6 Komutatory i równania Heisenberga

Transkrypt

1 J. Z. Kamiński 1 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

2 6 Komutatory i równania Heisenberga 6.1 Ćwiczenia Zadanie 6.1 Przypomnieć definicje iloczynu skalarnego x y i normy x. Wykazać, że iloczyn skalarny można wyrazić jedynie przez normę: x y = 1 4 ( x+y 2 x y 2 +i x iy 2 i x+iy 2 ) Jaką postać przyjmuje ta równość jeśli iloczyn skalarny w przestrzeni funkcji jest zdefiniowany całką f g = dxf (x)g(x) Zadanie 6.2 Dwie wielkości fizyczneaib reprezentowane są operatorami hermitowskimi  iˆb takimi, że [Â,ˆB]=iĈ Wykazać, że operator Ĉ również jest hermitowski. Dla jakiegokolwiek stanu ψ zdefiniujmy średnią i dyspersję wielkościawtym stanie wzorami A = ψ  ψ, A= Wykazać tzw. zasadę nieoznaczoności Heisenberga A B 1 2 C. A 2 A 2 Zadanie 6.3 Rozważmy swobodną cząstkę o masiem. Operator Hamiltona ma postać Ĥ= 1 2mˆp2 Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia ˆx(t) i pędu ˆp(t) spełniają warunki komutacyjne [ˆx(t),ˆp(t)]=i, [ˆx(t),ˆx(t)]=0, [ˆp(t),ˆp(t)]=0 wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi ˆx(0) = ˆx 0 iˆp(0)=ˆp 0. Obliczyć komutator[ˆx(t),ˆx 0 ] i wykazać tzw. rozpływanie się swobodnej paczki falowej. J. Z. Kamiński 2 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

3 Zadanie 6.4 Wyznaczyć komutator [ˆp,ˆx n ], n=0,±1,±2,... Przyjmując, że funkcję od operatorav(ˆx) można rozwinąć w szereg Laurenta V(ˆx)= n= wyprowadzić równania Heisenberga dla cząstki o masie m poruszającej się w polu siły potencjalnej o potencjalev(x), gdy ruch zadany jest operatorem Hamiltona Ĥ= 1 v nˆx n 2mˆp2 +V(ˆx) Kiedy równania na średnie położenie i pęd pokrywają się z równaniami Newtona? Zadanie 6.5 Wykazać, że Niech operatory  iˆb spełniają warunki d eλâ= Âeλ dλ [Â,[Â,ˆB]]=0=[ˆB,[Â,ˆB]] Wykazać, że spełniony jest wzór Cambella-Bakera-Hausdorfa e λ(â+ˆb) =e λâe λˆbe λ2 [Â,ˆB]/2. Zadanie 6.6 Niech  iˆb są dowolnymi operatorami. Zdefiniujmy operatorˆf(λ), zależny od zespolonego parametruλ, wzorem ˆF(λ)=e λâˆbe λâ. Rozwijając funkcje operatorowąˆf(λ) w szereg Taylora względem parametruλwykazać, że e λâˆbe λâ=ˆb+λ[â,ˆb]+ λ2 λ3 [Â,[Â,ˆB]]+ 2! 3! [Â,[Â,[Â,ˆB]]] Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład Zadanie 6.7 Rozważmy oscylator harmoniczny o masiemiczęstościω. Operator Hamiltona ma postać Ĥ= 1 2mˆp mω2ˆx 2 J. Z. Kamiński 3 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

4 Wiedząc, że w dowolnej chwili czasu operatory położenia ˆx(t) i pędu ˆp(t) spełniają warunki komutacyjne [ˆx(t),ˆp(t)]=i, [ˆx(t),ˆx(t)]=0, [ˆp(t),ˆp(t)]=0 wyprowadzić równania Heisenberga, a następnie rozwiązać je z warunkami początkowymi ˆx(0) = ˆx 0 iˆp(0)=ˆp 0. Zadanie 6.8 Zdefiniujmy dwa operatory niehermitowskie wzorami â=λˆx+ i 2λ ˆp, â =λˆx i 2λ ˆp Wyznaczyć komutator[â,â ] i wyrazić przez te operatory operator Hamiltona dla oscylatora harmonicznego Ĥ= 1 2mˆp mω2ˆx 2 Jak należy dobrać parametrλ, aby Ĥ= ω 2 (â â+ââ ) Wyznaczyć równania Heisenberga na te operatory i rozwiązać je. 6.3 Zadania dodatkowe Zadanie 6.9 Korzystając z wyników zadania 6.6 wykazać, że dla operatorów położeniaˆx i pęduˆp, ) ( i exp( ˆpx 0 ˆxexp ˆpx i ) 0 =ˆx+x 0, Pokazać, że dla dowolnej funkcji analitycznejf(z) e λˆx2 /2ˆpe λˆx2 /2 =ˆp+i λˆx, e λâf(ˆb)e λâ=f(ˆb+λz), gdy [Â,ˆB]=z. Zadanie 6.10 Wykazać, że dla cząstki swobodnej o masiemoperator galileuszowego pchnięcia, jest stałą ruchu, tzn. Ĝ=tˆp mˆx, zwany operatorem dĝ dt = Ĝ t +1 1 [Ĝ,Ĥ]=0 dla Ĥ= i 2mˆp2. Wykazać, że i 2 ( )ˆp exp( vĝ 2m exp i )= vĝ ˆp2 2m +vˆp+mv2 2. Zinterpretować ten wzór, a w szczególności rzeczywistą liczbęv. J. Z. Kamiński 4 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

5 Zadanie 6.11 Zdefiniujmy tzw. operator dylatacjiˆd, Wykazać, że dla rzeczywistychλ. ˆD= 1 ) (ˆr ˆp+ˆp ˆr. 2 e iλˆdˆx i e iλˆd=e λˆx i oraz e iλˆdˆp i e iλˆd=e λˆp i Zadanie 6.12 Korzystając z wyników zadania 6.6 wyznaczyć ewolucję czasową operatorów położenia i pędu dla oscylatora harmonicznego, tj operatory ( ) i ˆx(t)=exp Ĥt ˆxexp ( i ) ( ) i Ĥt, ˆp(t)=exp Ĥt ˆpexp ( i ) Ĥt gdzie Porównać wyniki z zadaniem 6.7 Ĥ= 1 2mˆp mω2ˆx 2 J. Z. Kamiński 5 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

6 7 Metody przybliżone 7.1 Ćwiczenia Zadanie 7.1 Rachunek zaburzeń bez czasu bez zwyrodnienia. Przyjmijmy, że pełny Hamiltonian ma postać Ĥ=Ĥ0+λˆV gdzie λ jest bezwymiarowym małym parametrem. Przyjmijmy dalej, że potrafimy rozwiązać zagadnienie własne dla Hamiltonianu Ĥ0, Ĥ 0 φ n =E (0) n φ n Wykazać, że przybliżone rozwiązanie zagadnienia własnego dla pełnego Hamiltonianu Ĥ ψ n =E n ψ n ma postać gdzie E n =E (0) n +λe (1) n +λ 2 E (2) n +... ψ n = φ n +λ φ (1) n +λ 2 φ (2) n +... E (1) n = φ n ˆV φ n φ (1) n = k n φ k φ k ˆV φ n E (0) n E (0) k E (2) n = k n φ k ˆV φ n 2 E (0) n E (0) k Zadanie 7.2 Rachunek zaburzeń ze zwyrodnieniem. Przyjmijmy, że stan energetyczny dla hamiltonianu niezaburzonego jest zwyrodniały, Ĥ 0 φ nk =E (0) n φ nk, k=1,2,...,d Wykazać, że pierwszą poprawką do energii są wartości własne macierzy V n postaci ( Vn ) Jak interpretujemy wektory własne tej macierzy? kk = φ nk ˆV φ nk J. Z. Kamiński 6 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

7 Zadanie 7.3 Niech Hamiltonian zależy od pewnego rzeczywistego parametru λ. Zatem jego wartości i wektory własne również zależą od niego, Ĥ(λ) ψ n (λ) =E n (λ) ψ n (λ) Dalej dla prostoty wybierzmy spośród stanów własnych stany związane. Wykazać słuszność następującej równości de n (λ) = ψ n (λ) dĥ(λ) dλ dλ ψ n (λ) będącej treścią tzw. twierdzenia Hellmana-Feynmana. Wybierzmy jako parametr λ masę cząstki m, która występuje tylko w operatorze energii kinetycznejˆt. Wykazać, że ψ n ˆT ψ n = m de n dm i sprawdzić tę równość na przykładach stanów podstawowych oscylatora harmonicznego i atomu wodoru. Uwaga! w przypadku oscylatora harmonicznego częstośćω zależy od masy. Przyjmijmy teraz, że w przypadku oscylatora harmonicznego różniczkujemy po masie przy ustalonej częstościω. Wykazać równość średnich wartości energii kinetycznej i potencjalnej. Zadanie 7.4 W jednowymiarowym Hamiltonianie dokonajmy przeskalowania operatora położenia ˆx λˆx. Wykazać, że przeskalowany Hamiltonian ma postać Ĥ(λ)= ˆp2 2mλ 2+ˆV(λx) Jak zmieni się przeskalowany stan własny ψ n (λ)? Czy wartości własne również ulegną zmianie? Wykorzystać ten fakt razem z tw. Hellmana-Feynmana w celu wykazania tzw. twierdzenia wirialnego w mechanice kwantowej gdzie 2 ψ n ˆT ψ n = ψ n ˆxˆV (ˆx) ψ n ψ n = ψ n (λ) λ=1 Uogólnić to twierdzenie na przypadek wielowymiarowy i sprawdzić je dla stanów podstawowych oscylatora harmonicznego i atomu wodoru. Zadanie 7.5 Wykazać współzmienniczość równania Schrödingera względem transformacji Galileusza, tzn. że dla cząstki swobodnej funkcje falowe różnią się fazą, ψ (r,t)=e iϕ(r,t) ψ(r,t). Porównać wynik z transformacją energii i pędu z mechaniki klasycznej jeśli ψ(r,t)=exp( iet+ip r). J. Z. Kamiński 7 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

8 Zadanie 7.6 Wyznaczyć stany związane i prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masiemprzez potencjał V(x)=V 0 δ(x) 7.2 Zadania dodatkowe Zadanie 7.7 Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjale V(x)= V 0 (δ(x+a)+δ(x a)), V 0 >0. Zadanie 7.8 Wyznaczyć prawdopodobieństwo przejścia cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze przez barierę potencjalną V(x)=V 0 (δ(x+a)+δ(x a)), V 0 >0. Zadanie 7.9 Wyznaczyć stany związane cząstki o masie m poruszającej się w jednym wymiarze w potencjale Morse a V(x)=D(e 2αx 2e αx ), D,α>0. Zadanie 7.10 Rozważyć trójwymiarowy oscylator harmoniczny w stałym polu elektrycznym o Hamiltonianie Ĥ= 1 2mˆp mω2ˆr 2 ee ˆr. Wyznaczyć energię stanu podstawowego ściśle i w rachunku zaburzeń aż do drugiego rzędu. W tym celu wypisać jawnie funkcje falowe dwóch pierwszych stanów energetycznych i obliczyć odpowiednie całki Gaussowskie. Zadanie 7.11 Rozważyć ten sam oscylator harmoniczny, ale teraz w stałym polu magnetycznym B skierowanym w stronę osiz. Posługując się pierwszym rzędem rachunku zaburzeń ze zwyrodnieniem obliczyć poprawkę do energii pierwszego stanu wzbudzonego. Rachunki wykonać w dwóch cechowaniach, Landau a i van Vlecka. Tak jak w zadaniu poprzednim posługiwać się funkcjami falowymi, a nie operatorami kreacji i anihilacji. J. Z. Kamiński 8 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

9 Zadanie 7.12 Korzystając z tw. Hellmana-Feynmana powiązać średnią wartość energii potencjalnej dla atomu wodoru z energią stanów związanych. Sprawdzić ten związek dla stanu podstawowego. Zadanie 7.13 Sprawdzić słuszność tw. wirialnego dla pierwszego stanu wzbudzonego jednowymiarowego oscylatora harmonicznego. J. Z. Kamiński 9 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

10 8 Metody przybliżone cd. 8.1 Ćwiczenia Zadanie 8.1 Wyznaczyć energie stanów energetycznych elektronu poruszającego się w potencjale Kratzera ( ) a V(r)= 2D r a2, D,a>0. 2r 2 Zinterpretować widmo jako nałożenie się ruchu wibracyjnego i obrotowego. Zadanie 8.2 Przeanalizować stany związane, rezonansowe i rozproszeniowe cząstki w fali s w potencjale bańki mydlanej V(r)= λδ(r a). 8.2 Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład Zadanie 8.3 Jednowymiarowy oscylator harmoniczny o Hamiltonianie zaburzono potencjałem Ĥ 0 = 1 2mˆp mω2ˆx 2 V=εˆx 4. Stosując rachunek zaburzeń wyznaczyć poprawki do energii dwóch stanów o najniższych energiach. Zadanie 8.4 Cząstka o masiemporusza się w jednowymiarowej studni potencjału 0 dla x <a V(x)= dla x >a Wyznaczyć jej energie i unormowane funkcje falowe. Uwzględnienie poprawek relatywistycznych polega na dopisaniu do Hamiltonianu członu Ĥ = ˆp4 8m 3 c 2 Wyznaczyć w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń poprawkę do energii stanu podstawowego. J. Z. Kamiński 10 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

11 8.3 Zadania dodatkowe Zadanie 8.5 Stosując przybliżenie Borna wyznaczyć przekrój czynny na rozpraszanie na potencjale składającym się z dwóch centrów oddalonych od siebie o wektora, tj., V(r)=V 0 (r)+v 0 (r+a). Jaką postać ma różniczkowy przekrój czynny gdy V 0 (r)=v 0 exp( r 2 /λ 2 ). Zadanie 8.6 Znaleźć wariacyjnie stany podstawowe cząstki o masiemporuszającej się w potencjale oscylatora harmonicznegomω 2 r 2 /2 lub w potencjale kulombowskim α/r. W obu przypadkach jako funkcje próbne wybrać ψ 1 (r)=n 1 exp( βr 2 ) lub ψ 2 (r)=n 2 exp( γr) i porównać wyniki. W obliczeniach posłużyć się funkcjąγeulera. Zadanie 8.7 Cząstka o masiemporusza się w jednym wymiarze w potencjalev(x)=λx 4. Znaleźć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną ψ(x)=nexp( (αx) 4 /2), gdzien jest stałą normującą. Odpowiednie całki wyrazić poprzez funkcjęγeulera. Zadanie 8.8 Electron o masiem, znajdujący się tuż nad powierzchnią ciekłego helu (równanie powierzchni z=0), jest przyciągany przez jego dielektryczny obraz siłą o potencjale [C. C. Grimes i T. R. Brown, Phys. Rev. Lett. 32, 280 (1974)], z<0 V(z)= α, z>0 z Przyjmując, że elektron nie porusza się w kierunku równoległym do powierzchni z = 0, wyznaczyć wariacyjnie jego energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcję próbną 0, z<0 ψ(z)= ze λz, z>0 Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym? J. Z. Kamiński 11 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

12 Zadanie 8.9 Electron o masiemporusza się w potencjale, x<0 V(x)= 1 2 mω2 x 2, x>0 Wyznaczyć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako nieunormowaną funkcję próbną 0, x<0 ψ(x)= xe λx2, x>0 Czy otrzymany wynik jest wynikiem ścisłym? Zadanie 8.10 Cząstka o masiemporusza się w nieskończonej studni potencjału λδ(x), x <a V(x)=, x >a Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego. Zadanie 8.11 Nieunormowany stan związany cząstki o masiemopisany jest funkcją falową ψ(x)= sin(λx), x gdzieλjest stałą. Wiadomo, że funkcja falowa spełnia równanie 2 d 2 2mdx 2ψ(x)+(V(x) E)ψ(x)=0. Wyznaczyć energięe tego stanu jeśli wiadomo, że potencjałv(x) zeruje się dlax=0. Zadanie 8.12 Cząstka o masiemporusza się w potencjale V(x)= 1 2 mω2 x 2 +λx 6. Traktującλx 6 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń. Zadanie 8.13 Cząstka o masiemporusza się w nieskończonej studni potencjału 0, 0<x<a V(x)=, x<0 orazx>a Wyznaczyć unormowaną funkcję falową i energię stanu podstawowego oraz średnie położenie x i dyspersję położenia. Określić gęstość prawdopodobieństwa pędu w tym stanie. J. Z. Kamiński 12 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

13 Zadanie 8.14 Cząstka o masiemporusza się w potencjale V(x)= 1 2 mω2 x 2 +λ x 5. Traktującλ x 5 jako zaburzenie wyznaczyć energię stanu podstawowego w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń. J. Z. Kamiński 13 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

14 9 Mechanika kwantowa wielu cząstek 9.1 Ćwiczenia Zadanie 9.1 Posługując się rachunkiem zaburzeń wyznaczyć oddziaływanie van der Waalsa miedzy dwoma atomami wodoru (L. I. Schiff, Mechanika kwantowa, strony ). Zadanie 9.2 Rozważyć dwuelektronowy atom helopodobny o Hamiltonianie Ĥ= 2 2m 1 Z cα r 1 2 2m 2 Z cα r 2 + cα r 1 r 2, gdzie Z jest ładunkiem jądra, c prędkością światła, a α stałą struktury subtelnej. Wyznaczyć wariacyjnie energię stanu podstawowego wybierając jako funkcję próbną ψ(r 1,r 2 )=Nexp( Z(r 1 +r 2 )), gdzien jest unormowaniem a Z parametrem wariacyjnym. Do wyznaczenia całki z potencjałem oddziaływania elektronów posłużyć się wzorem 1 r 1 r 2 =4π 1 r > lm2l+1 ( r< r > ) ly lm(θ 1,ϕ 1 )Y lm (θ 2,ϕ 2 ). Zadanie 9.3 Macierz gęstości dla mieszaniny stanów, w której stan czysty ψ i występuje z prawdopodobieństwemp i ma postać ˆρ= p i ψ i ψ i, i gdzie ψ i są jakimikolwiek stanami unormowanymi do 1, ale niekoniecznie ortogonalnymi do siebie. Wykazać, że Trˆρ= p i. i 9.2 Zadania dodatkowe Zadanie 9.4 Niech â i â są operatorami kreacji i anihilacji. Zdefiniujmy trzy operatory, ˆT 1 = 1 (â â +ââ ),ˆT 2 = 1 (â â ââ ),ˆT 3 = 1 (â â+ââ ). 4 4i 4 Wykazać słuszność relacji komutacyjnych [ˆT 1,ˆT 2 ]= iˆt 3,[ˆT 3,ˆT 1 ]=iˆt 2,[ˆT 2,ˆT 3 ]=iˆt 1. J. Z. Kamiński 14 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

15 Zadanie 9.5 Niech operatory â i i â i,i=1,2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniających warunki komutacyjne, [â i,â j]=δ ij,[â i,â j]=0,[â i,â j ]=0. Zdefiniujmy dwa zestawy nowych oparatorów kreacji i anihilacjiˆb i iˆb i,i=1,2, spełniających te same warunki komutacyjne tak, aby ) ( ) (â1 u v = ˆb 1. v u â 2 Jaki związek muszą spełniać liczby rzeczywiste u i v? Zastosować tę transformację, zwaną transformacją Bogoliubowa, w celu wyznaczenia energii własnych hamiltonianu, dobierając odpowiednio parametryuiv. Ĥ=E 0 (â 1â1+â 2â2)+ 3 5 E 0(â 1â 2+â 1 â 2 ), Zadanie 9.6 Niech operatory â i i â i,i=1,2 tworzą dwa zestawy operatorów kreacji i anihilacji, spełniających warunki komutacyjne, ˆb 2 [â i,â j]=δ ij,[â i,â j]=0,[â i,â j ]=0. Zdefiniujmy cztery hermitowskie operatory wzorami Ĵ 1 = (â ) 2 2â1+â 1â2, Ĵ2 = i (â 2 2â1 â 1â2), Ĵ 3 = (â ) 2 1â1 â 2â2, (â Ŝ= 2 1â1+â 2â2). Wykazać, poprzez sprawdzenie odpowiednich związków komutacyjnych, że trzy operatory Ĵi, i=1,2,3, są operatorami momentu pędu. Sprawdzić, że Ĵ 2 = Ĵ2 1+Ĵ2 2+Ĵ2 3= Ŝ(Ŝ+ ). Dla dociekliwych: Zdefiniujmy następnie stan 0 tak jak dla oscylatora harmonicznego, tzn. â i 0 =0 dlai=1,2. Wykazać, że[ĵ2,ĵ3]=0, a unormowane stany własne operatorów Ĵ2 i Ĵ3 są postaci, 1 (â ) j+m (â j m 0. j,m = 1 2) (j+m)!(j m)! Jaką postać mają operatory Ĵ± podnoszące i opuszczające liczbę kwantowąm? Wykazać, że tak jak trzeba, Ĵ + j,j =0 oraz Ĵ j, j =0. Opisana tu procedura nazywana jest przedstawieniem Jordana-Schwingera operatorów momentu pędu, lub też bozonizacją operatorów momentu pędu. J. Z. Kamiński 15 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

16 10 Równania Pauliego i relatywistycznej mechaniki kwantowej. Stany koherentne Ćwiczenia Zadanie 10.1 Równanie Pauliego (wykład) dla elektronu ma postać i t ψ= [ 1 ( ) 2+eφ ] σ ( i ea) ψ, ψ= 2m gdzieσ są tzw. macierzami Pauliego. Wykazać, że σ i σ j =δ ij +iε ijk σ k, e iσ a =cos( a )+i σ a a ( ) ψ+ ψ sin( a ) Korzystając z pierwszej z tych tożsamości wykazać, że równanie Pauliego możemy zapisać w postaci [ 1 ( ) ] ( ) ψ+ i t ψ= i ea 2+eφ µb σ ψ, ψ=, 2m ψ gdzie B= A, µ= e 2m, Zadanie 10.2 Ruch neutronu w polu magnetycznym możemy opisać równaniem Pauliego gdzie w przybliżeniu i t ψ= [ 2 2m N µb σ ] ψ µ= 1.9 e 2m N, am N jest masą neutronu. Przyjmijmy, że pole magnetyczne zależy jedynie od czasu i ma postać B(t)=(bcosωt, bsinωt,b). Rozwiązania równania Pauliego szukać w postać ψ(r,t)=exp ( i (E pt p r) ) χ(t), E p = p2 2m N, χ(t)= ( ) χ+ (t). χ (t) Jakie równanie spełniaχ(t)? Rozwiązać to równanie i przedyskutować przypadek rezonansu. J. Z. Kamiński 16 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

17 Zadanie 10.3 Stan koherentny α definiujemy jako stan własny operatora anihilacji (wykład), â α =α α, α C. Wyznaczyć jego rozkład w bazie Foka (przypomnieć co to jest) i wykazać ich zupełność, ale nie ortogonalność. Wykazać, że dla stanów koherentnych w zasadzie nieoznaczoności Heisenberga jest równość. Wyznaczyć ewolucję czasową stanu koherentnego pod wpływem Hamiltonianu oscylatora harmonicznego Ĥ= ω ( â â+ 1 ) 2 a następnie średnie położenie i pęd. Wykazać, że są to rozwiązania zagadnienia klasycznego Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład Zadanie 10.4 Relatywistyczne równanie Kleina-Gordona dla cząstki bezspinowej w polu elektromagnetycznym o potencjałachφiama postać (wykład) ( t + ie φ) 2 ψ= m 2 c 4 Niech cząstka porusza się w polu kulombowskim Odseparować zmienną czasową podstawieniem 2 ψ c 2( ie A) 2 ψ. φ(r)= Ze 4πε 0 r, A=0. ψ(r,t)=exp( iet/ )ψ(r) a następnie wyznaczyć energie stanów związanych E. Przedyskutować wynik w granicy nierelatywistycznej uwzględniając wyrazy(mc 2 ) 1,(mc 2 ) 0 i(mc 2 ) 1. Posłużyć się metodą omówioną przy okazji potencjału Kratzera 8.1. Jak duże może byćz aby energie były rzeczywiste? Zadanie 10.5 Dla równania Schrödingera w polu magnetycznym i t ψ= [ 1 ( ) 2+eφ ] i ea ψ 2m również zachowane jest prawdopodobieństwo. Tzn. jeśli zdefiniujemy gęstość prawdopodobieństwa jakoρ= ψ 2, to istnieje takiej (gęstość prądu prawdopodobieństwa) takie, że Jaką postać maj? t ρ+ j=0. J. Z. Kamiński 17 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

18 10.3 Zadania dodatkowe Zadanie 10.6 Dla równania Pauliego określić gęstość prądu prawdopodobieństwa j tak, aby spełnione było prawo zachowania t ρ+ j=0, w którymρ=ψ ψ. Zadanie 10.7 Rozważmy dwa dowolne operatory â i â + spełniające warunek komutacyjny[â,â + ]=1. Wykazać, że dla dowolnej funkcjif(z), dla której istnieje rozwinięcie w szereg Laurenta, f(z)= n= c n (z z 0 ) n, gdziez 0 jest pewną liczbą zespoloną, zachodzi równość [â,f(â + )]= df(z) dz. z=â+ Zadanie 10.8 Operator przesunięciaˆd(α) definiujemy wzorem ˆD(α)=e αâ α â=e αâ e α âe α 2 /2, Wykazać, że stan koherentny jest przesuniętym stan próżni α =ˆD(α) 0 =e α 2 /2 e αâ e α â 0 =e α 2 /2 e αâ 0. Zadanie 10.9 Transformacją Bogoliubova nazywamy liniowe przekształcenie operatorów kreacji i anihilacji â i â, ˆb =aâ +bâ+c, ˆb=dâ +eâ+f. Jakie warunki muszą spełniać zespolone stałea,b,c,d,e,f, abyˆb iˆb były również operatorami kreacji i anihilacji? Od ilu niezależnych zmiennych rzeczywistych zależy taka transformacja? J. Z. Kamiński 18 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

19 11 Stany koherentne i ściśnięte. Macierz gęstości Ćwiczenia Zadanie 11.1 W zadaniu 6.11 wprowadziliśmy operator dylatacjiˆd. Wyrazić go poprzez operatory kreacji i anihilacji dla każdej ze współrzędnych kartezjańskich. Ograniczamy się następnie do przypadku jednowymiarowego. Wprowadźmy operator ściskania Ŝ(λ)=e iλˆd Wyznaczyć przetransformowane operatory kreacji i anihilacji â λ =Ŝ(λ)â Ŝ (λ) â λ =Ŝ(λ)âŜ (λ), i zdefiniujmy nowy stan próżni (nazywany próżnią ściśniętą) wzorem â λ λ;0 =0. wyznaczyć w tym stanie średnie położenie i pęd oraz ich dyspersję. Jaką ma postać ten stan w reprezentacji położeniowej. Zadanie 11.2 Zbiór wszystkich operatorów liniowych działających w skończenie wymiarowej przestrzeni HilbertaHjest również przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem  ˆB =Tr ˆB. Niech wd-wymiarowej przestrzeni Hilberta zbiór wektorów n,n=1,...d tworzy bazę ortogonalną. Wykazać, że zbiór operatorów n m jest bazą ortogonalną w zbiorze operatorów. Wybierzmy przestrzeń dwuwymiarową. Wykazać, że macierze Pauliego wraz z macierzą jednostkową tworzą bazę ortogonalną w przestrzeni operatorów. Oznacza to, że każdy operator można przedstawić w postaci liniowej kombinacji Â=αÎ+β ˆσ Niech operatorˆρ działający w dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta spełnia warunki ˆρ =ˆρ, Trˆρ=1. Jakie ograniczenia nakłada to na w ogólności zespolone liczbyαiβ? Przyjmijmy ponadto, że Trˆρ 2 =1. Do jakich dalszych ograniczeń to prowadzi? Niechˆρ 1 iˆρ 2 będą dwoma takimi operatorami spełniającymi powyższe warunki. Wykazać, że Tr(ˆρ 1ˆρ 2 )= 1 2 (1+β 1 β 2 ) J. Z. Kamiński 19 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

20 Zadanie 11.3 Wprowadzić i omówić właściwości operatora gęstości i wyprowadzić równanie Schrödinger dla niego ˆρ= 1 i [Ĥ,ˆρ] Wyprowadzić równanie ruchu dla wektoraβ (zadanie 11.2), gdy hamiltonian ma postać Omówić to równanie Zadania dodatkowe Ĥ= µb(t) σ Zadanie 11.4 Wyznaczyć wektory i wartości własne hamiltonianu (B jest dowolnym wektorem stałym w czasie i przestrzeni) Ĥ= µb σ Oznaczmy je odpowiednio symbolami 0 i 1 (wektory własne) oraze 0 ie 1 (wartości własne). Zdefiniujmy następnie operator gęstości ˆρ= 1 Z (e βe e βe ) WyznaczyćZ i średnie σ = Tr(σˆρ) J. Z. Kamiński 20 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

21 12 Operacje kwantowe. Gęstość stanów Ćwiczenia Zadanie 12.1 Wykazać, że w trójwymiarowej przestrzeni o objętości V ilość stanów kwantowych o pędach co do modułu nie większych niżpwynosi N(p)= p gdziesjest spinem cząstki, ag(p) gęstością stanów 0 V g(p)dp=(2s+1) 6π 2 3p3 g(p)=(2s+1) Vp2 2π 2 3 WyrazićN(p) ig(p) poprzez energięe=p 2 /2m. Uogólnić powyższe wzory na przypadki dwu- i jedno-wymiarowe. Zadanie 12.2 Operacja kontrolowanego zaprzeczenia Rozważmy dwie dwuwymiarowe przestrzenie HilbertaH 1 ih 2. Oznaczmy wektory bazy tych przestrzeni jako v i, w j,i,j=1,2. Iloczynem tensorowym tych przestrzeni nazywamy przestrzeńh=h 1 H 2 rozpiętą na wektorach v i w j. W przestrzeni tej działają operatory, które w ogólności mogą być dowolną kombinacją liniową operatorów postaci  ˆB, których działanie na wektory bazy zdefiniowane jest związkiem ( ˆB)( v i w j )=( v i ) (ˆB w j ) Uwaga: wektor v i w j będziemy zapisywali w postaci v i w j (ale kolejność jest tu istotna, tj. na ogół v i w j w j v i. Dla wygody dwa wektory bazy ( v i lub w j ) będziemy oznaczali symbolami 0 i 1. Zatem bazę whtworzą cztery wektory 00, 01, 10 i 11 (nazwijmy ją bazą kanoniczną). W każdej przestrzenih i działa operacja Hadamarda Ĥ (nie mylić z Hamiltonianem) zdefiniowana wzorami Ĥ 0 = 1 2 ( ), Ĥ 1 = 1 2 ( 0 1 ) Wykazać, że ĤĤ = Î=Ĥ2 np. posługując się reprezentacją macierzową. Zdefiniujmy operację kontrolowanego zaprzeczenia ÛCNOT wzorem Û CNOT ( a b )= a b b gdzie symbol oznacza dodawanie modulo 2. Napisać jej reprezentację macierzową. Zdefiniujmy nową operacjęˆv wzorem ˆV=(Ĥ Î)ÛCNOT(Ĥ Î) Wykazać, że Û CNOT =(Ĥ Î)ˆV(Ĥ Î) J. Z. Kamiński 21 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012

22 Podać postać macierzowąˆv w bazie kanonicznej, a następnie sprawdzić, że ˆV= 1 2 (Î Î+Î ˆσ z+ˆσ z Î ˆσ z ˆσ z ) gdzieσ z jestz-ową macierzą Pauliego, dla której wektory bazy kanonicznej są wektorami własnymi,σ z 0 = 0,σ z 1 = 1. Zdefiniujmy operację ˆR=Î ˆσ z+ˆσ z Î ˆσ z ˆσ z i określmy jej reprezentację macierzową. Wykazać, że ˆV=e iβ e iαˆr gdzieα=π/4,β= π/4. Powiązać operacjęˆv, a pośrednio równieżûcnot, z ewolucją czasową. W tym celu rozważmy tzw. Hamiltonian Isinga oddziałujących dwóch spinów między sobą i z polem magnetycznym, Ĥ Ising =B(Î ˆσ z+ˆσ z Î)+Jˆσ z ˆσ z Wykazać, że operacjaˆv pokrywa się, z dokładnością do globalnej fazy, z ewolucją czasową układu dwóch spinów Û(t)=exp ( i ĤIsing t ) pod warunkiem, żeb= J i4jt=π. Zadanie 12.3 Jeśli starczy czasu, omówić protokół teleportacji qubitu Zadania obowiązkowe: termin oddania wykład Zadanie 12.4 Wykazać, że Û CNOT (Î Ĥ) 00 = 1 2 ( ). Jak działa powyższa operacja na pozostałe stany bazy kanonicznej? Zadanie 12.5 Określić stan powstały w wyniku działania operacji ˆσ x ˆσ x +ˆσ y ˆσ y +ˆσ z ˆσ z na stan bazy 00. J. Z. Kamiński 22 Wybrane aspekty fizyki współczesnej 2011/2012