TEORIA STEROWANIA I, w 3. dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

TEORIA STEROWANIA I, w 3 dr inż. Adam Woźniak ZTMiR MEiL PW

Etapy modelowania obiektu Wyróżniłem cztery etapy tworzenia matematycznego modelu obiektu: Analiza systemowa obiektu. Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu. Identyfikacja parametrów modelu. Walidacja. 2

Etapy modelowania obiektu Analiza systemowa Określenie matematycznej postaci modelu Budowa modelu i identyfikacja obiektu Identyfikacja parametrów Dane pomiarowe MODEL wejścia Walidacja symulacja MODEL Obiekt eksperyment wyjścia obliczone Porównanie wyjścia zmierzone 3

Pożyteczny przykład: Szczotka na dłoni (Broom balancing) Segway Personal Transporter 4

Laboratoryjna realizacja: odwrócone wahadło na wózku napędzanym elektrycznym silnikiem liniowym J l odległość osi obrotu od środka masy kuli, której trzeba zapewnić równowagę, p położenie, θ kąt wychylenia obiektu, F siła, M masa wózka, m masa kuli, J jej moment bezwładności, masę pręta pomijamy. 5

Forcer-platen linear motor Płaski indukcyjny silnik liniowy (INDUKTOR, BIEGNIK, WÓZEK) F v p (BIEŻNIA) Obecnie produkowane silniki liniowe są tak zaprojektowane że dynamikę ich części elektromagnetycznej można pominąć i z zadawalającą dokładnością ich zachowanie opisuje równanie: F = k v cpɺ, m gdzie v to napiecie sterujące, a cpɺ siła przeciwelektromotoryczna. 6

J Wózek Równania ruchu wózka z wahadłem: kmv γ γ B Oznaczamy: g przyspieszenie ziemskie. γ i γ B współczynniki tarcia lepkiego, przyjmujemy γ B = 0. Nieliniowe równanie stanu: x = [ p θ pɺ θ ɺ ], u = k v, y = [ x x ] = [ p θ] T T T m 1 2 s θ = sinθ, c θ = cosθ d x dt = f ( x, u ) p 1 0 0 0 θ y = g( x) = Cx 0 1 0 0 = pɺ Liniowe równanie wyjścia θ ɺ 7

Odwrócone wahadło (inverted pendulum) Uprośćmy sobie sytuację zakładając, że położenie wózka nas nie interesuje (wózek rusza się by utrzymać w pionie wahadło). Gubimy zatem dwie współrzędne stanu związane z położeniem, a do równań nie wchodzi masa wózka (M t = m). Wprowadzając stosowne zmiany w równaniach, a także przyjmujac, że: siła przeciwelektromotoryczna jest pomijalnie mała, c 0, 2 θɺ 0, dostajemy: l ( cos θ) u J θ x1 TERAZ: x = = θɺ x xɺ 2 1 x 2 0 = + u, y = x1 x 2 a21 sin x1 a22x 2 b2 cos x ɺ 1 a 21 > 0 xɺ = f ( x, u), y = g( x) = [ 1 0] x a 22 > 0 b 2 > 0 Przyjmujemy: a21 = a22 = b2 = 1. 8 t

Ruch na płaszczyźnie fazowej swobodnego odwróconego wahadła xɺ 1 x 2 x = ɺ 1 sin x 1 x x ' = y 2 y ' 1= s in(x) - y 2 0.5 [ 0.5 0.5] Programy J.C. Polkinga dla MATLABa: http://math.rice.edu/~dfield/ 0.4 0.3 0.2 θ ɺ y 0.1 0 [ 0.5 0] [0.1 0] -0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 [0.1 0.5] -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x 30 = 0.5236 rad θ [rad] 9

Stabilizacja wahadła Stabilizujemy wahadło wykorzystując liniowe sprzężenie od stanu: u = Kx = [13 7] x, co daje następujące równania systemu sterowania xɺ = x 1 2 xɺ = sin( x ) x + cos( x )( 13x 7 x ) 2 1 2 1 1 2 xɺ = Obiekt x 1 2 xɺ = 1 sin x 1 x + 1 cos( x ) u 2 1 2 1 OBIEKT xɺ ( t) 1 x 01 x 1 (t) sin( ) xɺ ( t) 2 x 2 (t) x 02 cos( ) u(t) 7 13 LINIOWE SPRZĘŻENIE ZWROTNE 10

θ ɺy xɺ = Ustabilizowane odwrócone wahadło x 1 2 xɺ = x x + x x x x ' = y sin( y ' = s in(x) ) - y - 13 x cos( (x) - 7 y )( cos (x) 13 7 ) 2 1 2 1 1 2 0.5 0.4 0.3 [0.3 0.3 ] 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 [ 0.5 0.4 ] -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x θ [rad] 30 = 0.5236 rad 11

Stabilizacja wahadła z nasyceniem sterowania α gdy v < α v sat( v, α ) = v gdy v α α gdy v > α xɺ = x 1 2 xɺ = sin( x ) x + cos( x ) sat[ 13x 7 x,0.5] 2 1 2 1 1 2 OBIEKT xɺ ( t) 1 x 01 x 1 (t) sin( ) xɺ ( t) 2 x 2 (t) x 02 cos( ) u(t) 7 13 NIELINIOWE SPRZĘŻENIE ZWROTNE 12

xɺ = x 1 2 Stabilizowane odwrócone wahadło z nasyceniem sterowania xɺ = sin( x ) x + cos( x ) sat[ 13x 7 x,0.5] 2 1 2 1 1 2 0.5 α gdy v < α v sat( v, α ) = v gdy v α α gdy v > α 0.4 0.3 0.2 y 0.1 θ ɺ 0 [0 0.464 ] [0 0.464 ] -0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 30 = 0.5236 rad -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x θ 13

xɺ = x 1 2 Stabilizowane odwrócone wahadło z nasyceniem sterowania xɺ = sin( x ) x + cos( x ) sat[ 13x 7 x,0.5] 2 1 2 1 1 2 0.5 α gdy v < α v sat( v, α ) = v gdy v α α gdy v > α 0.4 0.3 0.2 y 0.1 θ ɺ 0 [0 0.464 ] [0 0.464 ] -0.1-0.2-0.3-0.4-0.5 30 = 0.5236 rad -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x θ Obszar stabilności 14

Modelowanie układu dynamicznego będącego obiektem sterowanym w projektowanym serwomechanizmie położenia robota IRp6 Serwomechanizm ustalający położenia poszczególnych osi robota IRp6 stanowi element najniższej warstwy jego systemu sterowania. Określenie co jest obiektem sterowanym dla takiego serwomechanizmu wynika z przyjętej zasady projektowania (całego) systemu regulacji ruchu robota. 15

Etapy modelowania obiektu Analiza systemowa Określenie matematycznej postaci modelu Budowa modelu i identyfikacja obiektu Identyfikacja parametrów Dane pomiarowe MODEL Walidacja 16

Analiza systemowa przygotowująca projektowanie serwomechanizmu położenia robota Ruchy manipulacyjne robota planuje się w wybranym, stałym układzie współrzędnych kartezjańskich. Wyznaczenie realizujących ten ruch przemieszczeń kątowych (postępowych) poszczególnych osi robota jest tzw. zadaniem odwrotnym kinematyki manipulatora. Znalezienie rozwiązania tego zadania nie jest łatwe, bo na ogół nie jest ono jednoznaczne. Zadanie proste kinematyki to zadanie polegające na wyznaczeniu zmian pozycji (i orientacji) narzędzia w wybranym układzie współrzędnych kartezjańskich na podstawie przemieszczeń kątowych poszczególnych osi. Ponieważ mierzymy przemieszczenia kątowe osi to system regulacji ruchu robota można zaprojektować na dwa sposoby. 17

Pierwszy rodzaj systemu regulacji ruchu robota Sygnały sterujące silnikami poszczególnych osi są obliczane na podstawie uchybów położenia wyliczanych dla poszczególnych współrzędnych układu kartezjańskiego. 18

Pierwszy rodzaj systemu regulacji ruchu robota Zadanie proste kinematyki rozwiązywane on-line staje się tu elementem układu pomiarowego. Ceną jaką płacimy za możliwość użycia tego zadania jest konieczność zaprojektowania wielowymiarowego (wielopętlowego) algorytmu regulacji. Zauważmy, że dobry algorytm wielowymiarowy można uzyskać tylko wtedy gdy dysponujemy bardzo dokładnym modelem dynamicznych własności całego obiektu wzajemnie połączonych układów elektromagnetycznych i mechanicznych dla wszystkich osi. Spełnienie tego warunku może być bardzo trudne. 19

Drugi rodzaj systemu regulacji ruchu robota Sygnały sterujące silnikami poszczególnych osi są obliczane na podstawie uchybu położenia dla przemieszczeń kątowych tych osi. 20

Drugi rodzaj systemu regulacji ruchu robota Zadanie odwrotne kinematyki jest tu elementem procedury wyznaczania zadanego przebiegu przemieszczeń kątowych. Może być ono rozwiązywane off-line, gdy zadany przebieg jest wyznaczany wcześniej jako program ruchu. Gdy dysponujemy efektywnym algorytmem jego rozwiązywania i szybkim procesorem w systemie sterowania, można je rozwiązywać on-line. Projektując ten system nie musimy określać wielowymiarowego algorytmu regulacji. Często możemy interakcje pomiędzy osiami występujące w układzie mechanicznym uznać w trakcie projektowania za zakłócenia, z którymi potrafi sobie poradzić zamknięty układ sterowania. Zatem system regulacji może składać się z autonomicznych, jednopętlowych układów zaprojektowanych dla poszczególnych osi. Jeżeli wspomniane interakcje nie są zbyt silne, to zaprojektowanie dobrego układu jednopętlowego jest możliwe nawet wtedy gdy model obiektu, którym dysponujemy nie jest zbyt dokładny. Zauważmy tu, że manipulatory robotów są najczęściej projektowane tak, aby interakcje pomiędzy poszczególnymi osiami były jak najmniejsze. 21

Analiza systemowa: Decyzja strukturalna Przyjmujemy, że potrafimy efektywnie rozwiązywać zadanie odwrotne kinematyki. Zatem chcemy aby projektowana struktura systemu sterowania robota była strukturą drugą: kontrola ruchu poszczególnych osi zostanie powierzona jednopętlowym, autonomicznym układom regulacji położenia, dla których zadany przebieg jest wyznaczany przez rozwiązanie zadania odwrotnego kinematyki manipulatora. Na pytanie: czy takie rozwiązanie jest możliwe? musi nam odpowiedzieć analiza modelu obiektów składających się na całego robota. 22

Etapy projektowania systemu sterowania Analiza systemowa obiektu. Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu. 23

Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu: modelowanie matematyczne obiektu sterowania Przy takiej decyzji strukturalnej obiektem sterowanym jest silnik napędowy osi wraz z obciążeniem, poddany dodatkowym wpływom interakcyjnym wynikającym z ruchu pozostałych osi. Obecnie najczęściej jest to silnik elektryczny. Z ogólnego punktu widzenia taki silnik z obciążeniem jest przetwornikiem energii elektromagnetycznej na mechaniczną. Schemat oddziaływań pomiędzy obydwoma procesami, tj. elektromagnetycznymi i mechanicznymi, dla silnika obrotowego jest następujący: M z u UKŁAD ELEKTRO MAGNETYCZNY M e W M UKŁAD MECHANICZNY ϕ 1 N θ BE 24

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania M z u UKŁAD ELEKTRO MAGNETYCZNY M e W M UKŁAD MECHANICZNY ϕ 1 N θ BE Układ elektromagnetyczny na tym rysunku traktujemy szerzej niż na rysunkach poprzednich. W zależności od przyjętych rozwiązań konstrukcyjnych włączamy do niego cały układ wykonawczy albo co najmniej tę jego część, która związana jest z przekazywaniem mocy W tej sytuacji: u oznacza elektryczny sygnał sterowania podawany na wejście układu sterowania wzmacniaczem mocy, M e moment napędowy będący wynikiem procesów elektromagnetycznych, M z sumę momentów zewnętrznych i wewnętrznych zmniejszających moment napędowy, M moment zmieniający położenie (przemieszczenie kątowe) θ kolejnej osi robota, 1/N to przekładnia zamieniająca szybkie obroty silnika na dużo wolniejsze obroty osi, BE oddziaływanie wsteczne procesów mechanicznych na elektromagnetyczne. 25

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania Dalej założymy, że przedstawione powyżej układy są sztywne, przy czym dla każdego z nich sztywność jest rozumiana inaczej. Klasycznie rozumiana sztywność układu mechanicznego to brak podatności na odkształcenia członów mechanicznych. Oznacza to, że w modelu matematycznym takiego układu wynikającym z zasady równowagi momentów: dϕ = ω dt 1 dω ( J + J ) 2 ob = M e M z N dt gdzie J jest momentem bezwładności silnika, a jest momentem bezwładności mas obciążających zredukowanym na wał silnika, można pominąć momenty zależne od położenia., 1 N 2 J ob 26

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania Moment zakłócający M z, zmniejszający moment napędowy, jest sumą zredukowanych na wał silnika momentów pochodzących z interakcji z pozostałymi osiami 1 M ir = M i N i momentu tarcia M f. Zwykle przyjmuje się trójczłonowy model tarcia M f = M s + M C + k f ω gdzie ostatni człon opisuje moment tarcia lepkiego (viscous friction) proporcjonalnego do prędkości, M s to moment tarcia spoczynkowego (static friction), a M C to moment tarcia suchego (Coulomba) (Coulomb friction). 27

Modelowanie matematyczne obiektu sterowania: upraszczanie Przyjęte podejście pozwala na włączenie momentu tarcia lepkiego do równania równowagi momentów 1 dω ( J + J ) + k ω = M M 2 N dt 1 M z = M i + M s + M C N ob f e z Zwykle przełożenie jest duże, N > 100. Oznacza to, że tak bezwładnościowe jak i momentowe wpływy zewnętrzne można pominąć 1 J + J ob J, M z M s + 2 N M C 28

Model składnika mechanicznego obiektu sterowania Zatem silnik z dostatecznie duża przekładnią jest sztywny i jego dynamikę dobrze opisuje równanie: J dω + dt k f ω = M e M M e moment napędowy będący wynikiem procesów elektromagnetycznych, M s moment tarcia spoczynkowego, M C moment tarcia suchego. s M C Podkreślmy taki model nie nadaje się do projektowania serwomechanizmów położenia dla robotów z napędem bezpośrednim (direct drive), w których nie ma przekładni, θ = ϕ. 29

Model składnika elektromagnetycznego obiektu sterowania Sztywność układu elektromagnetycznego rozumiemy ostrzej niż sztywność układu mechanicznego. Zakładamy bowiem, że przekształcenie sygnału sterowania na moment jest liniowym procesem statycznym (pomijamy dynamikę procesów elektromagnetycznych): M e = k em (u k be BE). Do pełnego opisu brakuje modelu określającego zależność oddziaływania wstecznego BE od prędkości i położenia. Dla silników elektrycznych BE zależy tylko od prędkości ω i w większości przypadków statyczny model liniowy jest wystarczający: BE = k ω ω. 30

Model obiektu sterowania Łącząc powyższe wzory i wprowadzając oznaczenie s dla operatora różniczkowania, po prostych przekształceniach dostajemy następujący opis obiektu gdzie: (Ts + 1)ω = k v (u M fu ) T = sϕ = ω M fu = η(m s + M C ) k J + k k k f be ω em, k v tarcie mierzone w jednostkach sterowania kem 1 =, η =. k + k k k k f be ω em em Wprowadzony powyżej współczynnik η to współczynnik przeliczeniowy pozwalający na dodawanie momentów tarcia do sygnału sterowania. 31

(Transmitancyjny) Model obiektu sterowania M fu u k v T s + 1 ω 1 s ϕ 1 N Przyjęte założenia pozwoliły zatem opisać obiekt jako szeregowe połączenie członu inercyjnego o stałej czasowej T i wzmocnieniu prędkościowym k v oraz członu całkującego. Jest to model bardzo prosty, lecz założenie sztywności pozwala na posługiwanie się tylko podstawowymi cechami obciążonego silnika: inercją przy odpowiadaniu na wymuszenia i definicyjną zależnością między położeniem a prędkością. Jednak wartość tego modelu jest wątpliwa dopóki nie wyznaczymy parametrów tych zależności i nie sprawdzimy zgodności przebiegów uzyskanych symulacyjnie z przebiegami zmierzonymi w obiekcie. θ 32

Transmitancja obiektu sterowania sterowanie zakłócenie człon inercyjny całkowanie wyjście Zwróćmy tu uwagę, że modelowany obiekt sterowany nie był czarną skrzynką. Przy tworzeniu zależności miedzy interesującymi nas wielkościami posługiwaliśmy się skumulowaną wiedzą inżynierską (m. innymi prawami natury) i doświadczeniem. UWAGA: Formalna wartość tego schematu blokowego jest taka sama jak układu równań 33

Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu Schemat blokowy opisujący zależności matematyczne (schemat transformacji sygnałów): M fu dla N dużego: M fu = η(m s + M C ) u k v T s + 1 ω 1 s Schemat blokowy opisujący zależności fizyczne: ϕ 1 N θ M z M z = 1 M i + M s + N M C u UKŁAD ELEKTRO MAGNETYCZNY M e W M UKŁAD MECHANICZNY ϕ 1 N θ BE 34

Etapy projektowania systemu sterowania Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na modelu obiektu Identyfikacja parametrów modelu. 35

Identyfikacja parametrów modelu Przedstawię teraz możliwą metodę identyfikacji parametrów wybranego modelu dla pierwszego stopnia swobody (osi) robota IRp 6 tj. wózka. 36

Realizacja sprzętowa serwomechanizmów Przetwornik Wzmacniacz mocy Silnik z obciążeniem Pomiar przemieszczenia Urządzenie wykonawcze Obiekt Regulator Sterownik 37 (Układ sterujący)

Identyfikacja parametrów modelu Najprostszą metodą identyfikacji pozwalającą na określenie wartości parametrów wybranego transmitancyjnego modelu obiektu jest analiza odpowiedzi skokowych. t 1(t) 1 1 2 0 (unit) step G( s) t = G(s) k 5.4510 0.0867s + 1 t h(t) step response Amplitude 6 5 4 3 2 1 Step Response Istotne założenie: Możemy taki eksperyment przeprowadzić! 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Time (sec) T 38

Identyfikacja parametrów modelu Ponieważ w naszym przypadku obiekt jest astatyczny wymuszenie identyfikujące musi mieć postać impulsu prostokątnego o zadanej amplitudzie i dostatecznie długim czasie trwania. Najczęściej możemy mierzyć położenie i prędkość, jednak ze względu na to, że pomiar prędkości jest zawsze bardziej zaszumiony do identyfikacji lepiej jest posłużyć się zmierzonymi zmianami położenia. 350 Oś 3, wykresy znormalizowane 3 przyrosty 300 250 200 150 100 0.7 0.9 --0.7 0.8 Prędkości trzeciej osi zmierzone przy skokach o różnych amplitudach. 50 0 Polycrank -50 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 czas (milisekundy) 39

Identyfikacja parametrów modelu t 1(t) u( ) kv G( s) = s( Ts + 1) Odpowiedź obiektu o takiej transmitancji jest następująca: Step Response 16 h( ) t h(t) ϕ( ) 3 x 104 2.5 2 Ponieważ ( t) u(t) [ 255,255], to jako amplitudę skoku wybieramy wartość środkową : U =120 120h( ) 14 12 10 1.5 2.5 x 104 zmierzona prędkość Amplitude 8 1 2 6 4 0.5 1.5 2 1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Time (sec) t t h( t) = T (exp( ) 1) + t T 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time [s] Zatem: eksperymentalnie potwierdziliśmy, że jakościowo nasz model jest właściwy! 0-0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 time (sec) 40

Identyfikacja parametrów modelu G( s) = kv s( Ts + 1) Trzeba teraz wyznaczyć wartości parametrów k v i T. Wzór określający odpowiedź przyjętego modelu obiektu przy założeniu zerowego momentu tarcia M fu na skok o amplitudzie U przyłożony w chwili t 0 jest następujący t t0 hmod ( t; t0, U, kv, T ) = Ukv[ T (exp( ) 1) + ( t t0)]. T Posługując się tym wzorem łatwo jest obliczać wartości wskaźnika metody najmniejszych kwadratów określającego stopień dopasowania parametrów do wartości rzeczywistych 2 ( k, T ) V( k, T ) = M [ h ( n) h ( nt ;0, U, k, T )] v v n= 1 r mod p v gdzie { h ( )} M r n n= 1 jest zmierzoną w M kolejnych chwilach, nt p, odpowiedzią obiektu na skok o amplitudzie U =120. Dla danych przedstawionych na rysunku takie postępowanie dało: k v = 131.93 oraz T = 0.2118[s]. 41

G( s) 131.93 = s(0.2118s + 1) Identyfikacja parametrów modelu Porównajmy więc zmierzoną odpowiedź obiektu Trzeba teraz dokonać walidacji (potwierdzenia) modelu. 3 x 104 z obliczoną (symulowaną) przez zidentyfikowany model. 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Zatem: eksperymentalnie potwierdziliśmy, że ilościowo nasz model jest właściwy! 42

Walidacja modelu Zatem: eksperymentalnie potwierdziliśmy, że ilościowo nasz model jest właściwy. Porównajmy odpowiedzi skokowe modelu zerowej osi ruchomego robota IRp6 (wózka) z odpowiedziami zarejestrowanymi dla skoków o różnych amplitudach U l : Amplitude Czy to stwierdzenie jest prawdziwe? 3.5 x 104 Step Response 3 2.5 2 1.5 1 U = 140 U = 120 U = 80 Nie wygląda to dobrze. Oparcie identyfikacji tylko na jednym eksperymencie nie jest wystarczające. Z ilościowego punktu widzenia (a ten jest dla nas najważniejszy) model nie jest właściwy. 0.5 0-0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Time (sec) Model musi w sensowny sposób pokryć cały zakres sygnałów wejściowych. 43

Identyfikacja parametrów modelu Trzeba w sensowny sposób pokryć cały zakres sygnałów wejściowych. Ze względów bezpieczeństwa do badania wybrano następujące ciągi amplitud skoków: {U l } = {30, 50, 80, 100, 120, 140, 150} (w jednostkach pomiaru sterowania) {U l } = { 30, 50, 80, 110, 120, 150} Przebieg zmierzonych odpowiedzi skokowych zerowej osi ruchomego robota IRp6 (wózka) dla skoków o różnych amplitudach U l : przesuniecie [impulsy rezolwera] 3.5 x 104 3 2.5 2 1.5 1 0.5 zmiany polozenia skok 150 skok 140 skok 120 skok 100 skok 80 skok 50 skok 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 czas [s] 44

Identyfikacja parametrów modelu t t0 hmod ( t; t0, U, kv, T ) = Ukv[ T (exp( 1) + ( t t0)] T Postępując jak poprzednio, tj. posługując się metodą najmniejszych kwadratów ze wskaźnikiem M V( k, T ) = [ h ( n, U ) h ( nt ;0, U, k, T )] l l n= 1 r l mod p l l l gdzie {h r (n;u l )} jest zmierzoną w chwilach nt p odpowiedzią obiektu na skok o amplitudzie U l, l = 1,2,...,m, otrzymamy odpowiadające im wartości parametrów T l i k l. Wykorzystując komputer do porównywania wykresów można te parametry dostroić tak by przebiegi rzeczywiste i obliczone były jak najbardziej zbliżone do siebie. Jeżeli nie udaje się tego osiągnąć to przyjęty model nie jest prawdziwy obiekt nie jest sztywny i trzeba się zastanowić nad bardziej skomplikowanym opisem. 2 45

Identyfikacja parametrów modelu Otrzymane metodą najmniejszych kwadratów wartości stałej czasowej inercji T l, l = 1,2,...,m, z reguły nie różnią się znacznie od siebie i dlatego jako wartość stałej T w modelu można przyjąć wartość średnią Postępując tą drogą otrzymałem T = 0.2121 [s]. Większy kłopot sprawiło wyznaczenie wzmocnienia k v, ponieważ dla wybranego ciągu amplitud otrzymano ciąg wzmocnień {k l } = {47.32, 74.58, 105.76, 130.20, 131.93, 140.24, 51.89, 75.56, 105.01, 123.12, 137.46, 141.88} [imp_rezolwera/s]. Jak wybrnąć z kłopotów w tej sytuacji? HIPOTEZA: Wyznaczany współczynnik wzmocnienia wzrasta ze wzrostem amplitudy dlatego, że w obiekcie występuje suche tarcie dodatkowy moment zewnętrzny M Cu = ηm C, który dotychczas nie był uwzględniany. W takiej sytuacji właściwą ocenę wzmocnienia prędkościowego k v, a przy okazji wielkość współczynnika tarcia suchego c 0, można wyznaczyć w następujący sposób. 46

Wybór nowego modelu obiektu sterowanego Przyjmujemy, że moment tarcia suchego (w jednostkach pomiaru sterowania) jest opisywany wzorem M Cu = c 0 sgn(ω). (*) Następnie rozszerzamy nasz liniowy model do modelu nieliniowego przyjmując dla uproszenia, że moment tarcia jest tylko momentem tarcia suchego, M fu = M Cu. c 0 Nowy model model nieliniowy M Cu c 0 u k vn ω 1 ϕ Ts + 1 s Dodanie zależności (*) oznacza, że w czasie ruchu sterowanie jest zmniejszone o c 0. 47

Identyfikacja parametrów modelu nieliniowego Do wyznaczenia współczynnika wzmocnienia k vn tak rozszerzonego modelu możemy ponownie posłużyć się metodą najmniejszych kwadratów, tym razem jednak z funkcją Minimalizując tę funkcję otrzymamy wartość wzmocnienia k vn, i wielkość współczynnika tarcia suchego c 0 dla modelu nieliniowego. Podsumowując: Przedstawiony sposób postępowania zastosowany do danych przedstawionych na rysunku dał następujące wartości parametrów modelu nieliniowego dla pierwszego stopnia swobody ruchomego robota IRp6: Przypominam: {k l } = {47.32, 74.58, 105.76, 130.20, 131.93, 140.24, 51.89, 75.56, 105.01, 123.12, 137.46, 141.88} [imp_rezolwera/s]. 48

Nieliniowy model obiektu c 0 M Cu c 0 u ω ϕ 1 k vn T s + 1 s 49

Etapy modelowania obiektu Analiza systemowa obiektu Określenie postaci matematycznych zależności składających się na model obiektu Identyfikacja parametrów modelu Walidacja. 50