ema: Wahadło maemayczne wyznaczane warośc przyśpeszena zemskego Imę nazwsko: Rok, kerunek: Specjalność: r ćwczena Daa wykonana pomarów: I. Wprowadzene do dośwadczena. Cel dośwadczena, przyrządy Celem dośwadczene jes. (wpsać). Przyrządy: wahadło kula umocowana do nk zaweszona na haku, aśma merncza, suwmarka. soper o rozdzelczośc 0,0 s, (lcznk mpulsów opcja).. Wprowadzene eoreyczne Przyjmjmy, że kulka o mase mk promenu r jes zaweszona na nce o długośc l mase m n, a nka od góry jes zaczepona np. zaweszona na haku. Jeśl kulkę odchylmy z położena równowag będze wykonywać drgana wokół pozomej os przechodzącej przez punk mocowana nk na haku. Jeśl wychylene jes małe drgana są harmonczne jeśl pomnemy rozmary kulk masę nk o kwadra okresu drgań jes równy 4π L, () g gdze L = l + r długość wahadła, g przyśpeszene zemske. Sąd 4 π L g. () Częso warunk przyblżena ne są spełnone gdyż - kula ne jes punkem maeralnym, dla kul współczynnk poprawkowy na okres wynos + 0,4 r /l ; - nć ne jes neważka, masa nc powoduje zmnejszene okresu o czynnk (m n /m)/; - ką wychylena ne jes do zanedbana, ampluda wychyleń (w rad) wnos poprawkę do okresu wahań, kórej perwsze przyblżene wynos /6. Znajomość czynnków poprawkowych pozwala ak zaplanować pomar, by można je było pomnąć. Po uwzględnenu ych poprawek, wzór () na przyspeszene zemske, jes posac: gdze m = m k + m n masa wahadła. II. 4π l g r 5 l PRZEBIEG WYKOI ĆWICZEI. Meoda pomarów. mn m, () ależy spełnć warunk założeń dla wzoru (). Ką wychylena pownen być mały. Pomary sprowa Oprócz wymenonych czynnków do poprawek są nne, np. wypór opór powerza. Wskazane aby dokonać przelczeń dla klku małych kąów aby meć orenację jak duże są poprawk jaka pownna być maksymalna ampluda whadła. p. ką 7 odpowada w merze łukowej 0, rad co w cm dla długośc wahadła odpowada długośc łuku (w przyblżenu odległość wychylonej kulk do ponu położena równowag): 50 6,; 75 9,; 00,; 5 5,; 50 8,; 00 4,4; 50 0,5; 00 6,6; 50 4,; 400 48,8. /5 Oprac.. M. Molenda, IF US
dzają sę do wyznaczena okresu wahadła, długośc wahadła j. długośc nk średncy kulk odległośc punku zaczepena wahadła oraz kulk do podłoża. Poneważ dokładność wyznaczena g pownna być co najmnej z rzema cyfram znaczącym węc należy zaplanować pomary z wysarczającą dokładnoścą. ależy zwrócć uwagę, że we wzorze () jes w kwadrace oraz, że pomar ręczny czasu drgań jes mało dokładny ze względu na uwarunkowana eksperymenaora przy włączenu wyłączene sopera e = 0,4 s). W zwązku z ym okres wahań należy wyznaczać jako przedzał czasu mędzy dwoma kolejnym przejścam wahadła w ę samą sronę nad znacznkem znajdującym sę pod za wahadłem w położenu równowag. ależy unkać akch punków odnesena, kóre są blske momenom zwronym w ruchu wahadła, gdyż wyznaczany przy ch wykorzysanu okres będze mnej dokładny (dlaczego?). Ponado należy zmerzyć czas klku dla welokronośc okresu k (jakej zaplanować). Z () mamy, że zależność mędzy a długoścą wahadła L jes lnowa. ależy zaplanować pomary dla wybranych długośc wahadła aby dokonać analzy grafcznej. Przygouj abelę pomarową. B. Wykonane dośwadczena.. Zawesć wahadło. Kula wahadła pownna znaleźć sę klka cenymerów nad podłogą. Pod znajdującym sę w położenu równowag wahadłem, umeść na podłodze znacznk, np. mealowy prę karkę paperu z narysowaną wyraźną kreską. Wychyl wahadło z położena równowag, w kerunku prosopadłym do znacznka, o ką (ampluda wychyleń) do zaplanowanej ne wększej nż 7 zwolnj je. Spróbuj różnych sposobów zwalnana wahadła obserwuj je przez klkanaśce okresów. Zwróć uwagę, żeby wahadło ne krążyło po elpse, kula wahadła ne kwała sę wokół własnego środka cężkośc, an eż ne obracała sę wokół własnej os. Wszyske e efeky zmenają okres drgań, kóry chcemy zmerzyć. Wykonaj klka próbnych pomarów. Przećwcz puszczane kul. Dopracuj sę w marę dobrego sposobu uruchamana wahadła wykonana pomaru.. Wyznacz długość wahadła L. Dla wszącego wahadła zmerz klkakrone (5 porzebne długośc: a) odległość mędzy punkem zaczepena wahadła a jego środkem cężkośc b) długość nk (odległość od punku zaczepena wahadła do górnej powerzchn kulk średncę kulk c) długość nk (odległość od punku zaczepena wahadła do górnej powerzchn kulk) odległość od punku zaczepena wahadła do dolnej powerzchn kulk d) odległość od podłoża do punku zaczepena wahadła oraz od podłoża do środka kulk. Uwaga: ajprosszym sposobem pod względem analzy nepewnośc jes pomar bezpośredn (a), jednak jego dokładność może być mnejsza. W przypadku pomaru pośrednego (b)-(d) mamy złożene dwóch rozkładów. Przyjmując, że oba są prosokąnym o w przypadku (c) (d) orzymujemy rozkład rójkąny (pomar przyrządem z ą samą dokładnoścą), naomas w przypadku (b) rozkład rapezowy (pomar suwmarką jes z nną dokładnoścą nż pomar marką zwjaną).. Zmerz klka razy czas rwana k okresów drgań wg zaplanowanej warośc powórzeń n. Przyjmj k 0, n 7. W przypadku dużego łumena wahadła problemu zlczana lczby drgań można ogranczyć lczbę okresów do mnejszej, jednak ne mnej nż 0. 4. Powórz pomary dla nnej długośc wahadła (z zaplanowanych długośc). 5. Wyznacz masę kulk wahadła o le będze o koneczne. /5 Oprac.. M. Molenda, IF US
III. OPRCOWIE WYIKÓW POMIRÓW. Wyznaczene warośc pomarowych.. Oblczyć porzebne warośc średne: L,,.. Z warośc pomarowych w abel wyznaczyć warość średną g dla danych długośc. Oblczyć warość g dla Szczecna [] ją odszukać w danych ablcowych. 4. Zebrać dane warośc g z nepewnoścam pomaru od pozosałych osób wykonujących dośw. oblczyć warość średną g dla ze wszyskch danych. 5. Przedsawć na wykrese zależność = f (L ) na paperze mlmerowym (naneść prosą) z zaznaczenem odcnków nepewnośc o le będze o możlwe. Z wykresu wyznaczyć warość g. 6. Sosując meodę regresj lnowej kompuerowo, wyznaczyć współczynnk nachylena prosej. B. epewnośc pomaru.. Oblcz nepewność pomaru welkośc merzonych bezpośredno: L l, d oraz m (o le był pomar), korzysając ze wzoru () (parz dodaek epewność pomaru), skąd dla ) mamy. ) ( ) ( ) ( d) ( e gdze = kn, naomas d x nepewność granczna sopera, jego dokładność; e x nepewność granczna wynkająca z refleksu eksperymenaora, na włączane wyłączane sopera, warość ypowa o 0, s.. Oblcz nepewność pomaru welkośc merzonych posredno: L,,,. Oblcz nepewność pomaru warośc g wyznaczonych w p.., 4, 5, 6. Korzysając ze wzoru (B) (C) (D) w dodaku: a) W przypadku pomaru bezpośrednego L mamy ze wzoru (D): g) g L) L ) (4). (5) aomas ze wzorów (B) (C) można dokonać oblczeń w arkuszu kalkulacyjnym bezpośredno wpsując formuły wg podanego wzoru (B) go częścowo upraszaczając do posac: 4π ul ( g ) L), u ( ) 4π, g L ( ( )) ( ( )) (6) u u gdze = kn. Wówczas, ze wzoru (C) możemy oblczyć nepewność pomaru g: g) u L ( g) u ( g). b) W przypadku pomaru pośrednego L, należy skorzysać ze wzoru (C), wówczas u ( L) u ( L), L) (7) l gdze udzały nepewnośc u l (L) u d (L) oblczamy zgodne ze wzorem (B), co daje u l (L) = l) u d (L) = u (d), naomas ze wzoru () nepewnośc sandardowe l) d). 4. Oblcz udzały nepewnośc. 5. Oblcz nepewnośc współczynnków dla prosej regresj. 6. Oszacuj nepewność zwązaną ze skorzysanem ze wzoru () zamas (). d /5 Oprac.. M. Molenda, IF US
C. Zesawene wynków nepewnośc pomaru z udzałam nepewnośc.. Dokonać dyskusj wynków, porównać warośc dla g orzymane w p.. Odneść orzymaną warość do warośc ablcowej g (w przypadku rudnośc z usalenem warośc przyjąć 9,84 m/s ). Sprawdzć z kryerum zgodnośc wzór (E). Zapsać wnosk uwag doyczące dośwadczena. Odneść sę do sosowanego modelu, zaplanowanych warośc powórzeń pomarów, zapsać wnosk uwag doyczące dośwadczena. LIERUR. Przykłady dla Wahadło maemayczne ( ) w:. Zęba: nalza danych w naukach ścsłych echnce. PW. Warszawa, 04.. Przykład Wahadło maemaycne ( ) w: P. Blsk, M. Dobes,. Kozak, M. Makrocka-Rydzyk: Maerały do ćwczeń ze wsępu do pracown fzycznej. ormy ISO maemayka w laboraorum. Wydawncwo aukowe UM; Poznań 04.. Wkpeda, hasła: wahadło, przyspeszene zemske. *Dodaek. epewność pomaru epewność całkowa welkośc x merzonej bezpośredno: n( n ) n ( x ( d ( u ( gdze perwszy składnk pod perwaskem nepewność sandardowa średnej; d x nepewność wzorcowana (nepewność wynkająca z dokładnośc przyrządu); x nepewnośc wynków zaczerpnęych z leraury, ablc kalkulaora; u e ( nepewność sandardowa eksperymenaora. Złożoną nepewność sandardową y) nepewność dla funkcj klku zmennych y = f (x,, x,, x ) oblcza sę korzysając z prawa przenoszena nepewnośc pomarów bezpośrednch neskorelowanych w posac f y) u ( x ) c x ) u ( y), x lczba welkośc merzonych bezpośredno, c wsp. wrażlwośc, u (y) c x ) udzały nepewnośc. Oblczane nepewnośc y) można dokonać bez odwoływana sę do rachunku różnczkowego korzysając z meody elemenarnej wzoru wskaznego w Przewodnku GUM poprzez oblczane udzałów nepewnośc u (y) = f (x,, x + x ),, x ) f (x,, x x ),, x ) (u (y) zmana warośc funkcj f spowodowana zmaną x o + x ) o x )). oblczane y) jako sumy geomerycznej udzałów: W przypadku gdy zależność funkcyjna dla f ma posać jednomanu:, c sała, wówczas wygodne jes korzysać z prawa propagacj nepewnośc względnych 4 e () u ( y) u ( y). (C) y c x x... n x n (B) Gude o he Expresson of Uncerany n Measuremen, ISO, Swzerland 99, 995; (dokumen wydany w menu BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPC, IUPP, OML). Fundamenalny dokumen zborowego auora zespołu mędzynarodowych organzacj naukowo-echncznych dla usanowena procedury wyrażana nepewnośc pomaru, jes wydany przez Mędzynarodową Organzację ormalzacyjną (ISO) Publkacja jes udosępnona onlne: www.bpm.org/uls/common/documens/jcgm/jcgm_00_008_e.pdf 4 epewność względna w Przewodnku GUM ne ma oddzelnego oznaczena. W syuacjach ne powodujących neporozumeń można sosować zaps z ndeksem dolnym r j. u r (y) y)/y. 4/5 Oprac.. M. Molenda, IF US
u ( y) y u r ( x ), (D) gdze u r (x ) x )/x względna nepewność pomaru welkośc x. Porównywane wynków Chcąc porównać orzymane wynk z nnym wynkem, np. ablcowym x, korzysamy z przedzałowego kryerum zgodnośc wynków pomarów, czyl sprawdzamy czy dla naszych wynków spełnona jes nerówność: x x x ). (E) Jeżel powyższa nerówność ne zachodz, należy zasąpć nepewność u przez nepewność rozszerzoną U, gdze U( = k a wspólczynnk k, w naszym przypadku należy przyjąć. Jeśl wówczas a nerówność ne jes spełnona o znaczy, że wynk ne są zgodne. epewność rozszerzona (expanded uncerany) zdefnowana przez welkość określającą przedzał wokół wynku pomaru, ak że można oczekwać, ż obejme on dużą część warośc, kóre w uzasadnony sposób można przyporządkować welkośc merzonej." Obe nepewnośc są powązane zależnoścą U = k u, gdze k współczynnk rozszerzena. Współczynnk rozszerzena k zależny jes od lczby pomarów oraz pozomu ufnośc (określany jes częso manem współczynnka Sudena-Fshera n, a), w wększośc przypadków przyjmujemy k = Regresja lnowa klasyczna (meoda najmnejszych kwadraów) 5 Jeżel pomędzy dwema welkoścam fzycznym wysępuje zależność lnowa o regresja lnowa jes prosą meodą wyznaczena paramerów najlepej dopasowanej prosej. Paramery prosej określonej równanem y = m x + b wyznaczamy przy użycu ogólne dosępnych (dość złożonych) wzorów. Znając współczynnk m b regresj lnowej oraz współczynnk korelacj (Pearsona) r można, korzysając z ponższych wzorów, oblczyć nepewnośc pomaru (odchylena sandardowe) ypu (saysyczne) u n / r ( m) m, u ( b) u ( m x / n. (F) n ) Warośc współczynnków charakeryzujących prosą dla regresj lnowej szybko orzymamy korzysając z funkcj wbudowanych w arkuszu kalkulacyjnym. Współczynnk korelacj lnowej Pearsona r bezwymarowy wskaźnk z przedzału [, ] określający sopeń lnowej zależnośc dwóch zesawów danych. Składna w Excelu: =PERSO(ablca;ablca). Współczynnk regresj lnowej, składna w Excelu: m: =CHYLEIE(znane_y;znane_; b: =ODCIĘ(znane_y;znane_ Uwaga: zwrócć uwagę, że na perwszym mejscu jes y a na drugm x. Warośc: m b, u (m) u (b) oraz r r) orzymamy korzysając z bardzej wszechsronnej funkcj ablcowej REGLIP, kóra zwraca ablcę warośc. Składna: =REGLIP(znane_y;znane_x;sała;saysyka). Sała argumen opcjonalny; domyślna warość PRWD oznacza normalne lczene warośc wpółczynnnka b; warość FŁSZ wymusza, o sała b = 0 (warość m jes dopasowana do danych ak, aby spełnć równane y = m, ak jes w naszym przypadku. Saysyka argumen opcjonalny. Jeżel dla wyśwelena warośc funkcj oznaczymy obszar kolumny na wersze ( wersze) waroścą jes: PRWD, o funkcja w kolejnych werszach zwraca kolejno: m b, u (m) u (b) przy zaznaczenu obszaru z werszam (oraz r r) przy zaznaczenu obszaru z werszam). FŁSZ argumen zosał pomnęy, o funkcja zwraca jedyne warośc współczynnków m b. by użyć funkcję REGLIP rzeba: () zaznaczyć obszar w kórym ma sę znależć wynk; () wpsać nazwę funkcj; () zawerdzć jej wprowadzane kombnacją klawszy Crl+Shf+Ener. a ema wszyskch saysyk, generowanych przez funkcję REGLIP można przeczyać w Pomocy. Uwaga. W arkuszu kalkulacyjnym jes wykorzysana zw. normalna meoda najmnejszych kwadraów, pojawa sę pyane na le a meoda, w porównanu do prosej regresj orogonalnej z rys. odręcznego, jes zgodna. 5 np. P. Blsk, M. Dobes,. Kozak, M.Makrocka-Rydzyk, Maerały do ćwczeń ze wsępu do pracown fzycznej. ormy ISO maemayka w laboraorum. Wyd. aukowe UM; 04;.Zęba: nalza danych w naukach ścsłych echnce. PW. Warszawa, 04. 5/5 Oprac.. M. Molenda, IF US