DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólopolskie Semiaium Naukowe, 4 6 wześia 2007 w Touiu Kateda Ekoometii i Statystyki, Uiwesytet Mikołaja Kopeika w Touiu Akademia Ekoomicza w Kakowie O kwatylowym fukcjoale asymetii ozkładu wektoa losowego w badaiach szeegów fiasowych 1 Wpowadzeie Odstępstwo wielowymiaowego ozkładu pawdopodobieństwo od ustaloego pojęcia symetii okeśla się miaem skośości ozkładu Pzez symetię a ogół ozumie się własość obiektu polegającą a tym, że istieje pewe óże od tożsamościowego pzekształceie, któe odwzoowuje day obiekt a iego samego Zazaczmy, że w pzypadku wielowymiaowego ozkładu pawdopodobieństwa wykozystuje się wiele 1 óżiących się wzajemie pojęć wielowymiaowej symetii, któe spowadzają się do zwykłego pojęcia symetii w pzypadku jedowymiaowym tz symetii zwieciadlaej Skośość wielowymiaowego ozkładu staowi o częstości wychylaia się watości wielowymiaowej zmieej losowej epezetującej układ ekoomiczy o okeśloy wekto od jej cetum Zdaiem autoa w wielu pzypadkach jej miaę moża itepetować w kategoiach zewętzej siły działającej a układ popzez aalogię z kształtem admoskiej wydmy oaz siłą wiejącego wiatu Skośość populacji wpływa m i a jakość aalizy czyikowej, aalizy dyskymiacyjej, użyteczość mia zależości ozkładów bzegowych, szybkość zbieżości estymatoów położeia i ozzutu oaz ich itepetacje Niiejszy atykuł ma a celu pzedstawieie możliwości pomiau odstępstwa wielowymiaowego ozkładu od symetii cetalej 2 za pomocą iepaametyczego fukcjoału asymetii idukowaego pzez stosowie wybae 1 Wato zapozać się z pacą Seflig (2006) 2 Mówimy, że wekto losowy X ma ozkład cetalie symetyczy wokół m jeżeli X-θ= θ -X, gdzie symbol = ozacza ówość ozkładów

130 pojęcie wielowymiaowego kwatyla Popoujemy zmodyfikoway fukcjoał asymetii wykozystujący fukcję głębi pojekcyjej W pacy pokazujemy wybae statystycze własości fukcjoału a pzykładzie symulacji oaz a pzykładzie empiyczym Pzywołujemy wyiki własych badań wskazujące, że w pewych sytuacjach jego statystycze własości są lepsze od oygialej popozycji Chaudhui ego i Koltchiski ego, któzy wykozystywali pojęcie kwatyla pzestzeego W pacy B d 1 ( 0) ozacza kulę jedostkową, S d 1 ( 0) ozacza sfeę o pomieiu o śodku w pukcie 0, Δ( S) jest miaą Lebesque a zbiou miezalego S, { 1,, d X = X X } ozacza - elemetową póbę z X, BP( T, X ) to pukt załamaia Hubea estymatoa T z - elemetowej póby, x ozacza ajwiększą liczbę całkowitą ie większą od x 2 Wybae kocepcje wielowymiaowego kwatyla Kwatyle pzestzee (geometycze) wpowadzili iezależie Koltchiski (1997) oaz Chaudhui (1996) uogóliając zaą defiicję jedowymiaowego kwatyla wykozystującą L 1 omę Otóż, dla jedowymiaowej zmieej losowej X, dla któej EX< i dla 0 < p < 1, jedowymiaowy p ty kwatyl moża okeślić jako każdą watość θ miimalizującą: E X θ + (2p 1)( X θ ) (1) Chaudhui uogólia powyższą defiicję tę a pzypadek Rozszeza zbió ideksów kwatyla do otwatej kuli jedostkowej B d 1 (0), aby astępie zdefiiować d wymiaowe kwatyle jako miima fomy: E[ Φ( ux-, θ ) Φ( u,x] ), (2) gdzie X i θ pzyjmują watości w omą euklidesową i, zwykłym iloczyem skalaym d oaz Φ ( u,t) = t + u,t z zwykłą W pzypadku wektoa losowego X w d o ozkładzie oaz wektoa jedostkowego u B d 1 ( 0), u ty kwatyl Q ( u ) ma zaówo kieuek jak i wielkość Łatwo pokazać że, dla każdego u B d 1 ( 0), kwatyl Q ( u) moża pzedstawić jako ozwiązaie względem x ówaia: E ( X-x) X-x = u (3) Wekto u moża itepetować jako zomalizoway pzecięty kieuek, któy tzeba pokoać, aby pzesuąć się od obsewacji X geeowaej pzez d

O kwatylowym fukcjoale asymetii ozkładu wektoa losowego 131 ozkład do puktu x u wszystkich obsewacjach będącego miimum (3), gdy pzeciętą biezemy po = Q x X Pukt x ( u ) okeślamy jako cetaly bądź odstający w zależości od tego czy u x jest bliska odpowiedio 0 bądź 1 Defiiowaa w obębie podejścia tzw mediaa pzestzea okeśloa jest waukiem M = Q ( 0 ) Wato zauważyć, że w pzypadku, gdy ozkład wektoa X jest cetalie symetyczy wokół M, tz X M oaz M X mają taki sam ozkład, wtedy dla fukcji zachodzi: Q Q ( u) M = ( Q ( u) M ), u B d 1 ( 0) (3) Kwatyle pzestzee są ekwiwaiate względem pzesuięć, otogoalych i homogeiczych pzekształceń skali tz mamy a uwadze pzekształceia postaci xa Ax+ b, gdzie A jest maciezą otogoalą, b jest dowolym wektoem Miaa odstawaia puktu x jest iezmieicza względem pzekształceń liiowych tz 1 1 = QX QAX+b ( x ) ( x ) Wielowymiaowe kwatyle wpowadza się także w obębie kokuecyjego i ogóliejszego do powyższego podejścia okeślaego miaem kocepcji głębi daych (patz p Dyckehoff, 2004) bądź Liu i i, 1999) W amach kocepcji ozważa się specjalą fukcje azywae statystyczymi fukcjami głębi (głębiami) służące poządkowaiu obsewacji geeowaych pzez wielowymiaowe ozkłady a zasadzie odstawaia od cetów tychże ozkładów Pukt, dla któego fukcja głębi pzyjmuje watość maksymalą okeśla się mediaą idukowaą pzez stosowie wybaą fukcję głębi W iiejszej pacy wykozystujemy tzw fukcję głębi pojekcyjej 3, któej własości badali m i Zuo (2003) oaz Zuo i i (2004) d Otóż głębia pojekcyja puktu x defiiowaa jest jako: T T T PD( x, X ) = 1+ sup u x m( u X ) σ ( u X ), (4) u = 1 gdzie m i σ to miay położeia i ozzutu w, u T X = { u T X1,, u T X } Głębia pojekcyja oaz idukowae pzez ią estymatoy położeia cetum oaz ozzutu wektoa losowego odzaczają się badzo dobymi własościami w kategoiach odpoości oaz efektywości dla szeokiej klasy populacji Głębia ta jest afiiczie iezmieicza 1 3 Zuo (2003) wykazał, że gdy pukty X są w ogólej pozycji, tz ie więcej iż d puktów z X ie leży w d 1 wymiaowej hipepłaszczyźie, to wtedy BP( PM, X ) = ( d+ 1) 2, gdzie PM ozacza mediaę pojekcyją

132 Najczęściej wykozystuje się odpoe m i σ takie jak mediaa (Med) bądź zmodyfikowaa mediaa odchyleia absolutego od mediay MAD : d d i { x } MAD ( x ) = Med Med( x ), (5) gdzie Medd x(( d)2 x + (( + d+ 1)2 = ( + ) 2 oaz x(1) x(2) ( ) L x ozacza upoządkoway zbió obsewacji Wykozystując kwatylową fukcję Q bądź głębię pojekcyją PD( x, ) defiiuje się tzw obszay cetale zędu (w obębie kocepcji głębi daych ich bzegi okeśla się miaem d-wymiaowych kwatyli): { } { } C () = Q (): u u, (6) PC () = x: PD(; x ) (7) W pzypadku gdy jest cetalie symetyczy, obszay cetale odzaczają się taką samą własością Wykozystując obszay cetale możemy zdefiiować tzw kzywą skali będącą zeczywistym fukcjoałem objętości obszaów cetalych a służącą do iepaametyczego opisu ozzutu wektoa losowego wokół wielowymiaowej mediay Kzywa skali defiiowaa jest jako: v() =Δ( C()), 0 < 1, (8) v% () =Δ( PC ()), 0 < 1 (9) 3 Kwatylowy fukcjoał asymetii Zdaiem autoa popozycją iepaametyczej miay wielowymiaowej skośości, a któą wato zwócić uwagę w kotekście badań oddziaływań układów ekoomiczych oaz specyfikacji modeli ekoometyczych jest tzw kwatylowy fukcjoał asymetii ukcjoał został po az piewszy wpowadzoy w obębie studiów ad pojęciem kwatyla pzestzeego a jak zobaczymy w dalszej części moża go także zdefiiować w amach kocepcji głębi daych Pzez skośość będziemy ozumieć odstępstwo od symetii cetalej Wykozystując wpowadzoą wcześiej fukcję kwatylową Q ( u)może- my zdefiiować L fukcjoał o watościach wektoowych będący ważoą śedią Q ( u): Q ( u ) m ( du ), (10) B d 1 ( 0) gdzie całkujemy względem ozkładu mdu ( ) a zbioze ideksów B d 1 ( 0) W kotekście dalszych ozważań szczególie iteesującą jest klasa mia położeia uzyskiwaa w opaciu o powyższy fukcjoał a zdefiiowaa pzez: d

O kwatylowym fukcjoale asymetii ozkładu wektoa losowego 133 l() = Q() u m( du), 0 < 1, (11) S d 1 ( 0) gdzie S d 1 ( 0) jest sfeą o pomieiu z śodkiem w pukcie 0 oaz mdu ( ) jest ozkładem jedostajym a tej sfeze (Zauważmy, że l( 0 ) = M ) Wato zazaczyć, że w pzypadku cetalie symetyczych ma miejsce iteesująca własość fukcjoału: l( ) M, któą wykozystuje się w kostuowaiu miay skośości Łatwo pokazać, że l ( ) jest ekwiwaiate względem pzesuięć otogoalych i homogeiczych pzekształceń skali Wektoowy fukcjoał wielowymiaowej skośości defiioway jest jako: l() M s () = 2, 0 < < 1, (12) 1/ d v () gdzie M ozacza wielowymiaową mediaę, v ( ) ozacza kzywą skali, d ozacza wymia wektoa losowego, l ( ) ozacza wpowadzoy wcześiej L fukcjoał W pzypadku cetalie symetyczych dla każdego watością fukcjoału jest wekto zeowy Ideę pomiau skośości za pomocą (13) możemy wyazić w astępujący sposób: dla każdego (0,1) badamy óżicę pomiędzy mediaą a pzeciętą puktów ależących do tego obszau cetalego, óżice takie stadayzujemy objętościami tych obszaów cetalych W opaciu o wpowadzoy fukcjoał moża uzyskać skalaą miaę skośości ozkładu w jakimkolwiek kieuku h baym od mediay M, ozważając iloczyy skalae: s (), h dla 0 < < 1 (13) Wykozystując fukcjoał (13) moża także zapopoować zeczywisty fukcjoał asymetii: S d 1 ( 0) Q( u) m( du) M s () = 2, 0 < < 1, (14) 1/ d v () oaz zeczywisty ideks asymetii: A 0< < 1 = sup s ( ) (15) Popozycja: Zauważmy, że zaówo zeczywisty fukcjoał asymetii (15) oaz ideks asymetii (16) oaz moża zdefiiować z wykozystaiem stosowie wybaej fukcji głębi p głębi pojekcyjej Za M pzyjmiemy w takim

134 pzypadku mediaę idukowaa pzez głębię pojekcyją PM, dla każdego (0,1) badamy óżicę pomiędzy pzeciętą puktów wewątz obszau cetalego zędu a mediaą PM Rozważmy miaowicie: s% W( x) mp( dx) PM PC ( p) ( p) = 2 1/ d v% ( p), 0 < p < 1, (16) gdzie, PC ( p ) to pojekcyjy obsza cetaly zędu, m ( dx) ozacza miaę p jedostają a PC ( p ), PM ozacza idukowaą pzez głębię pojekcyją mediaę, W ( ) właściwą dla zagadieia fukcję wagową p W ( x) = x Popooway fukcjoał asymetii dzięki własościom głębi pojekcyjej i własościom idukowaych pzez ią obszaów cetalych jest afiiczie iezmieiczy tz ie zależy od pzyjętego w badaiu układu współzędych Umożliwia iepaametyczy pomia asymetii populacji ie posiadającej mometów Moża pokazać, że fukcjoał (17) z póby jest moco zgodym w sesie odległości Kołmogoowa estymatoem odpowiedika w populacji p 4 Własości popoowaego fukcjoału asymetii W celu spawdzeia wybaych własości (17) pzepowadzoo badaia symulacyje Geeowao miaowicie po 100 pób 100 elemetowych z dwuwymiaowych ozkładów (a wykesach 1-4 pokazao pzypadki a i b): a) skośego omalego i skośego T o dwóch stopiach swobody o paametach: położeia m = (0,0), ozzutu W= diag(2) 5, kształtu a = (2, 5) b) skośego omalego i skośego T o dwóch stopiach swobody o paametach: położeia m = (0,0), ozzutu W= diag(2) 5, kształtu a = ( 2, 15) c) Mashalla-Olkia o paametach l 1 = (1,1,1) i l 2 = (001,001,1) Wyiki symulacji tz oszacowae kzywe asymetii sumayczie zapezetowao a wykesie 5 Z wykesu wyika m i, że popooway fukcjoał dobze ozóżia zaówo wyszczególioe typy ozkładów (skośy omaly, skośy T, Mashalla-Olkia) jak i ozkłady ależące do tego samego typu a óżiące się paametem asymetii Dodajmy, że z powadzoych wcześiej badań wyika, że asza popozycja lepiej ozóżia pomiędzy skośymi ozkładami omalym i T aiżeli oygiala popozycja Chaudhui (1996) oaz popozycje Liu i i (1999)

O kwatylowym fukcjoale asymetii ozkładu wektoa losowego 135 Wykes 1 Kotuy stałej gęstości skośego Wykes 2 Kotuy stałej gęstości skośego ozkładu omalego z W = diag ( 2) 5, ozkładu T z W = diag ( 2) 5, m = ( 0,0), m = ( 0,0), a = ( 2, 5) a = ( 2, 5) Źódło: opacowaie włase Źódło: opacowaie włase Wykes 3 Kotuy stałej gęstości skośego Wykes 4 Kotuy stałej gęstości skośego ozkładu omalego z W = diag ( 2) 5, ozkładu T z W = diag ( 2) 5, m = ( 0,0), m = ( 0,0), a = ( 2, 15) a = ( 2, 15) Źódło: opacowaie włase Źódło: opacowaie włase 5 Podsumowaie Niepaametyczy i odpoy pomia stopia asymetii ozkładu opisującego wielowymiaowy układ ekoomiczy jest waży zaówo z teoetyczych jak i paktyczych względów Zdaiem autoa aszkicowaa w pacy pespektywa badań odstępstw od symetii cetalej może pzyczyić się do lepszego zozumieia stuktuy współzależości układów ekoomiczych Pzedstawioe własości popoowaego fukcjoału asymetii wykozystującego głębię pojekcyją wydają się być wystaczającym uzasadieiem dalszych studiów zagadieia

136 Liteatua Azzalii, A, Capitaio, A (2003), Distibutios Geeated by Petubatio of Symmety with Emphasis o a Multivaiate Skew t Distibutio, Joual Royal Statistical Society B, 65, 367 389 Chaudhui, P (1996), O a Geometic Notio of Quatiles fo Multivaiate Data, Joual of the Ameica Statistical Associatio, 91, 862 872 Dyckehoff, R (2004), Data Depths Satisfyig the Pojectio Popety, Allgemeies Statistisches Achiv, 88, 163 190 Koltchiskii, V (1997), M-estimatio, Covexity ad Quatiles, The Aals of Statistics, 25, 435 477 Kosioowski, D (2006), About Stai oce i a Capital ad Robust Aalysis of Plaa Shape, 10th Jubilee Cofeece of Iteatioal edeatio of Classificatio Societies, Uivesity of Ljubljaa, Sloveia, July 25 29 Liu, R Y, Paelius, J M, Sigh, K (1999), Multivaiate Aalysis by Data Depth: Desciptive Statistics, Gaphics ad Ifeece (with discussio), The Aals of Statistics, 27, 783 858 Seflig, R J (2004), Nopaametic Multivaiate Desciptive Measues Based o Spatial Quatiles, Joual of Statistical Plaig ad Ifeece, 123, 259 278 Seflig, R J (2006), Multivaiate Symmety ad Asymmety, I Ecyclopedia of Statistical Scieces, Secod Editio (S Kotz, N Balakisha, C B Read ad B Vidakovic, eds), 5338 5345, Wiley Zuo, Y (2003), Pojectio Based Depth uctios ad Associated Medias, The Aals of Statistics, 31(5), 1460 1490 Zuo, Y, Cui, H, Youg, D (2004), Ifluece uctio ad Maximum Bias of Pojectio Depth Based Estimatos, The Aals of Statistics, 32 (1), 189 218 0,9 0,8 0,7 0,6 SK_NOR_(2,-5) SK_T_(2,-5) SK_T_(-2,-15) SK_NOR_(-2,-15) MARSH_OL_(1,1,1) MARSH_OL_(001,001,1) 0,9 0,8 0,7 0,6 AS_PRO(p) 0,5 0,4 0,3 0,5 0,4 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0,0 0,0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 p (%) Rys 5: Wyiki badań symulacyjych popoowaego fukcjoału asymetii Źódło: opacowaie włase