Grupy: torus i odometr

Grupy: torus i odometr Na podstawie wykªadu prof. T. Downarowicza Mateusz Kwa±nicki 2 lipca 2008 Rozdziaª ten ma na celu przypomnienie poj cia grupy i jej podstawowych wªasno±ci oraz omówienie dwóch wa»nych przykªadów: torusa i odometru. 1 Denicje Denicja 1. Trójk G, e, m, gdzie G jest niepustym zbiorem, e G oraz m : G G G (najcz ±ciej zamiast m(a, b) piszemy a b lub po prostu ab) nazywamy grup, je±li speªnione s nast puj ce warunki: a(bc) = (ab)c dla wszystkich a, b, c G, (1a) ea = a dla wszystkich a G, (1b) dla ka»dego a G istnieje a 1 G takie,»e a 1 a = e. (1c) Element a 1 nazywamy odwrotno±ci elementu a. Je±li dodatkowo speªniony jest warunek: ab = ba dla wszystkich a, b G, (1d) to grup nazywamy przemienn lub abelow. Gdy z kontekstu wynika, jakie dziaªanie mamy na my±li, mówimy po prostu G jest grup. Je±li mamy do czynienia z wieloma grupami, czasem dla jasno±ci element neutralny grupy G oznaczamy e G. W przypadku grup przemiennych najcz ±ciej stosujemy notacj addytywn : zamiast m(a, b) oraz a 1 piszemy a + b oraz a. Przykªad 2. Grupami przemiennymi s : 1

Zbiory Z, Q, R, C liczb caªkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych z dodawaniem jako dziaªaniem grupowym. Elementem neutralnym jest 0. Przestrze«R n wektorów n-wymiarowych z dodawaniem wektorów jako dziaªaniem. Zbiory Q, R, C (wzgl dnie Q +, R + ) liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych ró»nych od zera (wzgl dnie dodatnich) z dziaªaniem mno-»enia i elementem neutralnym 1. Gdy a, b, p s liczbami caªkowitymi i p > 0, to oznaczmy przez a + p b reszt z dzielenia a+b przez p oraz przez a pb reszt z dzielenia a b przez p. Dziaªania + p oraz p nazywamy dodawaniem i mno»eniem modulo p. Wówczas: Zbiór Z p = {0, 1, 2,..., p 1} z dodawaniem modulo p i elementem neutralnym 0 jest grup przemienn. Zbiór Z p = {k Z p : NWD(k, p) = 1} z mno»eniem modulo p i elementem neutralnym 1 jest grup przemienn. Grupami nieprzemiennymi s : Zbiór S A permutacji zbioru A (tj. ró»nowarto±ciowych odwzorowa«zbioru A na zbiór A) z operacj skªadania i odwzorowaniem identyczno- ±ciowym jako elementem neutralnym. Grupa ta jest nieprzemienna je±li tylko A ma co najmniej trzy elementy. Gdy A = {0, 1, 2,..., n 1}, to piszemy S A = S n. Oczywi±cie A mo»e by zbiorem niesko«czonym (np. odcinkiem [0, 1]). Zbiór GL n (R) macierzy rzeczywistych n n nieosobliwych z mno»eniem macierzy (ang. general linear group). Zbiór SL n (R) macierzy rzeczywistych n n o wyznaczniku 1 z mno»eniem macierzy (ang. special linear group). Zwykle zakªada si nieco mocniejsze wersje aksjomatów grupy (1). Nasza denicja jest jednak tylko pozornie ubo»sza od tej powszechnie stosowanej. Dowód tego faktu pozostawiamy jako wiczenie. 2

wiczenie 3. Udowodni,»e je±li G jest grup, za± a G, to: Je±li aa = a, to a = e, (2) a 1 a = aa 1 = e, ea = ae = a, ( a 1 ) 1 = a. Wykaza równie»,»e e jest jedynym elementem maj cym wªasno± (1b), za± a 1 jest jedynym elementem maj cym wªasno± (1c). Denicja 4. Niech G b dzie grup, a G. Deniujemy: a 0 = e, a n+1 = aa n dla n 0, a n = (a n ) 1 dla n > 0. Warto zauwa»y,»e a 1 ma teraz dwa znaczenia: element odwrotny dany przez (1c) oraz ( 1)-sza pot ga zdeniowana w powy»szym wiczeniu; obie denicje s jednak zgodne. wiczenie 5. Sprawdzi (metod indukcji matematycznej),»e zachodz wzory: dla wszystkich a, b G, m, n Z. a m+n = a m a n, a mn = (a m ) n, je±li G jest przemienna, to (ab) n = a n b n Gdy grupa jest przemienna i stosujemy notacj addytywn, piszemy na zamiast a n. Mo»e to prowadzi do dwuznaczno±ci, gdy elementami grupy s liczby: 2a mo»e wtedy oznacza b d¹ zwykªy iloczyn liczb, b d¹ drug pot g a w grupie, czyli a + G a. B dziemy unika stosowania takiego zapisu w drugim przypadku. Denicja 6. Podzbiór H grupy G nazywamy podgrup, co zapisujemy H < G, je±li H z dziaªaniem odziedziczonym z G jest grup. 3

Formalnie powinni±my napisa : trójk H, e H, m H nazywamy podgrup grupy G, e G, m G, je±li H G oraz m H (a, b) = m G (a, b) dla wszystkich a, b H. wiczenie 7. Udowodni,»e je±li H, e H, m H jest podgrup G, e G, m G, to e H = e G. Wskazówka: Skorzysta ze wzoru (2). Przykªad 8. Niektóre grupy z przykªadu 2 s podgrupami innych: Z < Q < R < C, Q < R < C, Q + < R +, Q + < Q, R + < R, SL n (R) < GL n (R). wiczenie 9. Udowodni,»e niepusty pozdbiór H grupy G jest podgrup wtedy i tylko wtedy, gdy ab 1 G dla wszystkich a, b H. Je±li zatem mamy udowodni,»e jaki± podzbiór znanej nam grupy (liczb, macierzy etc.) jest podgrup, to wystarczy sprawdzi jeden warunek z powy»szego wiczenia. wiczenie 10. Niech {H α : α A} b dzie niepust rodzin podgrup grupy G. Wykaza,»e α A H α jest podgrup grupy G. Wywnioskowa st d,»e dla dowolnego podzbioru A G istnieje najmniejsza (w sensie relacji zawierania) podgrupa G zawieraj ca A. Tak podgrup nazywamy podgrup generowan przez A i oznaczamy (A). Je±li G = (A), to zbiór A nazywamy zbiorem generatorów grupy G. Je±li A jest zbiorem jednoelementowym, to G nazywamy grup cykliczn. wiczenie 11. Udowodni,»e je»eli A jest niepustym zbiorem generatorów G, to: G = { a 1 a 2... a n : n Z +, a i A lub a 1 i A dla i = 1, 2,..., n }. W szczególno±ci gdy G = ({a}) jest grup cykliczn, to: G = {a n : n Z}. 4

Ostatnie stwierdzenie cz sto przyjmuje si za denicj grupy cyklicznej. Niesko«czon grup cykliczn nazywamy grup woln. Denicja 12. Rz dem grupy G nazywamy liczb elementów G i oznaczamy go G. Rz dem elementu a G nazywamy rz d podgrupy cyklicznej generowanej przez a. Je±li jest to grupa wolna, to element a tak»e nazywamy wolnym. Wprowadzimy teraz wiele wa»nych typów odwzorowa«grupy w grup. Denicja 13. Niech G, H b d grupami. Odwzorowanie ϕ : G H nazywamy homomorzmem, je±li ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (3) dla wszystkich a, b G. Wyró»niamy wiele typów homomorzmów: Je±li ϕ(g) = H, to ϕ nazywamy faktoryzacj, grup H faktorem grupy G, a grup G rozszerzeniem grupy H. Ró»nowarto±ciowy homomorzm nazywamy zanurzeniem. Odwracalny homomorzm nazywamy izomorzmem, a dwie grupy, mi dzy którymi istnieje izomorzm grupami izomorcznymi. Homomorzm ϕ : G G nazywamy endomorzmem grupy G, za± izomorzm ϕ : G G nazywamy automorzmem grupy G. Zbiór ker ϕ = {a G : ϕ(a) = e} nazywamy j drem homomorzmu ϕ. Je±li dla wszystkich faktoryzacji ϕ, ψ : G H zachodzi ker ϕ = ker ψ, to grup H nazywamy faktorem kanonicznym grupy G. Zbiór wszystkich endomorzmów grupy G wraz z operacj skªadania jest grup oznaczan End G. Podobnie automorzmy tworz grup ze skªadaniem, oznaczan Aut G; jest to oczywi±cie podgrupa grupy endomorzmów. Dodajmy,»e w równo±ci (3) pierwsze mno»enie jest dziaªaniem w G, a drugie w H. Równanie to mo»na by te» zapisa w formalnie poprawniejszej, lecz du»o mniej czytelnej postaci: ϕ(m G (a, b)) = m H (ϕ(a), ϕ(b)). Przykªad 14. Homomorzmami s nast puj ce odwzorowania: 5

ϕ : Z Z p, gdzie ϕ(n) jest reszt z dzielenia n przez p. faktoryzacja kanoniczna o j drze ker ϕ = {pn : n Z} = pz. Jest to ϕ : R 2 R dany wzorem ϕ(x, y) = x. Nie jest to faktoryzacja kanoniczna, poniewa» ψ : R 2 R okre±lony przez ψ(x, y) = y jest równie» faktoryzacj, ale ker ϕ ker ψ. ϕ : SL n (R) GL n (R) dany wzorem ϕ(m) = M; ϕ jest zanurzeniem. ϕ : R R dany wzorem ϕ(x) = x ; tak okre±lony ϕ nie jest ani faktoryzacj, ani zanurzeniem, ani automorzmem, ale jest endomorzmem; ker ϕ = {x R : x = 1} = { 1, 1}. wiczenie 15. Niech ϕ : G H b dzie homomorzmem. Wykaza,»e: 1. f(e) jest jedno±ci w H oraz f(a 1 ) = (f(a)) 1. Wskazówka: Porównaj z zadaniem 7. 2. ϕ jest ró»nowarto±ciowy (tzn. jest zanurzeniem) wtedy i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {e}. 3. ker ϕ jest podgrup grupy G, a ϕ(g) jest podgrup grupy H. Poni»sze wiczenie zawiera charakteryzacj grup cyklicznych. wiczenie 16. Zaªó»my,»e G jest grup cykliczn generowan przez {a}. Udowodni,»e: G jest izomorczne z jedn z grup Z, Z p (p = 1, 2, 3,... ). Je±li grupa H jest faktorem grupy G, to H jest cykliczna. Je±li G jest grup sko«czon, to rz d grupy H jest dzielnikiem rz du grupy G. Ka»da podgrupa H grupy G jest cykliczna. Je±li G jest grup sko«- czon, to rz d grupy H jest dzielnikiem rz du grupy G. Je±li G jest grup woln (ma rz d niesko«czony), to tak»e H jest grup woln. Faktoryzacje kanoniczne w grup cykliczn sko«czon maj ciekaw i wa»n charakteryzacj : wiczenie 17. Niech p b dzie liczb naturaln oraz niech ϕ : G Z p b dzie homomorzmem. Udowodni,»e: 6

1. ker ϕ {a p : a G}. 2. Je±li ϕ jest faktoryzacj oraz ker ϕ {a p : a G}, to ϕ jest faktoryzacj kanoniczn. Przyjmijmy nast puj ce oznaczenie: je±li G jest grup, g G oraz A, B G, to ga = {ga : a A}, Ag = {ag : a A}, AB = {ab : a A, b B}. Denicja 18. Niech H b dzie podgrup G oraz niech g G. Zbiór gh nazywamy warstw lewostronn elementu g; podobnie Hg nazywamy warstw prawostronn g. Liczb ró»nych warstw lewostronnych gh (g G) nazywamy indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy (G : H). Je±li dla ka»dego g G zachodzi gh = Hg, to podgrup H nazywamy podgrup normaln lub dzielnikiem normalnym, co zapisujemy H G. Oczywi±cie ka»da podgrupa grupy przemiennej jest podgrup normaln. Kilka innych podstawowych wªasno±ci wy»ej wprowadzonych poj zawartych jest w nast puj cym wiczeniu. wiczenie 19. Niech H < G. Pokaza,»e: 1. Je±li g 1, g 2 G, to warstwy g 1 H oraz g 2 H s albo rozª czne, albo równe. Podobnie warstwy Hg 1 i Hg 2 je±li s ró»ne, to s rozª czne. 2. Liczba warstw lewostronnych jest równa liczbie liczbie warstw prawostronnych. 3. Zachodzi twierdzenie Lagrange'a: G = H (G : H) (porównaj z wiczeniem 16). 4. Je±li G jest rz du sko«czonego, to rz d ka»dej podgrupy grupy G oraz rz d ka»dego elementu g G s dzielnikami G. 5. Je±li rz d elementu g G jest sko«czony, to jest to najmniejsza liczba naturalna n taka,»e g n = e. 6. Podgrupa H jest normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego g G zachodzi ghg 1 H. 7. J dro ka»dego homomorzmu jest podgrup normaln (porównaj z wiczeniem 15). 7

Przykªad 20. Poka»emy,»e nie wszystkie podgrupy s normalne. W tym celu rozwa»my grup S 3 permutacji zbioru {0, 1, 2}. Przez k 0, k 1, k 2 rozumiemy przeksztaªcenie przyporz dkowuj ce liczbie i liczb k i. Niech H = { 0, 1, 2, 0, 2, 1 }. Wówczas H jest podgrup S 3. Sa trzy warstwy lewostronne wzgl dem H: H, { 1, 2, 0, 1, 0, 2 } oraz { 2, 0, 1, 2, 1, 0 }; s te» trzy warstwy prawostronne: H, { 1, 2, 0, 2, 1, 0 } i { 2, 0, 1, 1, 0, 2 }. Jak wida, H nie jest podgrup normaln G. Twierdzenie 22 ukazuje kluczow wªasno± podgrup normalnych i zarazem wyja±nia pochodzenie nazwy dzielnik normalny. Iloczyn kartezja«ski jest w wielu teoriach narz dziem do tworzenia bardziej zªo»onych i bogatszych struktur. Tak jest równie» w teorii grup. wiczenie 21. Zaªó»my,»e H 1, H 2 s podgrupami normalnymi grupy G. Mówimy,»e G jest produktem prostym podgrup H 1, H 2, je±li H 1 H 2 = G oraz H 1 H 2 = {e}. Niech G 1, G 2 b d dowolnymi grupami. Deniujemy produkt prosty grup G 1, G 2 jako grup G 1 G 2 z dziaªaniem h 1, h 2 h 1, h 2 = h 1 h 1, h 2 h 2. Jaki jest zwi zek mi dzy tymi denicjami? Wskazówka: Udowodni,»e je±li g 1 G 1, g 2 G 2, to g 1 g 2 = g 2 g 1. 2 Podstawowe twierdzenia Twierdzenie 22. Niech H b dzie podgrup normaln grupy G. Wówczas zbiór warstw {ah : a G} z dziaªaniem okre±lonym wzorem: jest grup. (ah) (bh) = (ab)h (4) Denicja 23. Je±li H jest dzielnikiem normalnym grupy G, to grup warstw elementów G wzgl dem H z dziaªaniem okre±lonym wzorem (4) nazywamy grup ilorazow i oznaczamy symbolem G/H. Dowód twierdzenia: Musimy udowodni,»e wzór (4) prawidªowo okre±la dziaªanie i»e jest to dziaªanie grupowe. We¹my a ah, b bh. Zatem a = ah 1, b = bh 2 dla pewnych h 1, h 2 H. Ze wzgl du na to,»e H jest podgrup normaln, zachodzi Hb = bh, a wi c h 1 b = bh 3 dla pewnego h 3 H. Zatem: (a b )H = (ah 1 bh 2 )H = (abh 3 h 2 )H = (ab)(h 3 h 2 H) = (ab)h. 8

Oznacza to,»e je±li ah = a H i bh = b H, to (ah) (bh) = (a H) (b H). Ponadto dziaªanie okre±lone wzorem (4) speªnia aksjomaty (1), bowiem: (ah)((bh)(ch)) = (a(bc))h = ((ab)c)h = ((ah)(bh))(ch), (eh)(ah) = (ea)h = ah, (a 1 H)(aH) = (a 1 a)h = eh, a wi c (ah) 1 = a 1 H. ledz c uwa»niej powy»szy dowód mo»na zauwa»y,»e gdy podgrupa H nie jest normalna, to wzór (4) nie okre±la jednoznacznie mno»enia na warstwach. Je±li okre±limy relacj R na G poprzez: arb a 1 b H, to warstwa ah elementu a G jest klas równowa»no±ci [a] elementu a wzgl dem relacji R. Pokazali±my,»e je±li ara oraz brb (czyli ah = a H oraz bh = b H), to abra b. T wªasno± nazywa si zgodno±ci relacji R z mno»eniem. Wynika z niej,»e [a] [b] = [ab] dla wszystkich a, b G. W zwi zku z tym cz sto zamiast ah pisze si [a]. Przyporz dkowanie elementowi a G jego warstwy [a] G/H nazywane jest kanonicznym homomorzmem grupy G w grup ilorazow G/H. B dziemy je oznaczali liter κ. Twierdzenie 24. o izomorfizmie. Niech G, H b d grupami, za± ϕ : G H homomorzmem. Oznaczmy K = ker ϕ. Wówczas grupa ilorazowa G/K jest izomorczna z ϕ(g). Ponadto izomorzm mo»e zosta wybrany kanonicznie w nast puj cym sensie: istnieje izomorzm ψ : G/K H taki,»e ψ κ = ϕ. Dowód: Okre±lamy ψ([a]) = ϕ(a). Musimy pokaza,»e ψ jest poprawnie okre±lone, tzn. warto± ϕ na wszystkich elementach warstwy jest taka sama, oraz»e ψ jest izomorzmem. Je±li [a] = [b], to a = bk dla pewnego k K = ker ϕ i ϕ(a) = ϕ(a)ϕ(k) = ϕ(ak) = ϕ(b). To dowodzi poprawno±ci okre±lenia ψ. Odwzorowanie ψ jest homomorzmem, bo ψ([a] [b]) = ψ([ab]) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ψ([a])ψ([b]). Ponadto ψ(g/k) = ϕ(g), wi c ψ jest na. Je±li ψ([a]) = ψ([b]), to ϕ(a) = ϕ(b), czyli ϕ(a 1 b) = e. St d a 1 b K, a wi c b ak, czyli [a] = [b], co dowodzi ró»nowarto±ciowo±ci ψ. Zatem ψ jest izomorzmem. Przykªad 25. Niech p b dzie dodatni liczb caªkowit. Dla n Z niech ϕ(n) b dzie reszt z dzielenia n przez p. Wówczas ϕ : Z Z p jest jest 9

faktoryzacj o j drze ker ϕ = {pn : n Z} = pz. Na mocy twierdzenia o izomorzmie grupy Z/pZ oraz Z p s izomorczne. wiczenie 26. Z twierdzenia Lagrange'a (cwiczenie 19) oraz twierdzenia o izomorzmie wywnioskowa,»e je±li grupa H jest faktorem grupy G rz du sko«czonego, to rz d H jest dzielnikiem rz du G (porównaj z wiczeniem 16). 3 Grupa torusa Denicja 27. Grup ilorazow T = R/Z nazywamy torusem lub grup torusa. Torus jest izomorczny z grup G = [0, 1) z dodawaniem modulo 1 (tzn. a + 1 b = a + b a + b ). Izomorzmem jest przyporz dkowanie G x [x] R/Z. Grupa torusa jest tak»e izomorczna z podgrup H = {z C : z = 1} grupy C niezerowych liczb zespolonych z mno»eniem. Istotnie, izomorzm mi dzy G i H jest ustalony przez przyporz dkowanie G x e 2πix H. Zbiór H jest okr giem jednostkowym na pªaszczy¹nie zespolonej, a okr g czasem nazywa si jednowymiarowym torusem st d pochodzi nazwa. W praktyce b dziemy uto»samia trzy wy»ej wprowadzonye grupy i okre- ±lali je wspólnie mianem torusa T. W szczególno±ci b dziemy mówili x T oraz z T, gdy x [0, 1) oraz z C, z = 1. wiczenie 28. Pokaza,»e torus posiada podgrupy izomorczne z Z p (p 2), Z, Q. wiczenie 29. Udowodni,»e grupa Z nie jest faktorem torusa. Podobnie,»adna z grup Z p (p 2) nie jest faktorem torusa. Wskazówka: Dla wszystkich a Z zachodzi a + a 1. Znale¹ analogiczn wªasno± Z p. wiczenie 30. Sklasykowa sko«czone podgrupy torusa. 10

4 Granica wsteczna i odometr Poj cie granicy wstecznej ci gu grup posªu»y nam do zdeniowania odometru. Przyjmijmy nast puj c umow : a n oznacza ci g a 1, a 2,.... Gdy ϕ jest odwzorowaniem okre±lonym na zbiorze ci gów, to zamiast ϕ( a n ) b dziemy pisa ϕ a n, by unikn zb dnego zagnie»d»ania nawiasów. Denicja 31. Niech G n b dzie ci giem grup, a ϕ n : G n+1 G n (n = 1, 2, 3,... ) ci giem homomorzmów. Niech G = G 1 G 2.... W zbiorze G deniujemy dziaªanie po osiach, tzn. dla a n, b n G okre±lamy a n b n = a n b n. Wówczas G jest grup. Niech: H = { a n G : ϕ n (a n+1 ) = a n dla n = 1, 2,...}. Wówczas H jest podgrup G. Grup H nazywamy granic wsteczn ci gu G n, co oznaczamy H = lim G n. wiczenie 32. Sprawdzi,»e powy»sza denicja jest poprawna, tzn.»e faktycznie G jest grup, a H jej podgrup. Jaki jest element neutralny grupy H? Jak wygl da element odwrotny w H? Nale»y doda,»e granica wsteczna zale»y nie tylko od grup G n, lecz tak»e od homomorzmów ϕ n, co nie jest uwidocznione w notacji lim G n. Granica wsteczna podci gu ci gu grup jest izomorczna z granic wsteczn wyj±ciowego ci gu. Nale»y jednak sprecyzowa, jakie homomor- zmy ª cz kolejne wyrazy podci gu grup. wiczenie 33. Niech G 1 b dzie ci giem grup, ϕ n odpowiednim ci - giem homomorzmów. Niech k n b dzie ±ci±le rosn cym ci giem indeksów. Okre±lmy ψ n : G kn+1 G kn poprzez ψ n = ϕ kn ϕ kn+1 ϕ kn+1 1. Wskaza izomorzm mi dzy granic wsteczn lim G n wzgl dem ϕ n oraz granic wsteczn lim G kn wzgl dem ψ n. Denicja 34. Niech p n b dzie ±ci±le rosn cym ci giem liczb speªniaj cym warunek p n p n+1. Niech G n = Z pn. Niech ϕ n (a) oznacza reszt z dzielenia a przez p n. Odometrem o bazie p n nazywamy granic wsteczn ci gu G n i oznaczamy pn = lim G n ; ci g p n speªniaj cy warunek p n p n+1 dla wszystkich n nazywamy baz odometru. Zatem odometr o bazie p n to zbiór ci gów a n liczb naturalnych takich,»e 0 a n < p n oraz a n+1 a n (mod p n ) (tzn. a n+1 a n jest wielokrotno±ci 11

p n ). Dziaªaniem jest dodawanie po osiach, przy czym na n-tej osi (lub n-tej wspóªrz dnej) jet to dodawanie modulo p n. wiczenie 35. Niech ci g p n b dzie baz odometru pn. Okre±lmy q n = pn p n 1 dla n = 1, 2,..., przyjmuj c dla wygody p 0 = 1. Niech p b dzie n zbiorem ci gów a n liczb naturalnych takich,»e 0 a n < q n. W p n wprowadzamy dziaªanie w nast puj cy sposób. Niech a n, b n p. n Okre±lmy indukcyjnie: t 0 = 0, s n = a n + b n + t n 1, sn t n =, q n c n = s n t n q n dla n = 1, 2,.... Piszemy a n + b n = c n. Pokaza,»e tak okre±lone dodawanie jest dziaªaniem grupowym oraz»e pn oraz p n s izomorczne. Wywnioskowa st d,»e odometr jest grup nieprzeliczaln, mocy continuum. Dodawanie w p n ma bardzo prost interpretacj. Przyjmijmy na pocz tek,»e q n = 10 dla ka»dego n. Wypiszmy wyrazy ci gów a n, b n p n w nast puj cy sposób:... a 4 a 3 a 2 a 1... b 4 b 3 b 2 b 1. Aby uzyska ci g c n = a n + b n musimy doda powy»sze ci gi tak, jak dodajemy liczby; t n jest przeniesieniem (tym, co mamy w pami ci), a c n cyfr jedno±ci sumy a n, b n i przeniesienia. Gdy q n jest dowolne, post pujemy podobnie, w n-tym kroku przyjmuj c,»e liczby s zapisane w systemie o podstawie q n. Ze wzlg du na izomorzm mi dzy pn i p n odometr nazywa si czasem grup p n -adyczn. B dziemy mówili,»e ci g a n pn jest elementem odometru zapisanym klasycznie, a ci g a n p n jest elementem odometru zapisanym adycznie. Przykªad 36. Niech p n = 2 n. Wówczas q n = 2. W notacji klasycznej: 1, 3, 3, 11, 27, 59,... + 0, 2, 6, 6, 22, 22,... = 1, 1, 1, 1, 17, 17,.... 12

To samo dziaªanie w notacji adycznej: 1, 1, 0, 1, 1, 1,... + 0, 1, 1, 0, 1, 0,... = 1, 0, 0, 0, 1, 0,.... Cho notacja adyczna jest bardziej intuicyjna, w dowodach wygodniejsza jest klasyczna, ze wzgl du na prostot dziaªania. Zauwa»my jeszcze,»e odometr jest pewnym uogólnieniem grup cyklicznych sko«czonych Z p. Odrzu my bowiem w denicji odometru warunek ±cisªej monotoniczno±ci ci gu p n,» daj c jedynie, by p n p n+1. Otrzymany twór nazywa b dziemy odometrem uogólnionym. Je±li lim p n =, to nie otrzymamy niczego nowego: z ci gu p n mo»na wybra ±ci±le rosn cy podci g p kn i na mocy wiczenia 33 uogólniony odometr pn jest izomorczny z odometrem pkn. Je±li jednak p = lim p n jest sko«czone, to od pewnego momentu p n jest stale równe p i wówczas pn jest izomorczne z Z p. W nast pnym rozdziale zobaczymy,»e wiele wªasno±ci grup Z p przenosi si na odometry. Cz sto dla wygody b dziemy je formuªowa dla odometrów uogólnionych. 5* Wªasno±ci odometru W tym rozdziale udowodnimy szereg twierdze«o faktoryzacjach odometru w grupy cykliczne i odometry oraz podgrupach odometru. Niestety wiele twierdze«ma do± skomplikowane i dªugie dowody. Potrzebne nam b d pewne fakty z elementarnej teorii liczb, których udowodnienie pozostawiamy jako wiczenie. Wcze±niej jednak ustalmy pewne oznaczenia. Niech p > 0. Zdanie p a oznacza,»e p jest dzielnikiem a. Piszemy a b (mod p) je±li a i b daj te same reszty modulo p, czyli p a b. Najwi kszy wspólny dzielnik liczb a, b oznaczamy NWD(a, b). Mówimy,»e dwie liczby s wzgl dnie pierwsze, je±li ich najwi kszym wspólnym dzielnikiem jest 1 lub, równowa»nie, nie maj wspólnego czynnika pierwszego. wiczenie 37. Udowodni,»e je±li p, q > 0, a, b, a, b Z, to: a b, a b a + a b + b, aa bb (mod p), a b (mod pq) a b (mod p), aq bq (mod pq) a b (mod p), c i p s wzgl dnie pierwsze c 1 Z p cc 1 1, c i p s wzgl dnie pierwsze, ac bc a c (5) 13

Ponadto c 1 w czwartym wzorze jest wyznaczony jednoznacznie. Liczba c 1 jest nazywana odwrotno±ci c modulo p. Ze wzorów (5) b dziemy korzysta bez dodatkowego komentarza. W badaniu wªasno±ci odometru pomocny b dzie lemat o strzaªkach, z pozoru odlegªy od algebry. Lemat 38. o strzaªkach. Niech A n b dzie ci giem niepustych zbiorów sko«czonych. Niech γ n : A n+1 A n b dzie dowolnym ci giem odwzorowa«. Wówczas istnieje ci g b n taki,»e b n A n oraz γ n (b n+1 ) = b n dla n = 1, 2,.... Niech A n = { } a 1 n, a 2 n,..., a kn n. Lemat mówi,»e je±li narysujemy tablic liczb a i n i poª czymy strzaªk ka»dy element (n+1)-szej kolumny z dokªadnie jednym elementem z n-tej kolumny (dokªadniej, ª czymy a i n+1 z γ n (a i n+1)), to b dziemy mogli wybra niesko«czony ci g strzaªek takich,»e nast pna ko«czy si tam, gdzie poprzednia si zaczyna. A 1 A 2 A 3 γ 1 γ 2 γ 3 A 4 a 1 1 2 a 1 a 2 2 a 1 3 a 1 2 1 a 2 a 3 2 a 2 4 2 1 a 3 3 a 2 4 6 2 6 a 3 3 a 3 4.... a k 1 1 a k 2 2 a k 3 3 a k 4 4 Dowód polega na wskazaniu sposobu wyboru kolejnych strzaªek. Dowód lematu: Aby upro±ci zapis dowodu, zdeniujmy dodatkowo zbiór A 0 = {a 0 } jako dowolny zbiór jednoelementowy oraz funkcj γ 0 : A 1 A 0 w jedyny mo»liwy sposób, tzn. γ 0 (a) = a 0 dla wszystkich a A 1. Dla 0 n < m okre±lmy Γ n,m : A m A n jako zªo»enie Γ n,m = γ n γ n+1 γ m 1. Oczywi±cie teraz Γ n,k Γ k,m = Γ n,m, o ile 0 n < k < m, oraz Γ n 1,m = γ n 1 Γ n,m dla 0 < n < m. Okre±lmy indukcyjnie ci g b n oraz pomocnicze zbiory B n poprzez: b 0 = a 0, B n = {b A n : γ n 1 (b) = b n 1, m>n a Am b = Γ n,m (a)}, b n B n dowolny element dla n > 0. Zbiór B n zawiera wszystkie te elementy zbioru A n, które s poª - czone strzaªk z b n 1 oraz gwarantuj mo»liwo± dalszego wyboru strzaªek. Tak okre±lony ci g b n ma oczywi±cie» dan wªasno±, pozostaje zatem 14

tylko udowodni poprawno± tej denicji. Wystarczy pokaza,»e w ka»dym kroku zbiór B n jest niepusty, dzi ki czemu mo»liwy jest wybór b n. Zaªó»my zatem przeciwnie,»e B n jest zbiorem pustym. To oznacza,»e dla ka»dego b γn 1({b n 1 }) istnieje indeks m b taki,»e b / Γ n,mb (A mb ). Ale b przebiega zbiór sko«czony, wi c istnieje takie m,»e m m b dla wszystkich rozwa»anych b. Wówczas dla ka»dego b γn 1({b n 1 }): Oznacza to,»e: czyli: b / Γ n,mb (A mb ) Γ n,mb Γ mb,m(a m ) = Γ n,m (A m ). γ 1 n 1({b n 1 }) Γ n,m (A m ) =, b n 1 / γ n 1 Γ n,m (A m ) = Γ n 1,m (A m ). Je±li n = 1 jest to niemo»liwe, bo Γ n 1,m (A m ) = {a 0 } = {b n 1 }. Gdy n > 1, to jest to sprzeczne z denicj b n 1 oraz B n 1. Zatem zaªo»enie B n = musiaªo by faªszywe, co ko«czy dowód. Do ko«ca tego rozdziaªu zakªadamy,»e p n jest ustalon baz odometru pn. Lemat 39. Niech dane b d liczby a n oraz q > 0. Je±li dla wszystkich n > 0 zachodzi: qa n+1 qa n (mod p n ), to istnieje ci g b n pn taki,»e qb n qa n (mod p n ). Inaczej tez lematu mo»na sformuªowa nast puj co. Niech c n b dzie reszt z dzielenia qa n przez p n. Je±li c n pn, to istnieje b n pn taki,»e q b n = c n. Nale»y doda,»e ogólnie b n a n, o czym ±wiadczy nast puj cy przykªad. Przykªad 40. Niech p n = 2 n, a 1 = 0, a n = 1 dla n > 1, q = 2. Wówczas: lecz: c n = qa n = 0, 2, 2,... pn, a n = 0, 1, 1,... / pn. Wªa±ciwym ci giem b n jest tutaj ci g jedynek. Dowód lematu: Niech A n = {a Z pn : qa qa n (mod p n )}. Zbiory A n s sko«czone i niepuste (bo reszta z dzielenia a n przez p n jest elementem A n ). 15

Niech γ n (a) oznacza reszt z dzielenia a przez p n. Zauwa»my,»e γ n : A n+1 A n. Istotnie, je±li a A n+1, to: a wi c równie»: qa qa n+1 (mod p n+1 ), qγ n (a) qa qa n+1 qa n (mod p n ), czyli γ n (a) A n. Mo»emy wi c skorzysta z lematu o strzaªkach. W efekcie otrzymujemy ci g b n pn taki,»e b n A n, czyli: tak, jak» dali±my. qb n qa n (mod p n ) Wniosek 41. Je±li p jest liczb wzgl dnie pierwsz z p n dla ka»dego n, to dzielenie przez p jest wykonalne w odometrze pn. Dowód: Niech i n b dzie odwrotno±ci p modulo p n (a wi c tak liczb,»e pi n 1 (mod p n )). We¹my dowolny c n pn. Oznaczmy a n = i n c n. Wówczas pa n = pi n c n c n (mod p n ), czyli na mocy udowodnionego lematu istnieje ci g b n pn taki,»e pb n pa n c n (mod p n ), co ko«czy dowód. Teraz zbadamy si faktoryzacje odometru w grupy cykliczne. Twierdzenie 42. Niech ϕ : pn Z p b dzie faktoryzacj. Wówczas dla pewnego n zachodzi p p n. Dowód: Rozumowanie podzielimy na cztery cz ±ci. 1. Niech q n = NWD(p, p n ) oraz q = lim q n. Granica istnieje, poniewa» ci g q n jest niemalej cy (nawet q n q n+1 ) i ograniczony przez p. Jest to ci g liczb caªkowitych, wi c od pewnego miejsca jest staªy. Niech wi c k b dzie tak du»e,»e q = q k = NWD(p, p k ). Poka»emy,»e q = p. Wówczas p p k tak, jak chcieli±my. p n 2. Ustalmy n. Liczby p q n i q n s caªkowite i wzgl dnie pierwsze, wi c istnieje odwrotno± pierwszej modulo druga, tzn. liczba i n taka,»e: p q n i n 1 16 (mod p n q n ).

St d: pi n q n (mod p n ). Zauwa»my,»e q n q. Niech j n = q q n i n. Wówczas: Wobec tego,»e p n p n+1, zachodzi: pj n q (mod p n ). qj n+1 (pj n )j n+1 = (pj n+1 )j n qj n (mod p n ). 3. Ustalmy dowolny ci g a n pn. Niech ã n = j n a n. Wówczas: qã n+1 = (qj n+1 )a n+1 (qj n )a n qã n (mod p n ), zatem mo»emy zastosowa lemat 39 dla ci gu ã n i q. Otrzymamy ci g b n pn taki,»e qb n qã n (mod p n ). St d: pb n = p q qb n p q qã n pj n a n qa n (mod p n ), co oznacza,»e p b n = q a n. 4. Wybierzmy w poprzednim kroku a n pn tak, by ϕ a n = 1. Wówczas: 0 p ϕ b n q ϕ a n q (mod p). Oznacza to,»e p q. Ale q = NWD(p, p k ), wi c równie» q p. St d p = q, co ko«czy dowód. Twierdzenie 43. Niech p b dzie dzielnikiem p k dla pewnego k. Niech ϕ a n b dzie reszt z dzielenia a k przez p. Wówczas ϕ : pn Z p jest kanoniczn faktoryzacj o j drze: ker ϕ = { a n pn : p a k }. (6) Dowód: Sprawdzenie,»e ϕ jest faktoryzacj pozostawiamy jako wiczenie. Pozostaje pokaza kanoniczno± ϕ. Zgodnie z wiczeniem 17 wystarczy pokaza,»e je±li a n ker ϕ, to istnieje b n pn taki,»e p k b n = a n. 17

We¹my zatem a n ker ϕ. Wówczas p a k. Dla n > k zachodzi a k a n (mod p k ), wi c równie» p a n. Niech a n = pã n dla n k. Okre±lmy dodatkowo ã n = ã k dla n < k. Zachodzi: pã n a n (mod p n ) dla wszystkich n. Istotnie, dla n k powy»sze przystawanie jest równo±ci, a dla n < k wynika z nast puj cego rachunku: Zatem: pã n = pã k = a k a n (mod p n ). pã n+1 a n+1 a n pã n (mod p n ). Mo»emy zatem zastosowa lemat 39 do ci gu ã n i liczby p. Otrzymujemy ci g b n pn taki,»e: pb n pã n = a n (mod p n ), tzn. p b n = a n. Wniosek 44. Dla ka»dego n grupa Z pn jest faktorem kanonicznym odometru pn. J drem ka»dej faktoryzacji pn w Z pn jest zbiór tych ci gów a n pn,»e a 1 = a 2 = = a n = 0. Twierdzenie 45. Grupa Z nie jest faktorem odometru pn. Dowód: Zaªó»my wbrew tezie,»e ϕ : pn Z jest faktoryzacj. Ustalmy k. Niech κ k : Z Z pk b dzie faktoryzacj (na przykªad niech κ k (a) b dzie reszt z dzielenia a przez p k ). Okre±lmy ϕ k = κ k ϕ. Wówczas ϕ k : pn Z pk jest faktoryzacj pn w Z pk. Na mocy wniosku 44 ϕ k jest faktoryzacj kanoniczn i ma j dro: ker ϕ k = { a n pn : a 1 = a 2 = = a k = 0 }. Je±li ϕ a n = 0, to tak»e ϕ k a n = κ k (0) = 0, wi c ker ϕ ker ϕ k. Tak jest dla ka»dego k, wi c: ker ϕ ker ϕ k = { 0, 0,... }. k=1 Oznacza to,»e ϕ jest izomorzmem. przeliczalny, a pn nie. Jest to niemo»liwe, bo zbiór Z jest Analogiczne wyniki s prawdziwe tak»e dla faktoryzacji odometru pn w odometr qn. 18

Twierdzenie 46. Je±li odometr qn jest faktorem odometru pn, to speªniony jest nast puj cy warunek: dla ka»dego n istnieje m takie,»e q n p m. (7) Dowód: Zaªó»my,»e ϕ : pn qn jest faktoryzacj. Ustalmy k. Niech ψ k : qn Z qk b dzie faktoryzacj dan wzorem ψ k b n = b k. Niech ϕ k = ψ k ϕ. Wówczas ϕ k jest faktoryzacj pn w Z qk, wi c, na mocy twierdzenia 42, dla pewnego m zachodzi q k p m. Wobec dowolno±ci k, zachodzi warunek (7). Twierdzenie 47. Je±li warunek (7) jest speªniony, to qn jest faktorem kanonicznym odometru pn i j drem ka»dej faktoryzacji jest: { an pn : dla ka»dego n istnieje m takie,»e q n a m }. (8) Dowód: Zaªó»my,»e warunek (7) jest speªniony. Skonstruujemy faktoryzacj w kilku krokach. 1. Dla ka»dego n dobierzmy m n tak, by q n p mn,» daj c dodatkowo, by m n byª ci giem ±ci±le rosn cym (mo»emy tak zrobi, bo p n jest baz odometru). Niech p n = p mn. Okre±limy faktoryzacj ϕ : pn qn jako zªo»enie dwóch faktoryzacji: σ : pn p n oraz τ : p n qn. 2. Niech σ a n = a mn ; σ jest izomorzmem (porównaj z wiczeniem 33). W szczególno±ci σ jest faktoryzacj. 3. Niech τ k : p n Z qk b dzie kanoniczn faktoryzacj tak, jak w twierdzeniu 43, tzn. niech τ k a n b dzie reszt z dzielenia a k przez q k. Deniujemy τ : p n qn wzorem: τ a n = τ n a n = τ 1 a n, τ 2 a n,.... Ze wzgl du na q k q k+1 oraz q k p k zachodzi: τ k+1 a n a k+1 a k τ k a n (mod q k ), wi c istotnie τ a n qn. Poniewa» ka»de τ k jest homomorzmem, wi c równie» τ jest homomorzmem. Trzeba wykaza,»e τ jest na. Skorzystamy z lematu o strzaªkach. 19

4. Niech a n qn. Okre±lmy: A n = { a Z p n : a a n (mod q n ) } i niech γ n (a) oznacza reszt z dzielenia a przez p n. We¹my a A n+1. Poniewa» q n q n+1, wi c a a n+1 (mod q n ). Wobec q n p n otrzymujemy γ n (a) a (mod q n ). Ponadto a n qn, wi c a n+1 a n (mod q n ). Zatem: γ n (a) a a n+1 a n (mod q n ), czyli γ n : A n+1 A n. 5. Mo»emy zatem zastosowa lemat o strzaªkach dla zbiorów A n i funkcji γ n. Otrzymamy ci g b n taki,»e b k A k i γ k (b k+1 ) = b k. Drugi warunek oznacza,»e b k+1 b k (mod p k ), czyli b n p n. Z pierwszy wynika,»e b k a k (mod q k ), a wi c τ k b n = a k, czyli τ b n = a n. Zatem τ jest na. Wynika st d,»e ϕ = τ σ jest szukan faktoryzacj. Pozostaje uzasadni,»e skonstruowana faktoryzacja jest kanoniczna. Grupy pn i p n s izomorczne, wi c qn jest faktorem kanonicznym pn wtedy i tylko wtedy, gdy jest faktorem kanonicznym p n. Wystarczy zatem udodwoni, τ jest faktoryzacj kanoniczn. Rozumowanie znów podzielimy na kilka cz ±ci. 1. J dro τ ma posta : ker τ = { b n p n : τ k b n = 0 dla wszystkich k } = 2. Okre±lmy ψ k : qn Z qk wzorem ψ k b n = b k. Wówczas: ker ψ k = { b n qn : b 1 = b 2 = = b k = 0 }, ker ψ k = { 0, 0,... }. k=1 ker τ k. 3. Niech teraz τ : p n qn b dzie dowoln faktoryzacj. Okre±lmy τ k = ψ k τ. Je±li τ a n = 0, to τ k a n = 0, wi c ker τ ker τ k. Zatem: ker τ 20 ker τ k. k=1 k=1

Z drugiej strony zaªó»my,»e a n ker τ k dla wszystkich k. Oznaczmy b n = τ a n. Wówczas ψ k b n = τ k a n = 0, czyli: b n ker ψ k = { 0, 0,... }, k=1 a wi c a n ker τ. Pokazali±my zatem,»e: ker τ = ker τ k. 4. Faktoryzacje τ k i τ k s kanoniczne na mocy twierdzenia 43, a wi c ker τ k = ker ψ k dla wszystkich k. St d: ker τ = k=1 ker τ k = k=1 ker τ k = ker τ. k=1 To oznacza,»e τ jest faktoryzacj kanoniczn. Wªasno± (7) mo»na interpretowa jako swego rodzaju podzielno± ci gu p n przez ci g q n. Pokazali±my,»e odometr o bazie q n jest faktorem odometru o bazie p n wtedy i tylko wtedy, gdy q n dzieli p n (porównaj z wiczeniem 16). Powy»sze twierdzenie ma trzy bardzo interesuj ce konsekwencje, podane poni»ej w formie wicze«. wiczenie 48. Wskaza odometr b d cy wspólnym rozszerzeniem wszystkich odometrów. wiczenie 49. Pokaza,»e ka»da faktoryzacja odometru pn w siebie jest izomorzmem, tzn. je±li homomorzm pn w pn jest na, to jest ró»- nowarto±ciowy. Wskaza przykªad,»e przeciwna implikacja nie zawsze jest prawdziwa, tj. znale¹ odometr pn oraz ró»nowarto±ciowy homomorzm pn w pn, który nie jest na. Denicja 50. Niech P oznacza zbiór liczb pierwszych. Je±li p n jest baz odometru uogólnionego, to dla ka»dej liczby p P okre±lamy: α(p) = sup k : p k p n dla pewnego n 21

(dopuszczamy oczywi±cie α p = ). Funkcj α : P N nazywamy funkcj charakterystyczn odometru pn. W przypadku, gdy pn redukuje si do grupy cyklicznej Z p, mówimy tak»e,»e α jest funkcj charakterystyczn grupy Z p. wiczenie 51. Niech α, β b d funkcjami charakterystycznymi odometrów pn i qn. Udowodni,»e: 1. odometr qn jest faktorem odometru pn wtedy i tylko wtedy, gdy α p β p dla ka»dego p P, 2. odometry pn i qn s izomorczne wtedy i tylko wtedy, gdy α p = β p dla ka»dego p P. Zatem odometr jest w peªni charakteryzowany przez maksymalne wykªadniki, w jakich liczby pierwsze dziel elementy jego bazy. Dla kompletu dodajmy,»e nie wszystkie faktoryzacje odometru s odometrami uogólnionymi (tzn. odometrami lub sko«czonymi grupami cyklicznymi), co wynika z dalszych twierdze«tego rozdziaªu (dokªadniej wiczenia 52 i twierdzenia 55), nie ma wi c peªnej analogii z grupami cyklicznymi. W dalszej cz ±ci zbadamy podgrupy odometru. wiczenie 52. Pokaza,»e odometr (zakªadamy ±cisª monotoniczno± ci gu p n!) posiada podgrup cykliczn woln, tzn. izomorczn z Z. Twierdzenie 53. Je±li odometr pn posiada podgrup cykliczn rz du p to speªniony jest nast puj cy warunek: ( Istnieje m takie,»e p p m oraz NWD p, p ) n+1 = 1 gdy n m. (9) p n Dowód: Zaªó»my,»e G < pn jest podgrup cykliczn rz du p generowan przez a n. Je±li p = 1, to warunek (9) jest speªniony; przyjmijmy wi c,»e p > 1. Wiemy,»e G = {k a n : k = 0, 1,..., p 1}. Rozumowanie podzielimy na kilka kroków. 1. Niech m b dzie tak du»e,»e liczby ka m daj ró»ne reszty modulo p m dla k = 0, 1,..., p 1. Taki wybór jest mo»liwy; zaªó»my bowiem przeciwnie,»e dla ka»dego n istnieje k n takie,»e 0 < k n < p oraz k n a n 22

0 (mod p n ). Ci g k n przyjmuje pewn warto± k niesko«czenie wiele razy, a wi c dla niesko«czenie wielu n zachodzi ka n 0 (mod p n ), przez co k a n = 0, 0,..., wbrew zaªo»eniu. 2. Dla ka»dego n m liczby ka n (k = 0, 1,..., p 1) daj ró»ne reszty modulo p n, bo ka n la n (mod p n ) implikuje ka m la m (mod p m ), czyli k = l na mocy poprzedniego punktu. 3. Poniewa» pa n 0 (mod p n ), wi c pa n = c n p n dla pewnych liczb c n. Ponadto: p NWD(c n, p) a n = c n NWD(c n, p) p n 0 (mod p n ), wi c na mocy poprzedniego punktu czyli NWD(c n, p) = 1. p NWD(c n,p) jest wielokrotno±ci p, 4. Poniewa» p n (a n+1 a n ), wi c: pp n (pan+1 pa n ) = c n+1 p n+1 c n p n = ( p sk d p c n+1 c n+1 n p n ). Zatem: ( ) p n+1 c n+1 c n p n, p n c n+1 c n p n+1 p n (mod p). Lewa strona jest wzgl dnie pierwsza z p ((poprzedni ) punkt), wi c prawa strona równie». W szczególno±ci NWD p, p n+1 p n = 1, czyli (9). Twierdzenie 54. Je±li warunek (9) zachodzi, to pn posiada jedyn podgrup cykliczn rz du p. Dowód: Niech m b dzie takie, jak w warunku (9). Znów teza jest oczywi- ±cie speªniona, gdy p = 1, rozwa»my wi c przypadek p > 1. Rozumowanie podzielimy na kilka kroków. Wyznaczymy wszystkie elementy rz du p i poka»emy,»e wszystkie generuj t sam podgrup cykliczn. 1. Niech A = {a Z p : NWD(a, p) = 1}. Wybierzmy a A. 23

2. Niech m b dzie takie, jak we wzorze (9). Zdeniujemy ci g a n tak, by a m = apm p oraz dla wszystkich n: 0 a n < p n, a n+1 a n (mod p n ), pa n 0 (mod p n ). 3. Okre±lmy a m = apm oraz niech a p n b dzie reszt z dzielenia a m przez p n dla n = 1, 2,..., m 1. Zauwa»my,»e warunek z punktu 2 jest speªniony dla wªa±nie zdeniowanych wyrazów ci gu. Pozostaª cz ± ci gu okre±limy indukcyjnie. 4. Zaªó»my,»e okre±lone s ju» a 1, a 2,..., a n, gdzie n m i speªniaj one warunek z punktu 2. Rozwa»my liczby: a n + kp n dla k = 0, 1,..., p n+1 p n 1. Wszystkie s elementami Z pn+1 i wszystkie daj reszt a n przy dzieleniu przez p n. Skoro pa n ( 0 (mod p) n ), wi c pa n = c n p n dla pewnego c n. Zatem dla k = 0, 1,..., pn+1 p n 1 zachodzi: p(a n + kp n ) = pa n + kpp n = c n p n + kpp n = (c n + kp)p n. ( ) ( ) Ale NWD p, p n+1 p n = 1, wi c dla k = 0, 1,..., pn+1 p n 1 liczby (c n + kp) daj ró»ne reszty modulo p n+1 p n. Zatem dokªadnie jedna z nich daje reszt zero. Niech wi c: Zatem: 0 c n + k n p (mod p n+1 p n ). 0 p n (c n + k n p) = p (a n + k n p n ) (mod p n+1 ). Zdeniujemy a n+1 = a n + k n p n. Na mocy powy»szego przystawania, warunek z punktu 2 pozostaje speªniony. 5. Dla ka»dego a A okre±lili±my wi c ci g a n pn taki,»e p a n = 0, 0,.... Ponadto dla 0 < k < p liczba p nie jest dzielnikiem ka, wi c p m nie jest dzielnikiem kapm = ka p m, czyli k a n 0, 0,.... Oznacza to,»e a n jest elementem rz du p. 24

6. Warunek z punktu 2 jest konieczny na to, by a n byª elementem rz du p. Poniewa» jednak wybór k n byª jednoznaczny, wi c a n jest zdeterminowany przez warto± m-tego wyrazu. 7. W punkcie 3. dowodu twierdzenia 53 wykazali±my,»e je±li b n jest elementem rz du p, to pb m = c m p m dla pewnego c m A. Zatem skonstruowali±my wszystkie elementy rz du p odometru pn. 8. Liczba elementów rz du p w ka»dej grupie cyklicznej rz du p jest równa mocy zbioru A, zatem rozwa»any odometr mo»e posiada tylko jedn podgrup cykliczn rz du p. To ko«czy dowód twierdzenia. Warunek (9) mo»na du»o pro±ciej wyrazi w j zyku funkcji charakterystycznych. Je±li α, γ oznaczaj funkcje charakterystyczne pn i Z p, to pn posiada podgrup izomorczn z Z p wtedy i tylko wtedy, gdy: γ(p) α(p) dla ka»dego p P, α(p) = γ(p) = 0. Mo»na pokaza,»e skonstruowana powy»ej podgrupa cykliczna jest j - drem (kanonicznej) faktoryzacji odometru pn w odometr qm+n, gdzie q n = pn dla n m. W istocie mo»na pokaza du»o wi cej. p Przypomnijmy,»e grup cykliczn Z p mo»emy uto»samia z odometrem uogólnionym o bazie p n, gdzie p n = p. Twierdzenie 55. Zaªó»my,»e odometr uogólniony qn, jest faktorem pn. Wówczas j dro ka»dej faktoryzacji pn w qn (dane wzorem (8)) jest izomorczne z pewnym odometrem uogólnionym. Dokªadniej, faktoryzacja odometru pn w odometr uogólniony o bazie q n ma j dro izomorczne z odometrem uogólnionym o bazie s n, gdzie: s k = p k lim n NWD(p k, q n ). Dowód: Znów podzielimy rozumowanie na pewn liczb cz ±ci. 1. Faktoryzacja pn w qn jest kanoniczna na mocy twierdze«43 oraz 47. Ponadto dla ka»dego n istnieje m n taki,»e q n p mn ; bez straty ogólno±ci mo»emy przyj,»e m n jest ±ci±le rosn cy. Niech p n = p mn ; 25

a wi c q n p n. Ponadto p n jest wªa±ciwym dzielnikiem p n+1, czyli p n jest baz odometru, izomorcznego na mocy cwiczenia 33 z odometrem pn. 2. Ustalmy k. Ci g NWD(p k, q n) jest niemalej cy i ograniczony przez p k, wi c jest staªy od pewnego miejsca. Niech wi c N k b dzie najmniejsz tak liczb,»e dla n N k b dzie NWD(p k, q n) = NWD(p k, q N k ) i oznaczmy NWD(p k, q N k ) = q k. Ci g N k jest niemalej cy (bo p k p k+1 ). 3. Oczywi±cie q k p k, wi c p k = q k r k dla pewnego r k. Niech n N k+1. Zachodzi: q k = NWD(p k, q n ) NWD(p k+1, q n ) = q k+1, wi c q n jest baz odometru uogólnionego. Ponadto: r k+1 r k = p k+1 q k p k q k+1 = p k+1 NWD(p k, q n) p k NWD(p k+1, q n) = NWD(p k p k+1, q np k+1 ) NWD(p k p k+1, q np k ) jest liczb caªkowit, wi c r k r k+1, czyli równie» r n jest baz odometru uogólnionego. 4. Z denicji q k q N k. Ponadto: q k NWD(p k, q Nk ) = q k. St d wynika,»e odometry qn i q n s izomorczne. 5. W dalszym ci gu przyda nam si nast puj ca równo±. Je±li n N k+1, to: NWD(p k, q k+1) = NWD(p k, NWD(p k+1, q n )) = = NWD(p k, p k+1, q n ) = NWD(p k, q n ) = q k. 6. Odometry pn i p n s izomorczne oraz odometry qn i q n s izomorczne. Zatem j dro kanonicznej faktoryzacji pn w qn jest izomorczne z j drem kanonicznej faktoryzacji p n w q n. Niech ψ b dzie faktoryzacj p n w q n ; wystarczy wi c pokaza,»e ker ψ jest izomorczne z pewnym odometrem uogólnionym. Poka»emy,»e ker ψ jest izomorczne z rn. 26

7. Wobec q n p n, wzory (6) i (8) mówi,»e: ker ψ = { a n p n : q n a n dla wszystkich n }. Niech u n b dzie ustalonym ci giem liczb caªkowitych. Dla a n ker ψ niech b n oznacza reszt z dzielenia liczby unan przez r q n n. Okre±lmy ϕ wzorem ϕ a n = b n. Dobierzemy liczby u n tak, by ϕ byªo izomor- zmem ker ψ oraz rn. 8. damy, by b n rn, tzn. dla ka»dego k: a k q k u k b k b k+1 = a k+1 u q k+1 k+1 (mod r k ). Ustalmy k. Poniewa» a k+1 = a k +cp k = a k +cq k r k dla pewnego c, wi c: a k q k u k = a k+1 u q k k cr k u k a k+1 q k+1 Zatem aby b n rn, potrzeba i wystarcza: q k+1 u q k k (mod r k ). u k+1 q k+1 u q k k (mod r k ). Skunstruujemy indukcyjnie ci g u n tak, by zachodziª powy»szy warunek i ponadto NWD(u n, r n ) = 1 (b dzie to potrzebne do pokazania,»e ϕ jest bijekcj ). 9. Gdy k = 1, to przyjmujemy u 1 = 1; oczywi±cie NWD(u 1, r 1 ) = 1. Przyjmijmy,»e dla pewnego k okre±lili±my tak, jak» dali±my, liczby u 1, u 2,..., u k. Oznaczmy przez M najwi kszy dzielnik r k+1 wzgl dnie pierwszy z r k. Niech t b dzie odwrotno±ci r k modulo M i przyjmijmy: ( q ) d = t k+1 u k 1. q k Okre±lmy: u k+1 = q k+1 u q k k + dr k 27

Zachodzi: u k+1 = q k+1 q k u k + dr k = q k+1 q k ( q ) u k tr k+1 k u q k k 1 q k+1 q k u k q k+1 u q k k + 1 = 1 (mod M). W szczególno±ci u k+1 nie ma wspólnego czynnika pierwszego z M. Zgodnie z punktem 5.: ( q ) NWD(u k+1, r k ) = NWD k+1 u q k k + dr k, r k = ( q ) ( = NWD k+1 q ) u k, r k = NWD k+1, r k = q k q k = 1 NWD(q q k+1, q kr k k ) = 1 NWD(q q k+1, p k) = 1 k q k q k = 1. Zatem u k+1 nie ma równie» wspólnego czynnika pierwszego z r k. Ale ka»dy czynnik pierwszy r k+1 jest czynnikiem pierwszym M albo r k, wi c NWD(u k+1, r k+1 ) = 1. Oczywi±cie zachodzi u k+1 q k+1 u q k k (mod r k ), zatem tak okre±lone u k+1 speªnia» dane warunki. Na mocy poprzedniego punktu, ϕ odwzorowuje ker ψ w rn. 10. Udowodnimy teraz,»e przeksztaªcenie ϕ jest homomorzmem. Niech a n, a n ker ψ. Oznaczmy: b n = ϕ a n, b n = ϕ a n, b n = ϕ ( a n + b n ). Zgodnie z denicj ϕ, oznacza to: b n u na n q n, b n u na n, b q n n u n(a n + a n) q n (mod r n ). St d ªatwo: b n u n(a n + a n) q n = u na n q n + u na n q n b n + b n (mod r n ), czyli b n = b n + b n, jak chcieli±my. 28

11. Niech ϕ a n = ϕ a n, a n, a n ker ψ. Oznacza to,»e dla ka»dego n: a n u q n n ãn u q n n (mod r n ). Ale dobrali±my u n tak, by NWD(u n, r n ) = 1, zatem: a n q n ãn q n (mod r n ), czyli a n ã n (mod p n), lub inaczej a n = ã n. Zatem homomorzm ϕ jest ró»nowarto±ciowy. 12. We¹my teraz b n rn. Poniewa» NWD(u n, r n ) = 1, wi c istnieje odwrotno± u n modulo r n. Niech u n v n 1 (mod r n ). Zdeniujmy a n jako reszt z dzielenia q nv n b n przez p n. Poniewa» q n jest dzielnikiem liczb q nv n b n oraz p n, wi c q n a n. Zgodnie z denicj u n+1 : sk d: v n u n+1 v n+1 v n q n+1 q n q nv n q n+1v n+1 u n v n v n+1 q n+1 v q n n+1 (mod r n ), (mod p n). Ponadto b n+1 b n (mod r n ), czyli q nb n+1 q nb n (mod p n). St d: a n+1 q n+1v n+1 b n+1 q nv n b n+1 q nv n b n a n (mod p n), czyli a n pn. Wobec q n a n otrzymujemy a n ker ψ. Niech b n = ϕ a n. Wówczas: q nb n u n a n q nb n u n v n (mod p n), czyli: b n b n u n v n b n (mod r n ). Oznacza to,»e ϕ a n = b n. Wobec dowolno±ci b n rn, homomorzm ϕ jest na. 13. Pokazali±my,»e ϕ izomorzmem mi dzy ker ψ i odometrem uogólnionym rn. Aby zako«czy dowód twierdzenia, zauwa»my,»e r n jest podci giem ci gu s n zdeniowanego w tezie twierdzenia, a wi c odometry rn i sn s izomorczne. 29

Otrzymany wynik mo»na sformuªowa w j zyku funkcji charakterystycznych. Je±li odometr pn o funkcji charakterystycznej α ma faktor qn o funkcji charakterystycznej β, to (cwiczenie 51) β α. Wªa±nie udowodnili±my,»e j dro faktoryzacji pn w qn jest izomorczne z odometrem uogólnionym sn o funkcji charakterystycznej γ okre±lonej równaniem γ(p) = α(p) β(p), z dodatkow umow = 0. W szczególno±ci odometr pn posiada podgrupy izomorczne z odometrami sn o funkcjach charakterystycznych γ takich,»e: γ(p) α(p) dla ka»dego p P, α(p) = γ(p) {0, }. 30