1 Zbiory i działania na zbiorach.

Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu do zbioru W rachunku zbiorów używamy następujących symboli: przynależność: x A, x A x / A, zbiór pusty:, przestrzeń X, zbiory skończone: {x}, {a, b, c}, {1,, n}, {a 1,, a n } 11 Zawieranie i równość zbiorów Definicja Niech A, B X Wtedy A B (x A x B), x X A = B (A B B A) (x A x B) Wniosek 11 Dla dowolnych zbiorów A, B X mamy x X A B [ (A B) (B A)] Definicja Zbiory A, B X są rozłączne, jeśli A B = 12 Działania na zbiorach Definicja Niech A, B X Działania mnogościowe sumy, iloczynu, różnicy i dopełnienia definiujemy następująco: A B = {x X : x A x B}, A B = {x X : x A x B}, A \ B = {x X : x A x / B}, A = X \ A = {x X : x / A} Wniosek 12 Dla zbiorów A, B X mamy A \ B = A B 13 Iloczyn kartezjański zbiorów Definicja Iloczynem kartezjańskim zbiorów X oraz Y nazywamy zbiór X Y wszystkich uporządkowanych par (x, y), gdzie x X oraz y Y, tzn X Y = {(x, y) : x X y Y } 1

14 Zbiory liczbowe, przedziały w zbiorze R Zbiory liczbowe: zbiór liczb naturalnych N = {1, 2, 3, }, zbiór liczb całkowitych Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }, zbiór liczb wymiernych Q = { p q : p Z, q N }, zbiór liczb rzeczywistych R (uzupełnienie Q, aksjomat ciągłości) Niech a, b R, a < b 1) (a, b) = {x R : a < x < b} przedział otwarty, 2) [a, b) = {x R : a x < b} przedział prawostronnie otwarty, 3) (a, b] = {x R : a < x b} przedział lewostronnie otwarty, 4) [a, b] = {x R : a x b} przedział domknięty 15 Przestrzeń R n Afiniczną przestrzenią n-wymiarową (przestrzeń punktów) nazywamy zbiór R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x 1, x 2,, x n R } Wektorową przestrzenią n-wymiarową (przestrzeń wektorów) nazywamy zbiór Działania: R n = {[x 1, x 2,, x n ] : x 1, x 2,, x n R } [x 1, x 2,, x n ] + [y 1, y 2,, y n ] = [x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ], α [x 1, x 2,, x n ] = [αx 1, αx 2,, αx n ], (x 1, x 2,, x n ) + [y 1, y 2,, y n ] = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) 2 Elementy algebry liniowej 21 Pojęcie przestrzeni liniowej Twierdzenie 21 Dla dowolnych wektorów x = [x 1,, x n ], y = [y 1,, y n ], z = [z 1,, z n ] oraz dla α, β R zachodzi 1) (x + y) + z = x + (y + z) (łączność), 2) x + y = y + x (przemienność), 3) x + [0,, 0] = x, 4) x + ( x) = [0,, 0], gdzie [x 1,, x n ] = [ x 1,, x n ], 5) α (x + y) = α x + α y, 6) (α + β) x = α x + β x, 7) (αβ) x = α (β x), 8) 1 x = x 2

22 Liniowa zależność i liniowa niezależność Definicja Niech v = (v 1,, v n ) będzie układem wektorów przestrzeni R n Wektor w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α n v n nazywamy liniową kombinacją układu wektorów v 1,, v n o współczynnikach α 1,, α n R Definicja Niech v = (v 1,, v n ) będzie układem wektorów przestrzeni R n V Mówimy, że układ v jest liniowo zależny, jeśli istnieją skalary α 1,, α n R, nie wszystkie równe 0 i takie, że α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 Mówimy, że układ v jest liniowo niezależny, jeśli nie jest liniowo zależny Twierdzenie 22 Układ v = (v 1,, v n ) wektorów przestrzeni liniowej R n jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu skalarów α 1,, α n R prawdziwa jest implikacja α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n = 0 = α 1 = = α n = 0 23 Baza i wymiar przestrzeni Definicja Niech v = (v 1,, v n ) będzie układem wektorów przestrzeni R n V Mówimy, że układ v jest bazą przestrzeni R n, jeśli każdy wektor w R n można przedstawić tylko na jeden sposób w postaci kombinacji wektorów układu v, tzn w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + + α n v n Twierdzenie 23 Niech v = (v 1,, v n ) będzie układem wektorów przestrzeni R n Układ v jest bazą przestrzeni R n wtedy i tylko wtedy gdy jest liniowo niezależny i każdy wektor w R n można przedstawić w postaci kombinacji wektorów układu v Definicja Wymiarem przestrzeni R n nazywamy liczbę wektorów dowolnej bazy tej przestrzeni (ozn dim R n ) Twierdzenie 24 Dla każdego n N zachodzi dim R n = n Układ e 1 = [1, 0, 0], e 2 = [0, 1,, 0],, e n = [0, 0,, 1] nazywamy bazą kanoniczną przestrzeni R n 24 Macierze Definicja Macierzą o wymiarach m n nazywamy prostokątną tablicę liczb A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Zbiór wszystkich macierzy o wymiarze m n oznaczymy przez M m n Macierz A M m n nazywamy kwadratową, jeśli m = n 3

Twierdzenie 25 Zbiór M m n jest przestrzenią liniową z działaniami a 11 a 1n b 11 b 1n a 21 a 2n b 21 b 2n oraz a m1 a mn α 241 Mnożenie macierzy + b m1 b mn a 11 a 1n a 21 a 2n a m1 a mn = = a 11 + b 11 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a mn + b mn α a 11 α a 1n α a 21 α a 2n α a m1 α a mn Definicja Macierz C = [c ik ] M m l nazywamy iloczynem macierzy A = [a ij ] M m n oraz B = [b jk ] M n l, jeśli Definicja Macierz c ik = a ij b jk j=1 nazywamy macierzą jednostkową dla (i, k) {1,, m} {1,, l} 1 0 0 0 1 0 I := M n n 0 0 1 Twierdzenie 26 Dla dowolnego A M n n zachodzi 242 Macierz odwrotna A I = I A = A Definicja Macierz A M n n nazywamy odwracalną, jeśli istnieje taka macierz A M n n, że A A = I = A A Macierz A, jeśli taka istnieje, nazywamy macierzą odwrotną dla macierzy A i oznaczamy przez A 1 243 Macierz transponowana Definicja Transponowaniem macierzy nazywamy taką operację T : M m n M n m, że A T = [a ij ] T = [a ji ] dla A = [a ij ] M m n Twierdzenie 27 Operacja transponowania ma następujące własności: (i) (A T ) T = A, (ii) (A + B) T = A T + B T, (iii) (α A) T = α A T, (iv) (A B) T = B T A T, (v) jeśli istnieje A 1, to (A 1 ) T = ( A T ) 1 4

244 Wyznacznik macierzy kwadratowej Definicja Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej A M n n nazywamy funkcję det : M n n R określoną indukcyjnie w następujący sposób: 1) jeśli A = [a] M 1 1, to det A = a, 2) dla n 2 oraz A M n n definiujemy det A = ( 1) j+1 a 1j det A 1j, j=1 gdzie macierz A kl M (n 1) (n 1) powstaje z macierzy A przez wykreślenie k-tego wiersza oraz l-tej kolumny Uwaga 21 Wzór z definicji nosi nazwę wzoru Laplace a dla pierwszego wiersza Twierdzenie 28 (wzór Laplace a) Jeśli A M n n, to (i) det A = ( 1) k+j a kj det A kj (wzór Laplace a dla k-tego wiersza, j=1 (ii) det A = ( 1) i+k a ik det A ik (wzór Laplace a dla k-tej kolumny i=1 Twierdzenie 29 Wyznacznik macierzy kwadratowej A M n n nie zmieni się, jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę Twierdzenie 210 (tw Cauchy ego) Jeśli A, B M n n, to det(a B) = (det A) (det B) Twierdzenie 211 Macierz A M n n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det A 0 245 Rząd macierzy Definicja Rzędem macierzy A M m n nazywamy maksymalną liczbę jej liniowo niezależnych wierszy (kolumn) (ozn rza) Twierdzenie 212 Rząd macierzy A nie zmieni się, jeśli - przestawimy dwa wybrane wiersze (kolumny), - wybrany wiersz (kolumnę) pomnożymy przez liczbę różną od zera, - do wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę Twierdzenie 213 Niech A = [a ij ] M n n Jeśli det A 0, to macierz A jest odwracalna oraz A 1 = [a ij], gdzie a ij = (det A) 1 ( 1) i+j det A ji dla (i, j) {1,, n} 2 5

3 Układy równań liniowych Rozważymy układy równań liniowych postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (U) lub w skrócie A x T = b T, gdzie A = [a ij ] M m n jest daną macierzą, x = [x 1,, x n ] R n jest niewiadomą oraz b = [b 1,, b m ] R m jest stałą Definicja Układ (U) nazywamy jednorodnym, jeśli b = 0 R m W przeciwnym przypadku mówimy, że układ (U) jest układem niejednorodnym Twierdzenie 31 (Kroneckera-Capelliego) Niech A = [a ij ] M m n oraz b R m Wówczas układ równań liniowych (U) jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy rza = rza u Twierdzenie 32 (Cramera) Niech w układzie (U) zachodzi m = n oraz det A 0 Wówczas jedyne rozwiązanie układu (U) dane jest wzorem (U) x j = det A j det A dla j {1,, n}, gdzie A j jest macierzą powstałą z macierzy A przez zastąpienie j-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych b 6