CZY STAŁA STRUKTURY SUBTELNEJ JEST WŁASNOŚCIĄ PRZESTRZENI?

Transkrypt

1 CZY STAŁA STRUKTURY SUBTELNEJ JEST WŁASNOŚCIĄ PRZESTRZENI? O KWANTOWEJ TEORII LICZBY Łukasz Bratek Zakład Fizyki Matematycznej i Astrofizyki Teoretycznej Instytut Fizyki Jądrowej PAN Seminarium Instytutowe 25 IV 2013

2 1 stała struktury subtelnej i moment magnetyczny elektronu 2 paradoks klasyczności ładunku elementarnego i jego rozwiązanie 3 problem (nie)statyczności pola Coulomba 4 kwantowa teoria ładunku

3 Elektron i proton rozmiar protonu i elektronu (promień ładunkowy) z częstości przejść w atomie wodoru oraz z rozpraszania elektronu na protonie r p = (51) [fm] ( ) r e < [fm] r p/r e > 2200 (xpromień klasyczny elektronu α 2 a 0 = (27)[fm]) stosunek masy protonu do masy elektronu: (75) ( ) MATEMATYCZNIE RÓWNY SPIN fakt ten wyjaśnia teoria reprezentacji grupy obrotów euklidesowych [G (1), G (2) ] = i ħ G (3), [G (2), G (3) ] = i ħ G (1), [G (3), G (1) ] = i ħ G (2) ( G 2 ) (1) + G2 (2) + G2 (3) j, m = j(j + 1) ħ 2 j, m, G (3) j, m = m ħ, G ± = G (1) ± ig (2) : j = n ħ, n = 0, 1, 2,..., m = j, j + 1,..., j 1, j 2 j = ħ : G (1) = ħ 2 2 [ 1 1/2, +1/2 ˆ= 0 ( ] [ 0, 1/2, 1/2 ˆ= 1 ), G (2) = ħ ( 0 i 2 i 0 ] ), G (3) = ħ ( ) ( ) 2010 CODATA recommended values, Reviews Of Modern Physics, Vol. 84, October December 2012

4 Elektron i proton równość ładunku elektrycznego Q p/q e 1 < Vernon W. Hughes (1957) Phys. Rev. 105, Experimental Limit for the Electron-Proton Charge Difference największa koincydencja numeryczna w Naturze. Fakt ten nie posiada ogólnie przyjętego wyjaśnienia. ta niezwykła degeneracja może być pochodzenia kinematycznego (podobnie jak degeneracja spinu) Próba zrozumienia znacznie mniejszej koincydencji numerycznej doprowadziła do powstania Ogólnej Teorii Względności: równość masy inercyjnej i grawitacyjnej: m i = m g(1 ± 10 8 ) (czasy Einsteina), m i = m g(1 ± ) (obecnie) R µν 1 8π G R gµν + Λgµν = 2 c 4 Tµν 0 = δ c3 16π G R + Λ + L gd 4 x Hilbert 1915

5 Stała struktury subtelnej (1916) Sommerfeld - wprowadza stałą α (poprawki relatywistyczne do linii spektralnych modelu Bohra), (v e = αc) E n = w [ ( n α2 1 n k 3 )], α = e2 4n ħc fundamentalna miara siły oddziaływań elektromagnetycznych numeryczna wartość α wpływa na dokładnośc wyznaczenia wielu innych stałych (np moment magnetyczny miuonu) Obecnie najdokładniejsza wartość to α 1 = (51) z porównania teoretycznego rozwinięcia anomalnego momentu magnetycznego elektronu z wartoścą zmierzoną na elektronie w pułapce Penninga Dlaczego e2 ħc = ? Feynman o liczbie α: all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it [...] one of the greatest damn mysteries of physics [...] a magic number that comes to us with no understanding by man

6 Stała struktury subtelnej Problem obliczalności liczby α W przypadku liczby π można podać wiele, na pierwszy rzut oka różnych, jej definicji. Najbardziej znany wzór na π w postaci szeregu naprzemiennego otrzymamy z tożsamości 2dx π = cosh (x) = 4 e x dx 1 + e 2x 0 0 co daje π 4 = π = 4 ( 1) k e (2k+1)x dx, k=0 k=0 0 ( 1) k 2k + 1 = liczba π jako klasa równoważności wszystkich funkcji analitycznych w otoczeniu punktu z 0: 1 f(z) π = dz 2 i f(z o) C z z o gdzie C jest dowolnym konturem zamkniętym okalającym z o i zawartym w tym otoczeniu

7 Historia momentu magnetycznego elektronu (1922) Stern i Gerlach - eksperymentalne potwierdzenie hipotezy Bohra i Sommerfelda o kwantyzacji kierunku momentu pędu atomu (1925) Goudsmit i Uhlenbeck - postulat o wewnętrznym momencie pędu elektronu (+ stowarzyszony dipolowy moment magnetyczny) µ = g e e 2 m e s µ e = g e eħ 4 m e (1927) Pauli - równanie Pauliego-Schrödingera (spin + pole elektromagnetyczne) [ ] ψu ψ =, eħ ( ) ( ) ( ) i 1 0 ψ d 2mc σ B ψ, σ x =, σ 1 0 y =, σ i 0 z = 0 1 (1928) Dirac - relatywistyczna teoria elektronu (g = 2)

8 Moment magntyczny elektronu Struktura subtelna poziomów energetycznych w atomie wodoru Poziomy energetyczne (równanie Diraca) E n,j m ec 2 = 1 1 α n j (j+ 1 2 ) 2 α 2 E n,j,l (1 m ec 2 = α2 2 n 2 + α2 2 n 2 [ 4 n 3 j 3/2 2 j + 1 ] + O ( α 4) + O njl ( QED α 3 )) n = 1, 2,..., l = 0, 1, dots, n 1, n, j = l ± 1 2, l > 0

9 Moment magntyczny elektronu wg. P.A.M. Diraca P. A. M. Dirac (1928), The Quantum Theory of the Electron Proc. R. Soc. Lond. A 117, Fundamentalne równanie falowe relatywistycznej teorii elektronu (i / ec /A mc ) Ψ = 0 /a a µγ µ Związek z mechaniką hamiltonowską i µ p µ {mc + H/c, p}, A µ {Φ, A} H = eφ 1 2mc 2 (H eφ) m Związek z równaniem Kleina-Gordona kwantowego odpowiednika równań ruchu dla punktowej cząstki naładowanej ( i / e /A c + mc) ( i / e /A c mc) Ψ = 0 [ (i e c A)2 m 2 c 2] Ψ = e c Fµν i 4 [γµ, γ ν ] Ψ ( p e c A ) 2 + e 2mc Fµν i 4 [ γ µ, γ ν] e i [ c Fµν γ µ, γ ν] = e [ σ i B c σ ] [ ] E B i 4 c c σ, σ B = z B x ib y E σ B B x + iby B z -moment magnetyczny i elektryczny moment dipolowy granica nierelatywistyczna w polu magnetycznym (równanie Pauliego (1927)) H nr = 1 ( p e ) 2 A 2m c e 2mc σ B, µ = e mc 2 σ,

10 Anomalny moment magntyczny elektronu: poprawki QED Anomalia momentu magnetycznego a e = ge 2, a e Dirac = 0 2 najprecyzyjniej zmierzona i najlepiej zbadana teoretycznie wielkość w fizyce cząstek Poprawki radiacyjne od członu oddziaływania e ψγ µ ψa µ Γ µ = γ µ F E (q 2 ) + i σµν q ν m e F M (q 2 ) q = p out p in (1948) Schwinger - poprawka jednopętlowa do anomalnego momentu magnetycznego od wirtualnego oddziaływania foton-elektron: a QED e = α 2π a th e = a QED e O(α 1 ) + a weak e O(α 3 ) + a hadr e O(α 3 ) a th e jest niemalże całkowicie efektem QED, a QED e - to składnik dominujący, a th mało czuły na efekty w sektorze słabym i silnym a także spoza SM

11 Poprawki QED II i IV rzędu do anomalnego momentu magnetycznego elektronu

12 Anomalny moment magntyczny elektronu: poprawki QED a QED = 1 ( α ) 2 π Schwinger (1948) + [ π (6 ln 2 1) ] ( α ) 2 4 ζ(3) π Karplus&Kroll (1950), Sommerfield (1957), Petermann (1957) + ( α ) grafów ( α ) grafy ( α ) (35) + 0.0(4.6)... π π π Aoyama, Kinoshita, Nio, Hayakawa ( ) a O(α 2 ) + ( ) me, me m µ m τ

13 Anomalny moment magntyczny elektronu: pomiary Pułapka Penninga stosunek h m Rb (atom 87 Rb) a exp e = (28) α 1 = (51) (r e < [m]) D. Hanneke, S. Fogwell Hoogerheide, and G. Gabrielse Phys.Rev.A 83, (2011) a e = (84) α 1 exp = (91) (r e < [m]) R. Bouchendira, P. Cladé, S. Guellati-Khélifa, F. Nez, and F. Biraben, Phys. Rev. Lett.106, (2011).

14 Ładunek elementarny Ładunek elementarny stały parametr w modelu standardowym cząstek Ładunek elektryczny jest zjawiskiem o zerowej częstości Q = 1 E d S, R ω 0 4π S 2 (zasada nieoznaczoności Heisenberga) w granicy ω 0 prawa fizyki kwantowej stają się klasyczne: dσ dω = u ω = ħω3 π 2 c 3 1 exp ħ ω k T 1 rozkład Plancka ω 2 k T π 2 c 3 rozkład Rayleigha Jeansa χ 1 =1+ ħ ω me c2 (1 cos θ) α 2 r 2 ( ) c 2 χ2 χ + χ cos 2 θ rozpraszanie Comptona, Klein Nishina (1929)) r2 ( ) e 1 + cos 2 θ 2 Ładunek elektryczny jest skwantowany w sposób uniwersalny (fakt obserwacyjny) Paradoks: pole Coulomba klasyczny obiekt o skwantowanej amplitudzie

15 Pole statyczne jest klasyczne V.B. Berestetskii, E.M. Lifshitz, L.P. Pitaevskii (1980) QUANTUM ELECTRODYNAMICS, (I ed. 1971) Warunek quasi-klasyczności pola elektromagnetycznego (BLP) Pole elektromagnetyczne uśredniowane po interwale czasowym t może być uważane za klasyczne gdy ( t) 2 ħc E 2 c 2 Wniosek (BLP) Wystarczająco słabe pole zmienne nie jest quasi-klasyczne. Pole statyczne jest zawsze klasyczne! średniowanie pola E w interwale czasowym t fourierowski rozkład E: ( e iωt ) w E istotne tylko oscylatory o częstości ω t 1 wystarczy by liczby kwantowe tych oscylatorów były duże gęstość oscylatorów o częstościach 0 < ω < ( t) 1 jest rzędu (ω/c) 3 (c t) 3 gęstość energii pola E 2 = E 2 liczba fotonów o częstości ω: N ω E 2 (ħω)(ω/c) 3 dla quasistacjonarności N ω 1 E 2 ħc c 2 ( t) 2

16 Rozwiązanie paradoksu klasyczności pola Coulomba Literatura: A.Staruszkiewicz (1998) konkluzja BLP wydaje się słuszna (np. model Diraca atomu wodoru) ukazuje ona brak koherencji w rozumieniu zjawiska kwantyzacji ładunku elementarnego (analogia do: orbity klasyczne o skwantowanej wielkości) jeśli konkluzja BLP jest słuszna to nie dowiemy się dlaczego α = 1/ Ograniczenie na t - jedyny sposób uniknięcia konkluzji BLP Brehmstrahlung (o zerowej częstości) A µ(x) lim λ Aµ(λ x) λ transf.gervais Zwanziger { x µ uµ s, s < 0 (s) = w µ s, s > 0 [ ] uµ A µ(x) = Q Θ( xx) r(u) wµ r(w) { 0, ξ < 0 Θ(ξ) = r(u) = (ux) 1, ξ > 0 2 (uu)(xx) de Sitter: c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 1 (R = x 2 + y 2 + z 2 ) promieniowanie o zerowej częstości występuje w zewnętrzu stożka R < c t < R ( t) 2 E 2 ħc c 2 ( 2R c )2 Q R 2 ħc c 2 Q 1 4 e ħc e 2 Q 1 4 α e 2.93e Konkluzja: Ładunek elektryczny jest obiektem klasycznym gdy jest znacznie większy niż trzy ładunki elementarne Q 3e. Ładunek elementarny jest obiektem kwantowym.

17 O (nie)statyczności pola Coulomba Literatura: A.Staruszkiewicz (2002) obiektem fundamentalnym w elektrodynamice jest potencjał wektorowy A µ symetrią fundamentalną w elektrodynamice jest symetria cechowania A µ A µ + µφ pojęcie statyczności w sensie pochodnej Liego nie jest gauge-inwariantne L ξ η ν = [ξ, η] ν L ξ η ν = ξ µ µη ν η µ µξ ν [ x, y]f = x yf y xf = 0f e r = x x + y y x2 + y 2 L ξ η ν = ξ µ µη ν + η µ νξ µ v ν νa µ(u) = e uµ r 3 (u) xu xv e φ = y x + x y [e r, e φ ] f = 0 uu uv L ua(u) = 0 L ξ A ν = ξ µ µa ν + A µ νξ µ = ξ µ µa ν νa µξ µ + ν ( Aµξ µ) L ξ A ν ν ( Aµξ µ) = ξ µ F µν L ξ Aν ξµ F µν L (xu) uν (uu) xν uaν(u) = e r 3 (u) ˆ= {0, E} Konkluzja: jeśli pojęcie statyczności ma być gauge-inwariantne to Pole Coulomba w układzie spoczynkowym elektronu nie jest statyczne!

18 Składnik ruchomy pola Coulomba Q 0 w przestrzennej nieskończoności A µ jest jednorodne stopnia 1 A µ(λ x) = λ 1 A µ(x), xx, λ > 0 twierdzenie Eulera o funkcjach jednorodnych stopnia n f(λx) = λ n f(x) x µ µf = nf, x ν νa µ = A µ x ν F µν = x ν µa ν x ν νa µ = A µ = µ (x ν A ν) δ ν µa ν + A µ całe pole zawiera się w funkcji x µ A µ (inna niezależna funkcja, zwana magnetyczną, wprowadza ujemny znak do członu kinetycznego w całce działania, odrzucenie jej nie wpływa na teorię ładunku) x µ A µ jest gauge-inwariantne gdy n = 0: x µ µf = 0 dla pola Coulomba: x µ A µ = Q ux r(u) Q t r u x µ A µ jest gauge-inwariantną ruchomą komponentą pola Coulomba

19 Kwantowa teoria ładunku elektrycznego Literatura: A.Staruszkiewicz (1989) przestrzenna nieskończoność jest naturalną areną dla kwantowej teorii ładunku elektrycznego 1) ograniczenie na t ładunek elektryczny obiektem kwantowym 2) identyfikacja ruchomej komponenty pola Coulomba istnieje ogólna relacja między gęstoscią ładunku ρ oraz fazą S źródła pola poddanego drugiej kwantyzacji ρ jest pędem kanonicznie sprzężonym z S/e j µ = L(eA S) = e L(eA S) ρ j A 0 = e L µ ( µs) ( 0 S) [ρ(y), S(x)/e] = iδ 3 ( x y) x 0 =y0 [Q, S(x)] = i e w nieskończoności przestrzennej tylko jeden kandydat (x µ A µ) do konstrukcji fazy zmiennej kanonicznie sprzężonej z calkowitym ładunkiem jest to uniwersalność kwantyzacji ładunku (reszta informacji wytłumiona przez masy masywne ) exp (mr) r - wszystkie cząstki naładowane są

20 Kwantowa teoria ładunku elektrycznego Teoria kwantowa fazy i ładunku A.Staruszkiewicz (1989) Ann. Phys. (New York) 190, 354 [Q, S(x)] = i e S(x) = e x µ A µ (x) dla skończonych x jest to twierdzenie. Załada się, że obowiązuje ono również w granicy xx hipoteza struktura teorii zależy od numerycznej wartości liczby α teoria przewiduje krytyczne spektrum dla α z gęstości prawdopodobieństw pewnych obserwabli lub ich elementow macierzowych w kwantowym polu Coulomba: np. α π = 1 1 2n 2, 4n 2 teoria ustala związek między parametrem numerującym reprezentacje grupy Lorentza a stałą struktury subtelnej 1 2 MµνMµν = α π ( 2 α ) < 1 π Jeśli ta teoria jest poprawna, wówczas α jest własnością czasoprzestrzeni (podobnie jak π)

21 Literatura praca główna, zawierająca sformułowanie kwantowej teorii ładunku A. Staruszkiewicz (1989) Ann. Phys. (New York) 190, 354 QUANTUM MECHANICS OF PHASE AND CHARGE AND QUANTIZATION OF THE COULOMB FIELD wybrane wykłady i teksty popularne dotyczące teorii A. Staruszkiewicz (1997) Banach Center Publications, Vol. 41, 221 ON THE QUANTAL NATURE OF THE COULOMB FIELD (zawiera argument przeciw istnieniu monopoli magnetycznych) A. Staruszkiewicz (1998) QUANTUM MECHANICS OF THE ELECTRIC CHARGE Acta Phys.Polon. B29, 4, (zawiera rozwiązanie paradoksu związanego z klasycznością pola Coulomba i kwantyzacją jego amplitudy) A. Staruszkiewicz (2002) Acta Phys.Polon. B PHYSICS OF THE ELECTRIC CHARGE (m.in. porusza zagadnienie gauge-inwariantności pojęcia statyczności pola elektromagnetycznego)