1 Widomości wstępn 11 Wprowdzni szym clm jst zpoznni czytlnik z podstwmi nizbędnymi do wysłuchni wykłdu mchniki kwntowj i trmodynmiki ożn go przdstwić obrzowo, porównując mtmtykę do smochodu: 1 o jgo prowdzni potrzbn jst prwo jzdy, jgo posidcz m widzić do czgo służy kirownic i jki są podstwow funkcj różnych dżwigni i przycisków, m znć przpisy ruchu W mtmtyc odpowid to znjomości tbliczki mnożni, którj wyrfinowną formą jst umijętność prwidłowgo wypłnini PITu oświdczony kirowc dodtkowo zn się n budowi smochodu, potrfi rozpoznć problm i powidzić mchnikowi w wrsztci co m zrobić Rozumi swój wóz i potrfi przprowdzić drobn nprwy 3 chnik smochodowy zn dziłni mchnizmów i wi co jk jst zbudown Widz z nstępngo tpu jst przydtn, lcz przd wszystkim m doświdczni, którgo ni możn zdobyć szkolnim 4 Konstruktor zn z szczgółmi tjniki budowy i potrfi skonstruowć nowy pojzd tudnci mtmtyki są ksztłcni do tkigo poziomu, by móc być ztrudnionym w chrktrz stżystu u boku konstruktor sz cl to osiągnięci poziomu drugigo, co ozncz zrozumini postw mchniki kwntowj, tk by móc pogdć z fchowcm, dzięki prktyc osiągnąć poziom czldnik i mjstr Aby przybliżyć nsz cl, będę opowidł o mtmtyc, więcj i szrzj niż n wykłdzi A, l gzmin ni będzi trudnijszy Położymy ncisk n wyjśnini związków pomiędzy fktmi niżli n budowni formlnj torii i będzimy zbyt głęboko wchodzić w szczgóły, dowody będą szkicown lub pomijn, w cłości przprowdzn tylko t njbrdzij typow Czytlnik m nbyć wprwę w oprowni pojęcimi w prktyc, tj liczyć Jdnoczśni czytlnik powinim oswoić się z mtodą ddukcyjną, dobrym punktm wyjści jst bstrkcyjn, cz łtw tori mnogości 1 biory i dziłni n nich wykl pirwszy wykłd uniwrsytcki mtmtyki zczyn się od stwirdzni, ż od słuchczy ni jst wymgn żdn widz Jst to oczywiści przsd, bo bgż doświdczń jst brdzo pomocny Al kryj się w tym stwirdzniu zirno prwdy: minowici musimy zcząć od uzgodnini język Językim mtmtyki jst ksjomtyczn tori mnogości z swym zspołm pwników i pojęć pirwotnych Pojęci pirwotn uznj się z znn Pwniki to twirdzni uznn z prwdziw bz dowodu i jst nszym clm poprwn konstruowni torii mnogości, bo jst strnny wykłd zwińczony ściłą dfinicją liczb rzczywistych trwłby pół roku, co ni wchodzi w grę Tym ni mnij musimy jj nico liznąć kłdm, ż wszyscy widzą co to są zbiory (jst to włśni owo ni dfiniown pojęci pirwotn biór A możn zdfiniowć wyliczjąc jgo lmnty, np, jdnk n ogół jst to niwykonln jk w będą to nsz główn obikty zin- przypdku zbioru liczb rzczywistych, zspolonych 1
trsowni Będzimy pisć ( jst lmntm lub nlży do Uniwrslnym przykłdm jst zbiór pusty, który ni zwir żdngo lmntu (tj jst prwdziw zdni: dl kżdgo, niprwdą jst, ż nlży do, inny przykłd 11 ziłni n zbiorch jąc dw zbiory i możmy utworzyć ich sumę finicj 1 Powimy, ż nlży do sumy zbiorów i, ozncznj, wtdy i tylko wtdy, gdy lub, piszmy tż lub ożmy utworzyć przcięci zbiorów i finicj Iloczynm (przcięcim zbiorów i jst zbiór! nlży do i nlży do okrślony nstępująco: ilustrujmy t dfinicj prostymi przykłdmi: nich ozncz zbiór liczb przystych, zś jst zbiorm liczb cłkowitych zbiór liczb niprzystych Wtdy i " Inną wżną oprcją jst różnic zbiorów, #, okrślon poniżj "# $% nlży do i ni nlży do finicj 3 Przykłd 1 Jśli jst zbiorm liczb rzczywistych, zś jst zbiorm liczb dodtnich liczb jst zbiorm niujmnych liczb rzczywistych rzczywistych, to # uwżmy tż, ż zwsz jst prwdą, iż "# ( Wrto w tym momnci zwrócić uwgę n możliwość zobrzowni powyższych oprcji z pomocą tzw okręgów Eulr, Wżnymi pojęcimi są podzbiór i zwirni się zbiorów finicj 4 Powimy, ż jst podzbiorm (piszmy lub zwir się w, wtdy i tylko wtdy, gdy, pociąg Oczywiści, dl kżdgo zbioru mmy, ż, -, * Odnotujmy trz prosty fkt twirdzni 1 Jśli i, to / owód złożni, jśli, to, dodtkowo, jśli, to, tj wtdy i tylko wtdy, gdy 01 Umówmy się, ż znk 01 ozncz konic dowodu Potrzbn nm będą rguły tworzni podzbiorów A minowici podzbiory możmy okrślć nstępująco! $ m włściwość 3
I Trzb tu wyrźni powidzić, ż jst podzbiorm tylko dl rozsądnych wyrżń 3 i jgo istnini jst pwnikim Gdy dodtnią jst rozsądn, więc 46 jst zbiorm jst zbiorm liczb rzczywistych, to zdni jst liczbą jst liczbą dodtnią Inną wżną prostą oprcją jst iloczyn krtzjński (lub po prostu produkt 87 i o jgo dfinicji jst potrzbn pojęci pry uporz : pirwszym lmntm pry jst, drugim Ściśl rzcz ujmując 9: ; < *=>?< ożn wykzć ż :@ zostwimy Czytlnikowi jko ćwiczni włsn nstępująco: zbiorów dkownj Jst to intuicyjni jsn wtdy i tylko wtdy gdy A i B @ Prosty dowód Trz dfiniujmy 7 7 jst zbiorm pr uporządkownych tkich, ż i Jśli to zmist 7C piszmy E ożmy krtzjńsko mnożyć większą ilość 7JIE7 7E KLK finicj zbiorów piszącgh7 Powyższy zbiór jst złożony z tk uporządkownych, których dfinicj jst dość oczywist Odnotujmy tylko, ż O P 9: itp Przykłd ich będzi zbiorm liczb rzczywistych, wtdy Q7 Q77 jst płszczyzną Euklidsową, jj lmnty, to punkty płszczyzny; jst przstrznią Euklidsową, jj lmnty, to punkty 13 Rlcj Pojęci rlcji jst wstępm do ścisłgo ujęci funkcji, któr jst intuicyjni dobrz znn: ozncz on, ż kżdmu lmntowi zbioru R umimy jdnoznczni przypisć lmnt T nlżący do U, (piszmy czsm WVX TP W nidlkij przyszłości będzimy przprowdzć oprcj n funkcjch, tworzyć zbiory funkcji, dltgo chcilibyśmy więc mić jsność co do ntury tgo obiktu i jst to ćwiczni czysto kdmicki, bo mchnikę kwntową uprwi się w zbiorch, których lmntmi są funkcj włśni cznimy od dfinicji rlcji 4 finicj Y7 6 ich będą dn dw zbiory i Rlcją 4 nzywmy dowolny podzbiór Jśli Y, to mówimy, ż mmy rlcję 4 4[ w Piszmy n oznczni fktu, ż jst w rlcji z Przykłd 3 ich będzi zbiorm liczb rzczywistych, kłdzimy wtdy 4 \ ] jst mnijsz od, wtdy 4 4[ jst rlcją nzywną rlcją mnijszości mist piszmy zgodni z trdycją ^ 3
4 R f c f h R 4 4 f h W dlszym ciągu będzimy uszczgółwić rlcj i rozróżnić j finicj 7 Powimy, ż rlcj 4 w jst: ( zwrotn wtdy i tylko wtdy, gdy jśli (b symtryczn wtdy i tylko wtdy, gdy jśli (c przchodni wtdy i tylko wtdy, gdy jśli, to Przykłd 4 ich będzi zbiorm liczb nturlnych ( Rlcję 4 w dfiniujmy nstępująco: jst zwrotn, przchodni, l ni symtryczn 4[ ; 4[, to _4 ; 4[ i `46 pociąg 46 wtdy i tylko wtdy, gdy dzili Wtdy 4 (b ich b będzi liczbą nturlną większą od 1 Rlcję 4dc w dfiniujmy nstępująco: 4dc jst podziln przz b Łtwo sprwdzić, ż 4dc jst rlcją wtdy i tylko wtdy, gdy równowżności Pozostwimy to Czytlnikowi do smodzilngo sprwdzni Rlcj równowżności mją cikwą włściwość: Oznczmy przz fg h zbiór tych z R, ż 4[, tj 4[ f h R twirdzni ich 4 będzi rlcją równowżności, wtdy dl dowolnych, nlżących do R mmy: lbo fg h h lbo f h * owód my dwi możliwości, lbo przcięci f h f h jst pust i wtdy ni mmy nic do roboty, lbo ni łóżmy więc, ż jst lmntm f h h, wtdy i4 tkż i4[ przchodniości rlcji równowżności 4 4[ wynik, ż, tj jst lmntm f h Wynik, stąd, ż f h zwir się w f h Podobni rgumntujmy, ż f h zwir się w fg h tm f fg hj Co R R kończy dowód Wynik stąd prosty wniosk, ż rlcj równowżności w wprowdz rozbici n rodzinę rozłącznych zbiorów, któr w sumi ddzą R my minowici biór f k l?m>n fg h (sum zbiorów f h indksownych nlżącymi do Rop h nzyw się klsą równowżności lmntu (klsą bstrkcji biór kls bstrkcji oznczmy nstępująco: drugij strony przypuśćmy, ż mmy rozbici zbioru R : Rrq sk t m?u gdzi sumowni przbig po zbiorz wskźników v Wtdy tki rozbici dfiniuj nm rlcję w w R, minowici w t wtdy i tylko wtdy, gdy istnij wskźnik, tki ż i nlżą do t Łtwo sprwdzić, ż jst to rlcj równowżności, co pozostwimy Czytlnikowi do smodzilngo sprwdzni Przykłd to y6q ozncz się przz z rytmtyczn (wżny Jśli y jst zbiorm liczb nturlnych, zś 4dc był zdfiniown powyżj, Uwg: możn w nim w nturlny sposób wprowdzić dziłni 4
R 7 U R 7 U R X 7 7 U 14 unkcj lmntu Jdnk tki intuicyjn rozumini funkcji jst niwystrczjąc do nszych clów drugij strony jkikolwik ścisł ujęci musi zgdzć się z intuicją cznijmy od tgo, ż pr uporządkown TP jst lmntm iloczynu krtzjńskigo U Podążymy tym tropm i będzimy trktowć funkcję jko podzbiór R U, tj rlcję cznimy od dfinicji Intuicyjni pojęci funkcji jst jsn: jst przyporządkowni lmntowi zbioru A R T zbioru U, często jst to wzór, np T finicj 8 Powimy, ż rlcj wrunk T i T jst prwostronni jdnoznczn, jśli, pociąg Jstśmy gotowi do okrślni funkcji ich będą dn zbiory R i U (np R zbiorm liczb rzczywistych o dzidzini R i przciwdzidzini U, piszmy R~X U, tką, ż dl kżdgo istnij U pozostjący w rlcji z, tj T, dl prostoty piszmy wtdy Tp finicj 9 unkcj dowolną rlcję prwostronni jdnoznczną Przykłdy rysunkow Uwg Włściwi, to n dobrą sprwę utożsmimy funkcję z jj wykrsm jmimy się trz brdzij szczgółowym opism funkcji i ich włściwościmi ich będzi dn funkcj piszmy, jst zbiór Przciwobrzm zbioru U jst U, nzywmy R X U i podzbiór dzidziny R Obrzm zbioru, istnij jst zbiór ƒ R ż T ƒ okrślony nstępująco: TH Wykżmy trz sprost, cz wżn włściwości przciwobrzu: prwdzimy tylko pirwszą równość, dowów drugij jst zbliżony ich nlży do lwj strony równości Jst to równowżn stwirdzniu, ż nlży do i Jst to z koli równowżn, tmu ż TH i T jst w, tzn nlży do prwj strony Obrz zchowuj się podobni, minowici mmy G Udowodnimy tylko drugą inkluzję Jśli nlży do lwj strony to znczy, ż istnij 8R nlżąc do GˆG, tki ż T To znczy, ż jst w i jst w i T tm, nlży do i Chcmy podkrślić, ż ni możn zstąpić inkluzji równością Š Pokzuj to prosty przykłd, nich będzi dn wzorm T i G
I ^ Ž G! Y, my wtdy, ż ztm = równości zbiorów, oczywiści ni m usimy rozróżnić funkcj, z tgo powodu wprowdzmy więcj dfinicji finicj 10 wrunku finicj 11 Powimy, ż funkcj wynik, ż Powimy, ż funkcj U istnij R tki, ż T Œ R X U jst różnowrtościow (jst inikcją, jśli z R X U jst n (jst surikcją, jśli dl kżdgo R X U finicj 1 Powimy, ż, jst wzjmni jdnoznczn (jst bijkcją, jśli jst różnowrtościow i n Istnini bijkcji pomiędzy zbiormi i ozncz, ż mją on równą ilość lmntów Czsm prowdzi to do wniosków sprzcznych z zdrowym rozsądkim chwilę przdstwimy tgo przykłdy, l njpirw zjmimy się sprwmi podstwowymi Przykłd 6 ich y będzi zbiorm liczb nturlnych, podmy kilk dfinicji funkcji ilustrującym powyższ pojęci y/x y okrślmy wzorm: ni jst ni n, ni różnowrtościow ŠC, jst on n, l ni różnowrtoś- y!x y dmy wzorm, T jdnoznczn; Ž Ž yqx y okrślmy wzorm T ciow; yqx y okrślmy wzorm T T jst on różnowrtościow i n, tj jst wzjmni Tq Podmy trz mtodę tworzni nowych funkcji z dnych jst różnowrtościow, l ni n finicj 13 ich będą dn R~X U, Ž U!X, funkcję R~X Ž T TP nzywmy złożnim funkcji i Ž, piszmy [ jgo włściwość ich R~X U, Ž U!X, QX, wtdy H #[ ` 7 #[ ` yqx y y dną wzorm Będzimy mili brdzo często do czynini z złożnim funkcji Odnotujmy tutj jdną Podmy trz przykłd, który moż się wydwć zskkujący Okrślimy trz funkcję, któr jst n Rysunk zwięźl podj pomysł Ž, Podmy tż wzór cznimy od tgo, ż dowoln liczb! y jst postci œ dl pwngo œ Ÿ bž Wtdy kłdzimy Q 6 bž, gdzi gdy gdy Q ; $
U n prwdzni różnowrtościowości jst łtw i zostwimy to czytlnikowi jmimy się pokznim, ż œ œ jst n ich dn będzi b9, trzb znlźć, tki ż łóżmy, ż Cb wtdy istnij œ tki, ż Q b œ my, ż b9 Przypdk œ co więcj możmy trz położyć œ b9 Cb rozptruj się podobni i pozostwimy go Czytlnikowi do zbdni Pokzliśmy więc, ż is wzjmni jdnoznczn 01 punktu widzni torii mnogość możn powidzić, ż zbiory y #J ` 7 #J ` i y y mją tyl smo lmntów okłdnij wprowdzimy now okrślni finicj 14 Powimy, ż zbiory i są równoliczn, jśli istnij funkcj któr jst bijkcją Powyższy przykłd pozwl nm sformułowć cikwy X, Wniosk 3 Liczb nturlnych jst tyl smo co pr liczb nturlnych, tj liczb wymirnych, jst tyl smo co liczb nturlnych! Pokżmy trz, ż jdnk istniją trz zbiory nirównoliczn Wyjśnimy to w nstępnym prgrfi 141 biór Potęgowy dfiniujmy wżny zbiór, którgo smo istnini jst pwnikim Rozptrzmy dowolny zbiór R, tworzymy nowy zbiór ; Ro jst podzbiorm R zywmy go zbiorm potęgowym uwżmy, ż podzbiory R możn utożsmić z funkcjmi _ R X, dltgo czsm piszmy tż zmist Ro Wspomnin utożsmini jst nstępując, jśli $ R, to dfiniujmy nstępującą funkcję ª T «_ gdy ; w przciwnym przypdku unkcję ª nzywmy funkcj chrktrystyczną zbioru _ drugij strony, jśli jst dn funkcją R X Jdnk zsdniczym fktm, o którym chcilibyśmy tu opowidzić jst, to kłdzimy / Twirdzni 4 Jśli R, to R i R ni są równoliczn owód Pokżmy, ż równoliczność R i Ro prowdzi do nidorzczności łóżmy, ż istnij R~X R, któr jst bijkcją, rozptrzmy $ R C o T koro jst n to istnij tki, ż U Jdnk ni ni moż być lmntm U, ni U Uzyskn sprzczność dowodzi nsz twirdzni 01 7 c
² 7 7 1 Liczby rzczywist i nturln łóżmy, ż zostły nm objwion liczby rzczywist, od tj pory będzimy oznczć ich zbiór symbolm Owo objwini będzimy opisywli włściwościmi liczb rzczywistych, czyli pwnikmi cznimy od dziłń,, tj dn są funkcj X orz X i wyróżnion lmnty 0 i 1 o nstępujących włściwościch l prostoty będzimy pisli zmist itp Pwniki opisując dziłni podzilimy n kilk grup, by ułtwić ich przyswojni cznimy od pwników dotyczących pojdynczych dziłń (dodwni i (mnożni Przyjujmy, ż ±/ jst (G1 dl dowolnych liczb rzczywistych, (tj dziłni łączn; (G dl dowolngo, / ƒa, (tj 0 jst lmtm obojętnym dodwni; (G3 dl dowolnj liczby rzczywistj istnij tk, ż H/ (A, (tj istnij lmnt przciwny do ; (G4 dl dowolnych, mmy ±A (tj dziłni jst przminn Powyższ pwniki wprowdzją nowy obikt (G1 - G3 są ksjomtmi grupy finicj 1 ich będzi dny zbiór ² z dziłnim i wyróżnionym lmntm Jśli trójk ² spłni pwniki (G1 - G3, to nzwimy ją grup Jśli dodtkowo grup spłni (G4 to nzywmy ją grup przminną lbo Ablow : W myśl powyższj dfinicji ( jst grupą przminną Elmnt przciwny do oznczmy w prosty sposób G Będzimy tż pisli zmist, gdy i są dowolnymi liczbmi rzczywistymi usimy wypowidzić `= się n tmt mnożni To co mmy n myśli możn ująć zwięźl pisząc, ż trójk jst grupą blową l porządku przpiszmy t ksjomty: (G dl,,, mmy ±/ ³ ; (G6 dl ƒ/ ; (G7 dl / istnij tki, ż ±A ƒ ; (G8 dl / Aby uniknąc niporozumiń lmnt okrślony w (G7 nzywmy lmntm odwrotnym do i piszmy ±A uwżmy, ż jszcz ni powiązliśmy dodwni i mnożni robimy to trz (C1 l dowolnych liczb rzczywistych 9:µ:, jst prwdą, ż (tj mnożni jst rozdziln względm dodwni Wyminion wyżj pwniki możn zbrć pod wspólną nzwą, zrobimy wprowdzjąc now okrślni 8
10 10 10 ¼ ¼ ¾ ¾ ¼ ¾ ½ c ¾ c ¾ finicj 16 ich będzi dny zbiór z dwom dziłnimi i wyróżnionymi lmntmi, :_ Jśli piątk spłni (G1 - G8 i (C1, to nzywmy ją ciłm przminnym ożn opóścić żądni (G8, wtdy dostnimy np niprzminn ciło kwtrionów, ni będzimy się tym zjowć Objwion liczby c mją włściwości (G1 - G8 i (C1 Co cikw, liczby wymirn g tj liczby postci, gdzi ¹ i b, º są nturln (jszcz ni zdfiniown tż spłniją (G1 -G8 i C1 Co więcj, zbiory kls bstrkcji z z nturlni wprowdzonymi dziłnimi rytmtycznymi tż są ciłmi przminnymi, gdy b jst liczbą pirwszą i są ciłmi, gdy b jst liczbą złożoną prwdzni fktów dotyczących z polcmy Czytlnikowi jko ćwiczni włsn Przdstwimy trz szrg prostych fktów dotyczących liczb rzczywistych, nszym clm jst zpoznni czytlnik z rozwojm formlnj torii twirdzni Elmnt przciwny jst wyznczony jdnoznczni owód ich i :» będą lmntmi przciwnymi do, wtdy ±A Q»» Q» A» twirdzni 6 owód / µ¼ Wykżmy njpirw, ż dl dowolnych liczb rzczywistych ¼ Przksztłcmy lwą stronę Lw ½ ¼ ¼ ¼ Wykorzystmy tę tożsmość położywszy ½Q¾ ¼ G ¼ ½ ¾ ½ ¼ ¼ ¾ 8¼ 8¼ ¾W ½ ¼, dostnimy wtdy 8¼ ¼8¼ A :½ŒP¾ 8¼ ¾ Prw twirdzni 7 owód µ¼ E¼ mocy stwirdzni wystrczy wykzć, ż ¼ µ¼ µ¼ µ¼ µ¼ µ¼ Q µ¼ A Q my bowim, 9
v v À À v v Å 16 Liczby nturln Wprowdziliśmy zbiór liczb rzczywistych, jgo już poznn struktur jst n tyl bogt, ż wrto zstnowić się nd szczgólnym podzbiorm jkim jst zbiór liczb nturlnych Jgo ścisł dfinicj jst clm obcngo prgrfu, tk by był zgodn z intuicją tj ż 1 jst liczbą nturlną i ż zbiór liczb nturlnych jst wyczrpywny przz oprcję dodwni jdynki tj Q Umówimy się przy tym, ż zro tż jst liczbą nturlną są to liczby postci?? finicj 17 1 v ; jśli v, to Powimy, ż podzbiór v Q v jst induktywny wtdy i tylko wtdy, gdy biory induktywn, to kndydci n zbiór liczb nturlnych Istotni, mmy bowim, Twirdzni 8 Istnij njmnijszy induktywny podzbiór oznczmy go przz y i nzywmy go zbiorm liczb nturlnych Ozncz to, ż kżdy zbiór induktywny zwir y owód cznimy od dfinicji rodziny podzbiorów induktywnych À! Á [Á J jst induktywny = tj À jst rodziną podzbiorów Kłdzimy trz O% y u:mäã tj y jst przcięcim wszystkich zbiorów nlżących do rodziny À prwdzmy, ż y jst zbiorm induktywnym, njpirw y Jst to prwd, bo dl kżdgo v z rodzimy À, Bv, ztm 0 nlży do części wspólnj wszystkich v łóżmy, ż CB y, to Q wtdy dl wszystkich v, v z induktywności v wynik, ż v, dl wszystkich Q v tj y tm y jst induktywny prwdzimy trz, ż y jst njmnijszym zbiorm induktywnym ich trz Å będzi dowolnym podzbiór induktywny Wtdy Åo i mmy  y u:mäã co kończy dowód 01 Uwgi y tj jst liczbą nturlną z mocy dfinicji; " y, (piszmy jst liczbą Q nturlną, (piszmy 3 nlżą do y itp Twirdzni Á 9 (zsd indukcji zupłnj ich Á będzi włściwością liczb nturlnych (tj Æ moż być zdnim prwdziwym lub fłszywym Tworzymy zbiór $ o y zdni Á jst prwdziw Jśli jst prwdą, ż ( v i (b prwdziw jst implikcj: jśli v y 10 to C v, to wtdy
Ç Ê È Ê Ê È Uwg zw zsd indukcji zupłnj jst trdycyjn, w istoci jst twirdzni podlgjąc dowodowi owód uwżmy, ż zdfiniowny powyżj zbiór v jst induktywny, ztm z poprzdnigo stwirdzni wynik, ż y v, l z dfinicji v y, ztm v y 01 161 stosowni sdy Indukcji upłnj w kombintoryc i ni tylko Wprowdzimy prę oznczń i ÇE; nowych pojęć Przyjmujmy, ż iç]; liczbą rzczywistą, to piszmy ymbol nzywmy -t potęg finicj 18 Innymi słowy: Ȉ (b Jśli uwżmy od rzu, ż Jśli jst dowolną ;, jśli jst liczbą nturlną, to kłdzimy Ō ( ilni liczby nturlnj nzywmy liczbę nturlną okrśloną nstępująco: µˆlkl _È ; Q È O są liczbmi nturlnymi, to symbol wton nzywmy liczbę Ê _Ê ; W nczni owych okrślń jst wyjśnion w poniższym twirdzzniu Twirdzni 10 nturlną, wtdy È È (wzór wton łóżmy, ż, są liczbmi rzczywistymi jst liczbą tíì Ç gdzi przy okzji wprowdziliśmy wygodn oznczni owód tíì Ç t ozncz Ç _ t KL Q t Będzi on zstosownim zsdy indukcji zupłnj kłdmy njpirw, ż Wtdy lw stron równni (1 przyjmuj postć więc obi strony się równją tíì Ç t Ç t 11 Ê Ç Ç Ç ś prw:
Î Ï È Ï Ñ Õ Ñ Ì Ñ Õ Ï Ï Ï Ø t Ó t Ø Ï Ø i kłdmy trz prwdziwość nszgo twirdzni dl pwngo i i wykzujmy dl będą odpowidnio oznczły lwą i prwą stronę Î AÑ tòì Ç t Ó t Ñ tíì Ç t Ó t t Ñ ÐÏ:Ñ tíì Ç t Ó tòì Ç t tôó t Trz w pirwszj sumi zminim wskźnik sumowni, przyjmuję, ż Ö do drobngo uproszczni sumy i zminy grnic sumowni ostnimy, ż Î Ñ ÕPÌ Ï Ó Õ Ï Ó Ç ÕPÌ Õ Ï Ó Ç Õ Ì Õ gdzi wykorzystliśmy nstępujący fkt n Ï Õ Ñ B (1 ÕPÌ Ç Õ Ó Õ / (, co prowdzi Õ ÕPÌ Ç Õ Ó Õ Õ Ï<Ï Ó Ï Õ Ó<Ó Ï Ç Ó <Ç Õ Ï Õ Ó Ï Ç Ó <Ç Ø Ú ØÜÛiÝLÞ Ù Ú pù ÛØàß ÝLÞ Ù Ù Ú Ù Û ØjÞ Ù Ì Ù Ú Øjß Û Øàß ÝLÞ Ù Ú Û Øjß<ÝLÞ Ù Ì pù Ú ß ÝLÞ Ù Ú Û Øàß ÝLÞ Ù Ì się, ż złożni zsdy indukcji są spłnion, wynik stąd prwdziwość wzoru dl wszystkich 17 Cigi, kombintoryk cznimy od dfinicji, któr jst trochę wyrost, bo ciągi będzimy pó"nij strnni bdli w rozdzil XX Trz potrzbn nm będzi tylko trminologi Przymujmy, ż R jst dowolnym zbiorm finicj 19 Cigim lmntów z R nzwimy dowolną funkcję / y\x R godni z zwyczjm piszmy zmist Ciąg liczbowy dostnimy, gdy R Będą nm jszcz potrzbn cigi lmntow z R, jst to dowoln funkcj vx R gdzi v jst równoliczn z _ LK r Wprowdzimy trz podstwow dfinicj kombintoryczn finicj 0 ich R będzi dowolnym zbiorm skończonym Prmutcj bz powtórzń lmntów R nzwimy dowolną funkcj R X R, któr jst wzjmni jdnoznczn Prmutcj bz powtórzń nzywmy tż przstwinimi Ilość przstwiń zbioru lmntowgo oznczmy symbolm twirdzni 11 ß Ý Ø :á Ó Przkonliśmy owód sz zdni polg n policzniu n il sposobów możmy ustwić w ciąg lmnty zbioru R 1 mijscu możmy postwić jdn wybrny spośród lmntów mijscu możmy postwić jdn wybrny spośród już tylko lmntów itp osttnim 1
10 10 â È È È â È È -tym mijscu możmy wybrć już tylko z zbioru jdnolmntowgo ostnimy ztm, ż W <>?i [ Por n koljną dfinicję 01 finicj 1 ich R będzi dowolnym zbiorm lmntowy Kombincj lmntow nzwimy nzwimy dowolny lmntowy podzbiór R Ilość lmntów zbioru R kombincji oznczmy symbolm â â ãï twirdzni 1 â Ó owód Ponowni będzimy ustwili lmnty R w ciągi, tym rzm lmntow pirwszym mijscu ciągu moż być jdn z lmntów, n drugim mijscu już tylko jdn z Kontynuujmy tn procs dochodząc do n -tgo mijsc nim mmy wybór jd- ngo z GA lmntowgo jst W W lmntów Tym smym dostnimy, ż lmntowych ciągów z zbioru??i W Q W W <?>i W W W Al koljność ustwini ni jst istotn, bo intrsują ns podzbiory R ztm tę liczbę dzilimy È przz, czyli ilość przstwiń zbioru lmntowgo W osttcznym rchunku, â È È *Ê È Wykożystmy tn fkt do policzni ilości wszystkich podzbiorów skończongo zbioru inowici mmy twirdzni 13 Ilość wszystkich podzbiorów zbioru -lmntowgo równ się owód uwżmy, ż szukn ilość podzbiorów to, Ç?? â Ì Ç â â Ì Ç _Ê â mocy wzoru wton (twirdzni 9 powyższ sum równ się 13
R z 18 Krsy zbiorów liczb rzczywistych Przyjęliśmy, ż liczby rzczywist zostły nm objwion Ich dotychczs wypowidzin włściwości możn ująć stwirdznim, ż liczby rzczywist spłniją ksjomty cił przminngo Widziliśmy tż, ż jst więcj przykłdów cił przminnych Poszukjmy więc dodtkowych struktur wyróżnijących uwżmy, ż w zbiorz liczb rzczywistych dn jst rlcj niwiększości płni on nstępując wrunki: (P1 dl kżdgo (tj rlcj niwiększości jst zwrotn; (P jśli i orz to (tj rlcj niwiększości jst ntysymtryczn; (P3 jśli i orz to (tj rlcj niwiększości jst przchodni; (P4 jśli, to lub (tj rlcj niwiększości jst spójn Wrto w tym momnci zwrócić uwgę, ż dowoln rlcj w zbiorz R spłnijąc (P1- P3 nzyw się porzdkim częściowym Jśli dodtkowo porządk częściowy w zbiorz R spójny (tj (P4 jst spłnion, to nzyw się go porzdkim liniowym Przykłd 7 Rlcj zwirni się zbiorów jst porządkim częściowym, l ni liniowym, bo ni jst prwdą, ż możn porównć dowoln zbiory Istotny jst związk porządku z dziłnimi rytmtycznymi Okrślimy go z pomocą poniższych pwników (P jśli i, to ; (P6 jśli i, to Od rzu powidzmy, ż ciło liczbow, spłnijąc dodtkowo (P1-P6 nzyw się ciłm uporzdkownym Przykłdm służy, oprócz, ciło liczb wymirnych Przykłdmi cił, któr ni są ciłmi uporządkownymi są z I? z³ä itd ożn się o tym smmu przkonć bdjąc tblkę dziłń Kwsti, n czym polg różnic pomiędzy nimi pozostj nirostrzygnięt (ż do końc prgrfu Aby uprościć nsz wypowidzi, wprowdzimy dfinicj nowych rlcji finicj ( wtdy i tylko wtdy, gdy ; (b ^ wtdy i tylko wtdy, gdy i ; (c wtdy i tylko wtdy, gdy i Chcmy trz przdwstwić wybrn włściwości liczb rzczywistych związn z porządkim i pokzć ich dowodu z pwników _ cznimy, od ` twirdzni 14 Jśli ^ to é ( ndto, jśli to ^ owód G é mocy (P możmy dodć é do obu stron nirówności i skoro, to ^/ 01 my dw cl n uwdz Pirwszym jst sprwdzni, ż rzczywistych rugim jst wykzni odpowidnik (P6, gdy ^ prę nizbędnych fków 14 jst ostnimy wtdy dl wszystkich liczb Po drodz wykżmy
h f h twirdzni 1 owód przciwnym do tm twirdzni 16 3 owód T T jst lmntm przciwnym do, l T _ bo jst lmntm é T z jdnoznczności lmntu przciwngo 01 H GA dobyliśmy już dość widzy, by osiągnąc zmirzon cl twirdzni 17 4 Jśli to owód my dw przypdki: (1 Y i (!^ _ Jśli! _ dostnimy, ż r> ] tj _ Jśli zś ^ to z twirdzni 13 é tm z (P6 é T é T± stron tj nirówności to é T T å Ü?? Obcni ns drugi cl jst n wyciągnięci ręki: twirdzni 18 Jśli ^ Jgo dowód pozostwimy Czytlnikowi do smodzilngo przprowdzni Przypomnimy trz dfinicj przdziłów: finicj 3 biór f i nzywmy przdziłm lwostronni otwrtym i pr- * i zbiór * \ ^ i zbiór f /A A^ i prwostronni otwrtym; zbiór 9: æ * h i wostronni domkniętym; * Jç ç, ç, Jç ;! ` to to z (P6 ntychmist koli lw nzywmy przdziłm domkniętym; nzywmy przdziłm otwrtym; nzywmy przdziłm lwostronni domkniętym i, podobni dfiniujmy Trzb przy tym pokrślić, ż symbol [ç, ç ni oznczją żdnj liczby szym clm jst trz zdfiniowni pirwistów liczb rzczywistych Po drodz okż się, ż smo ich istnini wymg dodtkowgo pwnik tni się tż jsn różnic pomiędzy i cznimy od okrślni wrtości bzwzgędnj liczby rzczywistj i jj znku sgn 01 finicj 4 Ÿ jśli é jśli ^ sgn ê èé ëé jśli > 0 jśli = 0 jśli < 0 1
ñ ó ^ b œ jwżnijszą włściwością wrtości bzwzgędnj jst nirówność trójkt <ì owód jst łtwym zstosownim dfinicji Ä$ i zostwimy go Czytlnikowi Podobni jk nstępną nirówność wypływjącą z nirówności trójkąt L L <ì Przystępujmy trz do dfiniowni pirwistów rytmtycznych ï finicj ich ì y i Jśli będzi dodtnią liczbą rzczywistą, to wtdy dodtnią liczbę rzczywistą nzyw się pirwistkim rytmtycznym z stopni i piszmy jðà lub ñ, jśli ; Jśli Q^, to liczbę Q nzyw się pirwistkim rytmtycznym z stopni, jśli _ Uwg przyst i ^ to ni istnij tki, ż J, bo (ptrz twirdzni 16 uwżmy tż, ż pirwistk rytmtyczny jst wyznczny jdnoznczni, zś smo jgo istnini jst źródłm kłopotów twirdzni 19 ni jst liczbą wymirną owód łóżmy, ż tk ni jst, tj istnij liczb wymirn c tk, ż cpò ò, tj º Co prowdzi do sprzczności z jdnozncznością rozkłd n czynniki pirwsz Jst to fkt dość oczywisty, którgo ni będzimy dowodzić Widć wyrżni, ż istnini pirwistków jst kwstią dliktną o wykzni ich istnini potrzbny jst dodtkowy postult zupłności Jgo sformułowni wymg nowych dfinicji finicj 6 ( ich ó Powimy, ż ó jst ogrniczony z góry, jśli istnij ô, tk ż ô dl kżdgo ó (b ich ó Powimy, ż ó œ jst ogrniczony z dołu, jśli istnij, tk ż dl kżdgo ó dfiniowwszy zbiory ogrniczon możmy zjąć się krsmi finicj 7 ich ó będzi ogrniczony z góry (odpowidnio: z dołu Powimy, ż jst krsm górnym ó (odpowidnio: krsm dolnym, jśli dl kżdgo ogrniczni górngo ô œ (odpowidnio: dolngo zbiorm ó jst prwdą ż ô œ (odpowidnio: ożn trz wypowidzić osttni z ksjomtów liczb rzczywistych - postult zupłności ( Kżdy nipusty zbiór ogrniczony z góry (odpowidnio: z dołu m krs górny (odpowidnio: dolny piszmy HQõPö_ ó (odpowidnio: ƒ/ølù_ú óp Uwg Krs górny zbioru ó ni musi być jgo lmntm njwiększym, np! 16 î jí î
ó ó ý t ó Ê Ê ý ý ^ ó ý Ê Ê ý t ý t wtdy õ ö* l q ó Istnini krsów zpwni istnini pirwistków rytmtycznych my bowim A ñ to istnij Twirdzni 0 Jśli ^" i y i owód Rozptrzmy tylko przypdk, gdyż sprowdz się do pirwszgo poprzz podstwini Okrślmy zbiór ó w nstępujący sposób ni wymg prcy, zś Ð^ ^" Wtdy ì bo só Jst tk, bo ^ Co więcj zbiór ó jst ogrniczony Wystrczy sprwdzić, ż dl kżdgo ó, ^~ Wymg to sprwdzni, ż û robimy to z pomocą indukcji l n =, mmy, bo jst to wynik mnożni obustronni przz lj, z nirówności wynik, A minowici, µ Wµ, ztm n mocy zsdy indukcji zupłnj nsz nirówność jst prwdziw, dl n > 1 tm Qq ó, więc jdyn możliwość jką mmy, to dl dowolngo Bó tm ó jst nipusty i ogrniczony i możmy zstosowć (: JOQõPö* ; ÿ þ, oczywiś- ý jst ogrnicznim górnym ó ü ý ich ci ý^ bo d! koro ` to i będzi dowolną liczbą rzczywistą mnijszą od 1 Kłdzimy ý ýi 8ý jst mnijsz od krsu górngo, skoro tk, to Oszcujmy koro ý(^ ýi ýi z dwuminu wton tíì Ç, to dostnimy ý ý Ê ý t tíì $ t /, dl Œ t t 8ý tíì ^ Ê ý i stąd ztm t tíì Ç t A t tíì t A Êdý i ( dzięki dfinicji ý przyjmuj postć Podobni postępujmy z ýi ýi tíì Ç : t t / Jý Q 8ý tíì üˆ t Eýi 17
Ê 7 t trz wykorzystmy fkt iż Eý 8ýi tym smym (6 przyjmuj postć $ 8ý, dl Œ tíì tm Cüˆ t A Potrzbny jst nm trz Lmt 1 Jśli dl dowolnj rzczywistj liczby dodtnij ü zchodzi ý Cü to owód lmtu łóżmy, ż tk ni jst tj Kłdzimy ü A Cü tj Wtdy dostnimy dostnimy sprzczność z zł 01 zięki powyższmu lmtowi dostnimy, ż i A trz z ksjomtu (P dostjmy, ż ñ / 01 W szczgólności wnioskujmy, ż jst dobrz okrśloną liczbą rzczywistą ñ ożmy tż ;~ od rzu podć nowy przykłd cił uporządkowngo Kłdzimy ñ g gdzi są wymirn konic odnotujmy sdę Archimds, którj dowód pomijmy Twirdzni l kżdj liczby rzczywistj istnij liczb nturln, tk ż Wypływ z nij gęstość liczb wymirnych, dokłdnij mmy Wniosk 3 Jśli i ^, to istnij liczb wymirn, tk, ż ^ƒ^ 19 Liczby zspolon sz mtod przdstwini liczb rzczywistych polgł n przdstwiniu koljnych grup pwników cił, cił uporządkowngo, by zkończyć n postulci zupłności Okzywło się, ż prowdziło to przykłdów cił o co rz lpszych włściwościch Ciąło m brdzo dobr włściwości nlityczn, l pwn wdy lgbriczn, bo ni kżd równni wilominow n pirwistki rzczywist, np ³Q A Ciło liczb zspolonych ni m tj wdy cznijmy od dfinicji, kłdzimy 18
q q P z nstępującymi dzi- finicj 8 łnimi _ Ciłm liczb zspolonych nzywmy»»» :» 9:»» =»» =»» ³ p Trzb sprwdzić, ż są spłnion ksjomty cił przminngo Jst to łtw, sprwdzimy tylko istnini lmntu odwrotngo dl dowolngo / Kłdzimy, 6 P pozostwijąc czytlnikowi sprwdzni, ż _ Wprowdźmy brdzij znną notcję, będzimy pisć liczby rzczywist z liczbmi zspolonymi postci Od tj pory będzimy pisć zmist 9: uwżmy trz, ż _ ` : Wprowdzmy now oprcj dl liczb zspolonych /, minowici OA liczbę nzywmy liczb sprzężoną do lj, ; nzywmy części rzczywist i Pq ; Pqi nzywmy części urojoną Co więcj ; ñ i będzimy utożsmić nzywmy wrtości bzwzględn Trzb tylko sprwdzić, ż osttni dfinicj jst poprwn, tj ż rgumnt pirwistk jst dodtni: / A Ô Ü Wymińmy njprostsz włściwości nowych obiktów, mmy ˆ ˆì Jst to łtw, bo ñ Inną prostą, l wżn włściwością jst nirówność trójkt: `ì Ä którj prwdzni polcmy Czytlnikowi jko ćwiczni włsn Łtw do sprwdzni jst tż, ż L Ü 19
lbowim, Î ƒ ˆ»» =»» Wprowdzimy jszcz jdną funkcję mjąc świdomość, ż jst on niuprwnion n obcnym tpi finiujmy rgumnt liczby zspolonj #6 ˆ VX ` 8f (i ni wimy jszcz co to jst inowici piszmy, ż! "! gdy jst jdynym rozwiąznim ukłdu równń tm, #%$ õ! #%$ õ " õpø ù! õ ø ù " co więcj owo przdstwini jst jdnoznczn uwżmy, ż wzór (1 pozwl n cikw zpisni mnożni liczb zspolonych Jśli #($ õ õ ø ù i 4 #($ õ* õpø ù, to wtdy korzystjąc z wzorów n sinus i cosinus sumy kątów dostnimy, ż õpø ù 4 #($ õ dfinicji rgumntu liczby zspolonj wynik ntychmist, ż "," Łtwym wnioskim z wzoru (8 jst wzór d oivr dl liczby zspolonj õpølù mmy #($ õ õpølù Æ Tp p #%$ õ Ściśl rzcz ujmując nlży zstosowć indukcję z względu n uwżmy, ż tn wzór pozwl obliczyć pirwistki -tgo stopni z dowolnj liczby zspolonj, tj znlźć rozwiązń równni A B (7 wynik, ż jðà tm wzór d oivr dj, ż #%$ õ* õpø ù- #($ õ õ ø ù Æ T tj lbo Æ A`?> W 0
X / / / / 0 / / / / / 0 Wykzliśmy więc, ż istnij różnych pirwistków z dowolnj liczby zspolonj djmy pytni: czy tn fkt możn powiązć z rozwiązywnim równń wilominowych? Odpowidź jst podn poniżj czynmy od okrślni: finicj 9 gdzi t unkcję i A postci tíì Ç t t nzywmy wilominm o współczynnikch zspolonych, stopni Twirdzni 4 (zsdnicz tw lgbry Kżdy wilomin o współczynnikch zspolnych, różny od stłj, m pirwistk zspolony Jst to trudny fkt, ni będzimy go dowodzić tychmist wynik z nigo Wniosk Kżdy wilomin o wspołczynnikch zspolonych rozkłd się n iloczyn czynników linowych konic prgrfu o liczbch zspolonych wykżmy pwną wżną nirówność możn ni znć jj dowodu, l ni możn jj ni znć Twirdzni 6 (nirówność chwrz lbo Cuchy go-bunikowskigo-chwrz łóżmy, ż są liczbmi zspolonymi Wtdy / owód Jśli przypdk ich A tíì tíì * t?? t t _ tòì tíì? t?? : tíì t t 0 tòì t t, to ni mmy nic do roboty o prcy przystępujmy mjąc tylko n uwdz uwżmy jszcz, ż Po tym nstępują rchunki, gdzi Î jst dodtnią wilkością i dlj więc koro Î Î tíì tòì t t 8, to wynik stąd, ż 0 t tòì Î 0 t tíì t 8 1 t tòì 0 0 t t t t $ 0 p, co nlżło wykzć 0 t tíì t