liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność i obserwowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t 0, t 1 ] do zadanego stanu końcowego x(t 0 ) = x 0 x(t 1 ) = x 1 W zwi azku z takim zadaniem nasuwa siȩ pytanie czy dla danego obiektu istnieje sterowanie, które przeprowadzi obiekt z dowolnego stanu pocz atkowego do dowolnego stanu końcowego w zadanym czasie lub w dowolnym lecz skończonym czasie? W szczególności w zadaniach liniowego sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a liniowego stacjonarnego równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t 0, t 1 ] do zadanego stanu końcowego x(t 0 ) = x 0 x(t 1 ) = x 1 W zwi azku z zadaniami liniowego sterowania docelowego nasuwa siȩ pytanie jakie warunki musz a spe lniać macierze A i B aby istnia lo sterowanie, które przeprowadzi obiekt z dowolnego stanu pocz atkowego do dowolnego stanu końcowego w zadanym czasie lub w dowolnym lecz skończonym czasie? 1

Definicja sterowalności uk ladu sterowania z czasem ci ag lym: Ci ag ly uk lad sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowalnym, jeżeli stosuj ac ograniczone przedzia lami ci ag le sterowanie można go przeprowadzić w skończonym czasie t 1 z dowolnego stanu pocz atkowego x 0 do zadanego stanu końcowego x 1 Przyjmuj ac x 1 = 0 mówimy, że uk lad jest ca lkowicie sterowalny sterowalny do zera Za lożenie zerowego stanu końcowego moṅa zawsze spe lnić dokonuj ac odpowiedniej liniowej transformacji wspó lrzȩdnych stanu Nastȩpuj ace twierdzenie określa warunki jakie musz a spe lniać macierze A i B, aby liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem ci ag lym by l sterowalny Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem ci ag lym jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz sterowalności S = [B AB A 2 B A n 1 B] zawiera n liniowo niezależnych kolumn Warunek ten można sformu lować w równoważnej postaci: rz ad macierzy sterowalności jest równy wymiarowi przestrzeni stanu tj rz(s) = n Dowód: Rozwi azanie liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(0) = x 0 ma postać x(t) = e At( x 0 + t 0 e A t Bu( t)d t ) Sterowalność do zera oznacza, że dla pewnego t 1 zachodzi równość 0 = e At 1 ( x 0 + Warunek ten bȩdzie spe lniony, jeśli 0 e A t Bu( t)d t ) = x 0 = = 0 0 e A t Bu( t)d t A i ( t) i Bu( t)d t i! i=0 A i Bu i, u i = i=1 0 ( t) i u( t)d t i! Korzystamy z tw Cayleya-Hamiltona: każda macierz kwadratowa A n n spe lnia swoje równanie charakterystyczne det(si A) = a n s n + a n 1 s n 1 + + a 1 s + a 0 = 0 2

a n A n + a n 1 A n 1 + + a 1 A + a 0 I = 0 Ponieważ n 1 n A n+1 = AA n = A ã i A i = ã i A i i=1 i=1 wiȩc macierze A k, k n mog a być przedstawione w postaci kombinacji liniowych macierzy A 0, A 1,, A n 1 Oznacza to, że dla pewnych kombinacji liniowych ū i wspó lczynników u i zachodzi równość n 1 x 0 = A i Bū i czyli x 0 = Bū 0 + ABū 1 + A 2 Bū 2 + + A n 1 Bū n 1 i=0 lub ( ) x 0 = B AB A 2 B A n 1 B ū 0 ū 1 ū 2 ū n 1 Jeśli macierz sterowalności S zawiera n liniowo niezależnych kolumn, to na tych kolumnach można rozpi ać n-wymiarow a przestrzeń za pomoc a sterowań ū i Uk lad sterowania z wieloma sterowaniami nazywamy regularnie sterowalnym, jeżeli jest on sterowalny ze wzglȩdu na każde wejście oddzielnie Liniowy stacjonarny uk lad sterowania jest sterowalny regularnie jeżeli macierze sterowalności ze wzglȩdu na każde wejście s a rzȩdu n tj rz(s j ) = n, gdzie S j = (B j AB j A 2 B j A n 1 B j ), j = 1,, n Warunek dostateczny niesterowalności uk ladu sterowania: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania opisywany równaniami stanu ( ) ( ) A 11 A 12 B 1 ẋ(t) = x(t) + u(t) O A 22 O 3

Dowód: Ponieważ ( ) ( ) A k = A k 11 A k, k = 1, 2, ; A k A k B = 11B 1 O A k 22 O, k = 1, 2,, to S = (B AB A 2 B A n 1 B) = ( ) B 1 A 11 B 1 A 2 11B 1 A11 n 1 B 1, O O O O a wiȩc rz(s) < n Twierdzenie: Jeżeli liniowy stacjonarny uk lad sterowania jest sterowalny, to sterowanie ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t [t 0, t 1 ], x(t 0 ) = x 0 u(t) = B T e AT (t t 0 ) R 1 x 0 ( ) przeprowadza uk lad ze stanu pocz atkowego x(t 0 ) = x 0 do stanu końcowego x(t 1 ) = 0 w skończonym czasie t 1 t 0, przy czym R jest macierz a nieosobliw a określon a jak nastȩpuje St ad i R = t 0 e A(t 0 t) BB T e AT (t 0 t) d t Dowód: W chwili t 1 powinna być spe lniona zależność x(t 1 ) = 0 = e A(t 1 t 0 ) x 0 + 0 = x 0 + t 0 t 0 e A(t 1 t )Bu( t)d t / e A(t 1 t 0 ) e A(t 0 t Bu( t)d t x 0 = e A(t0 t Bu( t)d t t 0 Podstawiaj ac sterowanie ( ) uzyskujemy tj x 0 = x 0 = t 0 t 0 e A(t 0 t) B( B T e AT (t t 0 ) R 1 x 0 )d t e A(t 0 t BB T e AT (t t 0 ) R 1 x 0 d t 4

sk ad wynika tożsamość x 0 = RR 1 x 0 Uzyskana tożsamość potwierdza tezȩ twierdzenia Jednak należy jeszcze wykazać, że istnieje odwrotność mzcierzy R Za lóżmy, że uk lad jest sterowalny i że macierz e At B ma liniowo zależne wiersze tj v T e At B = 0, t [t 0, t 1 ], v R n Różniczkuj ac (n 1)-krotnie powyższ a zależność wzglȩdem czasu otrzymujemy równość Oznacza to, że rz ad macierzy v T e At [B AB A 2 B A n 1 B] = 0 e At [B AB A 2 B A n 1 B jest mniejszy od n Ponieważ rz(e At ) = n, wiȩc rz(s) < n, a to jest sprzeczne z za lożeniem o sterowalności uk ladu Tak wiȩc dla uk ladów sterowalnych wiersze macierzy e At B s a liniowo niezależne tj Niech w(t) = B T e AT (t 0 t) v Wtedy v T e At B 0, t [t 0, t 1 ] t 0 w T (t)w(t)dt = v T e A(t0 t) BB T e AT (t 0 t) d tv = v T Rv > 0 t 0 Macierz R jest symetryczna i dodatnio określona W teorii macierzy dowodzi siȩ, że taka macierz jest zawsze nieosobliwa Za lóżmy, że wartość w lasna s i macierzy R jest zespolona Wtedy RP i = s i P i P T i RP i = s i P T i P i ( ) i RP i = s i P i R P i = s i Pi P i T T R = s i P i P T i RP i = s i P T i P i Odejmuj ac stronami wyrażenia (*) i (**) uzyskujemy (s i s i ) P i 2 = 0 5 ( )

Ponieważ P i jest wektorem niezerowym, to musi być s i = s i tj wartości w lasne macierzy symetrycznej s a rzeczywiste Niech s i, s j bȩd a różnymi wartościami w lasnymi macierzy R, a P i, P j niech bȩd a wektorami w lasnymi zwi azanymi z tymi wartościami w lasnymi Oznacza to, że RP i = s i P i Pi T R = s i Pi T i P T i RP j = s i P T i P j ( ) RP j = s j P j P T i RP j = s j P T i P j Odejmuj ac stronami (*) i (**) uzyskujemy ( ) czyli (s i s j )P T i P j = 0 P T i P j = 0, gdyż s i s j z za lożenia Oznacza to, że wektory w lasne macierzy R s a ortogonalne Wektory te określone s a z dok ladności a do sta lej - moṅa je wiȩc wybrać tak, aby P T i P i = 1 Wtedy P T P = I P 1 = P T Podstawmy w formie kwadratowej v T Rv wektor v jako v = P w Mamy wiȩc w T P T RP w = w T P 1 RP w = w T diag 1 i n (s 1,, s n )w = n i=1 s iwi 2 Wartości s i musz a być dodatnie, gdyż badana forma kwadratowa jest dodatnio określona St ad a wiȩc R 1 istnieje P 1 RP = S R = P SP 1 R 1 P S 1 P 1 R 1 = P diag(s 1 1, s 1 2,, s 1 n )P 1, Definicja: Uk lad sterowania nazywa siȩ sterowalnym ze wzglȩdu na wyjście uk ladu, jeżeli dla dowolnego stanu pocz atkowego w chwili t 0 istnieje chwila t 1 > t 0 i ograniczone, przedzia lami ci ag le sterowanie określone w przedziale [t 0, t 1 ] i takie, że wyjście uk ladu przyjmuje w chwili t 1 dowoln a zadan a wartość y t1 6

Warunek sterowalności ze wzglȩdu na wyjście uk ladu dla liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania przybiera postać rz(s) = p,gdzie S = (CB CAB CA 2 B CA n 1 B), a p jest wymiarem przestrzeni wyjść uk ladu (liczb a wyjść uk ladu Sterowanie docelowe ze wzglȩdu na wyjście dla uk ladu sterowania ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0, y(t) = Cx(t) jest postaci u(t) = B T e AT (t 1 t) C T R 1 Ce A(t 1 t 0 ) x 0 y(t 1 )), gdzie R = t 0 Ce A(t 0 t) BB T e AT (t 0 t) C T d t Definicja obserwowalności uk ladu sterowania: Uk lad sterowania nazywa siȩ obserwowalnym, jeżeli istnieje taka skończona chwila t 1, że na podstawie znajomości sterowania u i wyjścia y w przedziale [t 0, t 1 ] można jednoznacznie wyznaczyć stan pocz atkowy w chwili t 0 Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania opisywany równaniami stanu i wyjścia ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t 0 ) = x 0, y(t) = Cx(t) jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz obserwowalności C CA CA 2 Q = CA n 1 jest rzȩdu n tj rz(q) = n Dowód: Zak ladaj ac sterowanie zerowe uzyskujemy y(t) = Ce A(t t0) x(t 0 ) 7

Wyznaczamy pochodne wyjścia y (t) w przedziale [t 0, t 1 ] y j (t) = CA j e A(t t0) x 0, j = 0, 1, 2,, n 1 Ponieważ macierz e A(t t0) jest nieosobliwa, wiȩc stan x 0 można jednoznacznie wyznaczyć z ostatniego uk ladu równań wtedy i tylko wtedy, gdy rz(q) = n Sterowalność liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Definicja sterowalności uk ladów sterowania z czasem dyskretnym: Dyskretny uk lad sterowania nazywa siȩ uk ladem sterowalnym, jeżeli stosuj ac ograniczone sterowanie dyskretne można go przeprowadzić w skończonym czasie k 1 z dowolnego stanu pocz atkowego x 0 do zadanego stanu końcowego x 1 Przyjmuj ac x 1 = 0 mówimy, że uk lad dyskretny jest sterowalny do zera Rozważmy liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem dyskretnym opisywany równaniami stanu x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k = 0, 1, ; x(0) = x 0 Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem dyskretnym jest sterowalny wtedy, gdy jego macierz sterowalności S = [B AB A 2 B A n 1 B] zawiera n liniowo niezależnych kolumn Warunek ten można sformu lować w równoważnej postaci: rz ad macierzy sterowalności jest równy wymiarowi przestrzeni stanu tj rz(s) = n Dowód: Rozwi azanie liniowego stacjonarnego uk ladu ma postać k 1 x(k) = A k x 0 + A k j 1 Bu(j) j=0 W chwili k 1 mamy osi agn ać stan zerowy tj 0 = A k 1 x 0 + k 1 1 j=0 A k 1 j 1 Bu(j) 8

Przyjmuj ac k 1 = n uzyskujemy czyli n 1 A n x 0 = A n j 1 Bu(j) j=0 u(n 1) u(n 2) u(n 3) A n x 0 = [B AB A 2 B A n 1 B] u(0) Jeśli macierz sterowalności S o wymiarach n mn posiada nieosobliw a podmacierz S 0 o wmiarach n n, to dowolny wektor lewej strony ostatniej równości można wygenerować mnoż ac macierz S 0 przez podwektor zmiennych steruj acych zwi azanych z kolumnami tej macierzy Oznaczmy ten podwektor jako n u Dyskretne sterowanie docelowe dla uk ladu liniowego stacjonarnego wyrazi siȩ wzorem n u = S 1 0 A n x 0 Wynika st ad, że warunkiem wystarczaj acym sterowalności uk ladu dyskretnego jest warunek rz(s) = n Należy podkreślić, że, w odróżnieniu od uk ladów z czasem ci ag lym, warunek rzȩdu macierzy S nie jest warunkiem koniecznym sterowalności uk ladu dyskretnego Nie obowi azuje on np w przypadku tzw nilpotentnej macierzy stanu Jest to niezerowa macierz A taka, że A n = 0 Wtedy uk lad sprowadza do zera dowolny stan pocz atkowy przy sterowaniu zerowym nawet jeśli warunek rzȩdu macierzy S nie jest spe lniony Można powiedzieć, że taki uk lad dyskretny sam sprowadza siȩ do zera Przyk lad: Dyskretny uk lad sterowania ( ) ( ) 0 a 0 x(k + 1) = x(k) + u(k), k = 0, 1, 2, ; x(0) = x 0 0 0 1 sam sprowadza siȩ do zera, gdyż jego macierz stanu jest nilpotentna dla dowolnej wartości parametru a ( ) ( ) ( ) A 2 0 a 0 a 0 0 = = 0 0 0 0 0 0 9

Obserwowalność liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Definicja obserwowalności uk ladów sterowania z czasem dyskretnym: Dyskretny uk lad sterowania nazywa siȩ uk ladem obserwowalnym, jeżeli istnieje liczba kroków czasu dyskretnego k 1 taka, że na podstawie znajomości ci agu sterowań u(0), u(1),, u(k 1 1) i ci agu wyjść y(0), y(1),, y(k 1 1) można wyznaczyć jednoznacznie każdy stan pocz atkowy x 0 tego uk ladu Rozważmy liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem dyskretnym opisywany równaniami stanu x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k = 0, 1, ; x(0) = x 0 i równaniami wyjścia y(k) = Cx(k), k = 0, 1, Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania z czasem dyskretnym jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz obserwowalności C CA CA 2 Q = CA n 1 zawiera n liniowo niezależnych wierszy czyli jest rzȩdu n tj rz(q) = n Dowód: Rozwi azanie dla wyjścia liniowego stacjonarnego uk ladu ma postać k 1 y(k) = CA k x 0 + C A k j 1 Bu(j) Przyjmuj ac sterowanie zerowe u(j) = 0, j = 0, 1,, n 1 uzyskujemy y(k) = CA k x 0, k = 0, 1, 2,, n 1 j=0 10

czyli y(0) y(1) y(2) = y(n 1) C CA CA 2 x 0 CA n 1 Jeśli macierz obserwowalności Q o wymiarach pn n posiada nieosobliw a podmacierz Q 0 o wymiarach n n, to każdy stan x 0 można wyznaczyć z zależności x 0 = Q 1 n y, gdzie y n jest podwektorem wspó lrzȩdnych wyjściowych zwi azanych 0 z wierszami mzcierzy Q 0 Istnienie nieosobliwej macierzy Q 0 jest równoważne z warunkiem rz(q) = n Rozk lad kanoniczny Kalmana uk ladów sterowania Sprowadzanie liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania do postaci kanonicznej Pojedyncze wartości w lasne macierzy stanu Za lóżmy, że macierz stanu A posiada pojedyncze wartości w lasne s 1, s 2,, s n Stosuj ac znana z algebry liniowej przekszta lcenie diagonalizuj ace P można sprowadzić macierz stanu do postaci diagonalnej à = P 1 AP, à = diag 1 i n (s 1, s 2,, s n ) Przekszta lcenie P jest macierz a z lożon a z wektorów w lasnych macierzy A tj z rozwi azań równań liniowych AP i = s i P i, i = 1,, n ( ) Z każd a wartości a w lasn a s i zwi azany jest wektor w lasny P i określony z dok ladności a do sta lego mnożnika - jeśli P i jest wektorem w lasnym macierzy A, to αp i jest również wektorem w lasnym tej macierzy Ponieważ każde równanie macierzowe (*) sk lada siȩ z n skalarnych równań liniowo zależnych, to ustalamy wartość jednej wspó lrzȩdnej wektora P i, a pozosta le wspó lrzȩdne tego wektora 11

wyznaczamy ze zredukowanego uk ladu n 1 równań Diagonalizacja wynika z zależności A(P 1 P 2 P n ) = (P 1 P 2 P n )diag 1 i n (s 1, s 2,, s n ) (P 1 P 2 P n ) 1 A(P 1 P 2 P n ) = diag 1 i n (s 1, s 2,, s n ) P 1 AP = diag 1 i n (s 1, s 2,, s n ) mamy Przyk lad: Dla macierzy A = ( 3 1 1 3 ) det(si A) = 0 s 2 + 6s + 8 = 0 s 1 = 4, s 2 = 2 Wyznaczamy wektory w lasne macierzy z równań ( ) ( ) ( 3 1 P1 1 = 4 1 3 oraz ( 3 1 1 3 ) ( P 2 1 P 1 2 P 2 2 ) = 2 W pierwszym równaniu zak ladamy P 1 1 = 1 i uzyskujemy P 2 1 = 4 + 3 = 1 W drugim równaniu zak ladamy P2 1 = 1 i uzyskujemy P2 2 = 2 + 3 = 1 St ad ( ) ( ) ( ) 1 1 P =, P 1 05 05 =, 1 1 05 05 Ã = P 1 4 0 AP = 0 2 ( P 1 1 P 2 1 P 1 2 P 2 2 ) ) Za wektor w lasny P i macierzy A można przyj ać dowoln a niezerow a kolumnȩ macierzy do l aczonej (s i I A) ad Z definicji macierzy odwrotnej wynika, że (si A)(sI A) ad = I det(si A) Ponieważ det(s i I A) = 0, wiȩc (s i I A)(s i I A) ad = 0 n n (s i I A)col(s i I A) ad = 0 n 1 12

Oznacza to, że dowolna niezerowa kolumna macierzy (si A) ad jest wektorem w lasnym macierzy A odpowiadaj acym i-tej wartości w lasnej tej macierzy Aby określić macierz diagonalizuj a a tworzymy macierze (s 1 I A) ad, (s 2 I A) ad,, (s n I A) ad i wybieramy z każdej z nich niezerow a kolumnȩ Z tych kolumn zestawiamy macierz P Dla rozważanego przyk ladu mamy ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 (s 1 I A) ad =, (s 2 I A) ad =, P = 1 1 1 1 1 1 Dla celów diagonalizacji uk ladu sterowania wprowadzamy nowe zmienne stanu x(t) = P x(t) i przekszta lcamy opis liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) P x(t) = AP x(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) x(t) = à x(t) + Bu(t), y(t) = C x(t) + Du(t) x(t) = diag 1 i n (s 1, s 2,, s n ) x(t) + Bu(t), y(t) = C x(t) + Du(t), gdzie à = P 1 AP, B = P 1 B, C = CP Zdiagonalizowany opis uk ladu sterowania jest równoważny z nastȩpuj acym uk ladem równań skalarnych m x i (t) = s i x i (t) + bij u j (t), i = 1,, n, j=1 y p (t) = c pi x i (t), p = 1,, q 1 i n Z ostatniego uk ladu równań wynika nastȩpuj acy alternatywny warunek sterowalności i obserwowalności: Twierdzenie: Liniowy stacjonarny uk lad sterowania, którego macierz stanu ma pojedyncze wartości w lasne, jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiersze macierzy B s a niezerowe Uk lad ten jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie kolumny macierzy C s a niezerowe 13

Dowód: 1 Sterowalność Jeśli i-ty wiersz macierzy B jest zerowy, to równanie stanu i-tej wspó lrzȩdnej staje siȩ równaniem autonomicznym, na które nie oddzia lywuje sterowanie x i (t) = s i x i (t), x i (0) = x i0, t 0 Nie mamy wiȩc żadnego wp lywu na ewolucjȩ i-tej wspó lrzȩdnej stanu uk ladu kanonicznego Oznacza to, że brak wierszy zerowych w macierzy B jest warunkiem koniecznym sterowalności uk ladu kanonicznego Warunek wystarczaj acy wynika z nastȩpuj aej reprezentacji macierzy sterowalności S Niech B i bȩdzie i-tym wierszem macierzy B Zapiszmy macierz S w postaci B 1 B 2 B 3 B =, B n 1 a macierz sterowalności S w postaci S = ( B Ã B ; Ãn 1 B) = B 1 0 0 0 B2 0 = 0 0 Bn 1 B 1 s 1 B1 s1 n 1 B 2 s 2 B2 s1 n 1 B n 1 s n Bn 1 s n 1 n I m s 1 I m s n 1 I m s 2 I m s n 1 1 I m 1 I m I m s n I m sn n 1 I m B 1 B 2 B n 1, 14

gdzie I m jest m-wymiarow a macierz a jednostkow a Macierz I m s 1 I m s1 n 1 I m I m s 2 I m s n 1 1 I m, I m s n I m sn n 1 I m jest nieosobliwa jako uogólniona macierz Vandermonde a Ponieważ mnożenie macierzy przez kwadratow a macierz nieosobliw a nie zmienia rzȩdu danej macierzy, wiȩc o rzȩdzie macierzy S decyduje rz ad macierzy diag 1 i n ( B i ) Macierz ta jest rzȩdu n wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiersze s a niezerowe 2 Obserwowalność Jeśli i-ta kolumna macierzy C jest zerowa, to i-ta wspó lrzȩdna stanu nie jest powi azana z żadn a wspó lrzȩdn a wyjściow a uk ladu y p (t) = c p1 x 1 (t) + + 0 x i (t) + + c pn x n (t), p = 1,, q Konieczność warunku niezerowania siȩ kolumn macierzy C dla zapewnienia obserwowalności uk ladu jest wiȩc oczywista Warunek wystarczaj acy wynika z nastȩpuj aej reprezentacji macierzy obserwowalności Q Niech Ci bȩdzie i-t a kolumn a macierzy C Zapiszmy macierz C w postaci C = ( C 1 C2 C n ), a macierz obserwowalności Q w postaci C C 1 C2 Cn CÃ s 1 C1 s 2 C2 s n Cn Q = = CÃn 1 s1 n 1 C 1 s2 n 1 C 2 s n 1 n C n I m s 1 I m s n 1 T 1 I m C 1 0 0 I m s 2 I m s1 n 1 I m 0 C2 0 = I m s n I m sn n 1 I m 15 0 0 Cn 1

gdzie I m jest m-wymiarow a macierz a jednostkow a Ponieważ mnożenie macierzy przez kwadratow a macierz nieosobliw a nie zmienia rzȩdu danej macierzy, wiȩc o rzȩdzie macierzy Q decyduje rz ad macierzy diag 1 i n ( C i ) Macierz ta jest rzȩdu n wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej kolumny s a niezerowe W niektórych sytuacjach proces sterowania opisywany jest za pomoc a równania różniczkowego n-tego rzȩdu x (n) (t) + a 1 x n 1 (t) + + a n 1 x (1) (t) + a n x(t) = bu(t), gdzie x(t) jest charakterystyczn a wielkości a dla dynamiki obiektu sterowania Przechodzimy do standardowego opisu za pomoc a wektora stanu wyróżniaj ac zmienne stanu i zmienne wyjściowe jak nastȩpuje: x 1 (t) = x(t), x 2 (t) = x (1) (t), x n (t) = x (n 1) (t), y(t) = x(t) Równania stanu i równania wyjścia przybior a postać ẋ(t) = 0 1 0 0 0 0 0 0 1 a n a n 1 a 1 0 0 x(t) +, y(t) = (1 0 0)x(t) 0 Moṅa wykazać, że jeśli wartości w lasne s 1,, s n macierzy stanu badanego uk ladu s a różne, to przekszta lcenie diagonalizuj ace ma postać 1 1 1 s 1 s 2 s n P = s1 n 1 s2 n 1 sn n 1 1 16

Diagonalizacja opisu uk ladu sterowania umożliwia dokonanie rozk ladu kanonicznego Kalmana uk ladu na jego cztery charakterystyczne czȩści, a mianowicie na czȩść sterowaln a i obserwowaln a, czȩść sterowaln a i nieobserwowaln a, czȩść niesterowaln a i obserwowaln a, czȩść niesterowaln a i nieobserwowaln a Rozk lad kanoniczny Kalmana uk ladu sterowania Czȩść sterowalna i obserwowalna I Czȩść sterowalna i nieobserwowalna II Czȩść niesterowalna i obserwowalna III Czȩść niesterowalna i nieobserwowalna IV Do czȩści I zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane zarówno z niezerowymi wierszami macierzy B jak i z niezerowymi kolumnami macierzy C Do czȩści II zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane z niezerowymi wierszami macierzy B i z zerowymi kolumnami macierzy C Do czȩści III zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane z zerowymi wierszami macierzy B i z niezerowymi kolumnami macierzy C Do czȩści IV zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane zarówno z zerowymi wierszami macierzy B jak i z zerowymi kolumnami macierzy C Przyk lad: Uk lad sterowania opisywany jest równaniami stanu i wyjścia 17

( ) ( ) 3 1 1 ẋ(t) = x(t) + u(t), y(t) = 1 3 0 ( ) 1 1 x(t) Mamy w tym przypadku ( ) ( ) ( ) 1 1 P =, P 1 05 05 =, B 05 =, C = 1 1 05 05 05 Rozk lad kanoniczny Kalmana badanego uk ladu ma postać ( ) 2 0 Czȩść sterowalna i obserwowalna I Czȩść sterowalna i nieobserwowalna II 18

Wielokrotne wartości w lasne macierzy stanu Jeśli macierz stanu posiada wielokrotne wartości w lasne, to można j a sprowadzić do postaci pseudodiagonalnej Jordana J 1 0 0 0 J 2 0 J =, 0 0 J n gdzie J i jest blokiem Jordana zwi azanym z wartości a w lasn a s i krotności κ i, przy czym blok Jordana sk lada siȩ z klatek Jordana Ograniczymy siȩ do przypadku, gdy bloki Jordana sk ladaj a siȩ z pojedynczych klatek Jordana postaci s i 1 0 0 0 0 s i 1 0 0 J i = 0 0 s i 0 0 0 0 0 s i 1 0 0 0 0 s i Wyznaczanie przekszta lcenia diagonalizuj acego bazuje na równości AP = P J Kolumny i P κ κ = 1, 2,, κ i macierzy P zwi azane z i-t a klatk a Jordana obliczamy z uk ladu równań: A i P 1 = s i i P 1, A i P 2 = s i i P 2 + i P 1, A i P 3 = s i i P 3 + i P 2, A i P κi = s i i P κi + i P κi 1 Po sprowadzeniu uk ladu sterowania do postaci kanonicznej z klatkami Jordana możemy również dokonać rozk ladu kanonicznego Kalmana tego uk ladu Wyróżnimy w tym przypadku wiersze macierzy B zwi azane z dolnymi wierszami klatek Jordana i macierz z lożon a z tych wierszy oznaczymy przez B 19

Zmienne kanoniczne stanu zwi azane z wyższymi wierszami klatek s a sterowane przez zmienn a kanoniczn a stanu x i zwi azan a z dolnym wierszem Do czȩści I zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane zarówno z niezerowymi wierszami macierzy B jak i z niezerowymi kolumnami macierzy C oraz pozosta le wspó lrzȩdne stanu danej klatki Jordana Do czȩści II zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane z niezerowymi wierszami macierzy B i z zerowymi kolumnami macierzy C oraz pozosta le wspó lrzȩdne stanu danej klatki Jordana Do czȩści III zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane z zerowymi wierszami macierzy B i z niezerowymi kolumnami macierzy C oraz pozosta le wspó lrzȩdne stanu danej klatki Jordana Do czȩści IV zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i zwi azane zarówno z zerowymi wierszami macierzy B jak i z zerowymi kolumnami macierzy C oraz pozosta le wspó lrzȩdne stanu danej klatki Jordana Przyk lad: Uk lad sterowania jest opiany równaniami 5 3 1 1 ẋ(t) = 0 2 1 x(t) + 0 u(t), y(t) = 1 0 4 0 Wartości w lasne s a postaci det(si A) = 0 s 1 = 3, s 1 = 3, s 2 = 5 ( ) 1 2 0 x(t) Jest wiȩc jedna wartość w lasna podwójna s 1 = 3, κ 1 = 2 Rozwi azanie równań daje w wyniku 1 1 P 1 = 1, 1 1 P 2 = A 1 P 1 = 3 1 P 1, A 1 P 2 = 3 1 P 2 + 1 P 1, AP 3 = 5P 3 2 3 1 2 3 2, P 3 = 1, P = 1 2 1 3 3 1 3 3 20

Uk lad kanoniczny jest opisany równaniami 3 1 0 3 x(t) = 0 3 0 x(t) + 1 u(t), y(t) = 0 0 5 0 ( 3 6 1) x(t) Rozk lad kanoniczny Kalmana badanego uk ladu ma postać Czȩść sterowalna i obserwowalna I Czȩść niesterowalna i obserwowalna III Postać kanoniczna liniowych stacjonarnych uk ladów sterowania z czasem dyskretnym Dla celów diagonalizacji uk ladu sterowania z czasem dyskretnym wprowadzamy nowe zmienne stanu x(k) = P x(k) i przekszta lcamy opis dyskretnego liniowego stacjonarnego uk ladu sterowania x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) P x(k + 1) = AP x(k) + Bu(k), y(k) = CP x(t) + Du(t) x(k + 1) = à x(k) + Bu(k), y(k) = C x(k) + Du(k) x(k + 1) = diag 1 i n (z 1, z 2,, z n ) x(k) + Bu(k), y(k) = C x(k) + Du(k), gdzie à = P 1 AP, B = P 1 B, C = CP Zdiagonalizowany opis uk ladu sterowania jest równoważny z nastȩpuj acym uk ladem równań skalarnych m x i (k + 1) = z i x i (k) + bij u j (k), i = 1,, n, j=1 21

y p (k) = c pi x i (k), p = 1,, q 1 i n Z ostatniego uk ladu równań wynika nastȩpuj acy alternatywny warunek sterowalności i obserwowalności dyskretnych uk ladów sterowania: Twierdzenie: Dyskretny liniowy stacjonarny uk lad sterowania, którego macierz stanu ma pojedyncze wartości w lasne, jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wiersze macierzy B s a niezerowe Uk lad ten jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie kolumny macierzy C s a niezerowe Rozk lad kanoniczny Kalmana uk ladu sterowania Czȩść sterowalna i obserwowalna I Czȩść sterowalna i nieobserwowalna II Czȩść niesterowalna i obserwowalna III Czȩść niesterowalna i nieobserwowalna IV Do czȩści I zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i (k) zwi azane zarówno z niezerowymi wierszami macierzy B jak i z niezerowymi kolumnami macierzy C Do czȩści II zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i (k) zwi azane z niezerowymi wierszami macierzy B i z zerowymi kolumnami macierzy C Do czȩści III zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i (k) zwi azane z zerowymi wierszami macierzy B i z niezerowymi kolumnami macierzy C Do czȩści IV zaliczamy wspó lrzȩdne stanu x i (k) zwi azane zarówno z zerowymi wierszami macierzy B jak i z zerowymi kolumnami macierzy C 22