Rys.1. Zasada eliminacji drgań. Odpowiedź impulsowa obiektu na obiektu impuls A1 (niebieska), A2 (czerwona) i ich sumę (czarna ze znacznikiem).

Transkrypt

1 Eliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter). WSTĘP W wielu złożonych układach mechanicznych elementy nie są połączone z sobą sztywno a występują połączenia elastyczne. Często są to obiekty o słabym tłumieniu, co oznacza, że po zmianie wymuszenia (wartości wejściowej) w układzie występują słabo tłumione oscylacje. Celem ćwiczenia jest modyfikacja sygnału wejściowego tak, aby w układzie z połączeniem elastycznym zminimalizować drgania wzbudzone. Jednym z możliwych rozwiązań jest filtr wejściowy (ZV - Zero Vibration Shaper) projektowany w dziedzinie czasu. Filtry takie są stosowane w wielu układach nie tylko mechanicznych jak suwnice, roboty przemysłowe, napędy twardych dysków ale także w układach elektronicznych jak zasilacze rezonansowe. Są trzy podstawowe metody tłumienia drgań: tłumiki mechaniczne, aktywne tłumienie przez sprzężenie zwrotne oraz filtry w układzie otwartym. Tłumiki mechaniczne są trudne do projektowania, strojenia i są źródłem dodatkowych kosztów. Metody aktywne tłumienia drgań ze sprzężeniem zwrotnym pozwalają na osiągnięcie znakomitych rezultatów pomimo nieliniowości w układzie i niedokładności modelu. Główną niedogodnością aktywnego tłumienia jest konieczność zainstalowania czujników pomiarowych, złożone projektowanie regulatora i większy koszt obliczeniowy. Metody filtrowania w układzie otwartym mają stosunkowo prosty algorytm. Wartość zadana jest modyfikowana w taki sposób, że sygnał wartości zadanej podawany na wejście obiektu nie wzbudza w nim drgań o określonej częstotliwości i niepożądanych procesów przejściowych. Zaletą jest proste projektowanie i brak czujników (koniecznych w układzie zamkniętym). Głównym problemem jest ograniczona odporność na niedokładność modelu, wynikająca z układu otwartego.. PROJEKTOWANIE FILTRU WEJSCIOWEGO Zasada eliminacji drań polega na wytworzeniu sygnału sterującego o takich właściwościach, że powoduje on eliminację drgań obiektu. Drgania wzbudzane przez pierwszą część sygnału sterującego są kompensowane przez drgania wzbudzane przez kolejną część sygnału sterującego. Filtr wejściowy umieszczony pomiędzy sygnałem sterującym a obiektem modyfikuje sygnał sterujący. Projektowanie filtru polega więc na wyznaczeniu ciągu impulsów, takich, że odpowiedź impulsowa obiektu na kolejny impuls eliminuje drgania powodowane przez poprzedni impuls. W rezultacie przy dobrze zaprojektowanym filtrze, po wystąpieniu impulsu ostatniego drgania obiektu są zerowe. Zasadę pokazano na rysunku. Rys.. Zasada eliminacji drgań. Odpowiedź impulsowa obiektu na obiektu impuls A (niebieska), A (czerwona) i ich sumę (czarna ze znacznikiem). [3] Filtr wejściowy o postaci n impulsów może być opisany w postaci funkcji: IS t) A ( t t ), 0 t t, A 0 ( i i i i i,... n i gdzie A i oznacza amplitudę i-tego impulsu a jest funkcja Diraca z przesunięciem o czas t i. Ze wzoru wynika, że filtr wejściowy ma postać sumy ciągu opóźnionych sygnałów wejściowych z wagami A i i opóźnieniami t i. Odpowiedź filtru (input shaper, IS) w dziedzinie czasu może być określona jako splot filtru () z dowolnym sygnałem wejściowym. Pierwotny sygnał wejściowy jest splatany z filtrem wejściowym i następnie podawany na wejście obiektu (Rys.). Do sterowania obiektem używany jest ten nowy odpowiednio ukształtowany sygnał wejściowy. Ciąg impulsów spleciony z pierwotnym, dowolnym sygnałem sterującym

2 obiektem skutkuje tym, że odpowiedź obiektu na to zmodyfikowane sterowanie też ma zerowe drgania (po wystąpieniu ostatniego impulsu, residual vibrations) (Rys.3). Amplitudy i położenie impulsów zależą od pulsacji drgań własnych i tłumienia obiektu. Filtr można zaprojektować tak aby był odporny na błędy parametrów obiektu. Rys.. Modyfikowanie sygnału sterującego [] Rys.3. Odpowiedź obiektu bez filtru wejściowego oraz z filtrem wejściowym.[] Realizacja filtru wejściowego Jeżeli uwzględni się zależność: f ( t) ( Ai ( t ti) Ai f ( t ti) to realizacja filtru może być oparta zarówno na operacji splotu jak i na operacji sumowania ciągu przeskalowanych i przesuniętych w czasie sygnałów wejściowych (rys.4). Rys.4. Realizacje filtru wejściowego przez operację splotu (po lewej) i zgodnie ze wzorem () (po prawej). [] Projektowanie filtru IS polega na doborze wartości amplitud A i i opóźnień t i, tak aby po ostatnim impulsie amplituda drgań resztowych była równa zero (Zero Vibration IS) lub miała ograniczoną wartość. Poniżej pokazano filtr wejściowy (ZV IS) dla układu drugiego rzędu o transmitancji: P ( s) s s o dopowiedzi impulsowej: t hp( t) e sin( t) d i filtrze ZV złożonym z dwóch impulsów o postaci: IS( t) A ( t t) A ( t t) gdzie, d, oznaczają odpowiednio pulsację drgań nietłumionych, tłumionych i współczynnik tłumienia obiektu.

3 Z warunku, że po wystąpieniu drugiego impulsu, czyli dla t>t amplituda drgań jest równa zero oraz przy dodatkowym założeniu, że suma amplitud impulsów jest równa : A A Otrzymuje się następujące wyrażenia, określające parametry filtru ZV IS: A, K t 0, t A d, K, K K e d Do poprawnego działania filtru ZV muszą być znane: pulsacja drgań własnych i współczynnik tłumienia obiektu. Błąd w ocenie parametrów modelu skutkuje niezerowymi drganiami resztowymi. Jeżeli parametry modelu są znane niedokładnie lub są zmienne w pewnym zakresie, to należy zaprojektować inny filtr, odporny na zmiany parametrów. Odporny filtr jest projektowany przez dodanie dodatkowych warunków. Modyfikacja polega na uwzględnieniu dodatkowego warunku: V (, ) 0 gdzie V oznacza amplitudę drgań resztowych. Warunek ten oznacza, że funkcja V osiąga ekstremum dla wybranej pulsacji, czyli że w otoczeniu tej pulsacji amplituda drgań resztowych jest niewielka. Otrzymuje się IS złożony z trzech impulsów i nosi on nazwę ZVD (Zero Vibration Derivative). Filtr ten jest mniej wrażliwy na zmiany parametrów modelu, ale kosztem wydłużenia czasu odpowiedzi układu na wartość zadaną. Spotyka się także bardziej złożone filtry np.; ZVDD, czy filtry dla dwóch częstotliwości. W tabeli pokazano parametry filtru ZV, ZVD oraz ZVDD dla obiektu drugiego rzędu. Tabela [] Jeżeli na obiekt działają zakłócenia to filtr wejściowy nie tłumi drgań przez nie indukowanych. Stąd wniosek, że filtry wejściowe stosuje się do układów, gdzie poziom zakłóceń jest niewielki. W przypadku, gdy celem układu regulacji jest nie tylko wyeliminowanie drgań powodowanych przez zmianę wartości zadanej ale także ograniczenie wpływu zakłóceń, stosuje się zamknięty układ regulacji z filtrem wejściowym (rys.4). Struktura taka pozwala na zastosowanie większych wzmocnień w regulatorach i szybszą kompensację zakłócenia a jednocześnie przeregulowanie w odpowiedzi na wartość zadaną jest mniejsze. 3. CEL I ZAKRES ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest. zaprojektowania dla zadanego obiektu filtru wejściowego, zbadanie jego działania i odporności na zmiany parametrów,. zaprojektowania filtru odpornego ZVD i ZVDD wraz z określeniem poziomu tłumienia drgań, 3. zaprojektowanie zamkniętego układu regulacji, zbadanie jego odpowiedzi na wartość zadaną i zakłócenie 4. zaprojektowanie zamkniętego układu regulacji wraz z filtrem wejściowym 5. porównanie właściwości układów z punktu 4 i 5.

4 4. OBIEKT BADAŃ. Suwnica z podwieszonym ładunkiem Obiektem jest suwnica z podwieszonym ładunkiem, który przy zmianie pozycji wózka zachowuje się jak wahadło i kołysze się. Tłumienie kołysań zależy od oporów ruchu, ale przeważnie jest niewielkie. Schemat obiektu pokazano na rys.5. Celem zadania jest zaprojektowanie filtru wejściowego, który ograniczy kołysanie ładunku przy zmianie położenia zadanego. Schemat blokowy układu przedstawiony jest na rysunku 6. Rys.5. Schemat suwnicy z ładunkiem Rys.6. Schemat blokowy modelu obiektu [] Model obiektu składa się z części elektrycznej, czyli serwonapędu z regulatorem położenia i prędkości wózka oraz z części mechanicznej, czyli modelu ładunku na linie. Część elektryczna opisuje dynamikę ruchu wózka a część mechaniczna dynamikę ruchu ładunku (obciążenia). Dynamika ruchu ładunku opisana jest członem oscylacyjnym drugiego rzędu: gdzie, to pulsacja drgań nietłumionych i współczynnik tłumienia obiektu, V c to prędkość wózka dźwigu a V l to prędkość kątowa ładunku. Transmitancja opisuje zależność pomiędzy prędkością wózka a prędkością ładunku. Układ regulacji serwonapędu (Rys.7) składa się z trzech pętli o strukturze kaskadowej: prądu, prędkości i położenia. Pętla regulacji prądu może być zamodelowana jak obiekt inercyjny pierwszego rzędu a regulatory prędkości i położenia mają strukturę odpowiednio PI i P. W układzie przewidziano także generator trajektorii, czyli sprzężenia typu FF reprezentujące pożądaną trajektorię prędkości (sp_v) i przyspieszenia (sp_a). Sygnałem wejściowym do układu serwomechanizmu jest wartość zadana położenia wózka a sygnałem wyjściowym - siła napędowa wózka. Rys.7. Struktura układu regulacji serwonapędu []

5 W odpowiedzi na zmianę wartości zadanej położenia wózka indukowane są wahania ładunku. Jeżeli w układzie zastosuje się filtr wejściowy, to wartość zadana dla serwomechanizmu jest filtrowana tak aby wyeliminować drgania o określonej częstotliwości i w rezultacie ruch wózka nie wzbudza drgań ładunku (albo je bardzo ogranicza). W badanym przypadku filtr jest projektowany dla układu drugiego rzędu opisującego dynamikę ruchu ładunku i właściwości filtrujące są zachowane po przejściu przez dynamikę serwonapędu. Założenie to jest prawdziwe gdy układ jest liniowy, czyli gdy żaden z regulatorów nie osiąga ograniczeń. W takim przypadku drgania nie są całkowicie eliminowane. Efektywność techniki IS w takim przypadku może zapewnić struktura z rysunku 8, gdzie zastosowano generator trajektorii (AVS) określający zadane trajektorie położenia, prędkości i przyspieszenia, gdzie uwzględniono ograniczenia na te wielkości i trzy identyczne filtry wejściowe w torach wielkości zadanych. Regulatory pracują w zakresie liniowym. Rys.8. Filtry wejściowe w serwomechanizmie z generatorem trajektorii. []. Układ mas wirujących połączonych sprężyście W układach napędowych często występują połączenia sprężyste. Przykładem mogą być: układ przekazywania napędu z silnika na koła w samochodzie czy napęd o długim wale łączącym obciążenie z silnikiem. Przykładowy schemat pokazany jest na rysunku 9 a schemat zastępczy na rysunku 0. Obiekt z rysunku można opisać równaniami: J J m z d m dt d dt k( ) b( ) dt t 0 e m z m z m o Rys. 9. Układ dwóch mas połączonych sprężyście gdzie k( - ) moment od sił sprężystych, proporcjonalny do odkształcenia, b( - ) - moment tłumienia, proporcjonalny do różnicy prędkości. Celem sterowania jest sterowanie położeniem wału bez wzbudzania drgań na końcu wału. W tym przypadku projektując filtr należy przeanalizować cały obiekt, czyli napęd z układem regulacji oraz wał z połączeniem sprężystym. Należy znaleźć częstotliwości, które muszą być tłumione. Transmitancja układu w torze: wartość zadana położenia wału pierwszego położenie końca wału może być określona na podstawie schematu blokowego z rysunku 0. Z transmitancji można określić położenie biegunów układu (albo używając narzędzi Simulink a). Układ regulacji położenia jest na ogół tak strojony aby śledzić wartość zadaną bez przeregulowania (odpowiada to wartości rzeczywistej bieguna układu). Przeważnie J >J. Układ ma więc dwie pary biegunów sprzężonych i jeden rzeczywisty. Filtr wejściowy powinien eliminować najwolniejszą parę biegunów. Z ich położenia zarówno częstotliwość jak i współczynnik tłumienia mogą być określone w prosty

6 sposób. Wielkości te są podstawą do zaprojektowania filtru wejściowego. Jeżeli druga para biegunów będzie powodować nieakceptowane drgania należy zaprojektować drugi filtr i połączyć go szeregowo z pierwszym. Rys.0. Schemat układu w Simulink u [] 5. BIBLOGRAFIA []. Gobej M., Skarda R., Schlegel M., Input shaping filter for the control of electric al driver with flexible load, 7-th Int. Conf. on Process Control 009, Slovakia, []. Arolovich I., Agranovich G., Control Improvement of under-damped systems and structures by input shaping, [3]. Singh T., Singhose W., Tutorial on input shaping/ time delay control of maneuvering flexible structures