Logarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej

Logarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej Tomasz Sowiński Seminarium CFT p.1/17

Nieliniowa mechanika kwantowa Dwa konteksty nielinowej mechaniki kwantowej: czy istnieja doświadczalne dowody na to, że mechanika kwantowa jest liniowa? mechanika kwantowa jest liniowa, ale upraszczamy nasze problemy wprowadzajac nieliniowy potencjał efektywny np. równanie Grossa-Pitaevskiiego i t Ψ = ) ( 2 2m + V + σ Ψ 2 Ψ lub logarytminczne równanie Schrödingera (IBB & J. Mycielski 1975) i t Ψ = ) ( 2 2m + V b log( Ψ 2 /a 3 ) Ψ Seminarium CFT p.2/17

Równanie logarytmiczne dla oscylatora ( 2 2m d 2 dx 2 + 1 ) 2 mω2 x 2 b log( ψ 2 ) ψ(x) = Eψ(x) Seminarium CFT p.3/17

Równanie logarytmiczne dla oscylatora ( 2 2m parametry bezwymiarowe d 2 dx 2 + 1 ) 2 mω2 x 2 b log( ψ 2 ) ψ(x) = Eψ(x) x = mω ξ E = ω 2 ɛ b = ωb ) ( d2 dξ 2 + ξ2 2B log( ψ 2 ) ψ(ξ) = ɛψ(ξ) Seminarium CFT p.3/17

Równanie logarytmiczne dla oscylatora ( 2 2m parametry bezwymiarowe d 2 dx 2 + 1 ) 2 mω2 x 2 b log( ψ 2 ) ψ(x) = Eψ(x) x = mω ξ E = ω 2 ɛ b = ωb ) ( d2 dξ 2 + ξ2 2B log( ψ 2 ) ψ(ξ) = ɛψ(ξ) można sprawdzić, że funkcja gaussowska ψ(ξ) = ( α π ) 1 4 e αξ2 2 spełnia równanie logarytmiczne dla α = B + B 2 + 1. Seminarium CFT p.3/17

Rozwiazanie równania logarytmicznego ψ(ξ) 1 B = 0 0.8 0.6 ments 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 ξ Seminarium CFT p.4/17

Rozwiazanie równania logarytmicznego ψ(ξ) 1 B = +2 B = 0 B = 2 0.8 0.6 ments 0.4 0.2-3 -2-1 1 2 3 ξ Seminarium CFT p.4/17

Sformuowanie rozważanego problemu zbadać wpływ nielinowości w równaniu Schrödingera na dynamikę czaski w obracajacej się pułapce harmonicznej H 0 (t) = p2 2 + 1 2 r ˆV (t) r Nie wnikamy w pochodzenie nieliniowości i zakładamy, że jest logarytmiczna logarytmiczne równanie Schrödingera dla takiego problemu ( = 1, m = 1): i t Ψ(r, t) = ( H0 (t) b log( Ψ(r, t) )) 2 Ψ(r, t) Seminarium CFT p.5/17

Trochę mechaniki klasycznej... hamiltonian (m = 1) H(t) = p2 2 + 1 2 r ˆV (t) r H = p2 2 + r ˆΩ p + 1 2 r ˆV r ˆV = V x 0 0 0 V y 0 0 0 V z ˆΩ = 0 Ω z Ω y Ω z 0 Ω x Ω y Ω x 0 równania ruchu { ṙ = p ˆΩ r ṗ = ˆV r ˆΩ p Seminarium CFT p.6/17

Rozwiazania klasycznych równań ruchu Taki układ jest kanonicznie równoważny trzem niezależnym oscylatorom z częstościami zadanymi przez równanie charakterystyczne ω 6 + aω 4 + bω 2 + c = 0 χ 3 + aχ 2 + bχ + c = 0 (ω 2 = χ) Parametry a, b, c sa funkcjami parametrów pułapki ˆV oraz wektora prędkości obrotu pułapki Ω n. Dla ustalonego ˆV i n równanie na częstości własne zadaje nam krzywa f(χ, Ω) = χ 3 + a(ω)χ 2 + b(ω)χ + c(ω) = 0. Seminarium CFT p.7/17

częstości własne układu PSfrag replacements Obrót wokół osi z, układ wybrany tak, aby V x < V y. Ω Ω = V y Ω = V x V x V z V y χ = ω 2 Seminarium CFT p.8/17

Trajektoria czastki w 2D Potencjał nieobracający się Seminarium CFT p.9/17

Trajektoria czastki w 2D Powolny obrót (Ω < V x < V y ), pierwszy obszar stabilności Seminarium CFT p.9/17

Trajektoria czastki w 2D Obrót destrukcyjny ( V x < Ω < V y ), obszar niestabilności Seminarium CFT p.9/17

Trajektoria czastki w 2D Szybki obrót ( V x < V y < Ω), drugi obszar stabilności Seminarium CFT p.9/17

W naszej mechanice kwantowej... ewolucja układów w czasie (pseudo-hamiltonian) H = 2 ir ˆΩ + 1 2 r ˆV r b log( Ψ 2 ) i t Ψ = HΨ Seminarium CFT p.10/17

W naszej mechanice kwantowej... ewolucja układów w czasie (pseudo-hamiltonian) H = 2 ir ˆΩ + 1 2 r ˆV r b log( Ψ 2 ) i t Ψ = HΨ możemy np. zbadać ewolucję paczki gaussowskiej { Ψ(r, t) = N(t)e iφ(t) exp 1 } 2 [r R(t)] ˆK(t) [r R(t)] + irp(t) ˆK(t) = Â(t) + i ˆB(t) Â > 0 - rozwiazanie stabilne średnie położenie i pęd r = Ψ(r, t) r Ψ(r, t) d 3 r = R(t) p = i Ψ(r, t) Ψ(r, t) d 3 r = P(t) Seminarium CFT p.10/17

Ewolucja parametrów paczki dâ(t) d ˆB(t) dr(t) dp(t) dn(t) dφ(t) = ˆB(t)Â(t) + Â(t) ˆB(t) ] [ˆΩ, Â(t), = ˆB(t) 2 Â(t)2 + ˆV ] + [ˆΩ, 2bÂ(t) ˆB(t), = P(t) ˆΩ R(t), = ˆV R(t) ˆΩ P(t), = 1 Tr{ ˆB(t)}N(t), 2 = 1 ( 2 Tr{Â(t)} + P(t)2 R(t) ˆV ) R(t), Seminarium CFT p.11/17

Stan stacjonarny 0 = ˆBÂ + Â ˆB ] [ˆΩ, Â 0 = ˆB 2 Â2 + ˆV ] + 2bÂ [ˆΩ, ˆB 0 = Tr{B} upraszczamy dalsze rozważania i zakładamy, że obrót jest wokół jednej z osi głównych pułapki Â = ( ) α 1 α α α 2 ˆB = ( ) β 1 β β β 1 Wtedy z powyższych równań wynika, że α = 0 i β 1 = 0. Seminarium CFT p.12/17

Szczególny przypadek Ω = 0 kiedy nie ma obrotu istnieje jedno rozwiazanie α 1 = b + b 2 + V x α 2 = b + b 2 + V y β = 0 rozwiazanie zgodne z nasza intuicja rozwiazanie to istnieje dla każdego b, tzn. nawet dla dowolnie silnego odpychania Seminarium CFT p.13/17

Brak nieliniowości (b = 0) 2,8 2,4 Ω b = 0 2,0 1,6 ments 1,2 0,8 Ω = V y Ω = V x 0,4 0,0 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 α 1,α 2 Seminarium CFT p.14/17

Oddziaływanie przyciagaj ace 2,8 2,4 Ω b > 0 2,0 1,6 ments 1,2 0,8 Ω = V y Ω = V x 0,4 0,0 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 α 1,α 2 Seminarium CFT p.15/17

Oddziaływanie odpychajace 2,8 2,4 Ω b < 0 2,0 1,6 ments 1,2 0,8 Ω = V y Ω = V x 0,4 0,0 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 α 1,α 2 Seminarium CFT p.16/17

Podsumowanie Obecność nieliniowego oddziaływania drastycznie zmienia dynamikę czastki w pułapce zmieniaja się obszary niestabilności, tzn. paczka jest stabilna, ale ucieka z pułapki jako całość pojawiaja się dodatkowe dopuszczalne rozwiazania gaussowskie nawet oddziaływanie nieliniowe stabilizuje układ dynamiczny Podkreślić należy, że być może jest tak tylko dla logarytmicznej nieliniowości Seminarium CFT p.17/17