hˆp xˆp x = 2i hˆp 2 x [k, ˆp m ] = i hδ km k, m = x, y, z,
ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE 33 możemy przysta ι pić o obliczeń [ ˆ p 2 2m, ˆ r ˆ p] = 1 2m [ˆ p 2, ˆ r ˆ p] = 1 2m [ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z, ˆxˆp x + ŷˆp y + ẑ ˆp z ] = = 1 2m ([ˆp2 x, ˆxˆp x ] + [ˆp 2 y, ŷˆp y ] + [ˆp 2 z, ẑ ˆp z ]) = = 1 2m ( 2i hˆp2 x 2i hˆp 2 y 2i hˆp 2 z) = i h m (ˆp2 x + ˆp 2 y + ˆp 2 z) = i h mˆ p 2. W sumie mamy [Ĥ, ˆ r ˆ p ] = i h mˆ p 2 + i hˆ r V. (5.5.8) Ze wzoru na ewolucje ι czasowa ι wartości oczekiwanej (śreniej) otrzymaliśmy i h [Ĥ, ˆ r ˆ p ] = 0. Po postawieniu obliczonego powyżej komutatora ostajemy Po uproszczeniu ochozimy o wzoru ska ι i h i h m ˆp2 + i hˆ r V = 0. (5.5.9) ˆp2 m + ˆ r V = 0 (5.5.10) ˆp2 m + ˆ r V = 0. (5.5.11) Wprowaźmy operator energii kinetycznej Wówczas mamy czyli Dla V = V (r) możemy napisać, że ˆT = ˆp2 2m (5.5.12) 2 ˆT + r V = 0 (5.5.13) 2 ˆT = r V = 0. (5.5.14) szczególnym przypakiem, a mianowicie potencja lem kulom- Teraz zajmijmy sie ι bowskim postaci V (r) = r r V (r). (5.5.15) r V (r) = Ze2 r. (5.5.16)
34 ROZDZIA L 5. STANY STACJONARNE Wówczas r V (r) = r r r r2 V (r) = r r r V (r) = r ( ) Ze2 = r Ze2 = r r r 2 = Ze2 = V (r). r Dla potencja lu kulombowskiego mamy zatem ska ι latwo ostajemy, że 2 ˆT = V, (5.5.17) ˆT = 1 2 V. (5.5.18) Otrzymany wzór, ientyczny ze wzorem otrzymanym w mechanice klasycznej, cze ι sto s luży o sprawzania skomplikowanych obliczeń numerycznych.
Rozzia l 6 Pakiety falowe 6.1 Fala. Pre ι kość fazowa Zapiszmy równanie w lasne la operatora momentu pe ι u ˆ p Zapisuja ι c je w jawnej postaci, otrzymujemy ˆ pϕ( r) = pϕ( r). (6.1.1) i h ϕ( r) = pϕ( r). (6.1.2) W przypaku jenowymiarowym nasze równanie przechozi w i h x ϕ(x) = p xϕ(x), (6.1.3) gzie ϕ(x) jest funkcja ι w lasna ι, a p x wartościa ι w lasna ι. Rozwia ι zuja ι c to równanie (np. przez separacje ι zmiennych lub przez równanie charakterystyczne) ochozimy o funkcji w lasnej postaci ϕ(x) = Ae i px h x. (6.1.4) Korzystaja ι c ze wzoru Eulera e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ, (6.1.5) możemy przepisać to rozwia ι zanie w innej postaci [ ( ) ( )] px ϕ(x) = A cos h x px + i sin h x. (6.1.6) Z fizyki fal wiemy, że wzór ten opisuje cze ι ść przestrzenna ι stacjonarnej fali monochromatycznej. Jeśli x (, + ) to funkcja ta nie należy o przestrzeni L 2. Możemy to prosto wykazać. Jak pamie ι tamy, przestrzeń L 2 jest to przestrzeń funkcji ca lkowalnych z kwaratem, tzn. ca lka z kwaratu funkcji po ca lej przestrzeni jest mniejsza o nieskończoności. Zapiszmy ta ι ca lke ι + ϕ(x) 2 x = + 35 ϕ(x) ϕ(x)x =
36 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE = + ( Ae i px h x) Ae i px h x x = + + = A 2 x +. A e i px h x Ae i px h x x = Niech λ be ι zie lugościa ι fali cza ι stki opisywanej przez rozwia ι zanie naszego równania w lasnego. Przejźmy teraz z x o x + λ (x x + λ). To powinno być równe ϕ(x), czyli Sta ι mamy czyli Aby powyższy warunek by l spe lniony, to ϕ(x + λ) = Ae i p x h (x+λ). (6.1.7) ϕ(x) = Ae i p x h x = ϕ(x + λ) = Ae i p x h (x+λ). (6.1.8) Ae i px h x = Ae i px h (x+λ) (6.1.9) ( ) ( ) 1 = e i p x h λ px = cos h λ px + i sin h λ. (6.1.10) p x λ = 2nπ (6.1.11) h p x = 2nπ h λ Pamie ι taja ι c o postulacie e Broglie a = 2nπh 2πλ = nh λ = nh λ. (6.1.12) λ = h p (6.1.13) możemy stwierzić, że wartość w lasna sk laowej operatora pe ι u jest wielokrotnościa ι fali e Broglie a. W naszych alszych rozważaniach be ι ziemy korzystali z postaci funkcji w lasnej sk laowej operatora pe ι u ϕ(x) = Ae ikx, (6.1.14) gzie pe ι p możemy wyrazić jako p = hk, (6.1.15) a liczbe ι falowa ι k jako k = 2π λ. (6.1.16) Rozważmy teraz cza ι stke ι swobona ι opisywana ι zależnym o czasu równaniem Schröingera i h ψ = Ĥψ. (6.1.17) t
ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE 37 Jak wiemy z poprzenich rozzia lów, funkcje ι ψ możemy zapisać jako ψ(x, t) = ϕ(x)e iωt, (6.1.18) gzie ϕ(x) jest rozwia ι zaniem niezależnego o czasu równania Schröingera Ĥϕ(x) = Eϕ(x). (6.1.19) Postaramy sie ι teraz znaleźć postać funkcji ϕ(x). Ponieważ cza ι stka jest cza ι stka ι swobona ι, to nie znajuje sie ι w polu żanego potencja lu. Dlatego nasz hamiltonian jest postaci Ĥ = ˆp2 x 2m = h2 2m x. (6.1.20) 2 Wstawiamy go o równania Schröingera niezależnego o czasu 2 2 h2 ϕ(x) = Eϕ(x), (6.1.21) 2m x2 ska ι 2 2mE ϕ(x) + x2 h 2 ϕ(x) = 0. (6.1.22) Rozwia ι zuja ι c to równanie różniczkowe, ostajemy ϕ(x) = Ae i 2mE h x + Be i 2mE x h (6.1.23) Dla cza ι stki swobonej ca lkowita energia jest równa samej energii kinetycznej, czyli E = p2 x 2m 2mE = p2 x. (6.1.24) Wstawiamy to o rozwia ι zania równania Schröingera niezależnego o czasu i mamy Korzystamy z tego, że i ostajemy ϕ(x) = Ae i p x h x + Be i p x h x. (6.1.25) p x = hk (6.1.26) ϕ(x) = Ae ikx + Be ikx. (6.1.27) Jeżeli A = 0, lub B = 0 to funkcja ta jest taka sama jak funkcje w lasne sk laowej operatora pe ι u. Pe lna ι funkcje ι falowa ι uzyskamy, mnoża ι c funkcje ι ϕ(x) przez e iωt, w wyniku czego ostajemy ψ(x, t) = Ae i(kx ωt) + Be i(kx+ωt) (6.1.28) gzie pierwszy cz lon opisuje fale ι rozchoza ι ca ι sie ι w kierunku x, a rugi w kierunku x.
38 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE Weźmy teraz owolna ι funkcje ι falowa ι f = f(x, t), ale za lóżmy, że jej zależność o argumentu jest naste ι puja ι ca: f(x, t) = f(x V f t), (6.1.29) gzie V f = x t be ι ziemy nazywać pre ι kość fazowa ι. Niech teraz (6.1.30) Wówczas Zatem t t + t (6.1.31) x x + x (6.1.32) f(x + x, t + t) = f[(x + x) V f (t + t)] = = f(x + x V f t V f t) = f(x + x V f t x t t) = f(x + x V f t x) = f(x V f t) = f(x, t). Niech funkcja falowa be ι zie postaci czyli pre ι kość fazowa V f be ι zie równa W wyniku przekszta lceń ostajemy f(x + x, t + t) = f(x, t). (6.1.33) ψ(x, t) = Ae i(kx ωt) = Ae ik(x ω k t), V f = ω k. (6.1.34) V f = ω k = hω hk = E p2 p = 2m p = p 2m = V klasyczna. 2 Pre ι kość fazowa V f jest równa po lowie pre ι kości klasycznej V klasyczna Ponieważ pe ι jest obrze określony to w myśl zasay nieoznaczoności Heisenberga V f = V klasyczna. (6.1.35) 2 p = h λ, (6.1.36) x p h 2. (6.1.37)
ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE 39 nie możemy nic powiezieć o po lożeniu cza ι stki, czyli może ona znajować sie ι wsze ι zie. Możemy to latwo wykazać wprost z efinicji ge ι stości prawopoobie ι ństwa napotkania cza ι stki. Za lożmy funkcje ι falowa ι postaci ψ(x, t) = Ae i(kx ωt). Ge ι stość prawopoobieństwa jest zefiniowana jako P (x, t) = ψ(x, t) 2. (6.1.38) Obliczmy te ι wartość P (x, t) = ψ(x, t) 2 = (ψ(x, t)) ψ(x, t) = (Ae i(kx ωt) ) Ae i(kx ωt) = = A e i(kx ωt) Ae i(kx ωt) = A 2, czyli ge ι stość prawopoobieństwa napotkania cza ι stki jest sta la i taka sama na ca lej osi x P (x, t) = A 2. (6.1.39) 6.2 Pakiet. Pre ι kość grupowa Funkcja opisuja ι ca pakiet falowy w przypaku jenowymiarowym jest postaci Ψ(x, t) = 1 + e i(kx ω(k)t) ϕ(k)k (6.2.1) 2π Jak nam wiaomo z matematyki jest to transformata Fouriera funkcji ϕ(k)e iω(k)t. Cze ι ść przestrzenna pakietu określana jest przez Ψ(x, 0). Ψ(x, 0) = 1 + e ikx ϕ(k)k. (6.2.2) 2π Jest to klasyczna transformata Fouriera. W przypaku trójwymiarowym funkcja opisuja ι ca pakiet falowy jest postaci Ψ( r, t) = 1 e i( k r ω( k)t) ϕ( k) 3 k, (6.2.3) (2π) 3 2 przy czym ca lkowanie obywa sie ι po ca lej przestrzeni pe ι ów. Zwia ι zki pomie ι zy pe ι em p, a energia ι E sa ι postaci ω = ω(k). (6.2.4) Sa ι to tzw. zwia ι zki yspersyjne (pamie ι tamy, że p = hk, a E = hω). Pakiet falowy porusza sie ι z pre ι kościa ι grupowa ι V g zefiniowana ι jako V g = ω(k) k = hω(k) hk = E(p) p = p2 2m p = p m = V klasyczna. V g = V klasyczna. (6.2.5)
40 ROZDZIA L 6. PAKIETY FALOWE 6.3 Rozmywanie sie ι pakietu falowego Najpierw rozwińmy szereg z ok lanościa ι wyrazu pierwszego rze ι u ω(k) = ω(k 0 ) + ω(k) k k=k 0 κ +... ω 0 + V g κ (6.3.1) gzie ω 0 = ω(k 0 ) i κ = k k 0. Wstawiamy to rozwinie ι cie o wzoru Ψ(x, t) = 1 + e i(kx ω(k)t) ϕ(k)k 2π i ostajemy Ψ(x, t) = 1 + e i((κ+k 0)x ω 0 t) V g κt ϕ(k 0 + κ)κ, (6.3.2) 2π czyli Ψ(x, t) = 1 + e i(k 0x ω 0 t) 2π e iκ(x V gt) ϕ(k 0 + κ)κ. (6.3.3) Czyli ca ly pakiet falowy porusza sie ι z pre ι kościa ι grupowa ι V g (wnioskujemy to z postaci funkcji poca lkowej). Po przejściu x i czasie t postać pakietu sie ι nie zmieni. Rozwińmy teraz ω(k) w szereg Taylora z ok lanościa ι o wyrazów rugiego rze ι u ω(k) = ω 0 + V g κ + 1 2 ( ω 2 k 2 k=k 0 κ 2 +... ω 0 + κ V g + 1 2 ) ω 2 k 2 k=k 0 κ (6.3.4) czyli w porównaniu ze wzorem (6.3.1) V g V g + 1 2 ω 2 k 2 k=k 0 κ. (6.3.5) Wstawiamy to rozwinie ι cie o wzoru opisuja ι cego pakiet falowy i ostajemy Ψ(x, t) = 1 + e i(k 0x ω 0 t) 2π Ψ(x, t) = 1 + e i(kx ω(k)t) ϕ(k)k 2π e iκ(x (Vg+ 1 2 ω 2 k 2 k=k κ)t) 0 ϕ(k 0 + κ)κ, (6.3.6) czyli Ψ(x, t) = 1 + e i(k 0x ω 0 t) 2π e iκ(x Vgt) 1 2 ω 2 k 2 k=k κt 0 ϕ(k 0 + κ)κ. (6.3.7) Po ca lka ι mamy oatkowy cz lon w stosunku o poprzeniego wzoru, który ewoluuje ze zmiana ι t i κ. Ponieważ oatkowy cz lon zależy o κ, to różne cze ι ści pakietu falowego be ι a ι sie ι porusza ly z nieco różnymi pre ι kościami, wie ι c pakiet falowy ulega stopniowemu rozmyciu w czasie.
Rozzia l 7 Zasaa opowieniości Bohra W myśl zasay opowieniości Bohra przejście z mechaniki kwantowej o mechaniki klasycznej okonuje sie ι przy przejściu z h o zera (h 0). Praktycznie te ι granice ι osia ι ga sie ι przy przejściu z liczbami kwantowymi o nieskończoności (n + ), o ile wynik nie zależy o h. Dla przyk lau rozpatrzmy cza ι stke ι w jenowymiarowej, nieskończonej stuni potencja lu V (x) = { 0 x (0, L) + x / (0, L). (7.1) Najpierw przeprowaźmy rozważania zgone z mechanika ι klasyczna ι. Wewna ι trz przezia lu (0, L) na cza ι stke ι nie zia la żana si la (poza momentami, gy naste ι puje obicie o ścianek), czyli jej po lożenie opisywane jest wzorem opisuja ι cym ruch jenostajny po lini prostej z pre ι kościa ι V x(t) = x 0 + V t, x 0 = x(t 0 ), (7.2) gzie x 0 oznacza po lożenie pocza ι tkowe. Prawopoobieństwo znalezienia cza ι stki w przeziale (x, x+x) jest wprost proporcjonalne o czasu przelotu rogi x oznaczonego przez t i owrotnie proporcjonalne o okresu w którym cza ι stka przebywa roge ι o 0 o L, który oznaczamy przez T. Zapiszmy to w jawnej postaci P x = t T. (7.3) Po prawej stronie równania mnożymy licznik i mianownik przez V i korzystamy z tego, że V t = x, (7.4) Sta ι mamy czyli w końcu V T = L. (7.5) P x = t T = V t V T = x L, P x = x L. (7.6) 41
42 ROZDZIA L 7. ZASADA ODPOWIEDNIOŚCI BOHRA Upraszczaja ι c x mamy wzór na ge ι stość prawopoobieństwa P = 1 L. (7.7) W ogólności P = P (x), tu jenak mamy szczególny przypaek P = const. Teraz rozpatrzymy to zaganienie przy pomocy mechaniki kwantowej. Ponieważ V V (t) to mamy problem stacjonarny, tak wie ι c musimy rozwia ι zać równanie Schröingera bez czasu Ĥψ(x) = Eψ(x). Pozielmy przestrzeń na trzy obszary obszar I x 0 obszar II x (0, L) obszar III x L. (7.8) Pomie ι zy obszarami I i II oraz pomie ι zy II i III musimy narzucić tak zwane warunki zszycia ψ I (0) = ψ II (0), (7.9) ψ II (L) = ψ III (L). Doatkowo mamy jeszcze wa warunki na pochone funkcji falowych ψ I(0) = ψ II(0), ψ II(L) = ψ III(L). (7.10) Ponieważ stunia potencja lu ma nieskończona ι g le ι bokość, to ψ I (x) 0, ψ III (x) 0. (7.11) Zatem wolno nam pomina ι c ineks i zamiast ψ II pisać ψ. Z warunków zszycia mamy, że ψ(0) = 0, (7.12) ψ(l) = 0. W obszarze II potencja l jest zerowy, czyli rozwia ι zanie be ι zie tutaj takie samo jak la cza ι stki swobonej. Obliczyliśmy je wcześniej i jest ono postaci Korzystaja ι c ze wzoru Eulera ψ(x) = Ae ikx + Be ikx. e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ możemy rozwia ι zanie równania Schröingera zapisać w nieco innej postaci ψ(x) = Ae ikx + Be ikx = A(cos(kx) + i sin(kx)) + B(cos(kx) i sin(kx)) = = (A + B) cos(kx) + (A B)i sin(kx) = C cos(kx) + D sin(kx),
ROZDZIA L 7. ZASADA ODPOWIEDNIOŚCI BOHRA 43 czyli gzie ψ(x) = C cos(kx) + D sin(kx), (7.13) C = A + B, (7.14) D = (A B)i. (7.15) W tym przypaku warunki brzegowe aja ι nam yskretne rozwia ι znia. Aby to wykazać skorzystajmy z warunku brzegowego. czyli nasza funkcja falowa jest postaci Mamy jeszcze jeen warunek brzegowy ψ(0) = 0 C = 0, (7.16) ψ(x) = D sin(kx). (7.17) ψ(l) = 0 D sin(kl) = 0 (7.18) sin(kl) = 0 (7.19) kl = nπ, n = 0, ±1, ±2,... (7.20) co prowazi o yskretnego rozwia ι zania na liczbe ι falowa ι k Z rugiej strony liczba falowa k zefiniowana jest jako Porównuja ι c wa ostatnie wzory, ostajemy czyli k n = nπ L. (7.21) k n = 2π λ n. (7.22) 2π λ n = nπ L, (7.23) L = nλ n 2. (7.24) Jest to tak zwany warunek fal stoja ι cych, oznaczaja ι cy że na ocinku o 0 o L musi być ca lkowita wielokrotność po lówek lugości fali λ. Liczbe ι n nazywamy liczba ι kwantowa ι. Nasze rozwia ι zanie jest postaci ( ) nπ ψ n (x) = D sin(k n x) = D sin L x. (7.25) Dla n oatnich i ujemnych funkcje falowe sa ι takie same (z ok lanościa ι o czynnika fazowego) ponieważ sin( αx) = sin(αx).