Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Podobne dokumenty
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 3 Wyznaczniki

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Przestrzenie liniowe w zadaniach

Układy liniowo niezależne

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Układy równań liniowych

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe

Przekształcenia liniowe

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

1 Zbiory i działania na zbiorach.

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Układy równań i nierówności liniowych

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

13 Układy równań liniowych

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Egzamin z algebry liniowej 2003 r.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych

Zastosowania wyznaczników

Rozwiązania, seria 5.

Własności wyznacznika

Macierze i Wyznaczniki

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

1 Macierze i wyznaczniki

Przekształcenia liniowe

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Przestrzenie wektorowe

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

1 Układy równań liniowych

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Układy równań liniowych

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wektory i wartości własne

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Wektory i wartości własne

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Analiza funkcjonalna 1.

Przestrzenie liniowe

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

14. Przestrzenie liniowe

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach

Rozdzia l 10. Formy dwuliniowe i kwadratowe Formy dwuliniowe Definicja i przyk lady

Zaawansowane metody numeryczne

A. Strojnowski - Twierdzenie Jordana 1

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

Algebra liniowa z geometrią

3 Przestrzenie liniowe

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

Praca domowa - seria 6

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

Transkrypt:

Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,, α n ), czyli każdy wektor V jest kombinacja wektorów α,, α n Przyk lad 9 Dla dowolnego cia la K wektory ε,, ε n K n tworza K n na mocy przyk ladów 82 i 84 Te K n nazywamy baza kanoniczna Przyk lad 92 Baza C R jest zbiór {, i} Twierdzenie 93 (Steinitza o wymianie) Jeżeli wektory α,, α n tworza liniowej V, a wektory β,, β k V sa liniowo niezależne, to k n oraz spośród wektorów α,, α n można wybrać n k wektorów, które l acznie z wektorami β,, β k tworza V Wniosek 94 Każde dwie skończone bazy liniowej maja tyle samo elementów 2 Wymiar liniowej Za lóżmy, że przestrzeń V posiada {α,, α n } Wówczas mówimy, że V jest a skończenie wymiarowa oraz liczbe n nazywamy wymiarem V Piszemy też wtedy, że dim(v ) = n Jeżeli V = {Θ}, to dim(v ) = 0 Przyk lad 95 Dla dowolnego cia la K wymiar K n jest równy n tzn dim(k n ) = n Przyk lad 96 Przestrzeń liniowa R Q nie jest skończenie wymiarowa, gdyż można wykazać, że dla dowolnych różnych liczb pierwszych p,, p k i dla dowolnego naturalnego k wektory log p,, log p k sa liniowo niezależne Twierdzenie 97 Niech V bedzie skończonego wymiaru i niech W bedzie jej poda Wówczas: (i) dim(w ) dim(v ), (ii) jeżeli dim(w ) = dim(v ), to W = V, (iii) jeżeli V i V 2 sa podami V, to zachodzi wzór: dim(v + V 2 ) = dim(v ) + dim(v 2 ) dim(v V 2 )

Twierdzenie 98 Niech V bedzie skończonego wymiaru n Wówczas dla wektorów α,, α n V równoważne sa warunki: (i) wektory α,, α n tworza V, (ii) wektory α,, α n generuja przestrzeń V, (iii) wektory α,, α n sa liniowo niezależne Niech α = [a, a 2,, a n ],, α k = [a k, a k2,, a kn ] () bed a wektorami liniowej K n dla ustalonego cia la K Wówczas macierz a a 2 a n a A = 2 a 22 a 2n a k a k2 a kn nazywamy macierza uk ladu wektorów α,, α k Zatem wektory α,, α k można uważać za wiersze macierzy A Twierdzenie 99 Niech wektory α,, α k bed a dane wzorami () i niech W = L(α,, α k ) oraz niech A bedzie macierza tego uk ladu wektorów Wówczas (i) dim(w ) = r(a); (ii) wektory α,, α k sa liniowo niezależne wtedy, i tylko wtedy, gdy r(a) = k (iii) jeżeli k = n, to wektory α,, α n tworza K n wtedy, i tylko wtedy, gdy det(a) 0 Przyk lad 90 Zbadamy dla jakich wartości parametru a wektory [a,, 0], [, a, 3], [a,, ] a 0 R 3 sa liniowo niezależne Macierz tego uk ladu wektorów ma postać A = a 3 Z a twierdzeń 98 i 99 wynika, że nasze wektory sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 det(a) 0 Ale det(a) w 3 w = a 3 = ( ) 3+3 a a = a2, wiec det(a) = 0 0 0 wtedy, i tylko wtedy, gdy a = lub a = Zatem nasze wektory sa liniowo niezależne jedynie dla wszystkich liczb rzeczywistych a, Z twierdzenia 98 wynika, że dla takich a nasze wektory tworza R 3 Przyk lad 9 Znajdziemy wymiar pod W R 4 generowanej przez wektory [, 2, 3, ], [2,, 2, 3], [3, 3, 5, 4], [3, 0,, 5] Macierza tego uk ladu wektorów jest A = 2 3 2 2 3 3 3 5 4 Obliczamy rz ad macierzy A wykonujac operacje w 2 w 2 i w 3 3 w 2 : 3 0 5 2

r(a) = r 3 0 5 2 2 3 3 0 5 3 0 5 = + r 3 5 3 5 3 5 Po wykonaniu operacji w + w 3 oraz w 2 + w 3 uzyskamy ostatecznie, że r(a) = + = 2 Zatem z twierdzenia 99, dim(w ) = 2 3 Operacje elementarne na uk ladzie wektorów Wyróżniamy nastepuj ace operacje elementarne na uk ladzie wektorów α,, α n V : (a) Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a Oznaczenie: a w i Operacja odwrotna: a w i (b) Zamiana miejscami wektora i-tego z wektorem j-tym (i < j) Oznaczenie: w i w j Operacja odwrotna: w i w j (c) Dodanie do j-tego wektora wektora i-tego (i j) pomnożonego przez dowolny skalar a Oznaczenie: w j + a w i Przy tej operacji zmienia sie tylko wektor w j Operacja odwrotna: w j + ( a) w i Twierdzenie 92 Niech wektory β,, β n powstaja z wektorów α,, α n przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych Wówczas L (i) L(β,, β n ) = L(α,, α n ) (zapis: ); (ii) wektory β,, β n sa lnz wektory α,, α n sa lnz (zapis: lnz ); (iii) wektory β,, β n tworza V wektory α,, α n tworza V (zapis: baza ) Twierdzenie 93 Niech a, a 22,, a nn bed a niezerowymi elementami cia la K i niech a ij K dla wszystkich i < j oraz niech macierz uk ladu wektorów α,, α n K n ma postać a a 2 a 3 a n 0 a 22 a 23 a 2n A = 0 0 a 33 a 3n (2) 0 0 0 a nn Wówczas zbiór {α,, α n } jest baza V i każdy jego podzbiór jest zbiorem liniowo niezależnym Twierdzenia 92 i 93 daja nowy algorytm badania liniowej niezależności dowolnego skończonego uk ladu wektorów Umożliwiaja one także szybkie znalezienie bazy pod K n generowanej przez skończony uk lad wektorów Baza dowolnej niezerowej pod K n może być przedstawiona jako podzbiór uk ladu wektorów z twierdzenia 3

93 Algorytm znajdowania takiej bazy jest bardzo podobny do eliminacji Gaussa Wygodnie jest wykonywać operacje elementarne nie na uk ladzie wektorów, lecz na wierszach macierzy tego uk ladu (należy przy tym pamietać, aby nie ruszać kolumn tej macierzy!) W takich rachunkach możemy wykreślać wiersze z lożone z samych zer Twierdzenia te umożliwiaja nam też szybkie uzupe lnienie dowolnego uk ladu liniowo niezależnego K n do bazy tej przy pomocy wektorów wybranych z bazy kanonicznej Przyk lad 94 Znajdziemy pod W R 4 generowanej przez wektory: [, 4, 3, 2], [3, 7, 5, 3], [3, 2,, 0], [ 4,, 0, ] W tym celu stosujemy twierdzenie 92 Wygodnie jest wykonywać operacje elementarne na wierszach macierzy A - tego uk ladu wektorów Wszystkierównoważności dotycza pod generowanej: 4 3 2 4 3 2 4 3 2 3 7 5 3 w 2 w 3 w 3 +3 w 3 2 0 3 2 0 0 0 8 6 4 0 4 0 4 0 4 3 2 0 0 8 6 0 5 2 9 4 3 2 0 0 0 0 w 3 +2 w 2 [ 4 3 2 0 0 0 0 0 5 2 9 4 3 2 ] W jest zbiór {[, 4, 3, 2], [0, 5, 4, 3]}, skad dim(w ) = 2 4 3 2 0 5 2 9 w 4 4 w w 3 3 w 2 Zatem z twierdzenia 93 baza pod Przyk lad 95 Znajdziemy R 4 zawierajac a wektory: [2, 3, 4, 5], [3, 4, 8, 9] Najpierw [ stosujemy ] operacje [ elementarne ] na wierszach [ macierzy] A - tego uk ladu wektorów: 3 4 8 9 w w 2 4 4 w 2 2 w 4 4 2 3 4 5 2 3 4 5 0 4 3 Zatem z twierdzeń 92 i 93 wektory nasze sa liniowo niezależne i z twierdzenia 93 można je uzupe lnić do bazy R 4 Na mocy twierdzenia 93 wektory [,, 4, 4], [0,, 4, 3], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ] tworza R 4, gdyż macierz tego uk ladu wektorów ma postać: 4 4 0 4 3 0 0 0 0 0 0 Zatem wektory: [2, 3, 4, 5], [3, 4, 8, 9], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ] też tworza tej Twierdzenie 96 Za lóżmy, że wektory α,, α n liniowej V sa liniowo niezależne Wówczas wektor α V jest kombinacja tych wektorów wtedy, i tylko wtedy, gdy wektory α, α,, α n sa liniowo zależne Z twierdzenia 96 wynika, że aby sprawdzić, czy wektor α jest kombinacja wektorów 4

β,, β k należy najpierw znaleźć α,, α n pod L(β,, β k ), a nastepnie sprawdzić, czy wektory α, α,, α n sa liniowo zależne Możemy to zrobić stosujac operacje elementarne 4 Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie 97 W R 4 zbadać niezależność wektorów: [, 4, 7, 0], [2, 5, 8, ], [2, 6, 9, 2] Odp Wektory te sa liniowo zależne Zadanie 98 Dla jakich a R wektory [,, ], [, a, 2], [2, 3, 4] tworza R 3? Odp a 3 2 Zadanie 99 Pokazać, że V = {[x, y, z] R 3 : x + y + z = 0} jest poda R 3 Wyznaczyć i wymiar V Odp Baza V jest {[, 0, ], [0,, ]} i dim V = 2 Zadanie 920 Znaleźć i wymiar pod V R 4 generowanej przez wektory: [, 3, 4, 2], [3, 5, 7, 3], [3,, 2, 0], [ 4, 0,, ] Odp Baza V jest {[, 3, 4, 2], [0, 4, 5, 3]} oraz dim(v ) = 2 Zadanie 92 Znajdź i wymiar pod V R 5 generowanej przez wektory: [ 3,, 5, 3, 2], [2, 3, 0,, 0], [, 2, 3, 2, ], [3, 5,, 3, ], [3, 0,, 0, 0] Uzupe lnij znaleziona pod V do bazy ca lej R 5 Odp Baza V jest {[, 3,,, 0], [0,, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 2, 9]}, dim(v ) = 3 Szukana baza R 5 jest {[, 3,,, 0], [0,, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 2, 9], [0, 0, 0,, 0], [0, 0, 0, 0, ]} Zadanie 922 W liniowej R 4 dane sa pode: V = L([,, 0, 0], [0,,, 0], [0, 0,, ]), W = L([, 0,, 0], [0, 2,, ], [, 2,, 2]) Wyznacz i wymiar pod: a) V, b) W, c) V + W, d) V W Odp a) Baza V jest {[,, 0, 0], [0,,, 0], [0, 0,, ]} oraz dim V = 3 b) Baza W jest {[, 0,, 0], [0,, 0, ], [0, 0,, ]} oraz dim W = 3 c) Baza V + W jest {[, 0, 0, 0], [0,, 0, 0], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ]}, dim(v +W ) = 4 i V +W = R 4 d) Baza V W jest {[, 0, 0, ], [0,,, 0]} oraz dim(v W ) = 2 5