Oddziaływania. Przekrój czynny Zachowanie liczby leptonowej i barionowej Diagramy Feynmana. Elementy kwantowej elektrodynamiki (QED)

Transkrypt

1 Oddziaływania Przekrój czynny Zachowanie liczby leptonowej i barionowej Diagramy Feynmana Elementy kwantowej elektrodynamiki (QED) Teoria Yukawy Zasięg oddziaływań i propagator bozonowy Równanie Diraca Antycząstki; momenty mgt. fermionów; sukces QED Elementy oddziaływań słabych Teoria Fermiego Elementy oddziaływań silnych Rezonanse; czasy zycia

2 Przekrój czynny Przekrój czynny σ jest miarą prawdopodobieństwa oddziaływania. [σ ] = m 2 efektywna powierzchnia padającej cząstki i centrum rozpraszającego. Weźmy grubość tarczy dx tak, żeby centra nie przekrywały się. Wtedy prawdop. oddz.: gdzie N liczba cząstek padających σ dn po wszystkich N = centrach = σ n A dx -dn liczba cząstek oddziałujących A powierzchnia obszaru oddz. A A n - koncentracja centrów na jednostkę objętości Dla skończonej grubości tarczy L dostajemy po wycałkowaniu po dx: a) liczba cząstek, które nie oddziałały N = N 0 e nσ L b) Liczba oddziaływań: N oddz = N 0 ( 1 e nσ L )

3 Przekrój czynny c.d. Praktyczna jednostka: 1 barn =10 28 m 2 Średnia droga na oddziaływanie: λ x = 0 0 xe nσ x dx e nσ x dx = 1 nσ Różniczkowe przekroje czynne: Rozkłady energii cząstki wtórnej Rozkłady kąta emisji cząstki wtórnej

4 Np: Zachowanie liczb leptonowych Liczba leptonowa taonowa: Liczba leptonowa mionowa: Liczba leptonowa taonowa: Liczba leptonowa mionowa: Zachowane: Z obserwacji oscylacji neutrin wiemy teraz, że neutrina mogą zmieniać zapach (zapach nie jest zachowany), ale dotąd nie stwierdzono, żeby

5 Zachowanie liczby barionowej Obserwacje: proton jest stabilny! Dlaczego nie rozpada się??? Czas życia protonu: Dlatego w Modelu Standardowym: kwarki antykwarki Liczba barionowa B: +1/3-1/3 prawo zachowania: B=0 A co z rozpadem neutronu? gdzie b to stosunek rozgałęzień dla danego kanału rozpadu

6 Oddziaływania Oddziaływanie zachodzi gdy następuje a) wymiana energii i pędu między cząstkami b) kreacja lub anihilacja cząstek Cząstka rzeczywista: Swobodna, stabilna cząstka o masie M, tzn całkowitej energii w jej układzie spoczynkowym: E =M, po transformacji Lorentza do innego układu inercjalnego ma energię: Cząstka wirtualna W krótkim czasie znajduje się pod wpływem jakichś oddziaływań. Wg zasady Heisenberga jej energia nie jest ściśle określona:

7 Oddziaływania elektromagnetyczne Oddziaływania elektromagnetyczne: między cząstkami naładowanymi elektrycznie (lub posiadającymi strukturę) za pośrednictwem kwantów γ. Np:

8 Diagramy Feynmana Podstawowy element: wierzchołek emisja fotonu absorpcja fotonu konwersja fotonu emisja fotonu przez pozytron Reguły: w pojedynczym wierzchołku nie jest zachowana energia (co najmniej jedna z cząstek musi być wirtualna) zachowany jest pęd, mom. pędu i dyskretne liczby kwantowe) czas antyfermiony D. Kiełczewska, poruszające wykład4 się do przodu w czasie mają strzałki do tyłu

9 Diagramy Feynmana Każdy wierzchołek wnosi e do amplitudy prawd. oddziaływania, czyli przekrój czynny dla 2 wierzch.: albo tzw. rozpraszanie Bhabha anihilacja par Reguły: linie wewnętrzne (łączące wierzch.) reprezentują cząstki wirtualne linie zewnętrzne reprezentują cząstki rzeczywiste czas

10 Diagramy Feynmana albo Ze jądro Ze jądro Rozpraszanie elektronu na jądrze (bremsstrahlung) - promieniowanie hamowania. Elektron łączący wierzchołki jest wirtualny. Por. długość radiacyjną z wykładu 3: Ze ozncza źródło fotonów i dorzuca stałą sprzężenia: Ze do diagramu.

11 Diagramy Feynmana Z Promieniowanie hamowania Z Konwersja gammy Na wykładzie 3 był bliski związek między długością radiacyjną oraz średnią drogą na konwersję:

12 Diagramy wiodącego i wyższych rzędów Diagramy wiodące mają najmniejszą możliwą liczbę wierzchołków Kazdy dodatkowy wierzcholek zmniejsza przekrój D. Kiełczewska, czynny wykład4 o czynnik = 1/137

13 Zasięg oddziaływania W układzie spocz. cząstki A (początkowej): Energia niezachowana o: Czyli dla każdego p: ale z zasady nieoznaczoności: R -zasięg propagacji X lub zasięg oddział. Np. dla oddz. elmgt: Oddz. słabe:

14 Teoria Yukawy W 1935 Yukawa postulował wyjaśnienie rozpraszania proton-neutron poprzez wymianę masywnych kwantów pola. Wyobraźmy sobie nukleon jako źródło wirtualnych masywnych bozonów. Równanie Kleina-Gordona dla masywnych bozonów (o masie m): - Dostaje się z: oraz zastępując: gdzie opisuje albo amplitudę fali skojarzoną z kwantami swobodnych bozonów albo potencjał w odległości r od źródła Dla potencjału statycznego oraz sferycznego dostaje się r-nie:

15 Teoria Yukawy c.d. Można sprawdzić, że rozwiązaniem tego równania: jest: z dowolną stałą Potencjał Yukawy Dla fotonów m=0 dostajemy: czyli stała ma sens ładunku e dla pola kulomb. Przyjmujemy, że dla dla masowych bozonów opisuje siłę punktowego źródła

16 Teoria Yukawy c.d. n n p p n p p p p Wymiana pionów dobrze opisuje oddziaływania nukleonów przy odległościach >1.5 fm, ale nie sprawdza się przy mniejszych odległościach (tzn. większych przekazach pędów). Ponadto ani nukleony ani piony nie są fundamentalnymi, punktowymi cząstkami. Yukawa wprowadził koncepcję oddziaływań przez wymianę bozonów, ale w Modelu Standardowym oddz. silne zachodzą przez wymianę gluonów między kwarkami (QCD kwantowa chromodynamika). p p n

17 Propagator bozonowy Rozpraszanie w potencjale Yukawy Chcemy opisać jako przekaz czteropędu q przenoszony przez pośredniczący bozon do rozpraszanej cząstki. Przechodzimy z przestrzeni położeniowej do przestrzeni pędów za pomocą transformaty Fouriera potencjału Yukawy: Propagator bozonu o masie m. W diagramach Feynmana przypisujemy go odpowiednim liniom bozonowym Jeśli diag Feynmana opisuje oddz między cząstkami punktowymi: x x to przekrój czynny: g 1 i g 2 2 stałe sprzężenia

18 Diagramy Feynmana a przekroje czynne Czterowektor przekazu pędu: Ze Rozpraszanie elektronu na jądrze Propagator fotonu: Czyli przekrój czynny wynosi ( dorzucamy żeby zgadzały się miana): A dokładniej tzw. wzór Motta: gdzie:

19 Diagramy Feynmana a przekroje czynne Jeśli energia w środku masy: s 2m µ Podobnie: rozpraszanie Comptona: Zgadujemy całkowity przekrój czynny ( analiza wymiarowa ): σ α 2 2 a dokładnie: s σ = 4π 3 α 2 2 s Z analizy wymiarowej znów mamy: σ α 2 2 Dla bardzo małych energii: dostajemy: s

20 Analiza wymiarowa Jednostka: Przykład analizy wymiarowej: gdzie α to stała bezwymiarowa Dokładnie: 1 fm = MeV D. Kiełczewska, wykład 1 20

21 Równanie Diraca Mieliśmy: r-nie Schrodingera dla cząstek nierelat r-nie Kleina-Gordona dla cząstek relat. ale bezspinowych. Dirac szukał r-nia dla fermionów, które byłoby zgodne z r-niem: oraz ze szczeg. teorią względności, tzn. zmienne czasowe i przestrzenne powinny występować podobnie. Okazało się, że aby ten warunek spełnić funkcja falowa musi być spinorem (co najmniej 2 skladowe dla 2 rzutów spinu). Równanie Diraca dla cząstek o spinie 1/2 : ma 2 rozwiązania: jest 4 składnikowym spinorem

22 Antycząstki wg. Diraca 2 rozwiązania: odpowiadają 2 wartościom własnym energii: E i -E Obraz próżni wg. Diraca m E -m zapełnione Każdemu stanowi odpowiada stan elektronu: Jeśli usuniemy 1 elektron z morza to tak jakbyśmy zostawiali dziurę: nierozróżnialną z pozytronem (wkrótce odkrytym) Każda cząstka o spinie 1/2 musi mieć antycząstkę o przeciwnym ładunku i tej samej masie

23 Jeszcze o teorii Diraca... m γ m E -m produkcja -m i anihilacja par Moment magnetyczny Diraca punktowej cząstki o spinie ½, masie m i ładunku elektrycznym q: Natomiast dla protonu i neutronu zmierzono: co oznacza, że nie są to cząstki punktowe.

24 Moment magnetyczny elektronu Wg teorii Diraca moment mgt elektronu: Jednak poprawki radiacyjne powodują drobną zmianę: B B B B Moment mgt wyraża się przez czynnik g: wirtualna para e+e- (polaryzacja próżni) sukces QED! (Quantum ElectroDynamics)

25 Oddziaływania słabe (z wykładu 1) W - W + zapach (np. dziwność) nie jest zachowany! W - W +

26 Oddziaływania słabe W Z 0 Np: W d u d W u d u Generacje leptonów zachowane.

27 Teoria Fermiego Propagator bozonu pośredniczącego: Dla małych przekazów pędu q: dσ dq 2 g 1 f (q)g 2 2 g 1 g 2 2 M W 2 G F 2 Stała sprzężenia Fermiego: oddziaływanie kontaktowe

28 Trochę o oddziaływaniach silnych

29 A co z zachowaniem zapachów kwarków? W przypadku kwarków zapachy zachowane są tylko w oddziaływaniach silnych i elektromagnetycznych. Np. podstawowy graf QCD (Quantum ChromoDynamics - teoria oddz.silnych): Gluon zmienia tylko kolor (a nie zapach) kwarków - o tym na następnych wykładach. Dla uproszczenia możemy rysować przepływy kwarków np: albo pośredni stan rezonansowy zachowanie dziwności S w oddz. silnych

30 Rezonanse W oddziaływaniach

31 Rezonanse mezonowe Rozkłady masy niezmienniczej

32 Krzywa rezonansowa Breita-Wignera Szerokość rezonansu o czasie życia czyli Γ jest miarą prawd rozpadu (jakiegokolwiek) Funkcja falowa nietrwałego stanu o energii W r w układzie cms: wtedy: Amplitudę w funkcji energii dostajemy z transformaty Fouriera: Przekrój czynny na utworzenie stanu o energii W:

33 Krzywa rezonansowa Breita-Wignera - szerokość połówkowa - masa rezonansu Jeśli rezonans rozpada się do kilku kanałów: masa niezmiennicza Stosunki rozgałęzień albo prawdop. rozpadu w dany kanał:

34 Rezonanse: produkcja i rozpady Przekrój czynny na formację rezonansu R w w zderzeniu dowolnych 2 cząstek i dowolny rozpad (wysumowane po możliwych stanach początkowych i oraz końcowych f) : Przekrój czynny na formację a+b R c+d w zderzeniu dowolnych 2 cząstek a,b i konkretny rozpad f: Z niezmienniczości czasu: Przekrój czynny na formację R w zderzeniu cząstek i oraz rozpad f:

35 Czasy życia hadronów Przykład formacji i rozpadu rezonansu: Δ N + π ( Δ,Δ 0,Δ +,Δ ) ++ M Δ = 1232 MeV Γ Δ = 120 MeV Z pomiarów szerokości rezonansów stwierdzono, że hadrony, które mogą rozpaść się przez oddz. silne do innego stanu hadronowego, żyją tylko ok Hadrony, które ze względów energetycznych nie mogą rozpaść się przez oddz. silne (zachowując liczby zapachowe np. dziwność) rozpadają się albo elektromagnetycznie z czasami życia ok. albo słabo z czasami życia ok. Np: kaony sa najlżejszymi dziwnymi mezonami Jądra oraz neutron mają dużo dłuższe czasy życia.