Ergodyczność procesów filtracji - o wieloletnim błędzie i próbach jego poprawienia

Transkrypt

1 Ergodyczność procesów filtracji - o wieloletnim błędzie i próbach jego poprawienia Łukasz Stettner Instytut Matematyczny PAN VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, UŚ, 11 stycznia 2013

2 Prof. Andrzej Lasota 11 stycznia 1932, Warszawa - 28 grudnia 2006 VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

3 Dobra matematyka jest to odkrywanie matematyki w rzeczywistości, czy raczej odkrywanie matematycznej struktury w rzeczywistości, w złej matematyce struktury buduje się formalnie, zła matematyka przypomina mi koszmarny sen... dobra matematyka jak dobra poezja to twórcze poznawanie struktury rzeczywistości. (z wypowiedzi prof. A. Lasoty) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

4 VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

5 Historia problemu i jego motywacje proces stanu (x n ) proces obserwacji (y n ) 1801 C.F. Gauss, planetoida Ceres (Giuseppe Piazzi, Franz Xaver von Zach) 1809 C.F. Gauss, Theory of the motion of the heavenly bodies moving about the sun in conic sections - New York: Nachdruck Dover Publications 1963, 1821 C.F. Gauss, Theoria combinations observationum erroribus minimis obnoxiae, Gesammelte Werke, Bd.4. Götingen 1941 A.N. Kolmogorov, Intiergrirovanije i ekstrapolirovanije stacjonarnych sluczajnych posledovatelnostiej, Izv. AN SSSR, t. 5 no N. Wiener, Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series - New York, Wiley VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

6 Liniowy proces filtracji Thorvald Nicolai Thiele, Peter Swerling 1958, 1959 R.C. Bucy, 1960 Rudolf E. Kalman, R.E. Kalman and R.C. Bucy 1961 liniowa filtracja x n := E [x n y 1,..., y n ] przez warunkową wartość oczekiwaną E [X Y ] rozumiemy projekcję (rzut) zmiennej X na przestrzeń L 2 (Ω, σ {Y }, P ) (zakładając cicho, że X L 2 (Ω, F, P )) filtr Kalmana Bucy ego (w wersji uogólnionej przez szkołę rosyjską R. Liptser i A. Shiryaev lata 70-te) ciągi warunkowo normalne x n+1 = a(y n )x n + b(y n ) + c(y n )w n y n+1 = d(y n )x n + e(y n ) + f(y n )v n (w n ), (v n ) i.i.d. N(0, 1) x n, E [ (x n x n ) (x n x n ) T y 1,..., y n ] dane rekurencyjnymi równaniami VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

7 Procesy Markowa Andrey (Andrei) Andreyevich Markov (14 czerwca lipca 1922) (x n ), P (x, A) = P {x 1 A x 0 = x} prawdopodobieństwo przejścia P f(x) := E 0 f(x )P (x, dx ) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

8 Miary niezmiennicze dla procesów Markowa µ jest miarą niezmienniczą dla P (x, dy) jeżeli µ(a) = E 0 P (x, A)µ(dx) = P (µ, A) dla A E 0 miary niezmiennicze opisują zachowanie się procesu, gdy czas dąży do nieskończoności i operatora P n (x, A) (P n (x, A) µ(a) lub 1 n ni=1 P n (x, A) µ(a) gdy n ) miara niezmiennicza - miara równowagi N. N. Bogoliubov and N. M. Krylov (1937). "La theorie generalie de la mesure dans son application a l etude de systemes dynamiques de la mecanique nonlineaire" VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

9 Opis modelu i jego własności - proces stanu (x n ), (y n ) procesy o wartościach w przestrzeni polskiej E 0 and E (x n ), proces stanu (nieobserwowany, ukryty) - proces Markowa o prawdopodobieństwie przejścia P (x n 1, dx ) (y n ), proces obserwacji P x n 1 (y n 1, dy ) (np. y n = h(x n ) + w n lub y n = h(x n, y n 1 ) + w n ) X n = σ{x 0, x 1,..., x n }, Y n = σ{y 0, y 1,..., y n }, P { x n+1 A X n, Y n} = P (x n, A), (1) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

10 Opis modelu i jego własności - proces obserwacji Przypadek szczególny: y n = h(x n, w n ) P { y n+1 B X n+1, Y n} = r ( x n+1, y ) η(dy ) (2) B Przypadek ogólny: y n+1 = h(y n, x n+1, w n+1 ) para jest procesem Markowa z operatorem prawdopodobieństw przejścia P { y n+1 B X n+1, Y n} = P x n+1 1 (y n, B) = ( xn y n ) r ( x n+1, y n, y ) η(dy ) (3) B T f(x, y) = E 0 E f ( x, y ) P x 1 (y, dy )P (x, dx ) (4) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

11 Proces nieliniowej filtracji - przypadek szczególny π n (A) = P {x n A Y n } = E {1 A (x n ) Y n } procesie (x n ) na podstawie obserwacji Y n P a.s. dla A E 0 informacja o π 0 (A) = ν(a) rozkład początkowy procesu (x n ), π n to proces o wartościach w przestrzeni miar probabilistycznych P(E 0 ) nad E 0. M (y, ν) (A) = A r ( x, y ) P ( ν, dx ) r (x, y) P (ν, dx ) := E 0 N(y, ν)(a) N(y, ν)(e 0 ) Mamy, że π n+1 (A) = M ( y n+1, π n ) (A), co jest równaniem rekurencyjnym (π n ) jest procesem Markowa z prawdopodobieństwem przejścia F (ν) = E 0 E F (M (y, ν)) r (x, y) dyp (ν, dx) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

12 Proces nieliniowej filtracji - przypadek ogólny M ( y, y, ν ) (A) = A r ( x, y, y ) P ( ν, dx ) r (x, y, y ) P (ν, dx ) := E 0 ρ(dx, dy) = p ρ (y, dx)ρ(e 0, dy) N(y, y, ν)(a) N(y, y, ν)(e 0 ). π ρ 0 (A) = p ρ (y 0, A) πn(a) ρ = M ( y n 1, y n, π ρ ) (5) n 1 (A) π ρ n (A) = P {x n A Y n } P a.s. Para ( π ρ n y n ) tworzy proces Markowa z operatorem F (ν, y) = E 0 F ( M ( y, y, ν ), y ) ( P x 1 y, dy ) P (ν, dx) (6) E VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

13 Główny problem w przypadku szczególnym: ergodyczność (istnienie jedynej miary niezmienniczej) dla procesu (π n ); w przypadku ogólnym: ergodyczność pary n ( ρ ) π, y n H.Kunita (1971), L. Stettner (1989), H. Kunita (1991), A.G. Bhatt, A. Budhiraja, R.L. Karandikar (2000) T. Kaijser (1975), P. Baxendale, P. Chigansky, R. Liptser (2004), A. Budhiraja (2003), Di Masi, L.S. (2005), F. Le Gland, N. Oudiane (2004), V. Tadic, A. Doucet (2005), M.L. Kleptsyna, A.Yu. Veretennikov (2007) Twierdzenie (nieprawdziwe). Załóżmy, że istnieje jedyna miara niezmiennicza µ dla procesu stanu (x n ). Wtedy proces nieliniowej filtracji (π n ) ma dokładnie jedną miarę niezmienniczą wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek lim sup n E x {f(x n )} µ(f) µ(dx) = 0. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

14 Gdzie był błąd? w przejściu granicznym, gdzie Y n = σ {..., y n, y n+1,..., y 0, y 1,..., y n } X m = σ {..., x n, x n+1,...,..., x m } lim m E { φ(x n ) Y n Xm } E { φ(xn ) Y n }, X = {, Ω}, (z tw. Levy ego E { Z X m } { } E Z X ) Kontrprzykład (T. Kaijser (1975), P. Baxendale, P. Chigansky, R. Liptser (2004)) E 0 = {1, 2, 3, 4}, E = {0, 1} macierz prawdopodobieństw przejścia procesu (x n ) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

15 E 01 = {1, 3}, E 02 = {2, 4} y n = 1 E01 (x n ) r(x, 1) = 2 for x E 01, r(x, 1) = 0 for x E 02 r(x, 0) = 2 for x E 02, r(x, 0) = 0 for x E 01 with η(0) = η(1) = 1 2. P (x, E 01 ) = 1 2, (y n) i.i.d. P {y n = 0} = P {y n = 1} = 1 2 α 0 1 α 0, 0 α 0 1 α, 1 α 0 α 0, 0 1 α 0 α dla α (0, 1) mamy kontinuum zbiorów niezmienniczych i miar niezmienniczych. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

16 Dlaczego zadziałał kontrprzykład? Jeżeli y n = 1 E01 (x n )+w n, gdzie (w n ) i.i.d. np. N(0, 1) to istnieje jedyna miara niezmiennicza dla (π n ). Hipoteza: G.B. Di Masi Stettner (2005) Istnienie jedynej miary niezmienniczej dla (x n ) plus równoważność operatorów obserwacji r(x, y)η(dy), (P x 1 (y, ) = r(x, y, y )η(dy ) w przypadku ogólnym) dla x E 0, (również dla y E w przypadku ogólnym) implikuje istnienie jedynej miary niezmienniczej dla operatora Π, czyli procesu filtracji (π n ), ( ( π ρ n y n ) N(0, 1)) w przypadku ogólnym) (np. y n+1 = h(y n, x n+1 ) + w n+1, z (w n ) i.i.d. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

17 Asymptotyczna stabilność procesów filtracji R. Atar, O. Zeitouni (1997), ρ (dx, dy) = p ρ (y, dx)ρ (E 0, dy); zdefiniujmy rekursywnie π ρρ 0 (A) = p ρ (y 0, A) ( π ρρ n+1 (A) = M y n, y n+1, πn ρρ A r (x,y n,y n+1 )P r(x,y n,y n+1 )P E 0 (π ρρ (π ρρ n+1,dx ) ) (A) = ρρ n )(A) ) =: N(y n,y n+1,π n+1,dx N(y n,y n+1,πn ρρ. )(E 0 ) (7) (πn ρρ ) aproksymacyjny proces filtracji Mamy asymptotyczną stabilność według prawdopodobieństwa jeżeli dla ρ 1, ρ 2 P(E 0 E) zachodzi π ρρ 1 n (f) π ρρ 2 n (f) 0 według P ρ, gdy n, dla f C(E 0 ) i ρ - początkowego rozkładu (x n, y n ) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

18 Metryka Hilberta dla µ, ν M(E 0 ) h(µ, ν) = sup ln µ(a)ν(b) A,B B(E 0 ),µ(b),ν(a)>0 µ(b)ν(a) = ln α(µ, ν) β(µ, ν) (8) α(µ, ν) = inf {a : aµ ν} β(µ, ν) = sup {b : bµ ν}. jeżeli L jest liniową transformacją zachowującą porządek w M(E 0 ) to z = sup µ,ν h(lµ, Lν). h (Lµ, Lν) tanh ( ) 4 (9) h(µ, ν) (10) jeżeli µ, ν P(E 0 ) to µ ν var 2 h(µ, ν) (11) ln 2 VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

19 Twierdzenie 1 Jeżeli dla k = 1 mamy (A1) i dla k > 1, (A1) sup h(p k (x, ), P k ( x, )) < x,x E 0 (A2) istnieją funkcje ciągłe r(y, y ), r(y, y ), r(y ) takie, że dla dowolnych x E 0, y, y E, mamy 0 < r ( y, y ) r ( x, y, y ) r ( y, y ) r ( y ), oraz k 1 { E ρ ln r } (y i 1,y i ) < i i=1 r(y i 1,y i ) E E... E E r (y(k 2), y(k 1)) η(dy(k 1)) r(y(k 3), y(k 2))η(dy(k 2))... r(y(0), y(1)) η(dy(1))r(y(0))η(dy(0)) <. (12) to dowolnych miar ρ 1, ρ 2 P(E 0 E) przy n mamy [ ( ρρ E ρ h π 1 n, π ρρ )] 2 n 0 (13) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

20 Propozycja 1 Jeżeli dla k = 1 zachodzi (B1) i (B2) lub dla k > 1 (B1) k N takie, że sup x,x E 0 sup h ( T k (x, y, ), T k ( x, y, )) <, y,y E (B2) istnieją funkcje ciągłe r(y, y ), r(y, y ) takie, ze dla każdego x E 0 i dla k jak w (B1), zachodzi (A2), 0 < r ( y, y ) r ( x, y, y ) r ( y, y ) (B3) dla f 1 C(E 0 ), f 2 C(E) odwzorowanie jest ciągłe, x P f 1 (x) and (x, y) P x 1 f 2(y) wtedy dla dowolnych miar ρ 1, ρ 2 P(E 0 E), gdy n mamy [ ( ρρ E ρ h π 1 n, π ρρ )] 2 n 0. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

21 Ergodyczne własności aproksymacyjnych procesów filtracji Trójka (x n, y n, πn ρρ ) jest procesem Markowa z operatorem przejścia S danym dla F bb(e 0 E P(E 0 )) wzorem SF (x, y, ν) = E 0 E F ( x, y, M ( y, y, ν )) P1 x ( y, dy ) P ( x, dx ). π µ 0η 0 ν lub π xyν aproksymacyjnym procesem fitracji π ρρ z ρ = µ 0 η 0 i ρ = ν η 0 lub ρ = δ x δ y i ρ = ν δ y Aproksymacyjne procesy filtracji π µ 0η 0 ν są asymptotycznie stabilne wg prawd. w (µ 0, η 0 ) jeżeli dla dowolnego ν 1, ν 2 P(E 0 ) i ϕ bb(e 0 ) π µ 0η 0 ν 1 n (ϕ) π µ 0η 0 ν 2 n (ϕ) 0, P µ0 η 0 prawie wszędzie, gdy n. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

22 Główne wyniki Twierdzenie 2 Załóżmy, że istnieje jedyna miara niezmiennicza ζ(dx, dy) dla operatora T i aproksymacyjne procesy filtracji (πn xyν ) są asymptotycznie stabilne wg prawd. w (x, y) dla ζ prawie wszystkich (x, y). Wtedy istnieje co najwyżej jedna miara niezmiennicza dla operatora S. Propozycja 2 Jeżeli operator jest S fellerowski i istnieje miara niezmiennicza ζ dla operatora T to istnieje miara niezmiennicza dla operatora S. Wniosek 1 Jeżeli operator Π jest fellerowski i istnieje miara niezmiennicza ζ dla operatora T, to istnieje miara niezmiennicza dla Π. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

23 Główne wyniki - kontynuacja dla miary Φ P(P(E 0 ) E) zdefiniujmy barycenter bφ, A B(E 0 ) i B B(E), jako bφ(a B) = wtedy bφ P(E 0 E). P(E 0 ) ν(a)φ(dν, B), Lemat 1 Jeżeli Φ jest niezmiennicza dla Π, to bφ jest niezmiennicza dla T. Twierdzenie 3 Jeżeli S jest fellerowski i ma co najwyżej jedną miarę niezmienniczą to operator Π też ma co najwyżej jedną miarę niezmienniczą. Wniosek 2 Jeżeli S jest fellerowski i istnieje jedyna miara niezmiennicza ζ dla T i dla ζ prawie wszystkich (x, y) aproksymacyjne procesy filtracji (πn xyρ ) są asymptotycznie stabilne wg prawdopodobieństwa w (x, y), to istnieją jedyne miary niezmiennicze dla operatorów S and Π. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

24 Minimal and maximal invariant measures for Π C c (P(E 0 ) E) funkcji ciągłych, ograniczonych P(E 0 ) E (ν, y) F (ν, y) wypukłych ze względu na ν przy ustalonym y E. Wprowadźmy porządek P(P(E 0 ) E): q 1 q 2 if f Cc (P(E 0 ) E) q 1 (f) q 2 (f) i dwa procesy filtracji (oba z tym samym operatorem prawdopodobieństw przejścia Π): π ρ n(a) = P ρ {x n A x 0 Y n } i π ρ n(a) = P ρ {x n A Y n } rozkłady π ρ n i π ρ n, gdy ρ miara niezmiennicza dla T, dążą do miar ekstremalnych niezmienniczych M i m procesów filtracji, gdzie m M, jest to największa i najmniejsza miara niezmiennicza dla operatora Π Dostateczne warunki na asymptotyczną stabilność aproksymacyjnych procesów filtracji D. Ocone, E. Pardoux (1996), A. Budhiraja (2003); istnienie jedynej miary niezmienniczej dla Π implikuje asymptotyczną stabilność aproksymacyjnych procesów filtracji VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

25 Ergodyczność procesu filtracji metodą znikającego dyskonta M. Schäl (1993), G.B. Di Masi i Ł. Stettner (2008); dla F : P(E 0 ) E R zdefiniujmy g F := inf µ P(E0 ),y E lim sup n n 1 n 1 i=0 Πi F (µ, y) w β F (µ, y) := i=0 β i Π i F (µ, y), z 0 < β < 1, m β F := inf µ P(E 0 ),y E wβ F (µ, y) ḡ F := lim sup β 1 (1 β)m β F, g F := lim inf β 1 (1 β)m β F Wtedy 0 g F ḡ F g F Lemat 2 Jeżeli istnieje nieujemna funkcja borelowska w F P(E 0 ) i y E mamy taka, że dla µ to wtedy dla µ P(E 0 ) i y E w F (µ, y) + g F F (µ, y) + Πw F (µ, y) (14) g F = lim sup n 1 n n 1 i=0 Π i F (µ, y) (15) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

26 Niech h β F (µ, y) := wβ F (µ, y) mβ F (16) (A F ) sup β<1 h β F (µ, y) < for all (µ, y) P(E 0) E w β F (µ, y) = F (µ, y) + βπwβ F (µ, y) (17) h β F (µ, y) := F (µ, y) (1 β)mβ F + βπhβ F (µ, y) (18) Lemat 3 Przy założeniu (A F ) istnieje nieujemna funkcja borelowska w F taka, że dla µ P(E 0 ) i y E mamy w F (µ, y) + g F F (µ, y) + Πw F (µ, y) (19) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

27 Główny wynik g F = lim sup n 1 n n 1 i=0 Π i F (µ, y) Propozycja 3 Załóżmy, że zachodzi (A F ) dla ograniczonych funkcji F z klasy wyznaczającej miary( P(E 0 ) E. Wtedy istnieje co najwyżej jedna miara niezmiennicza Φ dla pary n ρ ) π. y n Warunek dostateczny na (A) M + (E 0 ); F : P(E 0 ) E R let ζ ZF (ζ, y) = ζ(e 0 )F (, y) (20) ζ(e 0 ) ΠF (µ, y) = E ZF (N(y, y, µ), y )η(dy ) (21) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

28 Lemat 4 Jeżeli F : P(E 0 ) E R jest wklęsła ze względu na pierwszą zmienną to ZF : M + (E 0 ) E R jest także wklęsła ze względu na pierwszą zmienną. Niech i indukcyjnie N 0 (y, µ)(a) = µ(a) N 1 (y, y, µ)(a) = N(y, y, µ)(a) (22) N n (y 0, y 1,..., y n, µ)(a) = N(y n 1, y n, N n 1 (y 0, y 1,..., y n 1, µ))(a) (23) M n (y 0, y 1,..., y n, µ)(a) =: N n(y 0, y 1,..., y n, µ)(a) N n (y 0, y 1,..., y n, µ)(e 0 ). (24) Jeżeli rozkładem początkowym (x n ) jest µ i y 0 = y to P p.w.. π µy n (A) = M n (y, y 1,..., y n, µ)(a) (25)

29 Lemat 5 Π n F (µ, y) = E µy {F (π n, y n )} = E 0 {ZF (N n (y, ỹ 1,..., ỹ n, µ), ỹ n )} (26) gdzie E 0 to wartość oczekiwana względem miary P 0 przy której zmienne losowe ỹ 1, ỹ 2,..., ỹ n są i.i.d. z rozkładem η. Lemat 6 Dla ograniczonej funkcji mierzalnej F : P(E 0 ) E R i β (0, 1) istnieje jedyne rozwiązanie w β F równania (23). Jeżeli F jest ciągła zaś Π fellerowska to w β F jest także ciągła. Jeżeli F wklęsła ze względu na pierwszą zmienną to w β F jest także wklęsła ze względu na pierwszą zmienna. Niech µ, ν P(E 0 ), ɛ (0, 1), naturalne m D ν,µ ɛ,m (y, y ) := { ω : Nm (y, ỹ 1,..., ỹ m, ν) ɛn m (y, ỹ 1,..., ỹ m, µ) } (27) (C1) m ɛ>0,δ>0 takie, że y,y E 0 E 0 {1 D ν,µ ɛ,m(y,y ) (ω)n m(y, ỹ 1,..., ỹ m, µ)(d 1 ) } δ (28)

30 h β m 1 F (µ, y) = (1 β)m β F i=0 m 1 i=0 β i E 0 {ZF (N i (y, ỹ 1,..., ỹ i, µ), ỹ i )} β i + (29) β m E 0 { Zh β F (N m(y, ỹ 1,..., ỹ m, µ), ỹ m } Propozycja 4 Przy założeniu (C1) dla ograniczonej ciągłej wklęsłej ze względu na pierwszą zmienną funkcji F mamy h β F m F. (30) ɛδ

31 Równanie Poissona Zakładamy, że E σ - zwarta; tj. istnieją zwarte zbiory (E k ) takie, że E k E k+1 i E = k=1 Ek. λ k m(ν, y, µ, y) := sup { s [0, 1] s.t. N m (y, y 1,..., y m, ν) N m (y, y 1,..., y m, µ) for y 1,..., y m E k} (31) (C2) if ν µ and y y mamy dla k = 1, 2,... λ k m(ν, y, µ, y) 1 i λ k m(µ, y, ν, y ) 1 (C3) E 0 { 1 E k(ỹ 1 )... 1 E k(ỹ m )N m (y, ỹ 1,..., ỹ m, µ)(e 0 ) } 1 gdy k and for any y k y, ν k ν E 0 { 1 E k(ỹ 1 )... 1 E k(ỹ m )N m (y k, ỹ 1,..., ỹ m, ν k )(E 0 ) } 1 (C4) for each i = 1, 2,... odwzorowanie (µ, y) N i (y, y 1,..., y i, µ) and y 1 N 1 (y, y 1, µ) jest ciągłe w słabej topologii. VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

32 Propozycja 5 Przy założeniach (C1)-(C4) dla każdej ciągłej ograniczonej ze względu na pierwszą współrzędną funkcji F funkcje h β F są jednakowo ciągłe w każdym punkcie (µ, y) P(E 0 ) E. Wniosek 3 Przy założeniach (C1)-(C4) dla ograniczonej ciągłej, wypukłej ze względu na pierwszą współrzędna funkcji F istnieje ograniczona funkcja w F : P D 2 R taka, że µ P(E 0 ) i y E w F (µ, y) + g F = F (µ, y) + Πw F (µ, y). (32)

33 Ergodyczne problemy z częściową obserwacją L. Stettner 1993, V. Borkar 1999, 2003, V. Borkar A. Budhiraya 2004, T. Duncan B. Pasik-Duncan L. Stettner 2005, J. Palczewski L. Stettner 2007, A. Arapostathis, V.S. Borkar i M.K. Ghosh 2012, P v n(x n, dx), P x n+1,v n 1 (y n, dy) V = (v n ), v n mierzalne względem Y n np. v n = u(π n ) J(V ) = lim sup n 1 n E V { n 1 i=0 c(x i, y i ) } min w(µ, y) + g = inf a U [c(µ, y) + Πa w(µ, y)]. (33) VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

34 Co z hipotezą? prace R. van Handela (2009) i X.T. Tong, R. van Handel (2012) (R) operatory obserwacji r(x, y, y )η(dy ), są równoważne (dla różnych x i y) (H) istnieje miara probabilistyczna φ P(E (0, )) taka, że P {(x n, y n ) } φ( ), w normie wahania, gdy n. (jest to spełnione dla szerokie klasy ergodycznych procesów Harrisa) Twierdzenie 4 Przy założeniu (R) i (H) istnieje jedyna miara niezmiennicza Φ dla pary (y n, π n ) i ponadto Π n zbiega w normie wahania do Φ, gdy n. Uwaga 1 Jeżeli (H) jest zastąpione przez słabą zbieżność to może być więcej miar niezmienniczych dla pary (y n, π n ) (kontrprzykład R. van Handela 2010). Zatem hipoteza nie jest prawdziwa. Pytanie co należałoby dodać do słabej zmienności, by mieć jedyną miarę niezmienniczą do operator Π? VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

35 Dziękuję za uwagę! VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia

36 VI Wykład im. Profesora Andrzeja Lasoty, Katowice, 11 stycznia