Reprezentacja martyngałowa względem addytywnych procesów Markowa-Itô Instytut Matematyk Unwersytetu Jagellońskego Instytut Nauk Ekonomcznych PAN Wynk wspólne z prof. Ł. Stettnerem (IM PAN) prof. Z. Palmowskm (UWr)
Oznaczena (Ω, F, P) - przestrzeń probablstyczna, T := [; T ], gdze T <, J := {J(t) : t T} - neredukowalny łańcuch Markowa, E := {e 1, e 2,..., e N }, gdze e R N oraz j-ta współrzędna e jest delta Kroneckera δ j dla każdego, j = 1, 2,..., N, Λ(t) = [λ j (t)],j=1,2,...,n - macerz ntensywnośc przejśca ze stanu do stanu j.
Proces Markowsko addytywny Proces {(X(t), J(t)) : t } nazywamy Markowsko addytywny jeśl: 1. {(X(t), J(t)) : t } jest procesem Markowa, 2. Rozkład warunkowy (X(t + s) X(t), J(t + s)) względem (X(t), J(t)) zależy tylko od J(t).
Proces Markowsko addytywny gdze X(t) = X(t) + X(t), X(t) := j E Ψ j (t), Ψ j (t) := n 1 U (j) n 1 {J(Tn)=e j, T n t}. Zakładamy, że U () n (n 1, 1 N) sa nezależnym zmennym losowym, które sa nezależne od J oraz dla ustalonego, U () n maja ten sam rozkład.
Proces Lévyego-Itô X(t) = X() + µ (s)ds + σ (s )dw (s) + R γ(s, x) Π(ds, dx), gdze W (t) jest ruchem Browna nezależnym od J(t), Π(dt, dx) = Π(dt, dx) ν(dx)dt jest skompensowan nezależna od W (t) od J(t). Ponadto µ (t) = µ, J(t) = N =1 µ < e, J(t) >, σ (t) = σ, J(t) = N =1 σ < e, J(t) >, a mara Possona γ(t, x) = γ(x), J(t) = N =1 γ (x) < e, J(t) >, gdze γ(x) := (γ 1 (x), γ 2 (x),..., γ (x)), µ := (µ 1, µ2,..., µn ) R N, σ := (σ 1, σ2,..., σn ) R N oraz σ >, µ > r dla każdego = 1, 2,..., N.
Skokowy martyngał Markova Nech T n, n = 1, 2,... będze okresem skoku łańcucha Markova J nech J n := J(T n ). Wtedy proces skokowy Φ j (t) defnujemy jako: Φ j (t) := Φ([, t] e j ) = n 1 1 {Tn t,j n=e j }. Nech φ j (t) := j = 1, 2,..., N. Wtedy proces λ j (s)ds, gdze λ j (t) := j 1 {J(t )=ej }λ j dla każdego Φ j (t) := Φ j (t) φ j (t) nazywamy skokowym martyngałem Markova.
Martyngały potęgowo-skokowe Lévyego-Itô Corcuera, Nualart and Schoutens [23] Nech X (k) (t) := ( X(s)) k, k 2, <s t gdze X(s) = X(s) X(s ) oraz berzemy X (1) (s) = X(s). Ponadto ( EX (k) (t) = E <s t ( X(s)) k ) = R γ k (s, x)ν(dx)ds <, k 2, zatem X (k) (t) := X (k) (t) R γ k (s, x)ν(dx)ds, k 2, nazywamy martyngałam potęgowo-skokowym.
Martyngały potęgowo-skokowe Nech Ψ (l) j (t) := ( n 1 U (j) n ) l 1{J(Tn)=ej, T n t}, l 1. Wtedy Ψ (l) j (t) := Ψ (l) (t) EΨ (l) (t) nazywamy martyngałem potęgowo-skokowym. j j
Twerdzene reprezentacyjne Nech F t := σ{x(s), Φ 1 (s),..., Φ N (s), Ψ 1 (s),..., Ψ N (s); s t} oraz F := t F t. Każdy martyngał całkowalny z kwadratem M(t) możemy przedstawć jako: M(t) = M() + + j=1 h (1) X (s)dx(s) + h (j) Φ (s)dφ j(s) + gdze h (1) X (t), h(2) X (t),..., h(1) Φ sa procesam prognozowalnym. (t), h(2) Φ k=2 l=1 =1 (t),..., h(n) Φ h (k) X (s)dx (k) (s) h (l,) Ψ (s)dψ(l) (s), (t), h(1,1) Ψ (t), h(1,2) Ψ (t),...
Lemat 1. Mamy następujac a reprezentację: X g (t)φ j (t)ψ b (t) = f g+b+1 (t) + s+υ g b s=1 υ=1 (ι 1,...,ι s+υ) {1,...,g+b} s+υ 1 f g+b+1 (ι 1,...,ι s+υ) (t,, t 1, t 2,..., t s+υ+1 )dψ (ιυ) (t s+υ+1 )... dψ (ι 1) (t s+2 )dφ j (t s+1 )dx (ιs) (t s )...dx (ι 2) (t2 )dx (ι 1) (t1 ), gdze f g+b+1 (ι 1,...,ι sa funkcjam determnstycznym w s+υ) L2 (R s+υ + )....
Lemat 2. Nech { P := X g 1 (t 1 ) ( X(t 2 ) X(t 1 ) ) g2... (X(t m ) X(t m 1 ) ) g m N Φ j (t 1 ) ( Φ j (t 2 ) Φ j (t 1 ) )... (Φ j (t m ) Φ j (t m 1 ) ),j=1 Ψ b 1 (t 1 ) ( Ψ (t 2 ) Ψ (t 1 ) ) b2... (Ψ (t m ) Ψ (t m 1 ) ) b m : t1 <... } < t m, g 1,..., g m 1, b 1,..., b m 1. Lnowa podprzestrzeń rozpęta nad P jest gęsta w L 2 (Ω, F).
Szkc dowodu twerdzena reprezentacyjnego Z Lematu 1. 2. każda zmenna losowa F w L 2 (Ω, F) możemy przedstawć jako: F = E(F ) + + j=1 h (1) X (s)dx(s) + h (j) Φ (s)dφ j(s) + k=2 l=1 =1 h (k) X (s)dx (k) (s) (1) h (l,) Ψ (s)dψ(l) (s), gdze h (1) X (t), h(2) X (t),..., h(1) Φ (t), h(2) Φ (t),..., h(n) Φ (t), h(1,) Ψ (t), h(2,) Ψ (t),... s a procesam prognozowalnym. Jeśl M M 2, wtedy lm t E(M2 (t)) = E(M 2 ( )) < oraz M(t) = E[M( ) F t ], co kończy dowód.
Dynamka ceny nstrumentu bez ryzyka: db(t) = r(t)b(t)dt, B() = 1, gdze r(t) =< r, J(t) >= N =1 r < e, J(t) >, r := (r 1, r 2,..., r N ) R N, r > dla każdego = 1, 2,..., N.
Dynamka cen akcj ( ds (t) = S (t ) µ (t)dt + σ (t )dw (t) + R ) γ(t, x) Π(dt, dx), S () = s >.
Dynamka cen skokowych nstrumentów fnansowych ds j (t) = S j (t )[µ j (t )dt + σ j (t )d Φ j (t)], S j () >, gdze µ j (t) = µ j, J(t) = σ j (t) = σ j, J(t) = µ j < e, J(t) >, =1 σj < e, J(t) >, =1 µ j := (µ 1 j, µ2 j,..., µn j ) R N, σ j := (σ 1 j, σ 2 j,..., σ N j ) R N, j = 1, 2,..., N.
Dynamka cen potęgowo-skokowych nstrumentów fnansowych gdze S (k) (t) = S (k) (t )[r(t)dt + σ (k) (t )dx (k) (t)], S (k) () >. σ (k) (t) = σ (k), J(t) = j=1 σ (k) j < e j, J(t) >, σ (k) := (σ (k) 1, σ(k) 2,..., σ(k) N ) R N dla k 2.
Dynamka cen potęgowo-skokowych nstrumentów fnansowych gdze ds (l) (t) = S (l) (t )[r(t)dt + σ (l) (t )dψ (l) (t)], S (l) () >. σ (l) (t) = σ (l), J(t) = j=1 σ (l) j < e j, J(t) >, σ (l) := (σ (l) 1, σ(l) 2,..., σ(l) N ) R N dla l 1 oraz = 1,..., N.
Rozszerzony model Blacka-Scholesa-Mertona db(t) = r(t)b(t)dt, ( ds (t) = S (t ) µ (t)dt + σ (t )dw (t) + R ds j (t) = S j (t )[µ j (t)dt + σ j (t )dφ j (t)], ds (k) (t) = S (k) (t )[r(t)dt + σ (k) (t )dx (k) (t)], (t) = S (l) (t )[r(t)dt + σ (l) (t )dψ (l) (t)], ds (l) gdze, j = 1,..., N, k = 2, 3,... oraz l = 1, 2, 3,... ) γ(t, x)n(dt, dx), (2)
Twerdzene o zupełnośc rozszerzonego modelu Blacka-Scholesa-Mertona Rozszerzony model Blacka-Scholesa-Mertona jest zupełny (każda wypłata jest doskonale replkowalna).
Szkc dowodu Nech oraz T M(t) := E[exp( r(s)ds)a F t ] M K (t) = M K () + h (s)d X Q (s) + + K k=2 h (k) (s)d X (k) (s) + j=1 K =1 l=1 h j (s)d Φ Q j (s) h (l) (s)dψ (l) (s). Wtedy lm K MK (t) = M(t).
Defnujemy portfel: θ K (t) := (α K (t), β (t), β 1 (t),..., β N (t), β (1) (t),..., β (K ) (t), β (1) 1 gdze α K (t) := M K (t ) β (t)b 1 (t)s (t ) K β (k) (t)b 1 (t)s (k) (t ) k=2 β (t) := h (t)b(t)s 1 (t ), β j (t) := h j(t) σ j (t ) B(t)S 1 j (t ), β (k) (t) := h(k) (t) σ (k) (t ) B(t)(S(k) ) 1 (t ), (t) := h(l) (t) σ (l) (t ) B(t)(S(l) ) 1 (t ). β (l) ) (t),..., β(k (t)). β j (t)b 1 (t)s j (t ) j=1 K =1 l=1 β (l) N (t)b 1 (t)s (l) (t ),
Replkacja: V K (t) = α K (t)b(t) + β (t)s (t) + + K =1 l=1 β (l) Proces zdefnowany następujaco: G K (u) = + u K k=2 α K (t)db(t) + u β j (t)s j (t) + j=1 β () (t)s () (t) =2 (t) S (l) (t) = M K (t)b(t). u β (k) (t)ds (k) (t) + β (t)ds (t) + K =1 l=1 u j=1 β (l) u (t)ds (l) (t) nazywamy procesem zysku. Można pokazać że G K (u) + M() = M K (u)b(u), co mplkuje, że portfel jest samofnansujacy. β j (t)ds j (t)
Bblografa Boel R., Kohlmann M., Semmartngale models of stochastc optmal control, wth applcatons to double Martngales, SIAM Journal on Control and Optmzaton 18 (198), p.511-533. Corcuera J.M., Nualart D., Schoutens W., Completon of a Levy market by power-jumpassets, Fnance and Stochastcs, 9(1)(23), p.19-127. Oksendal B., Sulem A., Appled Stochastc Control of Jump Dffusons, Sprnger, 24. Palmowsk Z., Stettner Ł. and Sulma A. (216) A note on chaotc and predctable representatons for Itô-Markov addtve processes, w przygotowanu Zhang X., Kuen Su T., Meng Q., Portfolo Selecton n the Enlarged Markovan Regme-Swtchng Market, SIAM Journal of Control and Optmzaton, 48 (21), p.3368-3388.