Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru

Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Luka Nenadović Visoka tehnološka škola, Šabac lnenadovic@ipb.ac.rs Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 1 / 40

Pregled 1 Spinorska reprezentacija u N dimenzija 2 Diferencijalne forme 3 Tetradni formalizam 4 Odsečena Hajzenbergova algebra 5 Spinori na odsečenoj Hajzenbergovoj algebri Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 2 / 40

point by point-splitting coupling bythe Fermi. interaction Although according successful to theat Feynman energies graphs well depicted. below 100 GeV, The Feynman diagrams of (tree-level) quantum gravity suggest The apresent similar approach theory of weak interactions, due to Glashow, Salam, and Weinberg, solves this problem uniquely by point-splitting the interaction according to the Feynman graphs depicted. The Feynman diagrams of (tree-level) quantum gravity suggest a similar approach Problemi the Fermi gravitacije theory sufferedkao fromkvantne UV divergences. teorije polja G F 4-point Fermi G F Spontaneously broken YM to alleviate the UV desaster. Further smearing of the three-point couplings naturally (uniquely?) Fermijeva 4-point leads Fermi teorija one to considerelektroslaba Spontaneously extended objects, broken teorija i.e. strings YM in the first place. From the string diagram it becomes obvious that the notion of a to alleviate the UV desaster. Further smearing of the three-point couplings naturally (uniquely?) leads one to consider extended objects, i.e. strings in the first place. From the string diagram it becomes obvious that the notion of a Quantum Razmena Gravitygravitona String Struna theory Quantum Gravity 2 String theory Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 3 / 40

Nekomutativna geometrija [x µ, x ν ] = i kj µν. (1) [x µ, x ν ] = iθ µν, θ µν = const. (2) Nepostojanje tačke na Plankovij skali Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 4 / 40

Spinorska reprezentacija u N dimenzija N matrica γ µ koje zadovoljavaju: {γ µ, γ ν } = 2δ µν 1, µ, ν = 1,..., N. (3) Matrica 1 je iste dimenzije. Uslov ermitnosti: γ µ = γ µ. (4) SO(N) generatori: Σ µν = 1 4 [γ µ, γ ν ] = Σ νµ. (5) [Σ µν, Σ ρσ ] = δ µσ Σ νρ + δ νρ Σ νσ δ µρ Σ νσ δ νσ Σ µρ. (6) SO(N) spinori su objekti koji se pri SO(N) tranformišu kao: Spinori su kolone iste dimenzije kao γ-matrice. Zadatak: Naći reprezentaciju γ-matrica δψ = 1 2 θµν Σ µν ψ (7) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 5 / 40

Reprezentacija γ-matrica u parnom broju dimenzija Za N = 2n, uvedemo matrice: b i = 1 2 (γ i + iγ i+n ), b i = 1 2 (γ i iγ i+n ). i = 1,..., n (8) Algebra fermionskog oscilatora: {b i, b j} = δ ij, {b i, b j } = {b i, b j } = 0 (9) Dvodimenzionalni Hilbertov prostor za svako i-operatori krecije i anihilacije: b 0 = 0, b 0 = 1, b 1 = 0, b 1 = 0, (10) 0 je vakuum, a 1 prvo pobudjeno stanje. Ukupan Hilbertov prostor razapet vektorima: 0, b i 0, b i 1 b i 2 0,..., b 1 b n 0. Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 6 / 40

Jedno vakumsko stanje 0 annihilirano svim b i, n stanja b i 0 dobijenih dejstvom i operatora kreacije na vakuum. Zbog antikomutiranja b i b operatora, postoji 1 2n(n 1) stanja koja se dobijaju dejstvom ovih operatora Zbog Grasmanovske prirode ovih operatora (Paulijev Princip), (b ) 2 = 0, postoji konačan broj stanja. Najviše stanje je: b 1 b n 0. Ukupan broj stanja: 1 + n + 1 n ( n 2 p) n(n 1) + + 1 = = 2 n (11) Invertovanjem definicije za b operatore: p=1 γ i = 1 2 (b i + b i ), γ i+n = i 2 (b i b i ) (12) konstruisali smo jednu reprezentaciju 2 n 2 n -dimenzionalnih γ-matrica (do na γ µ = S 1 γ µ S) koje deluju na spinore ψ = ψ 1. ψ 2n. Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 7 / 40

Matrica kiralnosti Postoji još jedna linearno nezavisna matrica: γ = αγ 1... γ N, γ = γ, γ 2 = 1. (13) γ 2 = α 2 γ 1... γ N γ 1... γ N = α 2 ( 1) (N 1)N 2 = 1 α = ( 1) N 1 2, N = 2n Ova matrica komutira sa svim ostalim γ-matricama: {γ µ, γ} = γ µ γ + αγ 1 γ N γ µ = γ µ γ + ( 1) N 1 γ µ αγ 1 γ N = γ komutira sa SO(N) generatorima: {γ, γ µ } = 0. (14) [γ, Σ µν ] = 0, Σ µν = 1 4 [γ µ, γ ν ]. (15) γ 2 = 1 = svojstvene vrednosti γ su ±1. Postoje dva svojstvena vektora: γψ + = ψ +, γψ = ψ (16) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 8 / 40

Invarijantni potprostori Pri SO(N) transformacijama δψ = 1 2 θµν Σ µν ψ: δψ ± = δγψ = 1 2 θµν γσ µν ψ = 1 2 θµν Σ µν γψ = 1 2 θµν Σ µν ψ ± (17) = nema mešanja svojstvenih vektora Ovo važi i za SO(1, N 1) Lorncove transformacije u prostoru Minkovskog ψ + ψ +, ψ ψ. = Reprezentacija je reducibilna Cikličnost traga: trγ = tr(αγ 1 γ N ) = tr(αγ N γ 1 γ N 1 ) = trγ: trγ = 0. (18) = Jednak broj pozitivnih i negativnih svojstvenih vrednosti Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 9 / 40

Dirakov i Vajlovi spinori = 2 n -dimenzionalni prostor IR se razlaže na dva potprostora dimenzije 2 n 1 : ( ) ψ+ ψ =. (19) ψ je Dirakov spinor, a ψ ψ +, ψ Vajlovi ili kiralni levi i desni spinor Reprezentacija Klifordove algebre dobijena na ovaj način naziva se Spinorska reprezentacija Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 10 / 40

Spinorska reprezentacija u neparnom broju dimenzija N = 2n + 1 Potrebno je 2n + 1 matrica: γ 1,..., γ 2n, γ 2n+1 {γ µ, γ ν } = 2δ µν 1, µ, ν = 1,... 2n + 1. (20) Već imamo γ 1,..., γ 2n i γ = αγ 1 γ 2n Proglasimo γ 2n+1 = γ: γ 2n+1 = γ 2n+1, γ 2 2n+1 = 1, {γ 2n+1, γ i } = 0 (21) za neko i = 1,..., 2n i opet imamo celu Klifordovu algebru Ali nemamo više matricu kiralnosti = nema više Vajlovih spinora γ 1 γ 2n γ 2n+1 = αγ 1 γ 2n γ 1 γ 2n = ±η1, η C U neparnom broju dimenzija postoje dve neekvivalentne IR Izbor γ 2n+1 ili γ 2n+1 Različiti znaci ±η odgovaraju različitim reprezentacijama Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 11 / 40

Glatka mnogostrukost Realna mnogostrukost M dimenzije n (dim R M = n) je Hausdorfov topološki prostor koji lokalno liči na R n To je skup otvornih podskupova U i zajedno sa homeomorfizmima U i φ i R n koji se nazivaju karte. Skup karata koji pokriva celu mnogostrukost naziva se atlas Mnogostrukost M je diferencijabilna ili glatka ako na preseku karti: U i U j φ 1 i φ j R n φ 1 φ i j R n postoji glatka funkcija prelaza g ij = φ 1 i φ j (difeomorfizam) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 12 / 40

Diferencijalne forme Razmotrimo antisimetrične tenzore ranga p, 0 p n Uvodimo diferencijal dx µ, µ = 1,..., n na datoj lokalnoj karti Definišemo kosi proizvod kao antisimetrični tenzorski proizvod: dx µ dx ν = 1 2 (dx µ dx ν dx ν dx µ ) = dx ν dx µ (22) Definišemo diferencijalnu p-formu: α p = 1 p! α µ 1 µ p dx µ 1 dx µp. (23) Primeri: 0-forma je obična skalarna funkcija: α 0 = φ(x), 1-forma je kovarijantni vektor: α 1 = A = A µ dx µ, 2-forma je antisimetrični tenzor ranga 2: α 2 = B = 1 2 B µνdx µ dx ν Skup svih p-formi: Ω p (M) Kosi proizvod p-forme α p and q-forme β q je preslikavanje: Ω p (M) Ω q (M) Ω p+q (M) : λ p+q = α p β q = ( 1) pq β q α p (24) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 13 / 40

Spoljašnji izvod Spoljašnji izvod je preslikavanje : d : Ω p (M) Ω p+1 (M) U koordinatnoj reprezentaciji d = dx µ µ Primer (skalarno polje): dφ = µ φdx µ = gradφ Primer (gradijentni potencijal): da = µ dx µ A ν dx ν = µ A ν dx µ dx ν = 1 2 ( µa ν ν A µ )dx µ dx ν = 1 2 F µνdx µ dx ν F µν = µ A ν ν A µ Spoljašnji izvod je rotor kada deluje na 1-formu u 3 dimenzije. Zadovoljava Lajbnicovo pravilo: Uslov nilpotentnosti: d(α p β q ) = (dα p ) β q + ( 1) p α p dβ q. (25) d 2 = 0. (26) Lako se pokazuje: d 2 α p = d(dx µ µ α p ) = dx ν dx µ µ ν α p = 0. Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 14 / 40

Stoksova teorema i Hodžov dual Stoksova teorema: Za dim R M = n važi dα n 1 = gde je M granica mnogostrukosti M. M M α n, (27) Za datu Rimanovu mnogostrukost (M, g) uvodimo Hodžov -dual kao preslikavanje : Ω p (M) Ω n p (M) definisano: dx µ 1 dx µp = g (n p)! ɛµ 1...µ pµp+1...µ n dx µ p+1 dx µn. (28) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 15 / 40

Najviša forma element zapremine Definišemo meru integracije: g Vol = 1 = n! ɛ µ 1...µ n dx µ 1 dx µn (29) = gdx 1 dx n gd n x. (30) Vol = 1, gdx µ 1 dx µn = ɛ µ 1...µ n Vol. (31) Uvodjenje Hodžovog -duala omogućava izražavanje divergencije vektora U ravnom prostoru sa euklidskom signaturom: g = 1, ako je A 1-forma: ( ) 1 d A = d (n 1)! A νɛ ν µ 2...µ n dx µ 2... dx µn 1 = (n 1)! A ν,ρɛ ν µ 2...µ n dx ρ dx µ 2... dx µn 1 = (n 1)! A ν,ρ(n 1)!g νρ Vol = VolA µ,µ = Vol diva. (32) Još jedan Hodžov dual daje: d A = diva. (33) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 16 / 40

Metrički unutrašnji proizvod Metrički unutrašnji proizvod na Ω p (M,R): (α, β) = α β, α, β Ω p (M,R) (34) M U komponentama: g α β = α p!(n p)! β µ 1...µ p ɛ µ 1...µ pµp+1...µ n dx µ p+1 dx µn g = p! 2 (n p)! α µ 1 µ p β ν1...ν p ɛ ν 1...ν p µp+1...µ n dx µ 1 dx µp dx µ p+1 dx µn g = p! 2 (n p)! α µ 1 µ p β ν1...ν p ɛ ν 1...ν p µp+1...µ n ɛ µ 1...µ n dx 1 dx n Vol = p! 2 (n p)! α µ 1 µ p β ν1...ν p p!(n p)!g µ 1ν1 g µpνp = Vol p! αµ 1 µ p β µ1...µ p. (35) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 17 / 40

Kinetički članovi Integracijom unutrašnjeg metričkog proizvoda: α β = Vol 1 p! αµ 1 µ p β µ1...µ p. (36) M M Kinetički član za realno skalarno polje: S φ = 1 gd n x µ φ µ φ = 1 2 2 dφ dφ. (37) Kinetički član za Abelovo gradijentno polje jačine F = 1 2 F µνdx µ dx ν koje je 2-forma: 1 gd n xf µνf µν = F F. (38) 2 Za kompleksno skalarno polje: gd S φ = n x µ φ µ φ = dφ dφ. (39) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 18 / 40

Lokalne teorije, kovarijantni izvod Spinori su prirodno definisani u Lorencovom (euklidskom) prostoru Svaka mnogostrukost je lokalno ravna Spinorsko polje ψ(x) se lokalno transformiše pri dejstvu Spin grupe: Invarijantnost lagranžijana kovarijantni izvod i koneksija ω(x) koja se transformiše kao: Zahtevamo da se Dψ transformiše kao spinor: ψ g(x)ψ (40) D = d + ω (41) ω g 1 (ω + d)g. (42) Dψ (d + gωg 1 + gdg 1 )gψ = (dg)ψ + gdψ + gωg 1 ψ + g(dg 1 )gψ = dgψ + gdψ + gωψ gg 1 dgψ = g(d + ω)ψ = gdψ. (43) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 19 / 40

Ortonormalni bazis u tangentnom prostoru U koordinatnom bazisu { µ } na tangentnom prostoru T p (M) mnogostrukosti M u tački p Korišćenjem inverzne tetrade e µ α konstruišemo ortonormalni bazis {e α }: Ortonormalnost: e α (x) = e µ α(x) µ, α = 1,..., dim R M. (44) e µ α(x)e ν β(x)g µν = η αβ. (45) Svakom vektoru v T p (M) odgovara dualni vektor (kovektor) koji je functional: ω : T p (M) R, ω(v) = ω v R. (46) Kovektori obrazuju kotangentni prostor T p (M) U koordinatnoj reprezentaciji{dx µ } je bazis kotangentnog prostora: dx µ ν = ν (dx µ ) = δ µ ν. (47) Bazisni vektori kotangentnog prostora su 1-forme Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 20 / 40

Tetrada i metrika Korišćenjem tetrade definišemo ortonormalni bazis 1-formi: Ortogonalnost: dx µ = e µ αθ α = metrički tenzor: Provera konzistentnosti: θ α (x) = θ α µ(x)dx µ. (48) θ α µ(x)θ β ν (x)g µν (x) = η αβ. (49) g = g µν dx µ dx ν = η αβ θ α θ β. (50) θ α e β = θ α µdx µ e ν β ν = θ α µe ν β dx µ ν = θ α µe µ β = δα β (51) Tetrade θ α µ i e µ α su inverzi: θ α µe ν α = δ ν µ, θ α µe µ β = δα β (52) Lokalnom Lorencovom metrikom η αβ i inverzom η αβ podižemo i spuštamo indekse Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 21 / 40

Spinska koneksija Izbor ortonormalnog bazisa je jedinstven do na lokalne Lorencove transformacije: θ α (x) θ α (x) = Λ 1α β (x)θβ (x). (53) Lokalna simetrija gradijentno polje, 1-forma sa transformacijom: 1-forma koneksije se naziva spinska koneksija Dekorisano indeksima: ω ω = Λ 1 (ω + d)λ. (54) ω α β ω α β = Λ 1α γ ωγ δ Λδ β + Λ 1α γ dλγ β. (55) Kao 1-forma može da se razvije u ortonormalnom bazisu: Kovarijantni izvod za Lorencovu grupu: Σ αβ = 1 4 [γα, γ β ] su Lorencovi generatori ω α β = ω α µβdx µ = ω α γβθ γ. (56) D = d + 1 2 ω αβσ αβ, (57) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 22 / 40

Strukturne jednačine Elementi koordinatnog bazisa medjusobno komutiraju [ µ, ν ] = 0 Elementi ortonormalnog bazisa, ne nužno: C γ αβ [e α, e β ] = C γ αβ e γ. (58) su strukturne konstante ili objekti anholonomije [e α, e β ] = e α e µ β µ e β e µ α µ = (e α e µ β e βe µ α)θ γ µe γ. (59) Diferencijal tetrade: C γ αβ = θγ µ(e α e µ β e βe µ α). (60) dθ γ = dθ γ µ dx µ = (e α θ γ µ)θ α e µ β θβ = 1 2 θγ µ(e α e µ β e βe µ α)θ α θ β = 1 2 Cγ αβ θα θ β. (61) Strukturne jednačine: dθ α = 1 2 Cα βγθ β θ γ. (62) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 23 / 40

1. Kartanova jednačina strukture torzija Spoljašnji izvod tetradne 1-forme je 2-forma: dθ α = µ dx µ θν α dx ν = 1 2 ( µθν α ν θµ)dx α µ dx ν. (63) Transformiše se kao 2-forma, ali ne i kao Lorencov vektor dθ = d(λ 1 θ) = Λ 1 dθ + (dλ 1 )θ (64) Uvedemo član ω θ sadrži spinsku koneksiju: ω = Λ 1 dλ + Λ 1 ωλ (65) Transformacija novog izraza: dθ + ω θ = Λ 1 dθ + dλ 1 θ + (Λ 1 dλ + Λ 1 ωλ) Λ 1 θ = Λ 1 dθ + dλ 1 θ Λ 1 Λ dλ 1 θ + Λ 1 ω θ = Λ 1 (dθ + ω θ). (66) Definišemo 1-formu torzije: T α = dθ α + ω α β θ β. (67) Prva Kartanova jednačina strukture Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 24 / 40

2. Kartanova jednačina strukture krivina Komutator dva kovarijantna izvoda: D D = D α θ α D β θ β = D µ dx µ D ν dx ν = 1 2 (D αd β D β D α )θ α θ β = 1 2 (D µd ν D ν D µ )dx µ dx ν = 1 2 R αβθ α θ β = 1 2 R µνdx µ dx ν (68) Prepoznajemo Rimanov tenzor u ortogonalnom i koordinatnom bazisu Ova 2-forma je krivina spinske koneksije 2-forma krivine: U komponentama: Ω = D D = (d + ω) (d + ω) = dω + ω ω (69) Ovo je druga Kartanova jednačina strukture U ortogonalnom i koordinatnom bazisu: Ω α β = dω α β + ω α γ ω γ β. (70) Ω α β = 1 2 Rα βγδθ γ θ δ = 1 2 Rα βµνdx µ dx ν, (71) R α βγδ = e µ γ e ν δ R α βµν, R α βµν = θ γ µθ δ νr α βγδ. (72) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 25 / 40

Kartanove strukturne jednačine Kartanove strukturne jednačine u matričnoj formi: T = dθ + ω θ, Ω = dω + ω ω. (73) Delovanjem spoljšnjim izvodom: dt = dω θ ω dθ = dω θ ω (T ω θ) = dω θ ω T + ω ω θ = Ω θ ω T, (74) dω = dω ω ω dω = (Ω ω ω) ω ω (Ω ω ω) = Ω ω ω Ω, (75) Bjankijevi identiteti: dt + ω T = Ω θ, dω + ω Ω Ω ω = 0. (76) Kartanove strukturne jednačine i tetradni formalizam omogućavaju kuplovanje fermiona sa gravitacijom, što u slučaju Rimanove geometrije nije moguće Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 26 / 40

Odsečena Hajzenbergova algebra Odsečena Hajzenbergova algebra je matrična aproksimacija Hajzenbergove algebre Dobija se odsecanjem beskonačnih matrica koje reprezentuju koordinatu i impuls linearnog harmonijskog oscilatora Zadata je komutacionim relacijama: [µx, µy] = iɛ(1 z), (77) [µx, µz] = iɛµ(yz + zy), [µy, µz] = iɛµ(xz + zx). U nekomutativnoj geometriji, moguće je identifikovati fazni prostor sa pozicionim prostorom U slučaju unutrašnjih izvoda e α, za date impulse p α A: e α f = [p α, f ] (78) e µ α = [p α, x µ ] (79) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 27 / 40

Impulsi Identifikujemo impulse: ɛp 1 = iµ 2 y, ɛp 2 = iµ 2 x, ɛp 3 = iµ(µz 1 2 ) (80) Algebra impulsa [Madore]: [p 1, p 2 ] = µ2 2i + µp 3, (81) [p 2, p 3 ] = µp 1 iɛ(p 1 p 3 + p 3 p 1 ), [p 3, p 1 ] = µp 2 iɛ(p 2 p 3 + p 3 p 2 ). Uopštene komutacione relacije za p uz uslov d 2 = 0: 2P γδ αβp γ p δ F γ αβp γ 1 iɛ K αβ = 0 (82) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 28 / 40

Koneksija Izborom koneksije (µ = ɛ = 1)[Buric, Madore, Grosse, Wohlgenannt]: ω 12 = ω 21 = ( 1 2 + 2ip 3)θ 3 = ( 1 2 2z)θ3, (83) ω 13 = ω 31 = 1 2 θ2 + 2ip 2 θ 3 = 1 2 θ2 + 2xθ 3, ω 23 = ω 32 = 1 2 θ1 2ip 1 θ 3 = 1 2 θ1 + 2yθ 3. U komponentama ω 132 = ω 231 = 1 2z, (84) 2 ω 123 = ω 321 = 1 2, ω 133 = ω 331 = 2x, ω 213 = ω 312 = 1 2, ω 233 = ω 332 = 2y. Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 29 / 40

Ortonormalni bazis i 3-forma zapremine Komutacione relacije za ortogonalni bazis: (θ 1 ) 2 = 0, (θ 2 ) 2 = 0, (θ 3 ) 2 = 0, {θ 1, θ 2 } = 0 (85) {θ 1, θ 3 } = iɛ(θ 2 θ 3 θ 3 θ 2 ), {θ 2, θ 3 } = iɛ(θ 3 θ 1 θ 1 θ 3 ) (86) Ekstenzijom na algebru 3-formi: θ 1 θ 3 θ 1 = θ 2 θ 3 θ 2, θ 3 θ 1 θ 3 = θ 3 θ 1 θ 3 = 0 (87) θ 1 θ 2 θ 3 = θ 2 θ 1 θ 3 = θ 3 θ 1 θ 2 = θ 3 θ 2 θ 1 = i ɛ2 1 θ 2 θ 3 θ 2 2ɛ (88) θ 1 θ 3 θ 2 = θ 2 θ 3 θ 1 = i ɛ2 + 1 θ 2 θ 3 θ 2 2ɛ (89) Postoji samo jedna linearno nezavisna forma zapremine: Θ = i 2ɛ θ2 θ 3 θ 2 (90) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 30 / 40

Dirakove matrice u dve i tri dimenzije U dve i tri dimenzije spinorska reprezentacija je dvodimenzionalna Prirodni izbor Dirakovih matrica su Paulijeve matrice: ( ) 0 1 γ 1 = σ 1 =, γ 1 0 2 = σ 2 = Ermitske matrice koje zadovoljavaju: Matrica kiralnosti u dve dimenzije: ( 0 i i 0 ). (91) {γ α, γ β } = 2δ αβ, α, β = 1, 2. (92) γ 3 = iγ 1 γ 2 = ( ) 1 0 = σ 0 1 3 (93) Ove tri matrice formiraju Klifordovu algebru u 3 dimenzije Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 31 / 40

Dirakov spinor u 3 dimenzije Za Klifordovu algebru u 3 dimenzije {γ α, γ β } = 2δ αβ, α, β = 1, 2, 3. (94) Postoje dve neekvivalentne ireducibilne reprezentacije. Biramo: γ 4 = iγ 1 γ 2 γ 3 = 1 (95) Pri Spin(3) transformacijama, Dirakov spinor se transformiše: δψ = 1 4 ωαβ γ αβ ψ, (96) gse je γ αβ = γ α γ β za α β, a nula inače Zahtevamo da Dirakov konjugovani spinor ψ poništi ovu transformaciju formirajući skalar ψψ ( ) ( ) 1 δψ = ψ 4 ωαβ γ 14 αβ = ψ ωαβ γ βα = ψ ( 14 ) ωαβ γ αβ (97) = ψ = ψ Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 32 / 40

Dejstvo Fermionsko dejstvo u tri dimenzije u izraženo preko formi: S Dirac = Tr[(Dψ) ψ ψd ψ] V V γ 4. (98) Postoji torzija koju neminimalno kuplujemo sa fermionima: S tor = Trψ ψt α γ α V. (99) ( ) 1 T 1 = µ 2 µz (θ 2 θ 3 + θ 3 θ 2 ) ( ) 1 T 2 = µ 2 µz (θ 1 θ 3 + θ 3 θ 1 ) T 3 = µ 2 x(θ 1 θ 3 + θ 3 θ 1 ) µ 2 y(θ 2 θ 3 + θ 3 θ 2 ). (100) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 33 / 40

Dirakovo dejstvo Raspisano preko komponenata: S Dirac = Tr[(Dψ) ψ ψd ψ] V V γ 4 = Tr[(D α ψ) ψ ψd α ψ]θ α θ β γ β θ γ γ γ = TrX α γ β γ γ θ α θ β θ γ, (101) gde je: X α = (D α ψ) ψ ψd α ψ. (102) Sumiranjem komponenti: S Dirac = TrX α γ β γ γ θ α θ β θ γ = Tr(X 1 γ 3 γ 1 θ 1 θ 3 θ 1 + X 1 γ 2 γ 3 θ 1 θ 2 θ 3 + X 1 γ 3 γ 2 θ 1 θ 3 θ 2 + X 2 γ 3 γ 2 θ 2 θ 3 θ 2 + X 2 γ 1 γ 3 θ 2 θ 1 θ 3 + X 2 γ 3 γ 1 θ 2 θ 3 θ 1 + X 3 γ 1 γ 2 θ 3 θ 1 θ 2 + X 3 γ 2 γ 1 θ 3 θ 2 θ 1 ). (103) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 34 / 40

Dirakovo dejstvo 2 Izražavanjem preko jedinstvene forme zapremine θ 2 θ 3 θ 2 : S Dirac = i ( Tr X 1 γ 2 + X 1 γ 1 i ɛ2 1 X 1 γ 1 i ɛ2 + 1 2ɛ 2ɛ X 2 γ 1 + X 2 γ 2 i ɛ2 1 2ɛ + X 3 γ 3 i ɛ2 1 2ɛ + X 3 γ 3 i ɛ2 1 2ɛ X 2 γ 2 i ɛ2 + 1 2ɛ ) θ 2 θ 3 θ 2. (104) Θ = i 2ɛ θ2 θ 3 θ 2 : ( S Dirac =2ɛ Tr [X 1 γ 2 i ) ( ɛ γ 1 X 2 γ 1 + i ) ( ɛ γ 2 + X 3 γ 3 ɛ 1 )] Θ. (105) ɛ Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 35 / 40

Kovarijantni izvodi S Dirac = 1 Tr[X 1 ( ɛγ 2 + iγ 1 ) + X 2 (ɛγ 1 + iγ 2 ) + ix 3 γ 3 (1 ɛ 2 )]Θ 2 = S D1 + S D2 + S D3. (106) ( D 1 ψ = e 1 i 4 µγ1) ψ, D 1 ψ = e 1 ψ + i 4 µ ψγ 1 ( D 2 ψ = e 2 i 4 µγ2) ψ, D 2 ψ = e 2 ψ + i 4 µ ψγ 2 [ D 3 ψ = e 3 + i ] 4 µγ3 iµ 2 (xγ 2 yγ 1 + zγ 3 ) ψ, D 3 ψ = e 3 ψ ψ[ i ] 4 µγ3 + iµ 2 (xγ 2 yγ 1 + zγ 3 ) (107) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 36 / 40

Primer računa S D1 = 1 Tr[X 1 ( ɛγ 2 + iγ 1 )]Θ 2 = 1 2 = 1 2 = 1 2 { Tr [(D 1 ψ) ψ } ψd 1 ψ]( ɛγ2 + iγ 1 ) Θ {[( Tr e 1 i ) ] 4 µγ i 1 ψ ψ ψe1 ψ [ Tr ɛ(e 1 ψ) ψγ 2 + ɛψe 1 ψγ2 + i(e 1 ψ) ψγ 1 iψe 1 ψγ1 4 µψ ψγ } 1 ( ɛγ 2 + iγ 1 )Θ + i 4 ɛµγ 1ψ ψγ 2 + i 4 ɛµψ ψγ 1 γ 2 + 1 4 µγ 1ψ ψγ 1 + 1 4 µψ ψγ 1 γ 1 ]Θ = 1 [ Tr i ψγ 1 e 1 ψ i(e 1 ψ)γ 1 ψ + 1 ] 2 2 µψ ψ ɛ ψγ 2 e 1 ψ + ɛ(e 1 ψ)γ 2 ψ Θ. (108) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 37 / 40

Dirakov i torzioni član S Dirac = 1 { Tr i 2 ψγ α e α ψ i(e α ψ)γ α ψ + 1 2 µ ψψ + 2µ 2 z ψψ [ + ɛ i ψγ ] α γ 3 e α ψ i(e α ψ)γ α γ 3 ψ ɛ 2[ i ψγ 3 e 3 ψ i(e 3 ψ)γ 3 ψ 1 2 µ ψψ + 2µ 2 z ψψ ]} Θ (109) za α = 1, 2. S tor = 1 2 Tr{ψ ψ[ɛµ(γ 3 µxγ 2 + µyγ 1 2µzγ 3 ) ɛ 2 µ(1 2µz)]}Θ. (110) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 38 / 40

Rezultat Ukupno dejstvo: S = 1 { Tr i 2 ψγ α e α ψ i(e α ψ)γ α ψ + 1 2 µ ψψ + 2µ 2 z ψψ [ + ɛ i ψγ α γ 3 e α ψ i(e α ψ)γ α γ 3 ψ + µ ψ(γ ] 3 µxγ 2 + µyγ 1 2µzγ 3 )ψ ɛ 2[ i ψγ 3 e 3 ψ i(e 3 ψ)γ 3 ψ + 1 2 µ ψψ ]} Θ (111) Posle dimenzione redukcije z = 0, e 3 = 0 dobijamo dejstvo S = 1 { Tr i 2 ψγ α e α ψ i(e α ψ)γ α ψ + 1 2 µ ψψ [ + ɛ i ψγ α γ 3 e α ψ i(e α ψ)γ α γ 3 ψ + µ ψ(γ ] 3 µxγ 2 + µyγ 1 )ψ ɛ2 2 µ ψψ } Θ (112) Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 39 / 40

Zaključak Kvadrat kernela ovog dejstva u slučaju velike nekomutativnosti odgovara Melerovom kernelu koji je u primeru kalibracionih teorija omogućio dobro UV ponašanje Očekujemo da će i teorija sa fermionima imati dobro UV ponašanje Luka Nenadović Spinori na zakrivljenom nekomutativnom prostoru Novi Sad, 13.11.2014 40 / 40