JAK UCZYĆ KWANTOWEJ TEORII POLA Piotr Chankowski KMMF 17.05.2012
Pomys l nie doszed l do skutku ponieważ autorzy postawili sobie zbyt ambitne zadanie napisania podr ecznika bezb l ednego w warstwie matematycznej IBB & JK & MC Teoria kwantów Nie sposób nie nadmienić, że w porównaniu z porównaniu z pracami oryginalnymi wiele kursów mechaniki kwantowej jest o wiele bardziej skomplikowanych. Chociaż t lumaczy si e to zwykle koniecznościa zachowania ogólności i ścis lości rozważań, to przy uważnym spojrzeniu na spraw e można bez trudu zauważyć, że duża cz eść ścis lych twierdzeń jest b l edna LDL & JML Mechanika kwantowa
Eksperymentalne korzenie QFT: Spektroskopia atomowa - 1925 kwantowa teoria promieniowania Diraca radioaktywność - 1932 teoria Fermiego rozpadów beta (skok koncepcyjny!) QFT dziś: maszynka do obliczania amplitud procesów uniwersalny j ezyk do opisu rzeczywistości fizycznej
DWIE (LUB TRZY) DROGI DO QFT Komplementarne podejścia urelatywistyczna mechanika kwantowa wielu czastek (bez żadnych równań falowych!!!) kwantyzacja relatywistycznych pól operatorowo kwantyzacja pól przez ca lki funkcjonalne Analogia: rozmaitość ze zbiorem map (atlasem)
RELATYWISTYCZNA MECH KWANT CZASTEK Symetria Poincaré O(1, 3): x µ = Λ µ ν(ω)x ν a µ ==> w p. Hilb dzia laj a op. unitarne U(Λ, a) Ψ = U(Λ,a) Ψ Hermitowskie generatory J µν = (J i,k i ), P µ (znane zwiazki komutacyjne) Stany jednoczastkowe p, σ stany w lasne: P µ P µ, P i, W µ W µ, i W 0 lub s µ pw µ Konstrukcja reprezentacji O(1, 3) na stanach jednoczastkowych przez reprezentacj e indukowana: czterop ed standardowy k µ, p µ = (L p ) µ νk ν p,σ =: U(L p, 0) k,σ Cz astki bezmasowe - inna grupa stabilności k µ.
P. HILB (Focka) CZASTEK SWOBODNYCH (w niej uprawia si e rachunek zaburzeń) Baza stanów α 0 (p 1 σ 1...p n σ n ) 0 : Ω 0, a σ(p) Ω 0, a σ 2 (p 2 )a σ 1 (p 1 ) Ω 0... Ω 0 Ω 0 = 1 i U 0 (Λ,a) α 0 =wiadomo jak. Bozony [a σ1 (p 1 ), a σ 2 (p 2 )] = δ σ1 σ 2 δ (3) Γ (p 1 p 2 ) fermiony { a σ1 (p 1 ), a } σ 2 (p 2 ) = δ σ1 σ 2 δ (3) Γ (p 1 p 2 ) Spin-statystyka jeszcze bez uzasadnienia! Jawna konstrukcja generatorów J µν, P µ : np. P 0 H 0 = dγ p E(p) a σ(p)a σ (p)
CZASTKI ODDZIA LUJ ACE Za lożenie: H ma stany jednoczastkowe. Bazy in i out stanów w lasnych H: α in, α out odpowiedniość jeden do jeden α in, α out i stanów α 0 pewnego H 0 : H α in = E α α in H α out = E α α out H α 0 = E α α 0 (to samo spektrum H i H 0 ) oraz e iht dα g(α) α in e ih 0t dα g(α) α 0 dla t (+ dla stanów out). Formalnie α in = lim t eiht e ih 0t α 0
Oddzia lywanie: V H H 0 Zbiór amplitud przejścia: macierz S S βα = β out α in = β 0 S 0 α 0 S 0 = T exp { + } dt V I (t) V I (t) e ih0t V e ih0t. T - uporzadkowanie chronologiczne. S unitarna: Sγβ S γα = S βγ Sαγ = δ βα, S 0 S 0 = S 0 S 0 = 1 γ γ S βα = δ βα i2πδ(e α E β )T + βα (E α) Z elementów macierzy S przekroje, czasy życia.
RELATYWISTYCZNA MACIERZ S U(Λ,a) α in,out tak samo i tak jak U(Λ,a) α 0. Relatywistycznie wspó lzmiennicza, gdy [U 0 (Λ,a), S 0 ] = 0 Silne warunki na V. Spe lnione gdy V I (t) = d 3 x H I (t,x) U 0 (Λ,a)H I (x)u 0 (Λ,a) = H I(Λ x a) [H I (x), H I (y)] = 0 gdy (x y) 2 0 Macierz S βα spe lnia rozk lad gronowy (faktoryzowalna) gdy V zbudowane z a σ(p) i a σ (p)
H I (t,x) zbudowany z iloczynów operatorów pola [ φ a (x) = dγ p u a (p,σ)e ip x a σ (p) + v a (p,σ)e +ip x a c ] σ (p) σ U 0 (Λ,a)φ a (x)u 0 (Λ,a) = D 1 ab (Λ)φ a(λ x a) H = H 0 + V I nie zachowuje liczby czastek! Dla (x y) 2 0 operatory pola musza spe lniać [ φa (x), φ a(y) ] = 0 bozony { ψa (x), ψ a(y) } = 0 fermiony Zwiazek spinu ze statystyka! Jeśli [Q, H] = 0 (zachowane wewn. l. kwant.) to musza być antyczastki! a σ (p) a c σ (p)
Ważne: Czastki o masie zero i spinie 1 (np. foton): rzut spinu na kierunek p edu: tylko +1 lub 1 (ale nie zero jak dla czastek masywnych) Z operatorów anihilacji i kreacji nie da si e zbudować operatora pola A µ przekszta lcaj acego si e jak uczciwy wektor U(Λ,a)A µ (x)u (Λ,a) = (Λ 1 ) µ νa ν (Λx a) µ Ω(x) Oddzia lywanie musi mieć specjaln a postać by ten ogon skompensować
Wzór S 0 = T exp { i dx H I (x) } prowadzi do diagramów i regu l Feynmana. Propagatory: [ ] i F (x y) θ(x 0 y 0 ) φ (+) (x), φ ( ) (y) [ ] +θ(y 0 x 0 ) φ (+) (y), φ ( ) (x) Oddzia lywania z J µ V µ (x) (z bozonemi o M 0 i spinie 1 lub 0 µ φ) - niekowariantności: i F µν(x y) = (x) µ (y) ν i F (x y) iδ 0 µδ 0 νδ (4) (x y) Oddzia lywanie J µ A µ z fotonem idµν(x F d 4 k ip µν (k) y) = e ik (x y) (2π) 4 k 2 + i0 P µν (k) = g µν + k 0(k µ n ν + k ν n µ ) k µ k ν k 2 n µ n ν k 2
k 3 k 4 k 1 k 2 Rysunek 1: Definicja N µ1,µ 2,...,µ n (k 1, k 2,...,k n,p 1,...): np. lewy czarny babel H I = 1 2M 2J0 (x)j 0 (x) W QED: prad musi być zachowany µ J µ = 0, trzeba dodać Vnonlocal I e2 (t) = d 3 x d 3 y J0 (t,x)j 0 (t,y) 2 4π x y k µ i i N µ 1,µ 2,...,µ n (k 1,k 2,...,k n,p 1,...) = 0
p = +... Rysunek 2: WAŻNA KONSEKWENCJA ZA LOŻEŃ Propagator ma mieć biegun w p 2 = M 2 (fizyczna masa = masie z H 0!) residuum bieguna ma być i lim Ω 0 ϕ(x) (p) 0 = t V trzeba dopasować! lim Ω 0 e ih0t e iht e iht ϕ(0,x)e iht e ih t = lim Ω ± ϕ H (t,x) (p) ±, t H I = 1 2 δz µϕ µ ϕ + 1 2 M2 ϕ 2 + 1 2 δz 0 ϕ 0 ϕ
ZALETY (DYDAKTYCZNE) TEGO PODEJŚCIA bezpośredni zwiazek z zasadami QM (wzory na przekroje) oczywiste pochodzenie funkcji falowych w diagramach Feynmana spin-statystyka, antyczastki, niezachowywanie liczby czastek WADY TEGO PODEJŚCIA silne za lożenia: V budowane z a i a z H 0 ściśle perturbacyjne sformu lowanie konieczność r ecznego poprawiania kowariantności nieabelowe YM - beznadziejnie skompliko-
POLA RELATYWISTYCZNE Klasyczna teoria pola zadana przez dzia lanie I cl [φ] = d 4 x L(φ ai (x), µ φ ia (x)) δi cl = 0 daje równania ruchu. Symetrie I cl wzgl edem grup przekszta lceń pól: Poincaré wewn etrznych φ ia (x ) = D ab (Λ)φ ib (x) φ ia (x) = U ij(θ)φ ja (x) Prady Noether symetrii zachowane µ jµ A d (x) = 0, dt QA d d 3 x j A dt 0 (t,x) = 0
KWANTOWANIE (kanoniczne) P edy kanoniczne Π = L/ ( 0 φ) i Hamiltonian H = d 3 x [Π t φ(π,φ) L(Π,φ, φ)] Pola staja si e operatorami z ETC [φ(x), Π(y)] = iδ (3) (x y) oraz [φ, φ] = [Π, Π] = 0 (lub antykomutatory). Ladunki Noether staja si e operatorami. Np. symetria Poincaré daje P i, J i, K i. Operatory Heisenbergowskie O H (t,x) = e iht O(0,x)e iht d dt O H(t,x) = i[h, O H (t,x)]
Pola wektorowe masywne lub bezmasowe - kwantowanie z wi ezami Daje automatycznie niekowariantne wyrazy w H I : H I = 1 2M 2J0 (x)j 0 (x) w przypadku masywnych pól oraz Vnonlocal I e2 (t) = 2 i inne takie jak d 3 x H I = e 2 φ φa µ A µ w przypadku elektrodynamiki d 3 y J0 (t,x)j 0 (t,y) 4π x y
Jak zawsze H = H 0 (kwadratpwy) + V. H 0 diagonalizowany przez a a. Stany w lasne α 0 H 0 sa czastkami (bo P0 i, Ji 0, Ki 0 je przekszta lcaj a jak należy) Znów zak ladamy, że H = H 0 + V ma stany czastkowe (tak może nie być!) in i out odpowiadajace α 0. Przy tych za lożeniach H = H 0 (Π H (0,x),φ H (0,x)) + V int (φ H (0,x)) = H 0 ( 0 φ I (0,x),φ I (0,x)) + V int (φ I (0,x)) { } S 0 = T exp i dt V I (t) z V I (t) = e ih0t V e ih0t ; Pola φ I (t,x) = e ih0t φ H (0,x)e ih 0t maja rozk lad na a σ (p), a σ(p). Diagramy i regu ly Feynmana jak poprzednio.
A co z poprawkami do linii zewn etrznych? Inne zm kanoniczne: φ = Z 1/2 φ ph, Π ph = Z 0 φ ph. Nadal [φ H ph (t,x), ΠH ph (t,y)] = iδ(3) (x y) Przejście do obrazu oddzia lywania φ H ph (0,x) = φ I(0,x) Π H ph (0,x) = 0φ I (0,x) daje H I = 1 2 (Z 1) µφ I µ φ I + 1 ( ) ZM 2 M 2 2 ph φ 2 I + λ 4! Z2 φ 4 I + 1 ( ) Z 1 + Z 2 2 0 φ I 0 φ I. Kontrcz lony takie by spe lnić warunki (schemat On Shell ). Mora l: tylko jeden szczególny wybór zmiennych kanonicznych zgodny z za lożeniami
Jak si e uwolnić od za lożenia o odpowiedniości α in(out) i α 0? Najpierw pokazać że (wciaż w ramach za lożeń) [ ( )] β 0 T O l1 (x 1 )...O lr (x r ) exp i d 4 x H I (x) α 0 [ ] = β out T Ol H 1 (x 1 )...Ol H r (x r ) α in Potem że za podstaw e QFT można przyjać funkcje G (n) l 1...l n (x 1,...,x n ) = Ω T [ ] Ol H 1 (x 1 )...Ol H n (x n ) Ω wymagaja tylko istnienia Ω ; żadnych za lożeń czy sa stany czastkowe (i jak si e maja do α 0 H 0 ).
Wzór z rachunku zaburzeń [ Ω 0 T O l1 (x 1 )...O lr (x r ) exp nadal s luszny bo = Ω out T ( i )] d 4 x H I (x) ] [ O H l 1 (x 1 )...O H l r (x r ) Ω 0 Ω in Ω in(out) = lim t eiht e ih 0t Ω 0 = U I (0, ) Ω 0, wynika ze zwyk lego rachunku zaburzeń (stany Ω 0 i Ω in(out) sa jedynymi dyskretnymi stanami H 0 i H) Wybór zmiennych kanonicznych nieistotny Można wziać dowolne zmienne φ R = Z 1/2 φ i dowolnie rozbić M 2 = MR 2 + δm2.
Wybór zmiennych kanonicznych nieistotny Można wziać dowolne zmienne φ R = Z 1/2 φ i dowolnie rozbić M 2 = MR 2 + δm2 (czyli H na H 0 i V ). operatory a i a diagonalizuja wydzielony H 0 ; Z nich φ I (x) = e ih0t φ H R (0,x)e ih0t. Rachunek zaburzeń: O H l (x) O l (φ H (x), ) = O l (Z 1/2 φ H R (x), ) O l(z 1/2 φ I (x), ) Operatory O H l (x) dowolnie z(re)normalizowane Wszystkie operatory tak samo dobre Reszta - twierdzenie Wicka plus wzór Żadnych problemów z liniami zewn etrznymi
q 1 q n q 1 q n q r G (n) q r+1 q r k q r+1 Rysunek 3: Factorization of a pole of a Green s function. Ale po co nam póżniowe funkcje Greena? Z nich widmo czastek (jeśli dana teoria je opisuje - konforemne np. nie!) i elementy macierzy S - przez LSZ. G (n) c (q n,...,q 1 ) = FT Ω T [O n (x n )...O 1 (x 1 )] Ω i p 2 m 2 ph + i0 (2π)4 δ (4) (q n +... + q 1 ) σ M(q n,...,q r+1 pσ)m(pσ q r,...,q 1 )
Dla funkcji dwupunktowej (propagatora) G (2) l 1 l (p 2 1,p 2 ) (2π) 4 δ (4) (p 1 p 2 ) Ω O l1 (0) p 1 σ σ i p 2 1 m2 ph + i0 p 1σ O l (0) Ω. 1 Z relatywistycznej niezmienniczości Ω O l (x) p 1 σ = Z 1/2 O u l(p 1,σ) e ip 1 x Czynnik Z O operatora O potrzebny do macierzy S Nie mylić ich z czynnikami Z pol elementarnych: odpowiednio wybierajac Z (tj. schemat renorm) można zrobić Z = 1 (czyli operatory φ H ph maj a Z = 1).
Macierz S z redukcji LSZ Warunek asymptotyczny: dla x 0 (+ ) O l (x) Z 1/2 O φin(out) l (x) Sens: lokalność i faktoryzacja elementów mać! Dwa razy faktoryzacja biegunów G (n) (q n,,q 1 ) (2π) 4 δ (4) ( p n + q n 1 +... + q 2 + p 1 ) σ n σ 1 i p 2 n m 2 ph,n + i0 M(p nσ n q i n 1,,q 2 p 1 σ 1 ) p 2 1 m2 ph,1 + i0 Ω O n (0) p nσ n p 1 σ 1 O 1 (0) Ω,
(2π) 4 δ (4) ( p n + q n 1 +... + q 2 + p 1 ) M(p nσ n q n 1,...,q 2 p 1 σ 1 ) = d 4 x n 1... d 4 x 2 e iq n 1x n 1...e iq 2x 2 p nσ n T[O n 1 (x n 1 )...O 2 (x 2 )] p 1 σ 1. Niech O 2 b edzie zdolny anihilować cz astk e in o p 2 σ 2. Rozpatrujemy wk lad obszaru x 0 n 1,...,x0 3 > x 0 2
d 4 x n 1... d 4 x 2 e iq n 1x n 1...e iq 2x 2 ( ) Θ min(x 0 n 1,...,x0 3 ) x0 2 dγ k1 dγ k2 σ 1, σ 2 p nσ n T[O n 1 (x n 1 )...O 3 (x 3 )] (k 1 σ 1,k 2 σ 2 ) in (k 1 σ 1,k 2 σ 2 ) in O 2 (x 2 ) (p 1 σ 1 ) in + reszta. Biegun dla p 2 2 m2 ph 2 od x0 2 a wtedy warunek asymptotyczny daje (k 1 σ 1,k 2 σ 2 ) in O 2 (x 2 ) (p 1 σ 1 ) in (k 1 σ 1 ) in (p 1 σ 1 ) in (k 2 σ 2 ) in O 2 (x 2 ) Ω. lokalność==>faktoryzacja!
G (n) c ( p n,..., p r+1,p 1...,p r ) = (2π) 4 δ (4) ( p + p) n i Z 1/2 O j p 2 j m2 ph,j + i0 u(p j,σ j ) j=r+1 r k=1 σ j u i Z 1/2 O (p k,σ k ) k σ p 2 k k m2 ph,k + i0 ( i)m(p n σ n,...,p 1σ 1 ), S βα = (p nσ n,...,p r+1 σ r+1 ) out (p 1 σ 1,...,p r σ r ) in con = (2π) 4 δ (4) ( p + p)( i)m(p nσ n,...,p 1 σ 1 ).
r m r c c m r c c m l G (4) c s = l c c s + c c l c +... s Rysunek 4: G (n) c (q n,...,q 1 ) = (2π) 4 δ (4) ( i q i ) G (2) c (q 1 ) N c (q n,...,q 1 ) (2π) 4 δ (4) ( i q i ) σ 1 i Z u(p 1,σ 1 ) u (p 1,σ 1 ) p 2 1 m2 ph,1 + i0 N c (q n,...,p 1 )
LSZ: ścis le nieperturbacyjne sformu lowanie niema żadnej odpowiedniości pole z L czastka! (ten sam stan asympt z różnych operatorów, czastki nietrwa le; stany zwiazane) można używać dowolnego schematu ren. ==> grupa renormalizacji zrenormalizowane operatory nie sa w jakikolwiek sposób lepsze od go lych to uj ecie pozwala lepiej zrozumieć renormalizacj e operatorów z lożonych i OPE i w ogóle ca l a struktur e logiczna RQFT! Amen.