Zestaw wybranych wzorów matematycznych

Podobne dokumenty
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/ Sumy algebraiczne

1 Definicja całki oznaczonej

Całkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx

Wymagania kl. 2. Uczeń:

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS /02

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

f(x) = ax 2, gdzie a 0 sności funkcji: f ( x) wyróżnik trójmianu kw.

4. RACHUNEK WEKTOROWY

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Pierwiastek z liczby zespolonej

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

f(g(x))g (x)dx = 6) x 2 1

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

2. ELEMENTY GEOMETRII ANALITYCZNEJ I WEKTOROWEJ

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2016/2017 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE Ib ZAKRES PODSTAWOWY

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania =

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

Wymagania edukacyjne z matematyki

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Pierwiastek z liczby zespolonej

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. I poziom podstawowy

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

Sprawdzian całoroczny kl. III

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 poziom podstawowy

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu

Transkrypt:

Zestw wybrnych wzorów mtemtycznych mtemtyk elementrn pochodne cłki geometri nlityczn w 3D elementy trygonometrii sferycznej Piotr Choczyński p.j.choczynski@wp.pl www.e-korepetycje.net/pjchocz 9.0.07 v.

SPIS TREŚCI Spis treści Mtemtyk Elementrn 3. Wzory skróconego mnożeni................................... 3. Prw dziłń n potęgch i pierwistkch........................... 3.3 Prw dziłń n logrytmch................................. 3.4 Trygonometri.......................................... 3 Pochodne 4. Podstwowe informcje...................................... 4. Pochodne funkcji elementrnych................................ 4.3 Włsności............................................. 4 3 Cłki 5 3. Wzory podstwowe........................................ 5 3. Wzory uogólnione........................................ 5 3.3 Cłki funkcji wymiernych.................................... 6 3.4 Cłki funkcji niewymiernych................................... 7 3.5 Cłki funkcji trygonometrycznych................................ 7 3.6 Zstosowni w geometrii.................................... 8 4 Geometri nlityczn w 3D 9 4. Wektory.............................................. 9 4. Teori pol............................................ 9 4.3 Proste............................................... 0 4.4 Płszczyzny............................................ 0 4.5 Proste i płszczyzny....................................... 5 Elementy Trygonometrii Sferycznej 5. Podstwowe informcje...................................... 5. Twierdzenie cosinusów (dl boków)............................... 3 5.3 Reguł Neper.......................................... 3 5.4 lgorytm rozwiązni zdni metodą klsyczną....................... 3 5.5 Rysunki szczegółowe....................................... 5 L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl)

Mtemtyk Elementrn Mtemtyk Elementrn. Wzory skróconego mnożeni ( ± b) = ± b + b b = ( b)( + b) 3 b 3 = ( b)( + b + b ) 3 + b 3 = ( + b)( b + b ) ( ± b) 3 = 3 ± 3 b + 3b ± b 3. Prw dziłń n potęgch i pierwistkch Dl dowolnych m, n R i, b > 0 : 0 = n = n m n = n m m n = n m ( m ) n = m n ( b) m = m n m n = m n ( b ) m = m b m m n = m+n.3 Prw dziłń n logrytmch Dl dowolnych c > 0, (0; ) (; + ) : log c = b b = c (definicj logrytmu) log (x y) = log x + log y log x y = log x log y log x r = r log x log b c = log c log b Możn stosowć uproszczone formy zpisu: log e x ln x; log 0 x log x lg x.4 Trygonometri Wzory podstwowe: sin α + cos α =, tg α = sin α cos α, ctg α = tg α = cos α sin α Wzory redukcyjne: sin (90 α) = cos α cos (90 α) = sin α tg (90 α) = ctg α ctg (90 α) = tg α sin (80 α) = sin α cos (80 α) = cos α tg (80 α) = tg α ctg (80 α) = ctg α α 0 sin α 0 cos α tg α 0 ctg α nie istnieje π 6 3 3 3 π 4 π 3 3 3 3 3 3 π π 0 0 nie istnieje 0 0 nie istnieje 3 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

Pochodne Pochodne. Podstwowe informcje Definicj Grnic ilorzu różnicowego przy x 0: f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Interpretcj geometryczn pochodnej Tngens nchyleni stycznej do wykresu funkcji w punkcie x 0 : tg α = f f(x 0 + x) f(x 0 ) (x 0 ) = lim x 0 x Interpretcj fizyczn pochodnej orz drugiej pochodnej (po czsie): s v(t) = lim t 0 t = ds dt v (t) = lim t 0 t = dv dt = d dt ( ) ds = d s dt dt Styczn do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0 : y = x + b, gdzie : = f (x 0 ), b = f(x 0 ) f (x 0 ) x 0. Pochodne funkcji elementrnych (C) = 0 (sin x) = cos x (x) = (cos x) = sin x (x n ) = nx n (tg x) = cos x ( ) = x x (ctg x) = sin x ( x ) = (rcsin x) = x x ( x ) = x ln (rccos x) = x (e x ) = e x (rctg x) = x + (log x) = (rcctg x) = x ln x + (ln x) = x.3 Włsności [ f(x)] = f (x) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) [ ] f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) [g(x)] [ f [ g(x) ]] = f [ g(x) ] g (x) L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 4

Cłki 3 Cłki 3. Wzory podstwowe 0 dx = C dx = x + C x n dx = xn+ + C n + (n ) x dx = ln x + C dx = rctg x + C + x dx = rcsin x + C x x dx e x dx sin x dx cos x dx = x ln + C = e x + C = cos x + C = sin x + C sin dx = ctg x + C x cos dx = tg x + C x 3. Wzory uogólnione dx + x = rctg x + C ( 0) dx x dx x ± = rcsin x + C = ln x + x ± + C f (x) f(x) dx = ln f(x) + C x + b dx = x + b f (x) f(x) dx = f(x) + C + C x dx ± x = ± ± x + C e x dx = ex + C dx x = ln + x x + C ( 0) cos x dx = sin x + C x dx ± x = ± ln ± x + C sin x dx = cos x + C x dx = x x + rcsin x + C ( > 0) x ± dx = x x ± + x ln + x ± + C wzór n cłkownie przez części: u(x)v (x) dx = u(x) v (x) u (x) v(x) = u(x)v(x) v(x)u (x) dx 5 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

Cłki 3.3 Cłki funkcji wymiernych Pn (x) Wszystkie cłki postci Q m (x) dx, gdzie P n(x) to wielomin n-tego stopni, Q m (x) to wielomin m-tego stopni możemy podzielić n nstępujące przypdki:. n m Poprzez dzielenie wielominu doprowdzmy wyrżenie podcłkowe do postci: P n (x) Q m (x) = R n m(x) + S k(x) Q m (x), gdzie k < m Wyrżenie R n m (x) rozwiązujemy stndrdowym wzorem n cłkę z wielominu, ntomist S k(x) Q m (x) z pomocą metody z punktu.. n < m Doprowdzmy minownik do postci iloczynowej (czynników stopni co njwyżej drugiego) i przedstwimy go w postci ułmków prostych: (x + ) k, x + B (x + p x + q) l, l, n N N przykłd: x (x )(x x + ) dx = ( x + B x + C x + D x + + Ex + F ) x dx x + Poszczególne elementy występujące w powyższej cłce rozwiązujemy jedną z poniższych metod (gdzie m to stopień wielominu z minownik, n to stopień wielominu z licznik): () (m = ) Stosujemy wzór: dx = ln x ± p + C x ± p (b) (m ) (n = 0) Podstwimy pod t wyrżenie stojące pod potęgą i korzystmy ze wzoru: t n dx = tn+ n + + C (c) (m = ) ( < 0) (n = 0) Doprowdzmy minownik do postci (x p) + q i po podstwieniu t = x p orz q = korzystmy ze wzoru: dt + t = rctg t + C (d) (m = ) (n = ) Doprowdzmy licznik do postci pochodnej minownik i stosujemy wzory: f (x) dt dx = ln f(x) + C f(x) + t = rctg t + C L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 6

Cłki 3.4 Cłki funkcji niewymiernych Do cłek postci: ( ) x + b R x, n dx, d bc 0 cx + d Stosujemy podstwienie typu: t = n x + b cx + d, tn = x + b cx + d, x = ϕ(t), dx = ϕ (t) dt 3.5 Cłki funkcji trygonometrycznych. Cłki typu R(sin x, cos bx) dx, rozwiązujemy, stosując jeden z nstępujących wzorów: cos(α β) cos(β α) sin α sin β = sin(α β) + sin(α + β) sin α cos β = cos(α β) + cos(α + β) cos α cos β =. Cłki typu R(sin m x, cos n x) dx rozwiązujemy stosując jedną z poniższych metod: () Podstwienie, gdy funkcj jest nieprzyst względem sin x: t = cos x (b) Podstwienie, gdy funkcj jest nieprzyst względem cos x: t = sin x Przykłd: sin n x cos k+ x dx = sin n x cos k x cos x dx = sin n x( sin x) k d(sin x) (c) Podstwienie, gdy funkcj jest przyst wzgledem sin x, cos x: Stosujemy podstwienie: t = tg x, sin x = t, cos x = dt, dx = + t + t + t lub przeksztłcmy funkcję podcłkową jednym z poniższych wzorów: sin x = ( cos x), cos x = ( + cos x), sin x cos x = sin x (d) Podstwienie, gdy funkcj nie spełni wrunków ()-(c) (tzw. podstwienie uniwerslne): t = tg x t t dt, sin x =, cos x =, dx = + t + t + t 7 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

Cłki 3.6 Zstosowni w geometrii. Objętość bryły obrotowej powstłej w wyniku obrotu funkcji dookoł osi OX: Funkcj dn jwnie y = y(x), x b b V = π y (x) dx Funkcj dn prmetrycznie x = x(t), y = y(t), α t β β V = π y (t) x (t) dt α. Pole powierzchni bryły obrotowej powstłej w wyniku obrotu funkcji dookoł osi OX: Funkcj dn jwnie y = y(x) 0, x b b S = π y(x) + [y (x)] dx Funkcj dn prmetrycznie x = x(t), y = y(t), α t β S = π β 3. Długość łuku funkcji: α y(t) [x (t)] + [y (t)] dt Funkcj dn jwnie y = y(x), x b L = b + [f (x)] dx Funkcj dn prmetrycznie x = x(t), y = y(t), α t β L = β α [x (t)] + [y (t)] dt L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 8

Geometri nlityczn w 3D 4 Geometri nlityczn w 3D 4. Wektory Iloczyn sklrny: Iloczyn wektorowy: b = b = x b x + y b y + z b z = b cos ϕ î ĵ ˆk x y z b x b y b z, b = b sin ϕ W wyniku obliczeni iloczynu wektorowego otrzymujemy trzeci wektor c, który jest prostopdły do obydwu wektorów orz b. Iloczyn mieszny: ( ) b c = x y z b x b y b z c x c y c z Prostopdłość (ortogonlność) wektorów: b cos ϕ = 0 b = 0 Równoległość (kolinerność) wektorów: b sin ϕ = 0 b = b = 3 b 3 Pole równoległoboku zbudownego n dwóch wektorch: S = b Pole trójkąt zbudownego n dwóch wektorch: S = b Objętość równoległościnu zbudownego n trzech wektorch: V = ( B) C Objętość czworościnu zbudownego n trzech wektorch: V = 6 ( B) C Rzut wektor n wektor b: b = b b b 4. Teori pol Grdient pol sklrnego f: f(x, y, z) = Dywergencj pol wektorowego F = (F x, F y, F z ): [ f x, f y, f ] z F (x, y, z) = F x x + F y y + F z z Rotcj pol wektorowego F = (F x, F y, F z ): F î ĵ ˆk = x y z F x F y F z Pochodn kierunkow: u f(x 0, y 0, z 0 ) = f u (x 0, y 0, z 0 ) = f(x 0, y 0, z 0 ) u 9 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

Geometri nlityczn w 3D 4.3 Proste x x o Równnie kierunkowe: = y y o b { x = xo lub gdy = 0 bc 0 y y o b = z zo c = z z o, gdy bc 0 c orz nlogicznie dl pozostłych. Równnie prmetryczne: x = x o + t y = y o + bt z = z o + ct Prost wychodząc z punktu P o = (x o, y o, z o ) przeciągnięt przez wektor v = [, b, c] Równnie krwędziowe (przecięcie dwóch płszczyzn nierównoległych) l : { x + B y + C z + D = 0 x + B y + C z + D = 0 Równnie prostej przechodzącej przez punkty i B: x x x x B = y y y y B = z z z z B Wzjemne położenie prostych Prostopdłość: + b b + c c = 0 Równoległość: = b = c b c Przecinnie się: #» P 0 P 0, #» v, #» v są liniowo zleżne i nie spełniją wrunku równoległości. Skośność (proste nie leżą w jednej płszczyźnie): #» P 0 P 0, #» v, #» v są liniowo niezleżne. 4.4 Płszczyzny Równnie ogólne płszczyzny: x + By + Cz + D = 0 Wektor prostopdły do płszczyzny R = [, B, C] Prostopdłość/równoległość płszczyzn określ się przy pomocy prostopdłości/równoległości ich wektorów normlnych: Prostopdłość płszczyzn: + B B + C C = 0 Równoległość płszczyzn: = B B = C C Równnie odcinkowe płszczyzny: x + y b + z c = L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 0

Geometri nlityczn w 3D Równnie płszczyzny przechodzącej przez 3 punkty niewspółliniowe: x x y y z z x x y y z z x 3 x y 3 y z 3 z = 0 Odległość punktu od płszczyzny: d = x o + By o + Cz o + D + B + C Kąt między płszczyznmi (kąt między wektormi normlnymi do płszczyzn): R cos ϕ = R R R = + B B + C C + B + C + B + C Płszczyzn styczn do wykresu funkcji F (x, y, z) w punkcie P o (x o, y o, z o ): F x (P o )(x x o ) + F y (P o )(y y o ) + F z (P o )(z z o ) = 0 4.5 Proste i płszczyzny Prostopdłość/równoległość prostej i płszczyzny: x = x o + t l : y = y o + bt, α : x + By + Cz + D = 0 z = z o + ct Wektor u(, b, c) jest równoległy do prostej l Wektor R(, B, C) jest prostopdły do płszczyzny α Wrunek prostopdłości: l α u R = B b = C c Wrunek równoległości: l α u R + Bb + Cc = 0 Punkt przebici prostej z płszczyzną Wyznczmy prmetr t podstwijąc l do α: (x o + t) + B(y o + bt) + C(z o + ct) + D = 0 Współrzędne punktu przebici otrzymmy podstwijąc prmetr t do równni prostej l. Kąt nchyleni prostej do płszczyzny: sin ϕ = + Bb + Cc + B + C + b + c Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

Elementy Trygonometrii Sferycznej 5 Elementy Trygonometrii Sferycznej 5. Podstwowe informcje Trygonometri sferyczn zjmuje się związkmi w trójkątch n powierzchni kuli, czyli tzw. trójkątch sferycznych. Trójkąt sferyczny jest figurą, której bokmi są łuki kół wielkich przechodzące przez kżdą z pr spośród trzech punktów będących jego wierzchołkmi. Poniżej znjdują się dw przykłdowe trójkąty sferyczne. C C b B b d d B W trójkącie sferycznym mirą zrówno kątów, B, C jk i boków, b, d są stopnie. Jego boki są łukmi wyrżonymi w mierze swoich kątów środkowych. Podstwowe włsności trójkątów sferycznych: Kżdy element trójkąt sferycznego jest mniejszy od 80, 0 < + b + c < 80, 80 < + B + C < 540, Nprzeciw dłuższego boku leży większy kąt. W celch nwigcyjnych rozwżne trójkąty sferyczne będą posidły jeden wierzchołek (C) n biegunie północnym. Boki, b leżą n południkch przechodzących odpowiednio przez punkty B,. Ortodrom jest krótszym łukiem koł wielkiego przechodzącego przez dw punkty n sferze i wyzncz njkrótszą drogę między nimi (tzw. odległość ortodromiczną między punktmi i B oznczoną jko d). Jest on zwsze wygięt w kierunku bliższego biegun. Kąty drogi są mierzone zwsze względem ruchu wskzówek zegr, między południkiem przechodzącym przez dny punkt dodtnim kierunkiem ruchu. Szczegółowo jest to zobrzowne n rysunkch n stronie 5. Są n nich zznczone wszystkie elementy zrówno trójkąt sferycznego jk i smej ortodromy, które musimy wyznczyć. by poruszć się po ortodromie, kąt drogi musi być cły czs zmieniny (poz przypdkiem poruszni się po równiku - wtedy kąt drogi wynosi stle 90 lub 70, lub po dowolnym południku - wtedy kąt drogi wynosi stle 0 lub 80 ). Wierzchołki ortodromy to dw punkty W orz W leżące n kole wielkim zwierjącym dną ortodromę, wysunięte njbrdziej n północ orz njbrdziej n południe. współrzędne geogrficzne skłdją się z szerokości geogrficznej (N,S) podwnej w zkresie [ 90 ; 90 ]. (jko odchylenie n północ lub południe od równik) orz z długości geogrficznej (E,W) podwnej w zkresie [ 80 ; 80 ] (jko odchylenie n wschód lub zchód od południk zerowego). L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl)

Elementy Trygonometrii Sferycznej 5. Twierdzenie cosinusów (dl boków) W dowolnym trójkącie sferycznym BCbd możemy zdefiniowć nstępujące wzory: cos = cos b cos d + sin b sin d cos cos b = cos cos d + sin sin d cos B cos d = cos cos b + sin sin b cos C C C 5.3 Reguł Neper C c c W celu znlezieni wysokości trójkąt sferycznego orz miry kąt przylegjącego do niej możn b h b h skorzystć z tzw. reguły Neper. Poniżej znjdują się przykłdowe b 90 -h rysunki dl przypdków kiedy wysokość trójkąt znjduje d siębwewnątrz trójkąt orz poz nim. d d C C 90 -d C c b b c h B d d C c c C d c c B h d h C C b d h h d 80 -B h b 90 -h 90 -d Jeśli rozmieścimy pięć elementów prostokątnego trójkąt sferycznego n pięciokącie (pomijjąc kąt prosty) w tkiej b kolejności, w jkiej występują w trójkącie i zstąpimy przy tym przyprostokątne ich dopełnienimi do 90, to: d d d B 80 -B 80 -B 90 -d cosinus kżdego z elementów jest równy iloczynowi cotngensów dwóch przylegjących do niego elementów, 80 -B C C 90 -h 90 -d 90 -h cosinus kżdego z elementów jest równy iloczynowi sinusów dwóch nieprzylegjących do niego elementów. W szczególności (n podstwie górnego rysunku): cos (90 h) = sin b sin sin h = sin b sin cos b = ctg C ctg cos b = tg C = tg C tg cos b tg Do rozwiązni powyższych równń zstosowno m.in. wzór ctg α = orz wzory redukcyjne: tg α sin (90 α) = cos α cos (90 α) = sin α ctg (90 α) = tg α sin (80 α) = sin α cos (80 α) = cos α ctg (80 α) = ctg α 5.4 lgorytm rozwiązni zdni metodą klsyczną N wejściu otrzymujemy współrzędne geogrficzne dwóch punktów (początkowego i końcowego). Przykłdowo: (5 46 S; 73 4 W); B(34 54 S; 95 00 E) Celem zdni jest wyznczenie odległości ortodromicznej (d) pomiędzy nimi, początkowego kąt drogi (α), końcowego kąt drogi (β) orz współrzędnych wierzchołków ortodromy W i W. 3 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX

Elementy Trygonometrii Sferycznej ETPY ROZWIĄZNI:. Zmienimy współrzędne geogrficzne obu punktów n wrtości liczbowe szerokości (ϕ) orz długości geogrficznych (λ) korzystjąc z przyjętej konwencji znków: (+) dl NE, (-) dl SW.. Rysujemy rzut równikowy (jest on przedstwiony n 5. stronie) i zznczmy długości geogrficzne obu punktów (w celu sprwdzeni w którą stronę będzie krótsz drog: W E czy E W ). Kierunek drogi łtwo jest również ustlić n podstwie płskiego odwzorowni Ziemi. Drog n wschód zwsze będzie n nim odwzorown jko drog w prwo. UWG: Nwet płynąc w prwo ze wschodniej półkuli n zchodnią (przecinjąc południk 80 ) jest to trktowne jko drog z zchodu n wschód. nlogicznie jest dl przeciwnego kierunku. 80 W 0 80 E 80 W 0 80 E 3. Wyznczmy, b, C (przyjmujemy λ = λ B λ ): { = 90 ϕ B λ gdy λ 80 C = b = 90 ϕ 360 λ gdy λ > 80 4. Wyznczmy odległość ortodromiczną z twierdzeni cosinusów (5.). by wyznczyć ją w milch morskich (Mm) mnożymy otrzymny w stopnich wynik przez 60. 5. Wyznczmy miry kątów, B - z twierdzeni cosinusów (5.), po wyznczeniu z odpowiednich równń cosinusów kątów: cos = cos cos b cos d sin b sin d 6. Obliczmy początkowy orz końcowy kąt drogi: cos B = cos b cos cos d sin sin d W E : { α = β = 80 B E W : { α = 360 β = 80 + B 7. Wprowdzmy do nszego trójkąt BCbd wysokość h wychodzącą z wierzchołk C i obliczmy wrtości C (lub C ) orz h korzystjąc z reguły Neper (5.3). Jeżeli kąty, B są jednorodne (ob rozwrte lub ob ostre) to wysokość h będzie leżł wewnątrz trójkąt, jeżeli są niejednorodne to wysokość będzie leżł n zewnątrz, po stronie kąt rozwrtego. Wysokość h przecin koło wielkie nszej ortodromy w punkcie będącym jej wierzchołkiem W. UWG: Przy wyznczniu dowolnej wielkości z funkcji sin h otrzymujemy dw możliwe rozwiązni: (h) orz (80 h). N podstwie włsności trójkąt sferycznego wybiermy jedyne włściwe rozwiąznie. Często wystrczy zuwżenie n podstwie rysunku, czy wysokość powinn być większ czy mniejsz niż 90 (czyli n której półkuli spodziewmy się wierzchołk W ). 8. Obliczmy wierzchołki ortodromy wykorzystując podne wzory, nstępnie zznczmy długości λ W orz λ W n rzucie równikowym (rysunek n stronie obok): { { ϕw = 90 W = h ϕw = ϕ W λ W = λ ± C λ B ± C = W λ W = λ W ± 80 * Prwidłową zleżność wybiermy n podstwie rysunku, biorąc pod uwgę odchylenie wysokości (o kąt C lub C ) od odpowiedniego południk (biegnącego do punktu lub B). ** Tk, by λ W [ 80, 80 ] - czyli by mił sens długości geogrficznej. L TEX Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) 4

Elementy Trygonometrii Sferycznej 5.5 Rysunki szczegółowe W - 0 - E λ Δλ λw λ B λw 80 Rysunek : Kompletny rysunek przy kursie W E wrz z rzutem równikowym W - 0 - E λ B λ Δλ λw λw 80 Rysunek 3: Kompletny rysunek przy kursie E W wrz z rzutem równikowym 5 Piotr Choczyński (p.j.choczynski@wp.pl) L TEX