JAK UCZYĆ KWANTOWEJ TEORII POLA

Transkrypt

1 JAK UCZYĆ KWANTOWEJ TEORII POLA Piotr Chankowski KMMF

2 Pomys l nie doszed l do skutku ponieważ autorzy postawili sobie zbyt ambitne zadanie napisania podr ecznika bezb l ednego w warstwie matematycznej IBB & JK & MC Teoria kwantów Nie sposób nie nadmienić, że w porównaniu z porównaniu z pracami oryginalnymi wiele kursów mechaniki kwantowej jest o wiele bardziej skomplikowanych. Chociaż t lumaczy si e to zwykle koniecznościa zachowania ogólności i ścis lości rozważań, to przy uważnym spojrzeniu na spraw e można bez trudu zauważyć, że duża cz eść ścis lych twierdzeń jest b l edna LDL & JML Mechanika kwantowa

3 Eksperymentalne korzenie QFT: Spektroskopia atomowa kwantowa teoria promieniowania Diraca radioaktywność teoria Fermiego rozpadów beta (skok koncepcyjny!) QFT dziś: maszynka do obliczania amplitud procesów uniwersalny j ezyk do opisu rzeczywistości fizycznej

4 DWIE (LUB TRZY) DROGI DO QFT Komplementarne podejścia urelatywistyczna mechanika kwantowa wielu czastek (bez żadnych równań falowych!!!) kwantyzacja relatywistycznych pól operatorowo kwantyzacja pól przez ca lki funkcjonalne Analogia: rozmaitość ze zbiorem map (atlasem)

5 RELATYWISTYCZNA MECH KWANT CZASTEK Symetria Poincaré O(1, 3): x µ = Λ µ ν(ω)x ν a µ ==> w p. Hilb dzia laj a op. unitarne U(Λ, a) Ψ = U(Λ,a) Ψ Hermitowskie generatory J µν = (J i,k i ), P µ (znane zwiazki komutacyjne) Stany jednoczastkowe p, σ stany w lasne: P µ P µ, P i, W µ W µ, i W 0 lub s µ pw µ Konstrukcja reprezentacji O(1, 3) na stanach jednoczastkowych przez reprezentacj e indukowana: czterop ed standardowy k µ, p µ = (L p ) µ νk ν p,σ =: U(L p, 0) k,σ Cz astki bezmasowe - inna grupa stabilności k µ.

6 P. HILB (Focka) CZASTEK SWOBODNYCH (w niej uprawia si e rachunek zaburzeń) Baza stanów α 0 (p 1 σ 1...p n σ n ) 0 : Ω 0, a σ(p) Ω 0, a σ 2 (p 2 )a σ 1 (p 1 ) Ω 0... Ω 0 Ω 0 = 1 i U 0 (Λ,a) α 0 =wiadomo jak. Bozony [a σ1 (p 1 ), a σ 2 (p 2 )] = δ σ1 σ 2 δ (3) Γ (p 1 p 2 ) fermiony { a σ1 (p 1 ), a } σ 2 (p 2 ) = δ σ1 σ 2 δ (3) Γ (p 1 p 2 ) Spin-statystyka jeszcze bez uzasadnienia! Jawna konstrukcja generatorów J µν, P µ : np. P 0 H 0 = dγ p E(p) a σ(p)a σ (p)

7 CZASTKI ODDZIA LUJ ACE Za lożenie: H ma stany jednoczastkowe. Bazy in i out stanów w lasnych H: α in, α out odpowiedniość jeden do jeden α in, α out i stanów α 0 pewnego H 0 : H α in = E α α in H α out = E α α out H α 0 = E α α 0 (to samo spektrum H i H 0 ) oraz e iht dα g(α) α in e ih 0t dα g(α) α 0 dla t (+ dla stanów out). Formalnie α in = lim t eiht e ih 0t α 0

8 Oddzia lywanie: V H H 0 Zbiór amplitud przejścia: macierz S S βα = β out α in = β 0 S 0 α 0 S 0 = T exp { + } dt V I (t) V I (t) e ih0t V e ih0t. T - uporzadkowanie chronologiczne. S unitarna: Sγβ S γα = S βγ Sαγ = δ βα, S 0 S 0 = S 0 S 0 = 1 γ γ S βα = δ βα i2πδ(e α E β )T + βα (E α) Z elementów macierzy S przekroje, czasy życia.

9 RELATYWISTYCZNA MACIERZ S U(Λ,a) α in,out tak samo i tak jak U(Λ,a) α 0. Relatywistycznie wspó lzmiennicza, gdy [U 0 (Λ,a), S 0 ] = 0 Silne warunki na V. Spe lnione gdy V I (t) = d 3 x H I (t,x) U 0 (Λ,a)H I (x)u 0 (Λ,a) = H I(Λ x a) [H I (x), H I (y)] = 0 gdy (x y) 2 0 Macierz S βα spe lnia rozk lad gronowy (faktoryzowalna) gdy V zbudowane z a σ(p) i a σ (p)

10 H I (t,x) zbudowany z iloczynów operatorów pola [ φ a (x) = dγ p u a (p,σ)e ip x a σ (p) + v a (p,σ)e +ip x a c ] σ (p) σ U 0 (Λ,a)φ a (x)u 0 (Λ,a) = D 1 ab (Λ)φ a(λ x a) H = H 0 + V I nie zachowuje liczby czastek! Dla (x y) 2 0 operatory pola musza spe lniać [ φa (x), φ a(y) ] = 0 bozony { ψa (x), ψ a(y) } = 0 fermiony Zwiazek spinu ze statystyka! Jeśli [Q, H] = 0 (zachowane wewn. l. kwant.) to musza być antyczastki! a σ (p) a c σ (p)

11 Ważne: Czastki o masie zero i spinie 1 (np. foton): rzut spinu na kierunek p edu: tylko +1 lub 1 (ale nie zero jak dla czastek masywnych) Z operatorów anihilacji i kreacji nie da si e zbudować operatora pola A µ przekszta lcaj acego si e jak uczciwy wektor U(Λ,a)A µ (x)u (Λ,a) = (Λ 1 ) µ νa ν (Λx a) µ Ω(x) Oddzia lywanie musi mieć specjaln a postać by ten ogon skompensować

12 Wzór S 0 = T exp { i dx H I (x) } prowadzi do diagramów i regu l Feynmana. Propagatory: [ ] i F (x y) θ(x 0 y 0 ) φ (+) (x), φ ( ) (y) [ ] +θ(y 0 x 0 ) φ (+) (y), φ ( ) (x) Oddzia lywania z J µ V µ (x) (z bozonemi o M 0 i spinie 1 lub 0 µ φ) - niekowariantności: i F µν(x y) = (x) µ (y) ν i F (x y) iδ 0 µδ 0 νδ (4) (x y) Oddzia lywanie J µ A µ z fotonem idµν(x F d 4 k ip µν (k) y) = e ik (x y) (2π) 4 k 2 + i0 P µν (k) = g µν + k 0(k µ n ν + k ν n µ ) k µ k ν k 2 n µ n ν k 2

13 k 3 k 4 k 1 k 2 Rysunek 1: Definicja N µ1,µ 2,...,µ n (k 1, k 2,...,k n,p 1,...): np. lewy czarny babel H I = 1 2M 2J0 (x)j 0 (x) W QED: prad musi być zachowany µ J µ = 0, trzeba dodać Vnonlocal I e2 (t) = d 3 x d 3 y J0 (t,x)j 0 (t,y) 2 4π x y k µ i i N µ 1,µ 2,...,µ n (k 1,k 2,...,k n,p 1,...) = 0

14 p = +... Rysunek 2: WAŻNA KONSEKWENCJA ZA LOŻEŃ Propagator ma mieć biegun w p 2 = M 2 (fizyczna masa = masie z H 0!) residuum bieguna ma być i lim Ω 0 ϕ(x) (p) 0 = t V trzeba dopasować! lim Ω 0 e ih0t e iht e iht ϕ(0,x)e iht e ih t = lim Ω ± ϕ H (t,x) (p) ±, t H I = 1 2 δz µϕ µ ϕ M2 ϕ δz 0 ϕ 0 ϕ

15 ZALETY (DYDAKTYCZNE) TEGO PODEJŚCIA bezpośredni zwiazek z zasadami QM (wzory na przekroje) oczywiste pochodzenie funkcji falowych w diagramach Feynmana spin-statystyka, antyczastki, niezachowywanie liczby czastek WADY TEGO PODEJŚCIA silne za lożenia: V budowane z a i a z H 0 ściśle perturbacyjne sformu lowanie konieczność r ecznego poprawiania kowariantności nieabelowe YM - beznadziejnie skompliko-

16 POLA RELATYWISTYCZNE Klasyczna teoria pola zadana przez dzia lanie I cl [φ] = d 4 x L(φ ai (x), µ φ ia (x)) δi cl = 0 daje równania ruchu. Symetrie I cl wzgl edem grup przekszta lceń pól: Poincaré wewn etrznych φ ia (x ) = D ab (Λ)φ ib (x) φ ia (x) = U ij(θ)φ ja (x) Prady Noether symetrii zachowane µ jµ A d (x) = 0, dt QA d d 3 x j A dt 0 (t,x) = 0

17 KWANTOWANIE (kanoniczne) P edy kanoniczne Π = L/ ( 0 φ) i Hamiltonian H = d 3 x [Π t φ(π,φ) L(Π,φ, φ)] Pola staja si e operatorami z ETC [φ(x), Π(y)] = iδ (3) (x y) oraz [φ, φ] = [Π, Π] = 0 (lub antykomutatory). Ladunki Noether staja si e operatorami. Np. symetria Poincaré daje P i, J i, K i. Operatory Heisenbergowskie O H (t,x) = e iht O(0,x)e iht d dt O H(t,x) = i[h, O H (t,x)]

18 Pola wektorowe masywne lub bezmasowe - kwantowanie z wi ezami Daje automatycznie niekowariantne wyrazy w H I : H I = 1 2M 2J0 (x)j 0 (x) w przypadku masywnych pól oraz Vnonlocal I e2 (t) = 2 i inne takie jak d 3 x H I = e 2 φ φa µ A µ w przypadku elektrodynamiki d 3 y J0 (t,x)j 0 (t,y) 4π x y

19 Jak zawsze H = H 0 (kwadratpwy) + V. H 0 diagonalizowany przez a a. Stany w lasne α 0 H 0 sa czastkami (bo P0 i, Ji 0, Ki 0 je przekszta lcaj a jak należy) Znów zak ladamy, że H = H 0 + V ma stany czastkowe (tak może nie być!) in i out odpowiadajace α 0. Przy tych za lożeniach H = H 0 (Π H (0,x),φ H (0,x)) + V int (φ H (0,x)) = H 0 ( 0 φ I (0,x),φ I (0,x)) + V int (φ I (0,x)) { } S 0 = T exp i dt V I (t) z V I (t) = e ih0t V e ih0t ; Pola φ I (t,x) = e ih0t φ H (0,x)e ih 0t maja rozk lad na a σ (p), a σ(p). Diagramy i regu ly Feynmana jak poprzednio.

20 A co z poprawkami do linii zewn etrznych? Inne zm kanoniczne: φ = Z 1/2 φ ph, Π ph = Z 0 φ ph. Nadal [φ H ph (t,x), ΠH ph (t,y)] = iδ(3) (x y) Przejście do obrazu oddzia lywania φ H ph (0,x) = φ I(0,x) Π H ph (0,x) = 0φ I (0,x) daje H I = 1 2 (Z 1) µφ I µ φ I + 1 ( ) ZM 2 M 2 2 ph φ 2 I + λ 4! Z2 φ 4 I + 1 ( ) Z 1 + Z φ I 0 φ I. Kontrcz lony takie by spe lnić warunki (schemat On Shell ). Mora l: tylko jeden szczególny wybór zmiennych kanonicznych zgodny z za lożeniami

21 Jak si e uwolnić od za lożenia o odpowiedniości α in(out) i α 0? Najpierw pokazać że (wciaż w ramach za lożeń) [ ( )] β 0 T O l1 (x 1 )...O lr (x r ) exp i d 4 x H I (x) α 0 [ ] = β out T Ol H 1 (x 1 )...Ol H r (x r ) α in Potem że za podstaw e QFT można przyjać funkcje G (n) l 1...l n (x 1,...,x n ) = Ω T [ ] Ol H 1 (x 1 )...Ol H n (x n ) Ω wymagaja tylko istnienia Ω ; żadnych za lożeń czy sa stany czastkowe (i jak si e maja do α 0 H 0 ).

22 Wzór z rachunku zaburzeń [ Ω 0 T O l1 (x 1 )...O lr (x r ) exp nadal s luszny bo = Ω out T ( i )] d 4 x H I (x) ] [ O H l 1 (x 1 )...O H l r (x r ) Ω 0 Ω in Ω in(out) = lim t eiht e ih 0t Ω 0 = U I (0, ) Ω 0, wynika ze zwyk lego rachunku zaburzeń (stany Ω 0 i Ω in(out) sa jedynymi dyskretnymi stanami H 0 i H) Wybór zmiennych kanonicznych nieistotny Można wziać dowolne zmienne φ R = Z 1/2 φ i dowolnie rozbić M 2 = MR 2 + δm2.

23 Wybór zmiennych kanonicznych nieistotny Można wziać dowolne zmienne φ R = Z 1/2 φ i dowolnie rozbić M 2 = MR 2 + δm2 (czyli H na H 0 i V ). operatory a i a diagonalizuja wydzielony H 0 ; Z nich φ I (x) = e ih0t φ H R (0,x)e ih0t. Rachunek zaburzeń: O H l (x) O l (φ H (x), ) = O l (Z 1/2 φ H R (x), ) O l(z 1/2 φ I (x), ) Operatory O H l (x) dowolnie z(re)normalizowane Wszystkie operatory tak samo dobre Reszta - twierdzenie Wicka plus wzór Żadnych problemów z liniami zewn etrznymi

24 q 1 q n q 1 q n q r G (n) q r+1 q r k q r+1 Rysunek 3: Factorization of a pole of a Green s function. Ale po co nam póżniowe funkcje Greena? Z nich widmo czastek (jeśli dana teoria je opisuje - konforemne np. nie!) i elementy macierzy S - przez LSZ. G (n) c (q n,...,q 1 ) = FT Ω T [O n (x n )...O 1 (x 1 )] Ω i p 2 m 2 ph + i0 (2π)4 δ (4) (q n q 1 ) σ M(q n,...,q r+1 pσ)m(pσ q r,...,q 1 )

25 Dla funkcji dwupunktowej (propagatora) G (2) l 1 l (p 2 1,p 2 ) (2π) 4 δ (4) (p 1 p 2 ) Ω O l1 (0) p 1 σ σ i p 2 1 m2 ph + i0 p 1σ O l (0) Ω. 1 Z relatywistycznej niezmienniczości Ω O l (x) p 1 σ = Z 1/2 O u l(p 1,σ) e ip 1 x Czynnik Z O operatora O potrzebny do macierzy S Nie mylić ich z czynnikami Z pol elementarnych: odpowiednio wybierajac Z (tj. schemat renorm) można zrobić Z = 1 (czyli operatory φ H ph maj a Z = 1).

26 Macierz S z redukcji LSZ Warunek asymptotyczny: dla x 0 (+ ) O l (x) Z 1/2 O φin(out) l (x) Sens: lokalność i faktoryzacja elementów mać! Dwa razy faktoryzacja biegunów G (n) (q n,,q 1 ) (2π) 4 δ (4) ( p n + q n q 2 + p 1 ) σ n σ 1 i p 2 n m 2 ph,n + i0 M(p nσ n q i n 1,,q 2 p 1 σ 1 ) p 2 1 m2 ph,1 + i0 Ω O n (0) p nσ n p 1 σ 1 O 1 (0) Ω,

27 (2π) 4 δ (4) ( p n + q n q 2 + p 1 ) M(p nσ n q n 1,...,q 2 p 1 σ 1 ) = d 4 x n 1... d 4 x 2 e iq n 1x n 1...e iq 2x 2 p nσ n T[O n 1 (x n 1 )...O 2 (x 2 )] p 1 σ 1. Niech O 2 b edzie zdolny anihilować cz astk e in o p 2 σ 2. Rozpatrujemy wk lad obszaru x 0 n 1,...,x0 3 > x 0 2

28 d 4 x n 1... d 4 x 2 e iq n 1x n 1...e iq 2x 2 ( ) Θ min(x 0 n 1,...,x0 3 ) x0 2 dγ k1 dγ k2 σ 1, σ 2 p nσ n T[O n 1 (x n 1 )...O 3 (x 3 )] (k 1 σ 1,k 2 σ 2 ) in (k 1 σ 1,k 2 σ 2 ) in O 2 (x 2 ) (p 1 σ 1 ) in + reszta. Biegun dla p 2 2 m2 ph 2 od x0 2 a wtedy warunek asymptotyczny daje (k 1 σ 1,k 2 σ 2 ) in O 2 (x 2 ) (p 1 σ 1 ) in (k 1 σ 1 ) in (p 1 σ 1 ) in (k 2 σ 2 ) in O 2 (x 2 ) Ω. lokalność==>faktoryzacja!

29 G (n) c ( p n,..., p r+1,p 1...,p r ) = (2π) 4 δ (4) ( p + p) n i Z 1/2 O j p 2 j m2 ph,j + i0 u(p j,σ j ) j=r+1 r k=1 σ j u i Z 1/2 O (p k,σ k ) k σ p 2 k k m2 ph,k + i0 ( i)m(p n σ n,...,p 1σ 1 ), S βα = (p nσ n,...,p r+1 σ r+1 ) out (p 1 σ 1,...,p r σ r ) in con = (2π) 4 δ (4) ( p + p)( i)m(p nσ n,...,p 1 σ 1 ).

30 r m r c c m r c c m l G (4) c s = l c c s + c c l c +... s Rysunek 4: G (n) c (q n,...,q 1 ) = (2π) 4 δ (4) ( i q i ) G (2) c (q 1 ) N c (q n,...,q 1 ) (2π) 4 δ (4) ( i q i ) σ 1 i Z u(p 1,σ 1 ) u (p 1,σ 1 ) p 2 1 m2 ph,1 + i0 N c (q n,...,p 1 )

31 LSZ: ścis le nieperturbacyjne sformu lowanie niema żadnej odpowiedniości pole z L czastka! (ten sam stan asympt z różnych operatorów, czastki nietrwa le; stany zwiazane) można używać dowolnego schematu ren. ==> grupa renormalizacji zrenormalizowane operatory nie sa w jakikolwiek sposób lepsze od go lych to uj ecie pozwala lepiej zrozumieć renormalizacj e operatorów z lożonych i OPE i w ogóle ca l a struktur e logiczna RQFT! Amen.