Mirosław uf, Arur Nowocień, Daniel Pieruszczak Analiza właściwości dynamicznych wybranych podsawowych członów auomayki niecałkowiych rzędów JE: 97 DO: 10.4136/aes.018.443 Daa zgłoszenia: 19.11.018 Daa akcepacji: 15.1.018 W arykule przedsawiono zasosowanie rachunku różniczkowego niecałkowiych rzędów ang. fracional calculus) do opisu dynamiki zjawisk wybranych podsawowych członów auomayki. Dla analizowanych modelów, wyznaczono ransmiancję operaorową całkowiego i niecałkowiego rzędu. Wyznaczono zależności opisujące charakerysyki czasowe i częsoliwościowe; na drodze symulacji kompuerowej uzyskano charakerysyki analizowanych układów. Do badań symulacyjnych wykorzysano oprogramowanie MAAB. Słowa kluczowe: rachunek różniczkowy niecałkowiych rzędów, ransmiancja operaorowa, podsawowe człony auomayki. Wsęp Podczas analizy elemenów układów auomaycznej regulacji UAR spoyka się elemeny o różnej naurze fizycznej, akie jak elemeny elekryczne, mechaniczne, pneumayczne, hydrauliczne, ip., ale opisane akimi samymi ypami liniowych równań różniczkowych [4]. akie elemeny nazywa się wówczas podsawowymi członami auomayki. Człon podsawowy przewarza wprowadzony do niego sygnał wejściowy na sygnał wyjściowy w sposób elemenarny. Przewarzanie elemenarne oznacza, między innymi, realizację podsawowych funkcji maemaycznych, akich jak: mnożenie przez sały współczynnik, różniczkowanie czy całkowanie. Dynamiczny rozwój badań w osanim dziesięcioleciu nad zasosowaniem rachunku różniczkowego niecałkowiych rzędów ang. fracional calculus lub franc. analyse fracionnaire) w analizie układów dynamicznych skłonił auorów arykułu do podjęcia próby jego zasosowania do modelowania podsawowych członów auomayki, kóre doychczas były opisywane klasyczną analizą maemayczną [11] oraz [15]. Dowolny układ auomaycznej regulacji UAR można przedsawić jako połączenie członów podsawowych. Wprowadzenie członów podsawowych znacznie uławia analizę bądź synezę układów auomayki, bez względu na ich naurę fizyczną. W arykule przedsawiono zasosowanie rachunku różniczkowego z pochodnymi niecałkowiych rzędów do opisu podsawowych członów auomayki, akich jak: człon inercyjny pierwszego rzędu; człon całkujący idealny; człon całkujący rzeczywisy; człon różniczkujący idealny; człon różniczkujący rzeczywisy; ażdy z ww. członów auomayki zosał opisany za pomocą równania różniczkowego o pochodnych niecałkowiego rzędu, z kórych wyprowadzone zosały zależności opisujące charakerysyki czasowe impulsowa i skokowa) oraz ransmiancji operaorowej i widmowej. [3], [11], [13] oraz [15]. W arykule pokazano również charakerysyki ampliudowo fazowe oraz logarymiczne charakerysyk Bodego ampliudowe i fazowe) członów elemenarnych. Do badań symulacyjnych wykorzysano oprogramowanie MAAB [16], [17] oraz [18]. Auorzy arykułu pragną podkreślić, że ww. sposób opisu podsawowych elemenów auomayki chociaż jes już znany w lieraurze [3], [15], o brakuje szczegółowego wyprowadzenia równań opisujących ich dynamikę. Ponado, ak opisane podsawowe elemeny auomayki sanowią podsawę do budowy układów pneumaycznych dowolnych rzędów, co leży w obszarze zaineresowań naukowych auorów arykułu [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [1], oraz [14]. 1. Człon inercyjny i rzędu Elemen inercyjny rzędu opisany jes równaniem różniczkowym z pochodną niecałkowiego rzędu [4], [9], [11]: R D y ) y ) x ) 1) 0 gdzie: R noacja pochodnej Reimanna-iouville a; 0 R, y ) 0 0, rząd niecałkowiy 0 dla Sosując przekszałcenie aplace a do równania 1), dla zerowych warunków począkowych, orzymuje się: Y s ) G ) s ) X s ) s ) 1 Odpowiedź impulsowa członu inercyjnego rzędu opisanego ransmiancją operaorową ), opisuje zależność: ) 1 v ) 1 1 1 g ) G s ) E, 3) v s 1 Przy wyznaczaniu odwronej ransformay aplace a w równaniu 3) uzyskano: k 1 1 4) E, k0 k Orzymano osaecznie zależność opisującą odpowiedź impulsową członu inercyjnego rzędu: k k ) 1 ) g ) 5) k 0 k 1, ze wzoru 3) wynika: g ) E1,1 e 6) a więc, powszechnie znane w lieraurze wyrażenie opisujące charakerysykę impulsową członu inercyjnego rzędu. Poniżej przedsawiono odpowiedź elemenu inercyjnego rzędu na wymuszenie 1 ). ransformaa aplace a odpowiedzi jednoskowej wyniesie: ) 1 1 v ) 1 1 h ) G s ) E, 1 s s s 1 Dla: 7) 514 AUOBUSY 1/018
E, 1 1 1 k 0 k 1 orzymując osaecznie zależność opisującą odpowiedź skokową członu inercyjnego rzędu: h ) ) k 0 k k ) k 1, ze wzoru 7) wynika: h ) E1, e 1 1 e 10) a więc powszechnie znana zależność definiująca charakerysykę skokową członu inercyjnego rzędu. Aby przedsawić charakerysyki częsoliwościowe, należy wyznaczyć ransmiancję widmową niecałkowiego rzędu badanego członu. W ym celu podsawia się zależność 11): s j e do wzoru ) i orzymuje się: ) G j ) v j 1 j 1 j e cos k j sin 1 cos j sin 1 8) 9) 11) 1) Po elemenarnych przekszałceniach oblicza się część rzeczywisą i urojoną ransmiancji widmowej: ) ) ) G j) P ) j ) 13) gdzie: cos 1 ) P ) 14a) cos 1 sin ) sin ) cos 1 sin 14b) Ze wzorów 14) wyznacza się charakerysykę ampliudowo fazową Nyquisa) członu inercyjnego rzędu. Przebiegi charakerysyk dla różnych warości parameru przedsawiono na Rys. 1.:, ze wzoru 14) wyni- ka: P 1 ) 1 ) 1 15a) 15b) a więc powszechnie spoykane w lieraurze zależności definiujące charakerysykę ampliudowo fazową członu inercyjnego rzędu. Ze wzorów 14) wyznacza się zależności definiujące: logarymiczną charakerysykę ampliudową analizowanego członu dynamicznego: ) ) ) ) ) 0log G j 0log P cos 1 sin 0log cos 1 sin cos 1 sin 16) logarymiczną charakerysykę fazową analizowanego członu dynamicznego: sin ) ) ) arcg ) arcg 17) P cos 1 wynika: ) 0log ) 0log 0log 1, ze wzorów 16) i 17) 1 1 ) 1 18) arcg 19) a więc znane w lieraurze zależności definiujące częsoliwościowe charakerysyki logarymiczne Bodego ampliudową i fazową) członu inercyjnego rzędu. Przebiegi charakerysyk Bodego członu inercyjnego rzędu opisane za pomocą rachunku różniczkowego z pochodnymi niecałkowiych rzędów zosały pokazane na Rys.. oraz Rys. 3.: Rys. 1. Charakerysyki ampliudowo fazowe niecałkowiego rzędu członu inercyjnego rzędu dla paramerów i =1 dla 0,5 1, [opracowanie własne] Rys.. ogarymiczne charakerysyki ampliudowe członu inercyjnego rzędu dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] AUOBUSY 1/018 515
Rys. 3. ogarymiczne charakerysyki fazowe członu inercyjnego rzędu dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] ogarymiczne charakerysyki częsoliwościowe członu inercyjnego rzędu, wyznaczone za pomocą symulacji kompuerowej poprawnie odzwierciedlają dynamikę układu. Dla parameru 1 logarymiczna charakerysyka ampliudowa Rys..) ma nachylenie -0 db na dekadę dla pulsacji większej od pulsacji rezonansowej, ak jak jes w logarymicznej charakerysyce ampliudowej wyznaczonej z ransmiancji operaorowej całkowiego rzędu. ogarymiczna charakerysyka fazowa Rys. 3.) niecałkowiego rzędu dla parameru 1 przebiega dokładnie ak jak logarymiczna charakerysyka fazowa wyznaczona z ransmiancji operaorowej całkowiego rzędu. Nachylenie logarymicznej charakerysyki ampliudowej jes ym mniejsze, im mniejszy jes rząd różniczki w równaniu różniczkowym niecałkowiego rzędu opisującym badany człon inercyjny. Przesunięcie fazowe zmniejsza się wraz ze zmniejszaniem się rzędu różniczki.. Człon całkujący idealny Elemen całkujący idealny opisany jes równaniem różniczkowym z pochodnymi niecałkowiego rzędu: R D y ) x ) 0) 0 Sosując przekszałcenie aplace a do równania 0), dla zerowych warunków począkowych, orzymuje się: s Y s ) X s ) 1) Z równania 1) wyznacza się ransmiancję operaorową członu całkującego idealnego rzędu ν: Y s ) G ) s ) X s ) ) s Odpowiedź impulsowa członu całkującego idealnego opisanego ransmiancją operaorową ), opisuje zależność: g ) 1 1 ) G v ) 1 s ) v 3) s Przy wyznaczaniu odwronej ransformay aplace a w równaniu 3) dla przypadku szczególnego, gdy 1, ze wzoru 3) wynika: g 1 ) ) 1 4) a więc powszechnie znane wyrażenie definiujące charakerysykę impulsową członu całkującego idealnego. 1 Na Rys. 4., pokazane zosały odpowiedzi impulsowe dla rzędu z przedziału [0,5 1,]. Odpowiedź impulsowa członu całkującego idealnego wyznaczona z równania 3) dla parameru Rys. 4) pokrywa się z odpowiedzią impulsową wyznaczoną z równania różniczkowego zwyczajnego [. Powierdza o prawidłowość wyznaczonego modelu. Odpowiedź skokową definiuje zależność: ) 1 1 h ) G v ) 1 s ) 1 5) s s 1, ze wzoru 5) wyni- ka: h 1 ) ) 1 6) a więc powszechnie znane wyrażenie definiujące charakerysykę skokową członu całkującego idealnego. Rys. 4. Odpowiedzi impulsowe elemenu całkującego idealnego dla rzędów [0,5 1,] oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Poniżej, na Rys. 5. pokazane zosały odpowiedzi skokowe dla rzędu z przedziału [0,5 1,]: Rys. 5. Odpowiedzi skokowe elemenu całkującego idealnego dla rzędów [0,5 1,] oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Wyznaczona odpowiedź skokowa Rys. 5.) dla parameru 1, pokrywa się z odpowiedzią skokową wyznaczoną meodą 516 AUOBUSY 1/018
klasyczną. Powierdza o prawidłowe jej wyznaczenie. Zmniejszając rząd różniczki układ nabiera charakeru członu inercyjnego rzędu, zwiększając rząd różniczki członu całkującego rzeczywisego. Podsawiając zależność 11) do wzoru ), orzymuje się ransmiancję widmową idealnego członu całkującego: G ) j ) cos j sin 7) Po elemenarnych przekszałceniach oblicza się część rzeczywisą i urojoną ransmiancji widmowej: ) ) ) G j) P ) j ) 8) gdzie: P ) ) cos ) sin ) 9a) 9b) Z wzorów 9) wyznacza się charakerysykę ampliudowo fazową Nyquisa) idealnego członu całkującego. Przebieg charakerysyki przedsawia Rys. 6.: cos ) ) 0log G j 0log 0log 0log 0 log logarymicznej charakerysyki fazowej: sin sin 31) ) ) ) arcg arcg arcg g ) P 3) cos 3) wynika: 1 ) ) ) 0log 1 0log, ze wzorów 31) i 33a) 33b) a więc powszechnie znane zależności definiujące częsoliwościowe charakerysyki logarymiczne Bodego ampliudową i fazową) idealnego członu całkującego. Przebiegi charakerysyk Bodego idealnego członu całkującego opisane za pomocą rachunku różniczkowego z pochodnymi niecałkowiych rzędów zosały pokazane na Rys. 7. oraz Rys. 8.: Rys. 6. Charakerysyki ampliudowo fazowe członu całkującego idealnego dla różnych warości parameru v oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Nachylenie charakerysyki ampliudowo fazowej zależy ylko od warości rzędu elemenu i nie zależy od sałej czasowej. ą właściwość wykorzysuje się do projekowania układów zamknięych odpornych na zmianę paramerów obieku, przy zasosowaniu regulaorów Pν)Dμ), w kórym zarówno człon całkujący, jak i różniczkujący może być niecałkowiego rzędu). Właściwość a wynika z analizy wzorów 4.9), gdyż można zapisać: ) ) g P ) 30) ) We wzorze 30) nie wysępuje sała czasowa, ylko rząd pochodno całki. Ze wzorów 9) wyznacza się równania opisujące przebiegi charakerysyk częsoliwościowych Bodego: logarymicznej charakerysyki ampliudowej: Rys. 7. ogarymiczne charakerysyki ampliudowe idealnego członu całkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Rys. 8. ogarymiczne charakerysyki fazowe idealnego członu całkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] AUOBUSY 1/018 517
Na Rys. 7. oraz Rys. 8. widać, że logarymiczna charakerysyka ampliudowa dla parameru 1 90 ma nachylenie -0 db na dekadę, a logarymiczna charakerysyka fazowa. Przebiegi logarymicznych charakerysyk częsoliwościowych członu całkującego idealnego wyznaczone z równania różniczkowego całkowiego rzędu, pokrywają się z przedsawionymi na Rys. 7. oraz Rys. 8. dla parameru 1. Zmniejszając rząd różniczki zmniejsza się spadek wzmocnienia, zwiększając rząd różniczki spadek wzmocnienia zwiększa się. Można więc wywnioskować, że spadek wzmocnienia zależy ylko od rzędu różniczki. Na logarymicznej charakerysyce fazowej widać, że przesunięcie fazowe zależy od rzędu różniczki. Zwiększając rząd zwiększa się przesunięcie fazowe układu i odwronie. 3. Człon całkujący rzeczywisy Elemen całkujący rzeczywisy opisany jes równaniem różniczkowym o pochodnych niecałkowiego rzędu: R R x ) D y ) D y ) 34) 0 Sosując przekszałcenie aplace a do równania 34), dla zerowych warunków począkowych, orzymuje się: X s ) s Ys s Ys 35) Z równania 35) wyznacza się ransmiancję operaorową członu całkującego rzeczywisego rzędu ν: Y s ) X s ) ) G s ) s s 0 s 1 s 36) Odpowiedź impulsowa członu całkującego rzeczywisego opisanego ransmiancją operaorową 36), opisuje zależność: g ) ) s 1 s 1 v ) 1 G s ) 37) Przeprowadzając rozkład na ułamki prose: s A B 1 s s 1 s 38) i obliczając współczynniki A i B: A 39) B orzymuje się: 1 1 1 1 g ) E, 40) s 1 s Przyjmując ): E, 1 1 k0 k k 41) Orzymuje się osaecznie zależność opisującą odpowiedź impulsową członu całkującego rzeczywisego: g ) ) 1 1 k0 ) k k k 1, wynika: 4) g ) E 1,1 1 e 43) a więc powszechnie znana zależność definiująca charakerysykę impulsową członu całkującego rzeczywisego. Na Rys. 9., pokazane zosały odpowiedzi impulsowe dla rzędu z przedziału [0,8 1,]. Rys. 9. Odpowiedzi impulsowe elemenu całkującego rzeczywisego dla rzędów [0,8 1,] oraz paramerów k i =1 [opracowanie własne] Odpowiedź skokową wyznacza się z zależności: ) 1 1 v ) 1 h ) G s ) 1 44) s s 1 s Po przeprowadzeniu rozkładu na ułamki prose orzymuje się: 1 1 h ) E 1, 1 s 1 1 s s 45) Przyjmując i 1): E, 1 1 1 k 0 k 1 k 46) Orzymuje się osaecznie zależność opisującą odpowiedź skokową członu całkującego rzeczywisego: h ) ) k0 ) k k 1 k 1 47) 1, ze wzoru 45) wynika: e 1 h ) E 1, 1 e 48) a więc znana zależność [46], [8], [83] definiująca charakerysykę skokową członu całkującego rzeczywisego. Na Rys. 10. pokazane zosały odpowiedzi skokowe dla rzędu z przedziału [0, 1]. 518 AUOBUSY 1/018
Rys. 10. Odpowiedzi skokowe elemenu całkującego rzeczywisego dla rzędów [0, 1] oraz paramerów k i =1 [opracowanie własne] Podsawiając zależność 11) do wzoru 36), orzymuje się ransmiancję widmową rzeczywisego członu całkującego: G ) j ) cos j sin 1 cos j sin 49) Po elemenarnych przekszałceniach oblicza się część rzeczywisą i urojoną ransmiancji widmowej: G gdzie: ) P ) ) ) ) cos ) ) j) P ) j ) 50) cos cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin 51a) 51b) Z wzorów 51a) oraz 51b) wyznacza się charakerysykę ampliudowo fazową Nyquisa) członu całkującego rzeczywisego. Przebieg charakerysyki przedsawia Rys. 11.: 1, ze wzoru 51) wynika: P ) 4 1 5a) ) 5b) 4 1 a więc powszechnie znane zależności [definiujące charakerysykę ampliudowo fazową członu całkującego rzeczywisego. Ze wzorów 51a) oraz 51b) wyznacza się równania opisujące przebiegi charakerysyk częsoliwościowych Bodego: logarymicznej charakerysyki ampliudowej: ) ) 0 log 0 log G j P 53) logarymicznej charakerysyki fazowej: ) ) arcg P ) ) 54) wynika: 1 ) ) 0log 1 sin cos sin arcg cos sin cos 1 0log 0log 0log 1 54), ze wzorów 53) i 55a) ) 1 ) arcg arcg arcg 55b) a więc powszechnie znane zależności definiujące częsoliwościowe charakerysyki logarymiczne Bodego ampliudową i fazową) rzeczywisego członu całkującego. Przebiegi charakerysyk Bodego rzeczywisego członu całkującego opisane za pomocą rachunku różniczkowego z pochodnymi niecałkowiych rzędów zosały pokazane na Rys. 1. oraz Rys. 13.: Rys. 11. Charakerysyki ampliudowo fazowe członu całkującego rzeczywisego dla różnych warości parameru v oraz paramerów k i =1 [opracowanie własne] Rys. 1. ogarymiczne charakerysyki ampliudowe rzeczywisego członu całkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] AUOBUSY 1/018 519
Rys. 13. ogarymiczne charakerysyki fazowe rzeczywisego członu całkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] ogarymiczne charakerysyki częsoliwościowe członu całkującego rzeczywisego, poprawnie odzwierciedlają dynamikę układu. 1 Dla parameru logarymiczna charakerysyka ampliudowa ma nachylenie -0 db na dekadę dla pulsacji większej od pulsacji rezonansowej, a więc ak jak jes w znanej w lieraurze, logarymicznej charakerysyce ampliudowej wyznaczonej z równania różniczkowego zwyczajnego członu. ogarymiczna charakerysyka 1 fazowa niecałkowiego rzędu dla parameru ma asympoy poziome dane równaniami oraz, czyli ak jak o jes w logarymicznej charakerysyce fazowej wyznaczonej z równania różniczkowego zwyczajnego. Nachylenie logarymicznej charakerysyki ampliudowej jes ym mniejsze, im mniejszy jes rząd różniczki w równaniu różniczkowym niecałkowiego rzędu opisującym badany człon. Przesunięcie fazowe zmniejsza się wraz ze zmniejszaniem się rzędu różniczki. Widać u podobieńswo do członu inercyjnego rzędu, opisanego równaniem różniczkowym o pochodnych niecałkowiego rzędu. 4. CZŁON RÓŻNCZUJĄCY DEANY Elemen różniczkujący idealny opisany jes równaniem niecałkowiego rzędu: R y ) D x ) 56) 0 Sosując przekszałcenie aplace a do równania 56), dla zerowych warunków począkowych, orzymuje się: Y s ) s X s ) 57) Z równania 57) wyznacza się ransmiancję operaorową członu różniczkującego idealnego rzędu ν: Y s ) G ) s ) s X s ) 58) Odpowiedź impulsowa członu różniczkującego idealnego opisanego ransmiancją operaorową 58), opisuje zależność: 1 ) 1 ) 1 g ) G v s ) s 59) Przy wyznaczaniu odwronej ransformay aplace a w równaniu 59), dla przypadku szczególnego, gdy wynika: gdzie: lim g 1 ) 0 d ) d 1 d ) ) d dla dla dla 0 0 0, ze wzoru 59) 60) 61) a więc znana zależność definiująca charakerysykę impulsową członu różniczkującego idealnego. Poniżej, na Rys. 14., pokazane zosały odpowiedzi impulsowe członu różniczkującego idealnego dla rzędu z przedziału [0,5 1,]: Rys. 14. Odpowiedzi impulsowe elemenu różniczkującego idealnego dla rzędów [0,5 1,] oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Odpowiedź skokową definiuje zależność: ) 1 1 ) 1 1 h ) G v s ) s 6) s 1 1, ze wzoru 6) wynika: lim g 1 ) ) 63) a więc znana zależność definiująca charakerysykę skokową członu różniczkującego idealnego. Na Rys. 15. pokazane zosały odpowiedzi skokowe dla rzędu z przedziału [0, 1]. 50 AUOBUSY 1/018
Rys. 15. Odpowiedzi skokowe elemenu różniczkującego idealnego dla rzędów [0,5 1,] oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Podsawiając zależność 11) do wzoru 58), orzymuje się ransmiancję widmową idealnego członu różniczkującego: G ) j ) cos j sin 64) Po elemenarnych przekszałceniach oblicza się część rzeczywisą i urojoną ransmiancji widmowej: ) ) ) G j) P ) j ) 65) gdzie: P ) ) ) cos ) sin 66a) 66b) Z wzorów 66) wyznacza się charakerysykę ampliudowo fazową Nyquisa) idealnego członu różniczkującego, kórej przebieg przedsawia Rys. 16.. Podobnie jak w przypadku członu całkującego idealnego nachylenie charakerysyki ampliudowo fazowej zależy ylko od warości rzędu elemenu i nie zależy od sałej czasowej. ą właściwość wykorzysuje się do projekowania układów zamknięych odpornych na zmianę paramerów obieku, przy zasosowaniu regulaorów Pν)Dμ) regulaora PD, w kórym zarówno człon całkujący, jak i różniczkujący może być niecałkowiego rzędu. Właściwość a wynika z analizy wzorów 66), gdyż można zapisać: ) ) ) g P ) 67) We wzorze 67) nie wysępuje sała czasowa, ylko rząd pochodno całki. Rys. 16. Charakerysyki ampliudowo fazowe członu różniczkującego idealnego dla różnych warości parameru v oraz paramerów i =1 [opracowanie własne], ze wzoru 9) wyni- ka: P ) 0 ) 1 68a) 68b) a więc znane zależności definiujące charakerysykę ampliudowo fazową idealnego członu różniczkującego. Ze wzorów 66) wyznacza się równania opisujące przebiegi charakerysyk częsoliwościowych Bodego: logarymicznej charakerysyki ampliudowej: 0log G j 0log cos sin 69) 0log logarymicznej charakerysyki fazowej: sin ) ) ) arcg arcg arcg g ) P cos 70) 1, ze wzorów 69) i 70) wynika: ) 0log 71a) ) 71b) a więc znane zależności definiujące częsoliwościowe charakerysyki logarymiczne Bodego ampliudową i fazową) idealnego członu różniczkującego. Przebiegi charakerysyk Bodego idealnego członu różniczkującego opisane za pomocą rachunku różniczkowego z pochodnymi niecałkowiych rzędów zosały pokazane na Rys. 17. Oraz Rys. 18.: AUOBUSY 1/018 51
Rys. 17. ogarymiczne charakerysyki ampliudowe idealnego członu różniczkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Y s ) s G ) s ) X s ) s 74) 1 Odpowiedź impulsowa członu całkującego rzeczywisego opisanego ransmiancją operaorową 74), opisuje zależność: ) 1 v ) 1 s g ) G s ) 75) s 1 Po elemenarnych przekszałceniach, uzyskuje się: 1 1 g E, 76) Przyjmując E, ): 1 1 k0 k k 77) Orzymuje się osaecznie zależność opisującą odpowiedź impulsową członu różniczkującego rzeczywisego: g ) ) 1 k 0 1 k k ) k 78), ze wzoru 76) wynika: k k k k 1) g ) E1,1 e 79) a więc znana zależność definiująca charakerysykę impulsową członu różniczkującego rzeczywisego. Na Rys. 19. pokazane zosały odpowiedzi impulsowe dla różnych rzędów. Rys. 18. ogarymiczne charakerysyki fazowe idealnego członu różniczkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Z Rys. 17. oraz Rys. 18. wynika, że logarymiczna charakerysyka ampliudowa dla parameru 1 ma nachylenie +0 db na 90 dekadę, a logarymiczna charakerysyka fazowa. Dokładnie w en sam sposób przebiegają logarymiczne charakerysyki częsoliwościowe członu różniczkującego idealnego wyznaczone z równania różniczkowego całkowiego rzędu. Zmniejszając rząd różniczki zmniejsza się szybkość wzrosu wzmocnienia. Z ego faku wynika, że szybkość wzrosu wzmocnienia zależy ylko od rzędu różniczki. Na logarymicznej charakerysyce fazowej widać, że przesunięcie fazowe zależy od rzędu różniczki. Zwiększając rząd zwiększa się przesunięcie fazowe układu. 5. Człon różniczkujący rzeczywisy Człon różniczkujący rzeczywisy opisany jes równaniem różniczkowym o pochodnych niecałkowiego rzędu: R R D y ) y ) D x ) 7) 0 Sosując przekszałcenie aplace a do równania 34), dla zerowych warunków począkowych, orzymuje się: s Ys Ys s X s ) 73) Z równania 73) wyznacza się ransmiancję operaorową członu różniczkującego rzeczywisego rzędu ν: 0 Rys. 19. Odpowiedzi impulsowe elemenu różniczkującego rzeczywisego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Dla: Odpowiedź skokową wyznacza się z zależności: h ) ) i przyjmując 1 G s s ) 1 s s 1 1 v ) 1 80) ) E i 1 h 1 ): 1, 81) 5 AUOBUSY 1/018
E,1 1 1 k 0 k 1 k 8) orzymuje się osaecznie zależność opisującą odpowiedź skokową członu różniczkującego rzeczywisego: h ) ) k0, ze wzoru 81) wyni- ka: k ) k 1 k 1 83) h ) e 84) a więc znana zależność definiująca charakerysykę skokową członu różniczkującego rzeczywisego. Na Rys. 0. pokazane zosały odpowiedzi skokowe dla wybranych rzędów. Rys. 0. Odpowiedzi skokowe elemenu różniczkującego rzeczywisego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Podsawiając zależność 11) do wzoru 74), orzymuje się ransmiancję widmową rzeczywisego członu różniczkującego: cos j sin G ) j ) 85) cos j sin Po elemenarnych przekszałceniach oblicza się część rzeczywisą i urojoną ransmiancji widmowej: ) ) ) G j) P ) j ) 86) gdzie: cos ) P ) 87a) cos 1 sin ) sin ) cos 1 sin 1 87b) Ze wzoru 87) wyznacza się charakerysykę ampliudowo fazową Nyquisa) członu różniczkującego rzeczywisego, kórej przebieg przedsawia Rys. 1.: Rys. 1. Charakerysyki ampliudowo fazowe członu różniczkującego rzeczywisego dla różnych warości parameru v oraz paramerów i =1 [opracowanie własne], ze wzoru 87) wyni- ka: P 1 ) 1 ) 1 88) a więc powszechnie znane zależności definiujące charakerysykę ampliudowo fazową członu różniczkującego rzeczywisego. Ze wzorów 87) wyznacza się równania opisujące przebiegi charakerysyk częsoliwościowych Bodego: logarymicznej charakerysyki ampliudowej: ) ) 0 log 0 log G j P 89) logarymicznej charakerysyki fazowej: sin ) ) ) arcg ) arcg 90) P cos 1, ze wzorów 89) i 90) wynika: 1 ) ) 0log 1 1 0log 0log 1 1 ) 1 ) arcg arcg 91b) a więc znane w lieraurze zależności definiujące częsoliwościowe charakerysyki logarymiczne Bodego ampliudową i fazową) rzeczywisego członu różniczkującego. Przebiegi charakerysyk Bodego rzeczywisego członu różniczkującego opisane za pomocą rachunku różniczkowego z pochodnymi niecałkowiych rzędów zosały pokazane na Rys.. oraz Rys. 3.: 91a) AUOBUSY 1/018 53
Opisane w arykule człony dynamiczne za pomocą rachunku 1 różniczkowego niecałkowiych rzędów, dla parameru, sanowią powszechnie znane zależności definiujące charakerysyki czasowe i częsoliwościowe badanych członów dynamicznych a wykreślone na ich podsawie charakerysyki pokrywają się z powszechnie znanymi charakerysykami członów auomayki opisanymi równaniami różniczkowymi zwyczajnymi. Powierdza o zaem słuszność ezy, że klasyczny rachunek różniczkowy rzędów całkowiych) jes przypadkiem szczególnym rachunku różniczkowego rzędów dowolnych. Rys.. ogarymiczne charakerysyki ampliudowe rzeczywisego członu różniczkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Rys. 3. ogarymiczne charakerysyki fazowe rzeczywisego członu różniczkującego dla różnych warości parameru ν oraz paramerów i =1 [opracowanie własne] Wyznaczone charakerysyki zarówno czasowe jak i częsoliwościowe, dla parameru 1 pokrywają się z charakerysykami wyznaczonymi meodą klasyczną, czyli na podsawie analizy równania różniczkowego zwyczajnego sanowiącego model maemayczny analizowanego członu różniczkowego rzeczywisego. a zgodność powierdza prawidłowość meody. Szybkość wzrosu wzmocnienia układu, dla częsoliwości mniejszych od częsoliwości rezonansowej, zależy od rzędu różniczki i jes ym większe im wyższy jes en rząd. Przeprowadzając analizę Rys. 3. można powiedzieć, że zwiększenie rzędu różniczki powoduje zwiększenie przesunięcia fazowego, dla małych częsoliwości, mniejszych od częsoliwości rezonansowej. Zwiększenie rzędu różniczki, powoduje zaem zwiększenie dynamiki zjawisk w analizowanym modelu. Podsumowanie W arykule przedsawiono uogólniony opis właściwości dynamicznych podsawowych elemenów auomayki sosując rachunek różniczkowy niecałkowiych rzędów. Mając do dyspozycji niecałkowie modele członów elemenarnych można budować bardziej złożone układy auomayki dowolnych rzędów. Bibliografia: 1. Busłowicz M., Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych ciągłych układów niecałkowiego rzędu, Pomiary Auomayka Roboyka nr /010.. Busłowicz M., Narowicz., Projekowanie regulaora ułamkowego rzędu dla określonej klasy obieków z opóźnieniem, Pomiary Auomayka Roboyka, nr, s. 398-405, 009. 3. aczorek., Wybrane zagadnienia eorii układów niecałkowiego rzędu, Oficyna Wydawnicza Poliechniki Białosockiej, sron 71, SSN 0867-096X, Białysok 009. 4. Chwaleba A., uf M., Właściwości i projekowanie wybranych przeworników mechano elekrycznych, Zakład Poligraficzny Poliechniki Radomskiej, Wyd. popr. i uzup., SBN 83-88001- 00-0, Radom 1998. 5. uf M., Nowocień A., Cioć R., Pieruszczak D., Charakerysyki częsoliwościowe modelu przewornika ciśnienia opisanego równaniem różniczkowym niecałkowiego rzędu, ogisyka nr 3/015, SSN 131-5478, Poznań 015. 6. uf M., Nowocień A., Pieruszczak D., Modele maemayczne kaskady pneumaycznej oraz membranowego siłownika pneumaycznego opisane rachunkiem różniczkowym niecałkowiych rzędów, AUOBUSY - echnika, Eksploaacja, Sysemy ransporowe; Eksploaacja i esy; SSN 1509-5878, e-ssn 450-775, sr. 1056-1060, nsyu Naukowo-Wydawniczy "SPA- UM", AUOBUSY 1018), Radom 018 arykuł zgłoszony 7. uf M., Nowocień A., Pieruszczak D., Analiza właściwości dynamicznych wybranych układów pneumaycznych za pomocą rachunku różniczkowego niecałkowiych rzędów. Część 1. Badania symulacyjne, AUOBUSY - echnika, Eksploaacja, Sysemy ransporowe; Eksploaacja i esy; SSN 1509-5878, e- SSN 450-775, sr. 1050-1055, nsyu Naukowo- Wydawniczy "SPAUM", AUOBUSY 1017), Radom 017. 8. uf M., Nowocień A., Pieruszczak D., Analiza właściwości dynamicznych wybranych układów pneumaycznych za pomocą rachunku różniczkowego niecałkowiych rzędów. Część. Badania laboraoryjne, AUOBUSY - echnika, Eksploaacja, Sysemy ransporowe; Eksploaacja i esy; SSN 1509-5878, e- SSN 450-775, sr. 1056-1060, nsyu Naukowo- Wydawniczy "SPAUM", AUOBUSY 1017), Radom 017. 9. uf M., Pieruszczak D., Nowocień A., Frequency response of he pressure ransducer model described by he fracional order differenial equaion, S 1 016), SSN 13-389, Radom 016. 10. uf M., Szycha E., Nowocień A., Pieruszczak D., Zasosowanie rachunku różniczkowo całkowego niecałkowiych rzędów w maemaycznym modelowaniu przewornika ciśnienia, Auobusy nr 6/016, SSN 1509-5878, nsyu Naukowo- Wydawniczy SPAUM, Radom 016 11. Nowocień A., Analiza właściwości dynamicznych układów pneumaycznych za pomocą rachunku różniczkowego niecałkowiych rzędów, Rozprawa dokorska, Biblioeka Główna Uniwersyeu echnologiczno- Humanisycznego im. azimierza 54 AUOBUSY 1/018
Pułaskiego w Radomiu, Radom 017, Promoor: Prof. dr hab. inż. Mirosław uf; Promoor pomocniczy: dr inż. Daniel Pieruszczak) 1. Nowocień A., uf M., Pieruszczak D., Zasosowanie rachunku różniczkowo całkowego niecałkowiych rzędów w nauce i echnice. ogisyka nr 3/014. 13. Osalczyk P., Zarys rachunku różniczkowo-całkowego ułamkowych rzędów. eoria i zasosowanie w auomayce, Wydawnicwo Poliechniki Łódzkiej, sron 430, SBN 978-83-783-45-0, Łódź 008. 14. Pieruszczak D., Analiza właściwości układów pomiarowych wielkości dynamicznych z wykorzysaniem rachunku różniczkowo całkowego ułamkowych rzędów, Rozprawa dokorska, Biblioeka Główna Uniwersyeu echnologiczno- Humanisycznego im. azimierza Pułaskiego w Radomiu, Radom 013. 15. Podlubny., Fracional Differenial Equaions. An nroducion o Fracional Derivaives, Fracional Differenial Equaions, Some Mehods of heir Soluion and Some of heir Applicaions, Academic Press, 368 pages, SBN 01558840, San Diego-Boson- New York-ondon-okyo-orono 1999. 16. Mościński J., Ogonowski Z. red.), Advanced Conrol wih MAAB and SMUN, Pearson Higher Educaion, 7 pages, SBN 013309667X, 1995. 17. Rudra P., łumacz: orbecki M.), Maalb 7 dla naukowców i inżynierów, Wydawnicwo Naukowe PWN, sron 80, SBN 9788301160579, Warszawa 010. 18. hp://www.mahworks.com srona inerneowa producena programu MAAB Analysis of dynamic properies of seleced basic elemens of auomaion of non-ineger orders he paper presens he applicaion of he fracional calculus o describe he dynamics of seleced basic elemens of auomaion. For he analyzed models, he ineger and non-ineger order ransmiance was deermined. Relaionships describing ime characerisics were deermined and frequency; on he pah of compuer simulaion, he characerisics of he analyzed sysems were obained. MAAB sofware was used for simulaion research. eywords: fracional calculus, ransfer funcion, basic elemens of auomaics. Auorzy: Prof. dr hab. inż. Mirosław uf, prof. zw. Wydział ransporu i Elekroechniki Uniwersyeu echnologiczno-humanisycznego im. azimierza Pułaskiego w Radomiu, ul. Malczewskiego 9, 6-600 Radom, e-mail: m.luf@uhrad.pl Dr inż. Arur Nowocień Zespół Szkół Elekronicznych im. Bohaerów Weserplae w Radomiu, ul. Sadkowska 19, 6-600 Radom Dr inż. Daniel Pieruszczak adiunk, Wydział ransporu i Elekroechniki Uniwersyeu echnologiczno-humanisycznego im. azimierza Pułaskiego w Radomiu, ul. Malczewskiego 9, 6-600 Radom, e-mail: d.pieruszczak@uhrad.pl AUOBUSY 1/018 55