!!! Teoria, która się tutaj znajduje też wchodzi w zakres kolokwium.!!!

Transkrypt

1 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym zbiorku została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań 2006.!!! Teoria, która się tutaj znajduje też wchodzi w zakres kolokwium.!!! Spis treści 0 Alfabet grecki 2 1 Rachunek zdań Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania Rachunek predykatów Wybrane tautologie rachunku predykatów Zadania Algebra zbiorów Teoria Podstawowe definicje i fakty Działania na zbiorach Zadania

2 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium 2 0 Alfabet grecki A, α alfa H, η eta N, ν ni T, τ tau B, β beta Θ, θ, ϑ theta Ξ, ξ ksi Υ, υ ypsilon Γ, γ gamma I, ι jota O, o omikron Φ, φ, ϕ phi [fi], δ delta K, κ kappa Π, π pi X, χ chi E, ε epsilon Λ, λ lambda P, ρ, ϱ rho Ψ, ψ psi Z, ζ dzeta M, µ mi Σ, σ sigma Ω, ω omega 1 Rachunek zdań 1.1 Wybrane tautologie rachunku zdań 1. p (q r) (p q) (p r) prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy 2. p (q r) (p q) (p r) prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji 3. (p q) ( p q) definicja implikacji za pomocą alternatywy i negacji 4. (p q) ((p q) (q p)) prawo przekształcenia równoważności na implikacje 5. (p q) p q pierwsze prawo De Morgana 6. (p q) p q drugie prawo De Morgana 7. p p prawo wyłączonego środka 8. (p q) ( q p) prawo transpozycji 1.2 Zadania Zadanie 1.1. Dla podanych zdań utwórz schemat w języku rachunku zdań. (f) (g) Jeśli myślisz jasno, to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrazić swoich myśli. Jeśli prawa dziejowe nie istnieją lub są niewykrywalne, to historia jest nauką idiograficzną. Nie osiągniesz sukcesu, jeśli nie będziesz ciężko pracować. Masz uprawnienia do wykonywania zawodu nauczyciela, jeśli masz przynajmniej licencjat i zdałeś niezbędne egzaminy z przedmiotów pedagogicznych. Jeśli matematyka posługuje się dedukcją, to o ile dedukcja nie jest zawodna, to o ile aksjomaty matem- atyki nie są fałszywe, to twierdzenia matematyki są prawdziwe. Nie pójdziesz ani do kina, ani do dyskoteki, jeśli nie odrobisz lekcji lub nie nauczysz się na sprawdzian. Jeśli nauka sprawia ci trudności mimo że ciężko pracujesz, to zdasz egzamin tylko wtedy, gdy egzaminator przymknie oko lub gdy zadania nie będą trudne. Zadanie 1.2. Zapisz podane zdania w symbolice prefiksowej (Łukasiewicza): p q p [q ( p r)] p [q (q p)] p [q ( p q)] p [(q p) (q p)] Zadanie 1.3. Zapisz podane zdania w symbolice infiksowej: EKCpqCprCpAqr, ECKpqrCKpN rn q, CEpqEKprKqr,

3 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium 3 CEpN qecpkprcn qan qr. Zadanie 1.4. Sprawdź metodą zero-jedynkową, czy podane formuły są tautologiami. ( p p) p [(p q) (q p)] (p q) (p q) (q p) [(p q) p] q [(p q) (r q)] (r p) (f) [[p (q r)] (q r)] r Zadanie 1.5. Sprawdź metodą skróconą, czy podane formuły są tautologiami. [(p q) (p q)] p [(p q) (q r)] (r p) [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] [(p q) r] [(p r) (q r)] oraz podpunkty z zadania 1.3. Zadanie 1.6. Wskaż warunek konieczny i dostateczny. Jeżeli trawa jest zielona, to jest mokra. Jeśli figura ma trzy wierzchołki, to jest trójkątem. Liczba jest podzielna przez 10, jeśli kończy się na cyfrę 0. Zadanie 1.7 (studia niestacjonarne). Sprawdź niezawodność następujących wnioskowań: Jeśli pada śnieg lub trzyma mróz, to lepię bałwana lub idę na łyżwy. Jeśli pada śnieg, to lepię bałwana. Zatem jeśli trzyma mróz, to idę na łyżwy. Jeśli Wacek dostał wypłatę to jest w barze lub u Zenka. Wacka nie ma w barze. Zatem Wacek nie dostał wypłaty. Jeśli Lolek jest agentem, to agentem jest też Bolek, zaś nie jest nim Tola. Jeśli Bolek jest agentem, to jest nim też Lolek lub Tola. Jeśli jednak Tola nie jest agentem, to jest nim Lolek a nie jest Bolek. Tak więc to Tola jest agentem. Jeżeli to nie Ted zastrzelił Billa, to zrobił to John. Jeśli zaś John nie zastrzelił Billa, to zrobił to Ted lub Mike. Ale Mike nie zastrzelił Billa. Zatem to Ted zastrzelił Billa. Zadanie 1.8 (studia niestacjonarne). Sprawdzić, które z poniższych formuł są tautologiami rachunku zdań sprowadzając do kpn: [p (q q)] p [(p q) (p q)] p [(p q) r] [(q r) p] [(p q) (q r)] (p r) [(p q) r] [ (q r) p]

4 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium 4 2 Rachunek predykatów 2.1 Wybrane tautologie rachunku predykatów 1. x φ(x) x φ(x) prawo De Morgana 2. x φ(x) x φ(x) prawo De Morgana 2.2 Zadania Zadanie 2.1. Czy następujące formuły są zdaniami języka rachunku predykatów: x z [P 2 1 (x, z) y w P 3 1 (x, y, z) P 1 1 (w)] x [P 1 1 (x) y z P 1 2 (z) x y [ z [ P 3 1 (x, y, x) w P 2 1 (z, w) P 1 1 (x)] P 1 2 (z)] Zadanie 2.2. Napisz zaprzeczenia poniższych zdań x [A(x) y [B(y) C(y, x) z (D(z) C(z, y)) A(x)]] x (P (x) Q(x) y R(x)) x y [P (x, y) Q(x) z P (x, z)] Zadanie 2.3. Zbuduj schematy poniższych zdań w rachunku predykatów. (f) (g) (h) Pewne dziecko ma zabawkę, którą bawią się wszystkie dzieci. Są książki napisane przez pisarzy, którzy nie są pozbawieni talentu. Żaden człowiek nie zniszczy bezzasadnie istoty, która ma w sobie wszystkie pierwiastki życia. (pierwiastek życia traktujemy jako całość ) Karol lubi wszystkie owoce. Tylko mrówki są owadami. Matka Sandry jest lekarzem, który leczy wszystkich sąsiadów Sandry. Pewien człowiek nie ma psa rasy Owczarek Niemiecki. Jest zamek, którego nie zwiedzili wszyscy ludzie. Zadanie 2.4. Napisz schematy następujących zdań: Istnieje co najmniej jedna mrówka i dokładnie dwa karaluchy. Istnieje co najwyżej jedna mrówka lub dokładnie jeden karaluch. Jeśli istnieją co najmniej dwie mrówki do istnieją co najwyżej dwa karaluchy. Istnieją dokładnie trzy karaluchy.

5 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium 5 3 Algebra zbiorów 3.1 Teoria Podstawowe definicje i fakty 1. Zasada ekstensjonalności: Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają dokładnie te same elementy. Symbolicznie możemy zapisać: A = B x (x A x B). 2. Zbiory A i B są różne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obiekt x taki, że jest on elementem zbioru A, ale nie należy do zbioru B lub na odwrót. Symbolicznie: A B x [(x A x / B) (x / A x B)]. 3. Relacja inkluzji/zawierania się zbiorów oznaczamy symbolem. Definiujemy ją następująco: A B x (x A x B). Lemat 3.1. Relacja inkluzji ma następujące własności: (i) zwrotność, tzn. A A, (ii) antysymetria, tzn. A B B A A = B, (iii) przechodniość, tzn. A B B C A C. 4. Inkluzja właściwa oznaczana. Definiujemy ją następująco: A B A B A B. Lemat 3.2. Relacja inkluzji właściwej ma następujące własności: (i) przeciwzwrotność, tzn. (A A), (ii) przeciwsymetria, tzn. A B (B A), (iii) przechodniość, tzn. A B B C A C. 5. Zbiór pusty definiujemy następująco: := {x : x = x x x}. UWAGA 1. Zauważmy, że dla każdego zbioru A, mamy: A. 6. Zbiór potęgowy zbioru A to rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru A. Oznaczamy symbolem P(A) lub 2 A. 7. Niech A i B będą dowolnymi niepustymi zbiorami. Iloczynem kartezjańskim albo produktem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór A B := {(a, b) : a A, b B}. 8. Jeśli zbiory A i B są skończone np. m i n-elementowe odpowiednio, to iloczyn A B ma m n elementów.

6 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium Działania na zbiorach Definicja Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór A B spełniający następujący warunek: czyli A B := {x : x A x B}. x A B x A x B, 2. Przekrojem/iloczynem/częścią wspólną zbiorów A i B nazywamy zbiór A B spełniający warunek: czyli A B = {x : x A x B}. x A B x A x B, 3. Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór A \ B spełniający warunek: czyli A \ B := {x : x A x / B}. x A \ B x A x / B, 4. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór A B spełniający warunek: x A B (x A x / B) (x / A x B), czyli A B := {x : (x A x / B) (x / A x B)}. Zatem A B = (A \ B) (B \ A). 5. Zbiory A i B nazywamy rozłącznymi, wtedy i tylko wtedy, gdy: A B =. 6. Dopełnieniem zbioru A w zbiorze (względem zbioru) (uniwersum) U nazywamy zbiór A spełniający równość: A = U \ A = {x U : x / A}. 3.2 Zadania Zadanie 3.1. Wśród podanych niżej zbiorach wskaż: zbiór o najmniejszej i największej liczbie elementów, zbiory identyczne oraz zbiory mające dokładnie jeden element wspólny. Czy pomiędzy którymiś z poniższych zbiorów zachodzi relacja inkluzji lub czy któryś z nich jest elementem innego. Wypisz dla każdego z tych zbiorów jego zbiór potęgowy. A = {{1, 2, 3, 4, 5}} B = {2, {1, 4}, {3, 5, 6}} C = {1, 2, 3, 4, 5} D = {3, {2}, {{5}}} E = {{3 1}, 3, {{3 + 2}}} Zadanie 3.2. Obliczyć A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B dla następujących zbiorów (tzn. naszkicuj na osi lub w układzie współrzędnych): A = {x R : x 2 > 4}, B = {x R : x > 1}, A = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 4}, B = {(x, y) R 2 : x + y < 2}. Zadanie 3.3. Korzystając z aksjomatu ekstensjonalności uzasadnij, że zachodzą następujące równości zbiorów: (A B) (A \ B) = A

7 DB WMA(ns) semestr zimowy 2017 rozgrzewka przed kolokwium 7 A (B C) = A (B \ A) (C \ (A B)) (A \ B) C = ((A C) \ B) (B C) (A B) A = A A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D] Zadanie 3.4. Znajdź iloczyn kartezjański A B oraz B A następujących zbiorów: A = {0, 1}, B = {1, 2, 3} A = {x R : 1 < x 5}, B = {x R : 2 x 0} A = {x R : 0 < x}, B = {x R : x 0} A = {x R : x < 1}, B = {x R : x 3} A = {x R : 3 < x < 2 2 < x 4}, B = {x R : 0 < x 2 3 < x 4}