Łukasz Ślwczńsk, Przemsław Krehlk, Marcn Lpńsk, Andrzej Wolczko Akadema Górnczo Hutncza, Katedra Elektronk al. Mckewcza, - Kraków e-mal: slwczn@galax.uc.agh.edu.pl krehlk@galax.uc.agh.edu.pl Poznańske Warsztat Telekomunkacjne Poznań - grudna O ROZKŁAZIE PRAWOPOOBIEŃSTWA FILTROWAYCH BIARYCH SEKWECJI PSEUOLOSOWYCH Streszczene: W artkule tm omawam rozkład prawdopodobeństwa wartośc sgnału otrzmwanego na wjścu fltru dolnoprzepustowego pobudzanego bnarną sekwencja pseudolosową. Okazuje sę, że dla najczęścej wkorzstwanch generatorów sekwencj pseudolosowch o dwóch odczepach otrzmwan rozkład prawdopodobeństwa wkazuje znaczną asmetrę względem wartośc średnej. atomast generator o wększej lczbe odczepów ne wkazują takej cech ch rozkład są znaczne bardzej smetrczne. W artkule przedstawam wnk smulacj oraz hstogram zmerzone dla wbranch welomanów generującch sekwencje pseudolosowe.. WPROWAZEIE Bnarne sekwencje pseudolosowe (ang. Pseudo- Random Bnar Sequence - PRBS) są szeroko wkorzstwane w elektronce (np. jako źródła sgnałów testowch w sstemach cfrowch [] do wznaczana tzw. wzoru oka cz pomaru btowej stop błędów w łączu []) telekomunkacj (np. do kodowana nformacj [], []). Powszechne wkorzstwana w welu sstemach transmsjnch metoda tzw. skramblngu danch [], [] równeż bazuje na cągach PRBS. Od stron teoretcznej sekwencje PRBS są opswane jako weloman pewnej zmennej (jest też użwane oznaczene Z lub ), zdefnowane w grupe Galos (ang. Galos feld), oznaczanej jako GF() []. Lczba wstępująca w tm zapse oznacza, że wszstke operacje na welomanach są przeprowadzane w artmetce modulo-, a współcznnk prz zmennej mogą przjmować tlko wartośc lub. Sekwencje take można bardzo łatwo wtwarzać w układach cfrowch, zbudowanch z rejestru przesuwnego ze sprzężenem zwrotnm w postac bramk Exclusve-Or (EOR). Ogólna struktura takego układu jest przedstawona na Rs.. Bt na wjścu układu pojawają sę w takt sgnału zegarowego, sterującego wjśce n c c c c - n- n- n- n-+ n- Rs.. Schemat generatora PRBS pracą rejestru przesuwnego. Struktura generatora PRBS -tego stopna jest opsana za pomocą zestawu współcznnków c, mogącch przberać wartośc lub. Współcznnk jest tutaj zawsze równ. Jeśl współcznnk c = to oznacza to, że sgnał z -tego stopna rejestru przesuwnego jest podawan poprzez obwód sprzężena zwrotnego na wejśce perwszego z przerzutnków. Jeśl c = to sgnał z danego stopna rejestru ne uczestncz w sprzężenu zwrotnm. Sekwencja btów wtwarzana w układze z Rs. jest jednoznaczne określona poprzez współcznnk c oraz stan początkow przerzutnków tworzącch rejestr przesuwn. Jeśl współcznnk zostaną odpowedno dobrane, to sekwencja wtwarzana przez układ będze tak zwaną sekwencją o maksmalnej długośc, to znacz będze okresowa z okresem M =. Początkow stan rejestru jest w zasadze dowoln z wjątkem stanu zerowego. Ustawene takego stanu w rejestrze spowoduje, że układ go już ne opuśc, co wnka z własnośc sum modulo-. Ab sekwencja PRBS generowana w układze z rejestrem przesuwnm o długośc posadała najdłuższ możlw okres potrzeba, ab weloman: + = c +, () opsując strukturę układu, bł tzw. welomanem perwotnm (ang. prmtve) [], []. Oznacza to, że ne jest możlwa jego faktorzacja w grupe GF() oraz że jest l on podzelnkem welomanu + dla l = a ne jest dla mnejszch wartośc l. Tablce welomanów perwotnch można znaleźć w welu mejscach, np. []. Bardzo obszerne zestawena welomanów perwotnch są też dostępne w Internece, np. [7]. Równeż Communcaton Toolbox programu Matlab oferuje gotowe funkcje, którm można generować take weloman. Z praktcznego punktu wdzena najwgodnejsze zdają sę bć weloman o tlko jednm nezerowm współcznnku c, czl postac + +. Gene- PWT - POZAŃ - GRUIA /
rator PRBS pracując wedle takego welomanu ma obwód sprzężena zwrotnego zrealzowan prz użcu jedne dwuwejścowej bramk EOR. Jest to stotne zwłaszcza w szbkch sstemach transmsjnch, gdż welowejścowa bramka EOR mus bć zrealzowana jako kaskadowe połączene bramek dwuwejścowch, co zwększa czas propagacj przez taką bramkę, ogranczając tm samm maksmalną częstotlwość prac całego układu. Standardowo do testowana cfrowch sstemów transmsjnch wkorzstuje sę generator 7 oparte o weloman 7 rzędu (np. + + ) rzędu (np. + + ). Okres sekwencj generowanch przez take weloman wnoszą odpowedno 7 7. Cech charakterstczne welomanów perwotnch to m.n. smetra oraz neparzsta lczba nezerowch współcznnków c. Smetra oznacza, że jeśl weloman () jest perwotn, to równeż weloman: + = + c () jest perwotn. Tak węc, np. weloman smetrczne do podanch powżej welomanów 7 rzędu to 7 odpowedno weloman + + + +. Sekwencje btów generowane przez weloman smetrczne są względem sebe odwrócone w czase (prz założenu, że stan początkow rejestru będze równeż dobran smetrczne). Wśród welomanów perwotnch wróżna sę też grupę trójmanów, opartch na lczbach perwszch Mersenne a [7]. la trójmanów takch M = jest lczba perwszą, w zwązku z czm wszstke take neredukowalne weloman są jednocześne welomanam perwotnm.. POSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI SEKWECJI PRBS Sekwencje PRBS posadają wele nteresującch właścwośc, które są omawane w praktczne każdej pozcj lteraturowej, zajmującej sę zagadnenam transmsj cfrowej, np. []. Tutaj jedne wmenm podstawowe z tch właścwośc krótko je skomentujem.. Rejestr przesuwn w generatorze PRBS w cągu okresu sekwencj przechodz przez wszstke stan bnarne z wjątkem stanu zerowego. Wnka stąd, że lczba w sekwencj wnos, a lczba. Można węc uważać, że sekwencja PRBS jest praktczne zrównoważona pod względem lczb nadawanch komplementarnch smbol że prawdopodobeństwo smbolowe są praktczne jednakowe równe... Sere jednakowch smbol wstępującch obok sebe ( lub ) w sekwencj PRBS maja tą właścwość, że połowa z nch ma długość, jedna czwarta długość, jedna ósma długość td., tak długo, jak długo mają sens powższe ułamk dla danej długośc sekwencj PRBS. Całkowta lczba ser jednakowch smbol w sekwencj wnos. Właścwość tę można rozumeć w ten sposób, że sere jednakowch smbol w sekwencj PRBS mają praktczne take prawdopodobeństwa, jak b to bło w całkowce losowej sekwencj btów.. Funkcja autokorelacj sekwencj PRBS jest okresowa z okresem M Tb, gdze czas T b jest czasem trwana btu jest równ odwrotnośc częstotlwośc przebegu zegarowego f. Można ją wrazć wzorem: ( M + ) ( MT ) τ b τ Tb Rc () τ =. () M gdze ndzej Okresowość funkcj autokorelacj oznacza, że wdmo sekwencj PRBS jest prążkowe, prz czm prążk są od sebe odległe o częstotlwość f M. Z prostokątnego kształtu btów wnka obwedna wdma zgodna z funkcją snc ( f f ). la dużch wartośc M można przjąć, że właścwośc wdmowokorelacjne sekwencj PRBS są bardzo podobne do właścwośc sekwencj całkowce losowch. la przebegu całkowce losowego wdmo błob cągłe a funkcja autokorelacj mała b postać delt rac a dla τ =. Prztoczone powżej właścwośc pozwalają wcągnąć wnosek, że sekwencje PRBS są bardzo podobne do bnarnch sekwencj losowch a różnce, zwłaszcza dla dużch wartośc M, są dosć subtelne. Z tego też powodu ze względu na łatwość wtwarzana sekwencje take są powszechne użwane do testowana btowej stop błędów w różnego rodzaju cfrowch łączach transmsjnch. W welu przpadkach łącza take ne przenoszą składowch sgnału o małch częstotlwoścach wraz ze składowa stałą. Prowadz to do powstawana szczególnego rodzaju nterferencj mędzsmbolowch, określanch manem błądzena progu komparacj (ang. baselne wander), co skutkuje zwększenem wartośc BER ponad wartość wnkającą jedne z obecnośc szumu addtwnego []. Istotnm cznnkem jest w takm przpadku postać rozkładu prawdopodobeństwa jaką wkazuje sgnał na wjścu fltru dolnoprzepustowego. Wnka to stąd, że układ z odcętą składową stałą (Rs. a) można przedstawć w równoważnej postac (Rs. b), w której odberan sgnał jest porównwan z progem komparacj, wtworzonm z tegoż sgnału na drodze fltracj dolnoprzepustowej. Jeśl pomar stop błędów ma bć rzeteln błob pożądane, ab sekwencja testowa użwana w pomarach w żaden sposób ne obcążała uzskanego wnku. W dalszej częśc artkułu skupm sę właśne na kwest rozkładu prawdopodobeństwa jaką posada sgnał, powstając przez dolnoprzepustową fltrację sekwencj PRBS. a początku zostane krótko omókomparator komparator a). b). Rs.. Równoważność układu z odcęta składową stałą układu z fltrem dolnoprzepustowm PWT - POZAŃ - GRUIA /
L Mux st_out In F In F In F In F In F In F In F7 In F In F OR Out st_n emux Pulse Generator LOA last_state From Workspace st_out L Out st_n Generator PRBS Rs.. Model bloku Generator PRBS dla welomanu last_state To Workspace s+ Transfer Fcn Scope (wth ntal outputs) smout To Workspace Rs.. Model smulacjn sporządzon w programe Smulnk won model smulacjn, któr posłużł do zbadana takch rozkładów.. MOEL SYMULACYJY Badana smulacjne rozkładów prawdopodobeństwa fltrowanch sekwencj PRBS został przeprowadzone z wkorzstanem oprogramowana Matlab/Smulnk. a Rs. jest przedstawon przkładowo model generatora PRBS dla welomanu + +, natomast Rs. jest pokazan cał smulowan układ. Poneważ pełn ckl smulacjn dla jednego welomanu trwał dosć długo (ok. godzn dla welo- + + manu rzędu) postanowono podzelć go na częśc, ab możlwe bło na beżąco montorowane przebegów wznaczanch parametrów. W jednm kroku wznaczana bła odpowedź układu dla taktów zegara. Podstawowe parametr statstczne sgnału na wjścu fltru, take jak wartość średna, warancja, skośność oraz kurtozs [], bł wznaczane w programe Matlab uaktualnane po każdm kroku smulacj. W podobn sposób wznaczano hstogram sgnału na wjścu fltru. Po każdm kroku smulacj stan końcow rejestru przesuwnego generatora sekwencj PRBS bł zapamętwan ponowne ustawan na początku kolejnego kroku (za pomocą mpulsu LOA). Podobne zapamętwan odtwarzan bł stan fltru wjścowego.. UZYSKAE WYIKI Przeprowadzone został smulacje generatorów opartch na klkudzesęcu różnch welomanach. Jako fltr dolnoprzepustow wkorzstwano układ I rzędu o stałej czasowej równej τ F = Tb lub τ F = T b. Otrzmane wnk bł sporm zaskoczenem dla autorów gdż okazało sę, że wszstke przebadane generator o jednm odczepe cechują sę znaczną ( dla różnch welomanów bardo podobną) asmetrą hstogramu. Przkładowe hstogram dla + + + + gęstość prawdopodobeństwa gęstość prawdopodobeństwa......7.......7. a). b). Rs.. Hstogram sgnału na wjścu fltru dolnoprzepustowego dla przkładowch generatorów PRBS z jednm odczepem. Stała czasowa fltru τ F = Tb PWT - POZAŃ - GRUIA /
Tab. Wartośc parametrów statstcznch dla generatorów PRBS z jednm odczepem weloman τ F σ skośność kurtozs mn( ) max( ) l. btów uwag + +.. - -..7.. + +.. - -. 7.7.. 7 weloman Mersenne a + +.. - -. 7..7.7 *T b + +.. - -....7 weloman + +.. - -.... smetrczne 7 + + 7.. - -...7. weloman Mersenne a + +..77 - -...7.7 *T b + +.. - -...7. welomanów rzędu z fltrem o τ F = Tb są przedstawone na Rs. (lna schodkowa). a każdm z wkresów lną przerwaną zaznaczono równeż kształt funkcj rozkładu prawdopodobeństwa wznaczoną prz sterowanu fltru całkowce losową sekwencją bnarną. Wdać, że rozkład teoretczn ne pokrwa sę z rozkładem wznaczonm dla sekwencj PRBS. W Tab. zebrano wartośc podstawowch parametrów statstcznch dla wbranch welomanów, otrzmane drogą smulacj. Poneważ hstogram dla pozostałch welomanów z Tab. wglądają w zasadze tak samo jak hstogram pokazan na Rs. b, węc ne będą tu prezentowane. Analzując Tab. można zauważć, że za wjątkem welomanów nskego rzędu (poz. 7) wartośc średne fltrowanch sekwencj PRBS są z dużą dokładnoścą równe., co odpowada średnej sgnału na wjścu fltru dolnoprzepustowego pobudzanego całkowce losową sekwencją bnarną. Warancja równeż dobrze sę zgadza z wartoścą teoretczną wznaczoną dla sekwencj losowch. Odpowedną wartość można oblczć ze wzoru []: ( Tb τ F ). Tb τ F σ = t gh, () z którego wnkają wartośc. - oraz. -, odpowedno dla fltru o τ F = Tb τ F = Tb. Z kole centraln unormowan moment trzecego rzędu, nazwan skośnoścą, znacząco odbega dla tch sekwencj PRBS od wartośc teoretcznej. W przpadku pobudzana fltru dolnoprzepustowego losową sekwencją btów otrzmwan rozkład jest smetrczn względem wartośc średnej, co skutkuje skośnoścą równą. atomast wszstke zbadane generator PRBS charakterzował sę rozkładem o znacznej ujemnej wartośc skośnośc. Ponadto mnmalne maksmalne wartośc sgnału na wjścu fltru ne są smetrczne rozłożone wokół średnej, lecz odległość od średnej do mnmum jest ok. - raz wększa nż odległość od maksmum do średnej. Otrzmane hstogram stanową dla autorów sporą zagadkę, tm bardzej, że ne udało sę natrafć na żaden generator z jednm odczepem, któr dawał b hstogram o dodatnej wartośc skośnośc. a kształt hstogramu ne mało wpłwu an to, któr z dwóch welomanów smetrcznch został wbran, an to, cz rząd generatora bł lczbą parzstą cz neparzstą. Równeż weloman oparte na lczbach perwszch Mersenne a charakterzował sę asmetrcznm hstogramem. 7 + + + 7 + + + + + gęstość prawdopodobeństwa gęstość prawdopodobeństwa a).......7. b).......7. Rs.. Hstogram sgnału na wjścu fltru dolnoprzepustowego dla przkładowch generatorów PRBS z wększą lczbą odczepów: a). stała czasowa τ F = Tb, b). stała czasowa τ F = Tb PWT - POZAŃ - GRUIA /
Tab. Wartośc parametrów statstcznch dla generatorów PRBS z wększa lczbą odczepów weloman rząd odczep τ F σ skośność kurtozs mn( ) max( ) l. btów F.. - -.7.7....7 -.7... CCAB *T b.. -...... -.... 7FF7 7.. - -..7.. F. 7. - -...7. 7.. -.... -.. *T b C.. -.7. ne wznaczano F.. -.. 7.. -.7. gęstość prawdopodobeństwa W zwązku z tm postanowono równeż zbadać hstogram, które powstają z sekwencj PRBS wtwarzanch przez generator z wększą lczbą odczepów. W tm przpadku wnk bł równeż neco zaskakując gdż okazało sę, że hstogram w tch przpadkach są prawe dealne smetrczne. Przkład otrzmanch hstogramów są przedstawone na Rs. a (weloman 7 7 + + + + z fltrem o τ F = Tb ) oraz Rs. b (weloman + + + + z fltrem o τ F = T b ). Podobne jak poprzedno, lną przerwaną zaznaczono kształt funkcj rozkładu prz sterowanu fltru całkowce losową sekwencją bnarną. W tm przpadku jednakże rozkład teoretczn bardzo dobrze zgadza sę z hstogramem wznaczonm dla sekwencj PRBS. Parametr statstczne otrzmane drogą smulacj dla przebadanch welomanów zebrane są w Tab.. o oznaczana welomanów wkorzstano zaps szesnastkow współcznnków, w którm współcznnkow prz najwższej potędze przpsuje sę najwższą wartość (MSB). Przkładowo, w zapse tm weloman + + + + jest oznaczon jako. 7 Rs. 7. Hstogram dla generatora PRBS rzędu z pęcoma odczepam. Stała czasowa fltru τ F = Tb + + + + + +......7. la wszstkch welomanów z Tab. można zauważć, że skośność hstogramu jest praktczne równa zero. Także odległośc pomędz mnmalnm maksmalnm wartoścam a średną są porównwalne. Podobne jak w Tab. wartość średna oraz warancja dosć dokładne zgadzają sę z wartoścam teoretcznm. Odstępstwo od ogólnej reguł wstępuje tlko w przpadku welomanu rzędu (pozcja ), dla którego skośność ma znaczną wartość. emnej jednak także w tm wpadku hstogram jest znaczne bardzej zwart smetrczn w porównanu z hstogramem sporządzonm dla generatora PRBS rzędu z jednm odczepem. la porównana hstogram ten pokazano na Rs. 7. Sekwencje PRBS generowane przez wszstke weloman zebrane w Tab. charakterzował sę wartoścą kurtozsu bardzo zblżoną do. Jest to spora różnca w stosunku do danch zawartch w Tab., gdze parametr ten zmenał sę w dosć dużch grancach. Chocaż często wartość kurtozsu równą przjmuje sę za pewen wznacznk rozkładu normalnego [], nemnej jednak w rozpatrwanch tutaj przpadkach otrzmwane hstogram na pewno ne mają takego charakteru. Wnka to stąd, że sgnał na wjścu fltru dolnoprzepustowego dla wszelkch sekwencj bnarnch (cz to pseudolosowch, cz też całkowce losowch) jest z konecznośc ogranczon, natomast zmenna losowa opswana rozkładem normalnm może przberać wartośc neskończone. a podstawe wznaczonch wartośc skośnośc kurtozsu można skonstruować stosowne aproksmacje rozkładów fltrowanch sekwencj PRBS, na przkład posługując sę metodam przedstawonm w [].. WYIKI POMIARÓW W celu praktcznego sprawdzena przedstawonch powżej wnków smulacj został przeprowadzone pomar hstogramów fltrowanch sekwencj PRBS. Schemat wkorzstwanego układu pomarowego jest przedstawon na Rs.. W jego skład wchodzł generator PRBS zbudowan w oparcu o programowaln układ CPL CV frm lnx. Generator wtwarzał strumeń danch pseudolosowch z PWT - POZAŃ - GRUIA /
generator PRBS Mb/s CV fltr RC. kω. nf szbkoścą Mb/s, któr następne bł fltrowan w fltrze RC o stałej czasowej τ µs (co daje τ F T b ). Wartośc sgnału na wejścu fltru dla zera jednk wnosł odpowedno V ok.. V. Przebeg napęca na wjścu fltru następne rejestrowan za pomocą oscloskopu cfrowego HPA, któr służł też do wznaczana hstogramem. Przkładowo, na Rs. są przedstawono wnk pomarów dla sekwencj PRBS generowanej według welomanu + +. Można zauważć, otrzman hstogram jest nesmetrczn że w fltrowanm sgnale częścej wstępują wartośc ponżej średnej nż wartośc powżej średnej. Jest to też wraźne wdoczne na wkrese gęstośc pokazanm z lewej stron hstogramu. a Rs. są przedstawone wnk pomarów przeprowadzonch dla sekwencj PRBS generowanej według welomanu + + + +. W tm przpadku zarówno hstogram jak wkres gęstośc są smetrczne. Można stwerdzć, że zaprezentowane wnk pomarów są zgodne z wnkam smulacj, które został przedstawone w poprzednm rozdzale. Odchlene standardowe sgnału fltrowanego, wznaczone na podstawe hstogramu, w obdwu przpadkach jest też zgodne z wartoścą wlczoną na podstawe równana (), która wnos ok..7 mv. Rs.. Hstogram oraz wkres gęstośc sgnału na wjścu fltru dla generatora PRBS z jednm odczepem Rs.. Hstogram oraz wkres gęstośc sgnału na wjścu fltru dla generatora PRBS z trzema odczepam F oscloskop HP Infnum Rs.. Schemat układu pomarowego. POSUMOWAIE Z przeprowadzonch smulacj pomarów wnka, że charakterstczną cechą sekwencj PRBS generowanch na podstawe trójmanów perwotnch (czl dla generatorów z jednm odczepem) jest nesmetrczn kształt hstogramu sgnału na wjścu fltru dolnoprzepustowego. Charakterzuje sę on skośnoścą ok. oraz kurtozsem ok. a wartość mnmalna jest ponad dwa raz bardzej odległa od średnej nż wartość maksmalna. a wartośc tch parametrów słabo wpłwa konkretna postać welomanu, bez wększego znaczena jest też to, cz rząd welomanu jest parzst lub cz jest lczbą perwszą. Można stąd wcągnąć wnosek, że wkorzstwane takch welomanów, na przkład w mernkach stop błędów, będze wnosło pewne zafałszowane wnku jeśl w badanm łączu transmsjnm wstępują sprzężena zmennoprądowe (pojemnoścowe, transformatorowe lub w postac tpowego układu sterującego lasera półprzewodnkowego). Także parametr wznaczane na podstawe wzoru oka (współcznnk, jtter tp.) będą obarczone błędem. Oszacowane tego błędu jest możlwe jeśl znana jest postać transmtancj łącza w zakrese małch częstotlwośc. Wdaje sę natomast, że znaczne lepej do generacj sekwencj testowch nadają sę weloman o wększej lczbe współcznnków nezerowch. Otrzmwane dla takch welomanów hstogram są smetrczne cecha ta słabo zależ od konkretnej postac użtego welomanu. Z praktcznego punktu wdzena stotne jest to, że wstarczające jest wkorzstane welomanu o trzech nezerowch współcznnkach, co wmaga użca czterowejścowej bramk EOR w generatorze PRBS. 7. POZIĘKOWAIE Praca bła fnansowana z grantu KB nr TB.. LITERATURA []. C.F. Coombs: Electronc Instrument Handbook, McGraw-Hll, ew York []. A. Lwak, Ł. Ślwczńsk: Laboratorjn mernk btowej stop błędu, PWT []. S. Hakn: Sstem telekomunkacjne, tom, WKŁ, Warszawa, []. R.. Gtln, J.F. Haes: Tmng recover and scramblers n data transmsson, Bell Sstem Techncal Journal, Vol., o., 7, pp. - []. R.. Gtln, J.F. Haes, S.B. Wensten: ata communcatons prncples, Plennum Press, []. J.G. Proaks: gtal communcatons, McGraw- Hll, ew York, [7]. http://www.fchabaud.free.fr []. Ł. Ślwczńsk: Analss of baselne wander and BER performance n transmsson lnks wth lowfrequenc removal, Kwartalnk Elektronk Telekomunkacj, artkuł przjęt do druku []. J.G. Hahn, S.S. Shapro: Statstcal models n engneerng, Wle, PWT - POZAŃ - GRUIA /