WFTiMS 23 marca 2010
Spis tre±ci 1
Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej.
Uwaga 1 Ogólna (uwikªana) forma równania ró»niczkowego rz du pierwszego jest postaci F (t, y, y ) = 0. (2)
Uwaga 1 Ogólna (uwikªana) forma równania ró»niczkowego rz du pierwszego jest postaci F (t, y, y ) = 0. (2) Uwaga 2 Forma ró»niczkowa równania ró»niczkowego rz du pierwszego jest postaci P(t, y)dt + Q(t, y)dy = 0. (3) W tym przypadku traktujemy pochodn y jako iloraz rózniczek dy dt.
Przykªad 1 Przykªady równa«ró»niczkowych pierwszego rz du w postaci normalnej: y = t y y = sint y = t 2 ty y = y
Przykªad 1 Przykªady równa«ró»niczkowych pierwszego rz du w postaci normalnej: y = t y y = sint y = t 2 ty y = y
Przykªad 1 Przykªady równa«ró»niczkowych pierwszego rz du w postaci normalnej: y = t y y = sint y = t 2 ty y = y
Przykªad 1 Przykªady równa«ró»niczkowych pierwszego rz du w postaci normalnej: y = t y y = sint y = t 2 ty y = y
Przykªad 1 Przykªady równa«ró»niczkowych pierwszego rz du w postaci normalnej: y = t y y = sint y = t 2 ty y = y
Przykªad 2 Przykªad równania ró»niczkowego pierwszego rz du w trzech postaciach: posta normalna posta ogólna (uwikªana) forma ró»niczkowa y = 4y + t 3 ty y 4y t 3 + ty = 0 (4y + t 3 ty)dt dy = 0
Przykªad 2 Przykªad równania ró»niczkowego pierwszego rz du w trzech postaciach: posta normalna posta ogólna (uwikªana) forma ró»niczkowa y = 4y + t 3 ty y 4y t 3 + ty = 0 (4y + t 3 ty)dt dy = 0
Przykªad 2 Przykªad równania ró»niczkowego pierwszego rz du w trzech postaciach: posta normalna posta ogólna (uwikªana) forma ró»niczkowa y = 4y + t 3 ty y 4y t 3 + ty = 0 (4y + t 3 ty)dt dy = 0
Przykªad 2 Przykªad równania ró»niczkowego pierwszego rz du w trzech postaciach: posta normalna posta ogólna (uwikªana) forma ró»niczkowa y = 4y + t 3 ty y 4y t 3 + ty = 0 (4y + t 3 ty)dt dy = 0
Denicja 2 (rozwi zanie równania ró»niczkowego I rz du) Rozwi zaniem równania ró»niczkowego (1) na przedziale (a, b) nazywamy funkcj ró»niczkowaln y(t) tak,»e y (t) f (t, y(t)). (4) Wykres rozwi zania równania ró»niczkowego nazywamy jego krzyw caªkow.
Denicja 2 (rozwi zanie równania ró»niczkowego I rz du) Rozwi zaniem równania ró»niczkowego (1) na przedziale (a, b) nazywamy funkcj ró»niczkowaln y(t) tak,»e y (t) f (t, y(t)). (4) Wykres rozwi zania równania ró»niczkowego nazywamy jego krzyw caªkow. Uwaga 3 Rozwi zanie równania ró»niczkowego rz du pierwszego w postaci uwikªanej φ(t, y) = 0 (5) nazywamy caªk tego równania.
Wykres 1 Rysunek: Wykres rozwi zania równania ró»niczkowego nazywamy krzyw caªkow.
Denicja 3 (zagadnienie pocz tkowe) Równanie ró»niczkowe (1) oraz warunek y(t 0 ) = y 0 (6) nazywamy zagadnieniem pocz tkowym lub zagadnieniem Cauchy'ego.
Denicja 3 (zagadnienie pocz tkowe) Równanie ró»niczkowe (1) oraz warunek y(t 0 ) = y 0 (6) nazywamy zagadnieniem pocz tkowym lub zagadnieniem Cauchy'ego. Uwaga 4 b dziemy zapisywali w postaci y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0. (7) Liczby y 0 i t 0 nazywamy warto±ciami pocz tkowymi, a warunek (6) warunkiem pocz tkowym.
Denicja 4 (rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego) Funkcj y(t) nazywamy rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (7), je»eli jest rozwi zaniem równania (1) na pewnym przedziale zawieraj cym punkt t 0 i speªnia warunek (6).
Denicja 4 (rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego) Funkcj y(t) nazywamy rozwi zaniem zagadnienia pocz tkowego (7), je»eli jest rozwi zaniem równania (1) na pewnym przedziale zawieraj cym punkt t 0 i speªnia warunek (6). Uwaga 5 W interpretacji geometrycznej rozwi zanie zagadnienia pocz tkowego polega na wskazaniu w±ród krzywych caªkowych równania (1) tej, która przechodzi przez punkt (t 0, y 0 ).
Wykres 2 Rysunek: Krzywe caªkowe i w±ród nich jedna, która przechodzi przez punkt (t 0, y 0 ).
Twierdzenie 1 (istnienie i jednoznaczno± rozwi za«rrir) [] Je»eli funkcja f (t, y) oraz jej pochodna cz stkowa f / y(t, y) s ci gªe na obszarze D R 2 oraz (t 0, y 0 ) D, to zagadnienie pocz tkowe y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 ma dokªadnie jedno rozwi zanie.
Twierdzenie 1 (istnienie i jednoznaczno± rozwi za«rrir) [] Je»eli funkcja f (t, y) oraz jej pochodna cz stkowa f / y(t, y) s ci gªe na obszarze D R 2 oraz (t 0, y 0 ) D, to zagadnienie pocz tkowe y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 ma dokªadnie jedno rozwi zanie. Uwaga 6 Dla dowolnego punktu (t 0, y 0 ) z obszaru D istnieje rozwi zanie zagdnienia pocz tkowego (7). Je»eli dane s dwa rozwi zania o tych samych warto±ciach pocz tkowych (6), przy czym ka»de z nich okre±lone jest na pewnym przedziale zawieraj cym punkt t 0, to pokrywaj si one na wspólnej cz ±ci rozwa»anych przedziaªów.
Przykªad 3 Korzystaj c z Twierdzenia Picarda uzasadni,»e zagadnienie pocz tkowe y = t y 2, y(0) = 0 ma jednoznaczne rozwi zanie. Niech D = R 2. Mamy punkt (t 0, y 0 ) = (0, 0) z okre±lonymi warto±ciami pocz tkowymi. Nasza funkcja f (t, y) = t y 2, jej pochodna cz tkowa f / y(t, y) = 2y. Widzimy,»e obie te funkcje s ci gªe na R 2 (znamy ich wykresy) oraz (0, 0) R 2. Zatem nasze zagadnienie pocz tkowe ma jednoznaczne rozwi zanie.
Interpretacja geometryczna Niech funkcja f (t, y) w równaniu (1) b dzie ci gªa na obszarze D R 2. Przez ka»dy punkt (t 0, y 0 ) tego obszaru przeprowadzimy odcinek o dªugo±ci np. 1 i ±rodku w tym punkcie, le» cy na prostej, której wspóªczynnik kierunkowy jest równy f (t 0, y 0 ). Odcinki te nazywamy kierunkami rówania ró»niczkowego (1).
Wykres 3 Rysunek: Kierunki równania ró»niczkowego (1).
Interpretacja geometryczna c.d. Równanie ró»niczkowe okre±la na obszarze D pole kierunków (Wyk. 4b). Niech y = y(t) b dzie krzyw caªkow równania ró»niczkowego (1). Gdy krzywa ta przechodzi przez punkt (t 0, y 0 ) D, to oczywi±cie y 0 = y(t 0 ) oraz y (t 0 ) = f (t 0, y(t 0 )) = f (t 0, y 0 ). Krzywa caªkowa jest wi c w punkcie (t 0, y 0 ) styczna do kierunku równania. Na odwrót, je±li krzywa y = y(t) le»y w obszarze D i w ka»dym jej punkcie (t, y) krzywa ta jest styczna do kierunku równania (1), to y (t) = f (t, y(t)), a wi c y = y(t) jest krzyw caªkow tego równania. Zatem scaªkowa równ. ró»n. (1) na obszarze D, znaczy znale¹ na tym obszarze wszystkie krzywe, które w ka»dym punkcie b d styczne do kierunku równania (Wyk. 4b).
Wykres 4 Rysunek: a) Pole kierunków dla równania y = y, b) krzywe caªkowe tego równania.
Koniec Dzi kuj za uwag.