MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 03/0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA SIERPIEŃ 0

Klucz punktowania zadań zamkniętych Nr zad 3 6 7 8 9 0 3 6 7 8 9 0 3 Odp A A B B C B B D A D C D B D C C C B D C C D D A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6 (0 ) Rozwiąż nierówność x x 0 Rozwiązanie b b Ze wzorów x, x na pierwiastki trójmianu kwadratowego a a otrzymujemy: x, x 7 Szkicujemy parabolę, której ramiona skierowane są ku dołowi i zaznaczamy na osi argumentów jej miejsca zerowe Odczytujemy zbiór rozwiązań: x, 7, Schemat oceniania Zdający otrzymuje p gdy: prawidłowo obliczy pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x 7 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy rozłoży trójmian kwadratowy x x na czynniki liniowe i zapisze nierówność x 7 x 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność, np x 7, x, x,7,

doprowadzi nierówność do postaci 8 x 0 ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy 9 x (na przykład z postaci Zdający otrzymuje p gdy poda odpowiedź w postaci: x, 7, x 7 lub x x 7, x w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów 3 Zadanie 7 (0 ) Rozwiąż równanie 3 x 6x x 66 0 Rozwiązanie I sposób (grupowanie wyrazów) Stosując metodę grupowania otrzymujemy: x x 6 x 6 0 x x 6 x 0, stąd x x x 6 lub x, lub x 6 0, zatem Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p x 6 x 0 i na gdy doprowadzi lewą stronę równania do postaci iloczynowej, np: tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy poda rozwiązanie x 6 lub x, lub x Uwaga Zdający może od razu zapisać rozkład na czynniki Jeśli na tym poprzestanie lub błędnie poda rozwiązanie równania to otrzymuje punkt Rozwiązanie II sposób (dzielenie) 3 Sprawdzamy, że W(6) 6 66 6 66 0, więc jednym z pierwiastków tego wielomianu jest x 6 Dzielimy wielomian przez dwumian x 6 i otrzymujemy x Mamy więc równanie x 6 x 0, a stąd otrzymujemy x 6 lub x, lub x postaci

Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje p gdy wykona dzielenie wielomianu przez dwumian x 6, otrzyma iloraz x i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy poda rozwiązanie x 6 lub x, lub x Uwaga Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej punkt Zadanie 8 (0 ) Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez Rozwiązanie I sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest liczbą naturalną Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: 3 3 3 3 3 3 n n n 8n 8n n n 88n 8n 96n 6 3 3 7 0 7 3 3 n n n n n n l Liczba postaci l, gdzie l jest liczb naturalną jest podzielna przez Uwaga Zdający może zapisać trzy kolejne liczby naturalne parzyste w innej postaci, np: n, n, n 6, gdzie n jest liczbą naturalną Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n 3 n 3 n 3 n 3 3n n 3 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie II sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest liczbą naturalną Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: 3 3 3 n 3 n n n 3 n n 3 3 3 3 3 3 n n n n n n 8 n n n 8 3 9 9 3 3

Liczba postaci l, gdzie l jest liczb naturalną jest podzielna przez Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n 3 n 3 n 3 n 3 3n n 3 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie III sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest parzystą liczbą środkową i n Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: 3 3 3 3 3 3 3 n n n n 6n n 8 n n 6n n 8 3n n n jest liczbą parzystą, stąd Zatem liczba 3 n jest podzielne przez 8 3 3n jest podzielna przez Schemat oceniania III sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: 3 3 3 3 n n n 3n n Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Rozwiązanie IV sposób Zapiszmy trzy kolejne liczby naturalne parzyste w postaci n, n, n, gdzie n jest liczbą naturalną Wówczas suma sześcianów tych trzech liczb jest równa: 3 3 3 3 3 n n n 8 n n n 3 n 3 n n n 3 n 3 n n n 3 nn 3 n 8 3 3 3 3 8 3 6 Liczba postaci l, gdzie l jest liczb naturalną jest podzielna przez Schemat oceniania IV sposobu rozwiązania gdy zapisze sumę sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych w postaci: n 3 n 3 n 3 n 3 n

6 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie Zadanie 9 (0 ) Kąt jest ostry oraz Oblicz wartość wyrażenia sin cos sin cos Rozwiązanie I sposób Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika i otrzymujemy sin cos sin cos Korzystając z tożsamości sin cos, otrzymujemy sin cos sin cos, a stąd sin cos, a zatem sincos (kąt jest ostry) Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy: sprowadzi wyrażenie do wspólnego mianownika i na tym sin cos poprzestanie lub dalej popełnia błędy sin cos sin cos i na tym doprowadzi wyrażenie do postaci poprzestanie lub dalej popełnia błędy Zdający otrzymuje p gdy obliczy, że sincos Rozwiązanie II sposób Rysujemy trójkąt prostokątny, w którym oznaczamy długości przyprostokątnych przez a i b a b oraz zaznaczamy kąt ostry taki, że sin lub cos c c a c b

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość przeciwprostokątnej: c a b c c c a b Ponieważ, więc, czyli Stąd sin cos a b ab cc ab a b Ponieważ sin i cos, to sin cos Zatem sincos (kąt c c jest ostry) 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości a i b, zaznaczy w tym trójkącie kąt i zapisze: a b cc sin, cos i i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy c c ab a b sin, cos i c c a b i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy c c Zdający otrzymuje p gdy obliczy, że sincos Zadanie 30 (0 ) Dany jest trójkąt ABC, w którym AC odpowiednio takie punkty D i E, że zachodzi równość CD BC Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano CE Proste AB i DE przecinają się w punkcie F (zobacz rysunek) Wykaż, że BAC ABC AFD C D E A B F

8 Rozwiązanie I sposób Niech BAC, ABC i AFD Ponieważ ABC, stąd FBE 80 (z własności kątów przyległych) BEF 80 80 (z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie BEF) Ponieważ BEF, więc CED (z własności kątów wierzchołkowych) W trójkącie CDE, mamy CD CE, zatem CDE DCE ACB 80 80 (z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie DCE) BAC ABC ACB 80, stąd 80 80 (z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie DCE) Zatem Schemat oceniania I sposobu rozwiązania gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkątach BEF i CDE, np: BEF i DCE 80 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie np: zapisze że DCE ACB i BAC ABC ACB 80, stąd Rozwiązanie II sposób Niech BAC, ABC, AFD i CDE Trójkąt CDE jest równoramienny, stąd CDE CED Ponieważ CED, stąd BEF (z własności kątów wierzchołkowych) Zatem ( ABC jest kątem zewnętrznym trójkąta BEF) Stąd Ponieważ CDE, stąd ADE 80 (z własności kątów przyległych) Podobnie CED, stąd BED 80 (z własności kątów przyległych) BAC ABC BED ADE 360 (z sumy miar kątów wewnętrznych w czworokącie ABED), stąd 80 80 360 Zatem Z powyższych rozważań mamy i, stąd

9 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania gdy zapisze zależności między miarami kątów w trójkącie CDE i czworokącie ABED, np: CDE CED i 80 80 360 Zdający otrzymuje p gdy przeprowadzi pełne rozumowanie np: zapisze że i, stąd Zadanie 3 (0 ) n Dany jest ciąg arytmetyczny a określony dla n, w którym a oraz a0 7 Oblicz pierwszy wyraz a i różnicę r tego ciągu Rozwiązanie Wykorzystując wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego zapisujemy piąty i dziesiąty wyraz tego ciągu w zależności od wyrazu pierwszego a i różnicy r : a a r i a0 a 9r Zapisujemy układ równań, np: a r a 9r 7 Obliczamy pierwszy wyraz ciągu a i różnicę r : a i r Schemat oceniania gdy zapisze układ równań z niewiadomymi a i r: popełni błędy a r i na tym zakończy lub dalej a 9r 7 Zdający otrzymuje p gdy obliczy pierwszy wyraz ciągu a i różnicę r : a oraz r

0 Zadanie 3 (0 ) Miasta A i B są odległe o 0 km Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o 7 minut dłuższym niż pani Lidia Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie była o 8 km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z A do B prędkości, z jaką pani Lidia jechała z A do B Rozwiązanie I sposób Przyjmujemy oznaczenia v i t odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pani Lidii Zapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pani Lidii: vt 0 Zapisujemy prędkość i czas jazdy dla pani Danuty: v 8, t vt 0 Zapisujemy układ równań, np v8t 0 Z pierwszego równania wyznaczamy 0 0 t v v t podstawiamy do drugiego równania i rozwiązujemy 0 v 8 0 v Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np v 8v 680 0 3 90 6 8 6 v 7, sprzeczne z zał v 0 8 6 v 90(km/h) obliczamy prędkość drugiej pani v 8 7(km/h) 0 8 t 0 t Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np t t 0 000 0 t, sprzeczne z zał t 0 8 8 t (h) 8 obliczamy prędkość pani Lidii 0 v 90 (km/h) obliczamy prędkość drugiej pani v 8 7(km/h) Odp: Prędkości, z jakimi jechały panie, są równe: 90 km/h (pani Lidia) i 7 km/h (pani Danuta) Rozwiązanie II sposób Przyjmujemy oznaczenia v i t odpowiednio prędkość w km/h i czas w godzinach dla pani Danuty Zapisujemy zależność między drogą, prędkością i czasem dla pani Danuty: vt 0

Zapisujemy prędkość i czas jazdy dla pana Lidii: v 8, t v8 t 0 Zapisujemy układ równań, np vt 0 Z drugiego równania wyznaczamy 0 0 t v v t podstawiamy do pierwszego równania i rozwiązujemy 0 v 8 0 v Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np v 8v 680 0 3 90 6 8 6 v 90, sprzeczne z zał v 0 8 6 v 7(km/h) obliczamy prędkość pani Lidii v 8 90(km/h) 0 8 t 0 t Przekształcamy to równanie do równania kwadratowego, np t t 0 000 t, sprz z zał t 0 8 t 6 (h) 8 obliczamy prędkość pani Danuty 0 v 7 (km/h) 6 obliczamy prędkość pani Lidii v 8 90 (km/h) Odp: Prędkości, z jakimi jechały panie, są równe: 90 km/h (pani Lidia) i 7 km/h (pani Danuta) Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zapisanie zależności między drogą, prędkością i czasem dla jednej z pań oraz prędkości i czasu dla obu pań przy użyciu tych samych oznaczeń, np: dla pani Lidii vt 0, czas pani Danuty t, prędkość pani Danutyv 8 lub: dla pani Danuty vt 0, czas pani Lidii t, prędkość pani Lidii v 8 Uwaga Nie wymagamy opisania oznaczeń literowych, jeżeli z rozwiązania można wywnioskować, że zdający poprawnie je stosuje

Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t odpowiednio z prędkością i czasem dla vt 0 pani Lidii: v8t 0 Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t odpowiednio z prędkością i czasem dla v8 t 0 pani Danuty: vt 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Zapisanie równania z jedną niewiadomą, np: 0 v 8 0 lub 0 8 t 0 v t lub Uwaga 0 8 t 0 t, lub v 0 8 0, v Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np błędy rachunkowe) p rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie drugiej prędkości rozwiązanie równania z niewiadomą t bezbłędnie i nieobliczenie prędkości obu pań obliczenie t z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości obu pań Rozwiązanie pełne p Obliczenie prędkości obu pań: 90 km/h i 7 km/h Uwagi Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) jedną prędkość: 90 km/h lub 7 km/h, to otrzymuje 0 pkt Jeżeli zdający podaje (bez obliczeń) prędkości obu pań: 90 km/h i 7 km/h, to otrzymuje pkt 3 Jeżeli zdający pokonał zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki, to może otrzymać pkt za całe rozwiązanie

Zadanie 33 (0 ) 3 Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa, a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 6 Oblicz objętość tego ostrosłupa S Rozwiązanie A D O S B C D C O E A Niech ES h, AB a, a OE, SO H B

Podany tangens kąta to stosunek SO OE Zatem H 6 a Trójkąt SOE jest prostokątny Zatem H a Rozwiążemy układ równań a H a H 6 8 8 ) Obliczamy z pierwszego równania H: H 6a, czyli 6 H a ) Podstawiamy wyznaczoną wartość do równania stopnia drugiego i otrzymujemy równanie: 8 00 a 3) Obliczamy a (długość krawędzi podstawy): a 0 ) Obliczamy H (wysokość ostrosłupa): H 8 6 ) Obliczamy objętość ostrosłupa: V a H 0 8 6 3 3 300 Objętość ostrosłupa jest równa: V 6 3 Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania p Zapisanie zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy ostrosłupa a wysokością ostrosłupa, wynikającej z podanej wartości tangensa kąta nachylenia ściany bocznej do H 6 płaszczyzny podstawy: a Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp p Zapisanie dwóch zależności pomiędzy długością krawędzi podstawy ostrosłupa a wysokością ostrosłupa, pozwalających na wyznaczenie obu tych wielkości:

H 6 a np zapisanie układu równań a H 8 Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p Obliczenie długości krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa: a 0 i H 8 6 Rozwiązanie pełne p Obliczenie objętości ostrosłupa: 300 V 6 3 Zadanie 3 (0 ) Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród:,, 3,, Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 0, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności I sposób rozwiązania (model klasyczny) Zdarzeniami elementarnymi są liczby ze zbioru M Możemy je utożsamiać z ciągami a, b, których wyrazami są liczby ze zbioru,,3,, Mamy do czynienia z modelem klasycznym Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 0 Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest większa niż 0 i jej cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności Zdarzeniu temu sprzyjają zdarzenia elementarne a, b takie, a oraz a b Zatem liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A że,3,, jest równa A 3 6 Łatwo możemy tez zapisać wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, czyli A,3,,,,, 3,, 3,,, Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe 6 3 PA ( ) 0 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 0

6 opisze zdarzenie sprzyjające np w postaci a, b, gdzie,3,, a oraz a b Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający b a,3,, oraz a b opisze zdarzenie sprzyjające np w postaci a,, gdzie i obliczy ich liczbę: A 6 obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 0 i opisze zdarzenie sprzyjające np w postaci a, b, gdzie a,3,, oraz a b,, zapisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu:,3,,, 3,, 3,,, Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych: 0 oraz opisze zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A, np w postaci b a,3,,, gdzie a b oraz obliczy ich liczbę: A 6 a, takie, że Rozwiązanie pełne pkt 3 Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ) 0 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający wypisując zdarzenia sprzyjające opuści przez nieuwagę jedno z nich, ale z zapisu wynika, że rozumie istotę doświadczenia i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty 3 Jeżeli zdający wypisze wszystkie zdarzenia sprzyjające, ale popełni błąd przy ich zliczaniu to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty II sposób rozwiązania (metoda drzewa) Niech A oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest większa niż 0 i jej cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności Sporządźmy drzewko ilustrujące nasze doświadczenie losowe Drzewko ograniczymy tylko do jego istotnych gałęzi Prawdopodobieństwo na kolejnych odcinkach tego drzewa jest równe odpowiednio oraz Zaznaczmy te gałęzie drzewka, które odpowiadają zajściu zdarzenia A 3 3

Korzystając ze sporządzonego drzewa obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A 3 PA ( ) 6 0 7 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający narysuje drzewo ilustrujące losowanie kolejno dwóch różnych cyfr ze zbioru M i przynajmniej na jednym odcinku gałęzi zapisze prawdopodobieństwo Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający narysuje drzewo z istotnymi gałęziami i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa narysuje drzewo z wybranymi istotnymi gałęziami, z którego będzie wynikało, że rozumie istotę doświadczenia i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 pkt Zdający narysuje drzewo z istotnymi gałęziami, przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa i zaznaczy zdarzenia sprzyjające narysuje drzewo z wybranymi istotnymi gałęziami, z którego będzie wynikało, że rozumie istotę doświadczenia i przynajmniej na jednej gałęzi zapisze prawdopodobieństwa na wszystkich odcinkach drzewa i zaznaczy zdarzenia sprzyjające Rozwiązanie pełne pkt 3 Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A: PA ( ) 0 Uwagi Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma PA ( ), to otrzymuje za całe rozwiązanie 0 punktów Jeżeli zdający opuści przez nieuwagę jedną gałąź (z rysunku będzie wynikało, że rozumie istotę doświadczenia) i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo, to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty 3 Jeżeli zdający narysuje wszystkie istotne gałęzie, ale popełni błąd przy ich zliczaniu i konsekwentnie obliczy prawdopodobieństwo to za całe rozwiązanie otrzymuje 3 punkty