Przykłady zależości poiędzy dochode a wydatkai a kosupcję w przypadku losowości zieej iezależej Maagerial Ecooics, 65-74 27
Ekooia Meedżerska 27, r, s. 65 74 * Przykłady zależości poiędzy dochode a wydatkai a kosupcję w przypadku losowości zieej iezależej. Wstęp W badaiach zależości wydatków a kokrete dobra i usługi od dochodu wykorzystuje się ajczęściej odel regresji liiowej lub fukcję potęgową, tj. fukcję, którą cechuje stała elastyczość. Modele takie buduje się w celu progozowaia wydatków w zależości od dochodu. Niezae paraetry występujące w propoowaych zależościach szacuje się etodą ajiejszych kwadratów. Podejście takie wyaga założeia, że ziea iezależa dochód jest ielosowa. Podstawą zaej teorii kosupcji Friedaa [5] jest odel prostej regresji z błędai poiaru obu zieych: zależej i iezależej. Ziea zależa reprezetuje peraetą kosupcję, atoiast ziea iezależa peraety dochód. Podejście takie ieco się różi od odelu prostej regresji liiowej, w której ziea iezależa jest deteriistycza. Proble oszacowaia paraetrów zależości liiowej, gdy obserwowae cechy są zieyi losowyi jest zay w literaturze statystyczej. Przegląd takich odeli oża spotkać p. w oografiach takich autorów jak A.W. Fuller [6], O. Buke i H. Buke []. Okazuje się, że aturale uogólieie scheatu Gaussa Markowa a przypadek losowych zieych objaśiających ie prowadzi do uzyskaia zgodych estyatorów iezaych paraetrów badaej zależości. Model taki jest ieidetyfikowaly, co ozacza, że ie istieją etody, które wyzaczają co ajiej zgode estyatory iezaych paraetrów regresji. Dopiero dodatkowe założeia * Wydział Zarządzaia, Akadeia Góriczo-Huticza w Krakowie 65
o paraetrach rozkładu zieych pozwalają rozwiązać proble ieidetyfikowalości. Nałożeie dodatkowych waruków a paraetry rozkładu zaburzeń ie jest satysfakcjoujące z puktu widzeia praktyczych zastosowań, poieważ często paraetrów rozkładu ie zay, a tylko ożey oszacować je z próby. Okazuje się, że replikacja zieych losowych pozwala rozwiązać proble ieidetyfikowalości. Model z powtórzeiai i jego pewe własości przedstawioe są.i. w literaturze przediotu [3, 4]. Niiejsza praca staowi próbę porówaia dwóch etod w badaiu zależości liiowej w wypadku tych saych zieych losowych. Różica polegać będzie a sposobie, w jaki ziea iezależa będzie defiiowaa. Zaieszczoy przykład będzie dotyczyć zależości iesięczych wydatków a żywość i apoje bezalkoholowe od iesięczego przychodu a osobę. Dae pochodzą z biuletyu GUS-u Budżety gospodarstw doowych od roku 995. 2. Model fukcjoaly Przed przystąpieie do aalizy przykładu przedstawioo pewe własości odelu, który będzie wykorzystay w opracowaiu: Niech gdzie: oraz i =,,, j =,, ; X = x + e, Y = ax + b + d, e d x N(, 2 ), s e N(, 2 ), s d N( s, s ) i 2 s. Zakładay, że wektor ( X, Y ) a rozkład oraly z wartością oczekiwaą ( s, as + b) i acierzą kowariacji: i i 2 2 2 se + ss ass S =. 2 2 2 2 ass a ss + sd 66
Przykłady zależości poiędzy dochode a wydatkai a kosupcję... Dla tak zdefiiowaego odelu do wyzaczeia estyatorów iezaych paraetrów oża zastosować etodę ajwiększej wiarogodości, wprowadzając ozaczeia: oraz Xi. = X Yi. = Y, X Y =.. X i. =.. Y i. w w w s s s xx yy ;,, = X Xi ( ) 2 = Y Yi ( ) 2.,., = X X Y Yi ( )( ) xy i.., xx yy = Xi X ( ) 2..., = Yi Y ( ) 2..., = X X Y Y ( )( ) xy i... i..., oża wykazać, że estyatory ajwiększej wiarogodości iezaych współczyików w odelu ają postać: a w yy s xx w xx s yy D = 2( w s w s ) xy xx xx xy, b = Y.. ax.., gdzie: 2 D = ( w s s w ) 4 ( s w s w )( s w s w ). xx yy xx yy xy yy yy xy xx xy xy xx 67
Do wyrażeia fory estyatorów pozostałych paraetrów wprowadzoo ozaczeia: oraz 2 B a = syy 2asxy + a sxx ( ), 2 W a = wyy 2awxy + a wxx ( ), p = awxx wxy W a ( )/ ( ), q = wyy awxy W a ( )/ ( ). Estyatory iezaych wariacji zaburzeń zieej zależej i zieej iezależej ają odpowiedio postać: s e2 = p( W( a) + B( a))/ a, s d2 = q( W( a) + B( a)). Poadto oża wykazać, że dla każdego, gdy zastosowae w odelu estyatory etody ajwiększej wiarygodości są oco zgode, to ozacza, że dla każdego wektor ( ) ( ) ( e e ) ( d d ) ( ) ( ) ( ) a a, b b, s s, s s, s s s s ss,, s s a asyptotyczie rozkład oraly z zerowy wektore wartości oczekiwaych., 3. Rozkład zieych losowych występujących w badaiu Przed przystąpieie do kostrukcji odelu przeprowadzoo badaie rozkładu zieych występujących w baday odelu. Wartości dochodów i wydatków przedstawioo w ceach stałych, po uwzględieiu iflacji. Dae są usysteatyzowae ze względu a rodzaj gospodarstwa oraz a liczbę osób w gospodarstwie. Aalizie poddao gospodarstwa pracowików roboticzych i ieroboticzych, rolików, pracowików pracujących a własy rachuek oraz eerytów i recistów. Gospodarstwa są podzieloe a -, 2-, 3-, 4-, 5- oraz 6- i więcej osobowe. Niech D i W ozaczają odpowiedio zieą określającą dochód wyrażoy w ceach stałych oraz zieą określającą wydatki a apoje alkoholowe, rówież wyrażoe w ceach stałych. Ze względu a charakter opracowywaia daych zaieszczoych w biuletyach, rozkład dopasowao do daych ważoych, w których wagai są liczby akietowaych gospodarstw o day charakterze. 68
Przykłady zależości poiędzy dochode a wydatkai a kosupcję... Na rysukach 3 przedstawioo histogray zieych ozaczających odpowiedio dochód D i wydatki W wraz z aiesioy oczekiway rozkłade logaryticzo oraly. 2 8 6 4 2 4 8 2 6 2 24 Rys.. Dopasowaie rozkładu logaryticzo oralego do zieej określającej wielkość dochodu a osobę 2 8 6 4 2 2 3 4 5 Rys. 2. Dopasowaie rozkładu logaryticzo oralego do zieej określającej wydatki a żywość i apoje bezalkoholowe a osobę 2 8 6 4 2 2 3 4 Rys. 3. Dopasowaie rozkładu logaryticzo oralego do zieej określającej wydatki a alkohol a osobę 69
4. Zależość iędzy dochode a wydatkai W badaiach zależości poiędzy dochode a wydatkie a pewe dobro kosupcyje zastosujey dwa podejścia: ) odel z replikacjai, 2) klasyczy odel prostej regresji liiowej. Opierając się a aalizie rozkładu zieych, zapropoowao odel: D = P e e B s, W = A P e, w który wskaźik i przebiega struktury gospodarstw, a powtórzeia dokoywae są według lat. Wielkości A i B są iezayi paraetrai, atoiast ziea P określa prawdziwy iezay średi dochód w daej grupie społeczej. Przyjęto, że rozkład P jest logaryticzooraly, czyli gdzie: x Poadto: e oraz d l( P ) ( ). 2 ~ N s, s i s ( s 2 e ) ~ N, ~ N, ( s 2 d ). = x, Zakładay, że wszystkie ziee losowe są iezależe. Po przekształceiu otrzyujey odel, którego własości opisao w poprzedi paragrafie: gdzie: X = l( D ), Y = l( W ), = l( P ). x X = x + e, Y = ax + b + d, Wówczas paraetr a będzie zdefiioway wcześiej paraetre B, atoiast paraetr b będzie ozaczać l(b). Badaie przeprowadzoo w odiesieiu do wydatków a żywość i apoje bezalkoholowe. 7
Przykłady zależości poiędzy dochode a wydatkai a kosupcję... 4.. Zależość iędzy dochode a wydatkai a żywość i apoje bezalkoholowe Ze względu a charakter prezetowaych daych, które są podae z wagai uwarukowayi przez ilość gospodarstw o day przekroju, w celu wyzaczeia estyatorów z odelu z replikacjai zastosowao estyatory ważoe: Przeprowadzając obliczeia za poocą wzorów z poprzediego paragrafu, otrzyao astępujące wyiki, które zaieszczoo w tabeli, co ostateczie daje astępującą zależość: D = P e e, 634 W = 3, 3 P e, d. Tabela Obliczeia paraetrów w ogóly odelu z replikacjai B =,634 Var(B) =,22 σ ε =,24 l(a) =,97 Var(l(A)) =,42 σ δ =, Jeśli rozważyy sytuację, w której ziea iezależa (dochód) będzie podawaa bez zaburzeia, wówczas do estyacji paraetrów iezaych paraetrów zależości oża zastosować etodę ajiejszych kwadratów. Oawiaą zależość przedstawioo zate astępująco: Wi = A Di B e d i. Wyiki zaieszczoo w tabeli 2. Tabela 2 Obliczeia paraetrów w odelu prostej regresji liiowej B =,576 Var(B) =,2 l(a) =,63 Var(l(A)) =,37 σ δ =,8 Wioskujey zate, że: 65 W = 4, 2 D e i, i i d. 7
Rysuek 4 przedstawia zależość wydatków a żywość i apoje bezalkoholowe od dochodu. Liia ciągła przedstawia zależość fukcyją uzyskaą za poocą odelu, w który dochód jest zieą losową (odel z replikacjai), atoiast liia przerywaa ozacza zależość fukcyją, wyikającą z odelu prostej regresji. 4 3 2 5 5 2 Rys. 4. Zależość fukcyja wydatków a żywość i apoje bezalkoholowe od dochodu 4.2. Zależość wydatków a alkohol od dochodu Stosując podobą aalizę w odiesieiu do wydatków a alkohol, otrzyujey takie wyiki, jak te, które zestawioo w tabeli 3. Tabela 3 Obliczeia paraetrów w ogóly odelu z replikacjai B =,468 Var(B) =,42 σ ε =, l(a) = 7,584 Var(l(A)) =,27 σ δ =,23 Ostateczie wprowadzay zależość: D = P e e, W = 5, 8 4 P 468 e, d. Jeśli rozważyy sytuację, w której ziea iezależa, jaką jest dochód, jest bez zaburzeia, wówczas po zastosowaiu etody ajiejszych kwadratów otrzyao wyiki zestawioe w tabeli 4. 72
Przykłady zależości poiędzy dochode a wydatkai a kosupcję... Tabela 4 Obliczeia paraetrów w odelu prostej regresji liiowej V =,378 Var(B) =,37 l(a)= 6,999 Var(l(A)) =,238 σ δ =,236 Na podstawie tych wyików: W = 9, 3 4 W 378 e i, i i d. Rysuek 5 przedstawia zależość wydatków a alkohol od dochodu. Liia ciągła przedstawia zależość fukcyją uzyskaą stosując odel, w który dochód jest zieą losową (odel z replikacjai) atoiast liia przerywaa ozacza zależość fukcyją wyikającą z odelu prostej regresji. 3 25 2 5 5 5 5 2 4 2 8 6 4 2 4 6 8 Rys. 5. Zależość fukcyja wydatków a alkohol od dochodu 73
5. Wioski Zbadao dwa przypadki. Aalizując odel dotyczący wydatków a żywość i apoje bezalkoholowe oża zauważyć, że występuje tedecja do asyceia, co ozacza, że zwiększaie dochodów powoduje relatywie ały przyrost wydatków. Natoiast aalizując drugi odel, zauważay, że zwiększaie dochodów skutkuje bardzo duży przyroste wydatków. W obu przypadkach zastosowaie dwóch podejść do badaia zależości dało róże wyiki. Dopuszczeie zaburzeia a zieej zależej (dochód) pozwala zauważyć, że osoby o wyższy dochodzie wydają relatywie więcej a żywość i apoje bezalkoholowe iż wyika to z aalizy odelu, w który ie zakładay losowości zieej określającej dochód. Natoiast w przypadku osób z ały dochode odwrotie. Osoby z iskii dochodai wydają iej iż to wyika z odelu regresji liiowej. Literatura [] Buke O., Buke H., No-Liear Regressio, Fuctioal Relatioships ad Robust Methods, Wiley, New York 989. [2] Chow C.G., Ekooetria, PWN, Warszawa 995. [3] Cox N.R., The liear structural relatio for several groups of data, Bioetrica 976, No. 63, s. 23 237. [4] Dolby G.R., The ultrastructural relatio a sythesis of the fuctioal ad structural relatios, Bioetrica 976, No. 63, s. 39 5. [5] Frieda M., A Theory of Cosuptio Fuctio, Priceto Uiversity Press, Priceto 957. [6] Fuller W.A., Measureet Error Models, Wiley, New York 987. [7] Piszczała J., Mateatyka i jej zastosowaie w aukach ekooiczych, Wyd. Akadeii Ekooiczej w Pozaiu, Pozań 998. [8] GUS, Budżety Gospodarstw Doowych, Warszawa 996. 74