Fizyka ośrodków ciągłych

Transkrypt

1 Notatki do wykładu Fizyka ośrodków ciągłych Fizyka techniczna sem. VI

2

3 Spis treści Wprowadzenie Rozdział 1. Przypomnienie z algebry Przestrzenie wektorowe (liniowe) Kombinacje liniowe. Współrzędne wektora w bazie Odwzorowania liniowe Przestrzeń dualna V. Tensory Pojęcie tensora Działania algebraiczne na tensorach Tensor metryczny. Przestrzeń euklidesowa, przestrzeń Minkowskiego Rozdział 2. Analiza pól Potok pola wektorowego Twierdzenia całkowe Funkcje i pola we współrzędnych krzywoliniowych Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych Równanie ciągłości Całkowa postać równania ruchu Tensor napięć Symetryczność tensora napięć Interpretacja współczynników tensora napięć Równanie Eulera. Ciecz idealna Równanie fizyczne płynu Opis ruchu cieczy idealnej Strumień pędu cieczy idealnej Równanie Bernoulliego Proste przykłady Rozdział 4. Ruch potencjalny Wirowość Twierdzenie Kelwina o zachowaniu krążenia Przykłady ruchu potencjalnego cieczy nieściśliwej Ruch 3D z symetrią osiową Ruch 2D Fale akustyczne Dodatek. Elementy teorii aerodynamiki Potencjał prędkości i funkcja prądu Odwzorowania konforemne Rozdział 5. Przepływy z powierzchnią swobodną. Fale Układ równań różniczkowych Tory cząstek Uzupełnienie Ruch pakietu falowego Długoterminowa odpowiedź na zaburzenie zlokalizowane w przestrzeni Prędkość przenoszenia energii Dodatek. Solitony Rozdział 6. Równania ruchu cieczy lepkiej Równanie ruchu cieczy lepkiej

4 4 Spis treści 6.2. Równania ruchu w układach współrzędnych walcowych i sferycznych Proste modele przepływu nieściśliwej cieczy lepkiej Prawa podobieństwa hydrodynamicznego Siła oporu działajacą na kulkę powoli poruszajacą się w cieczy lepkiej Rozdział 7. Uzupełnienie. Elementy teorii sprężystości Odkształcenia Tensor odkształcenia Interpretacja geometryczna tensora odkształcenia Przykłady - odkształcenia proste Rozdział 8. Zadania Bibliografia

5 Wprowadzenie Pod pojęciem Fizyki ośrodków ciągłych w trakcie niniejszego wykładu rozumieć będziemy mechanikę płynów i ciał sprężystych czyli ciał ulegających deformacjom pod wpływem działających sił (w przeciwieństwie do brył sztywnych, w których zakładamy stałość wzajemnych odległości poszczególnych elementów bryły). Podstawowymi założeniami będą: 1. Ciągły rozkład substancji. Zaniedbujemy strukturę molekularną - przyjmujemy ciągły rozkład materii i w konsekwencji ciągły rozkład wszystkich wielkości fizycznych. 2. Stosowalność praw mechaniki klasycznej. Zakładamy, że do bardzo małych części ciała stosują się prawa klasycznej mechaniki. Ad. 1. Jak doskonale wiemy, w rzeczywistości materia ma budowę dyskretną, składa się z atomów i cząsteczek (molekuł). Jednak w dużej skali, przykładowo w skali naszego codziennego doświadczenia, z uwagi na ogromną ilość molekuł nawet w niewielkim obszarze, materia jawi się nam jako rozłożona w sposób ciągły. Powietrze w warunkach normalnych ( o C, 1atm) w 1m 3 zawiera około 2, cząsteczek. Oznacza to, że w sześciennej kostce o boku 1µm = 1 6 m (a zatem w małej skali w warunkach laboratoryjnych) znajduje się około 2, cząsteczek. Średnica cząsteczek wynosi około 1 9 m, zaś średnie odległości międzycząsteczkowe 1 8 m. W skali około 1 8 m wyniki pomiarów różnych wielkości ulegałyby gwałtownym fluktuacjom Rysunek Wyniki pomiarów np. gestości w zależności od skali odległości. Jeżeli rozpatrujemy obszary makroskopowe, w których ilość molekuł jest duża, pomijamy strukturę molekularną przyjmując ciągły jej rozkład w przestrzeni. Będziemy mówić o gęstości materii w punkcie x R 3 i rozumieć przez to stosunek masy m, zawartej w dostatecznie małym obszarze przestrzennym wokół punktu x, do objętości tego obszaru ϱ(x) = m V. Pojęcie dostatecznie mały oznacza tak mały, że dalsze jego niezbyt wielkie (np. dwukrotne) zmniejszanie nie wpływa już dostrzegalnie (w granicach błędów doświadczalnych przy danych pomiarach) na wartość stosunku m V. Dla sześcianu V = L3 gdzie skala nieciągłości m L 1 5 m - skala ciągłych zmian (np. rozmiary wirów w filiżance kawy). Ad. 2. Z uwagi na przyjęte założenie pierwsze teoria ośrodków ciągłych nie jest teorią kwantową. A ponieważ prędkości jakie występują w ciałach (np. prędkości dźwięku) jak wynika z doświadczenia są małe w porównaniu z prędkością światła, więc teoria ta nie jest również teorią relatywistyczną. Bedziemy stosować prawa mechaniki klasycznej. Wykład można traktować jako ilustrację pojęć i twierdzeń matematycznych poznanych na kursie analizy i algebry. Rozpoczniemy od przypomnienia niektórych z nich w rozdziałach pierwszym i drugim. Nie jest to jednak tylko ćwiczenie. Wiele modeli matematycznych ma znaczenie praktyczne prawo Archumedesa, straty siły (energii) w zwężających się (rozszerzających) rurach siła nośna, siła oporu Stokesa, dynamika fal pływowych (tsunami), prędkość propagacji...

6 6 Wprowadzenie Dynamika ośrodków ciągłych oobejmuje wiele praktycznych problemów, których nie omówimy w trakcie zajęć: przepływy w przemyśle: projektowanie pojazdów aerodynamicznych, turbiny elektrowni wodnych, procesy chemiczne, ciecze w środowisku naturalnym: przepływy wewnątrz i na zewnątrz budynków, prądy morskie i oceaniczne, prognozowanie pogody i zmian klimatycznych, utrata powłoki ozonowej, erupcje wulkanów pływy w geofizyce i astrofizyce: wypływ magmy, ruch kontynentów, pulsacje gwiazd...

7 Rozdział 1 Przypomnienie z algebry 1.1. Przestrzenie wektorowe (liniowe). Definicja Niech V. Uporządkowaną czwórkę (V, R, +, ) nazywamy przestrzenią liniową (wektorową) nad R jeżeli: 1. (V, +) jest grupą abelową tzn. a) V b) v, w V v + w = w + v G (przemienność) c) v, w, z V (v + w) + z = v + (w + z) (łączność) d) Θ V v V Θ + v = v (wektor zerowy) e) v V v V v + v = Θ (wektor przeciwny) 2. : R V V jest działaniem zewnętrznym w V nad R. 3. a, b R, v, w V a) (a + b) v = a v + b v, b) a (v + w) = a v + a w, c) a (b v) = (a b) v, d) 1 v = v Uwagi i umowy. 1. Elementy zbioru (ciała) R nazywamy skalarami. 2. Elementy zbioru V nazywamy wektorami, działanie wewnętrzne w grupie (V, +) nazywamy dodawaniem wektorów. 3. Element neutralny grupy (V, +) oznaczamy Θ (czytaj teta), zaś element odwrotny do ξ V, ξ. Zamiast pisać ξ + ( η) piszemy krócej ξ η. 4. Często zamiast pisać (V, R, +, ) będziemy pisać V (R) lub jeszcze krócej V. Bardzo ważne przykłady przestrzeni liniowych. 1. Określmy zbiór V n (R) V n (R) := R n = R R }{{} n = { x 1. x n : 1 i n x i R } {(x i ) i n : 1 i n x i R } Określamy działania, dla dowolnych ξ = x 1. x n (x i ) i n, η = y 1. y n (y i ) i n, a R ξ + η = (x i ) i n + (y i ) i n := (x i + y i ) i n a ξ = a (x i ) i n := (a x i ) i n

8 8 Rozdział 1. Przypomnienie z algebry V n (R), R, +, ) jest przestrzenią liniową w której Θ = () i n x 1., ξ = ( x i ) i n. x n 2. W szczególności V 1 (R) jest przestrzenią liniową, ale zbiór V 1 (R) = R. Tutaj Θ =. 3. Określmy zbiór V (R) V (R) := {(x k ) k N : k N x k R } Określamy działania, dla dowolnych ξ = (x k ) k N, η = (y k ) k N, a R ξ + η = (x k ) k N + (y k ) k N := (x k + y k ) k N a ξ = a (x k ) k N := (a x k ) k N V (R), R, +, ) jest przestrzenią liniową w której Θ = () k N, ξ = ( x k ) k N 4. Niech R[x] n := {f : R R : a, a 1,..., a n R x R f(x) = a n x n + + a 1 x + a } jest to zbiór wielomianów stopnia nie większego niż n o współczynnikach z R. Niech f, g R[x] n oraz a R, x R. Definiujemy (f + g)(x) := f(x) + g(x) (a f)(x) := a f(x) 5. Analogicznie przestrzenią liniową jest zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na pewnej dziedzinie Ω, C(Ω) := {f : Ω R : f jest ciągła }, wraz z dodawaniem funkcji i mnożeniem funkcji przez liczbę. Podstawowe własności przestrzeni liniowej. 1. a (ξ ξ N ) = a ξ a ξ N czyli a N ξ i = N a ξ i. 2. (a a M ) ξ = a 1 ξ +... a M ξ czyli ( M a i )ξ = M (a i ξ). 3. ξ = Θ. 4. a Θ = Θ. 5. ( a) ξ = a ( ξ) = (a ξ). 6. (a b) ξ = a ξ b ξ. 7. a (ξ η) = a ξ a η. i=1 i=1 i=1 i= Kombinacje liniowe. Współrzędne wektora w bazie. Definicja Niech ξ 1, ξ 2,..., ξ n V (R) oraz a 1,..., a n R. Element a 1 ξ a n ξ n V (R) nazywamy kombinacją liniową wektorów ξ 1,..., ξ n o współczynnikach a 1,..., a n. Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów (ξ 1,..., ξ n ) oznaczamy lin(ξ 1,..., ξ n ) (lub inaczej span(ξ 1,..., ξ n )) i nazywamy zbiorem generowanym przez wektory lub rozpiętym na wektorach ξ 1,..., ξ n 1.3. Odwzorowania liniowe Przestrzeń dualna V. Tensory. Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych R. Niech dim V = n. Rozpatrzmy przestrzeń funkcjonałów liniowych nad V. Oznaczmy zbiór tych funkcjonałów przez V. Zbiór ten ma naturalną strukturę przestrzeni wektorowej.

9 1.4. Przestrzeń dualna V. Tensory. 9 Niech {e 1,..., e n } będą bazą przestrzeni V. Zdefiniujmy odwzorowania liniowe w następujący sposób: e µ : V R, µ = 1,..., n (1.1) e µ (e ν ) := δ µ ν (1.2) Oczywiście przestrzeń span{ e 1,..., e n } - rozpięta na elementach { e 1,..., e n } jest zawarta w V. Lemat V span{ e 1,..., e n } Dowód lematu Dwa odwzorowania liniowe są równe jeśli przyjmują te same wartości na wszystkich wektorach z V. Z liniowości wystarczy sprawdzić równość na wektorach bazowych. Niech w V. Pokażemy, że da się przedstawić jako kombinacja liniowa { e 1,..., e n }. Oznaczmy przez w µ wartości w na wektorze bazowym e µ tzn. w µ := w(e µ ). Wtedy w(e µ ) = w µ = w ν δ ν µ = w ν e ν (e µ ) ponieważ powyższa równość zachodzi dla każdego wektora bazy, więc co kończy dowód lematu. Twierdzenie 1.1. dimv = n. w = w ν Dowód. Niech {e 1,..., e n } będą bazą przestrzeni V. Liniowa niezależność układu { e 1,..., e n } jest oczywista. Na mocy lematu mamy V span{ e 1,..., e n }. Ponadto span{ e 1,..., e n } V czyli ostatecznie równość V = span{ e 1,..., e n }. Co kończy dowód twierdzenia. Baza { e µ } zdefiniowana w dowodzie twierdzenia wzorem (1.2) nosi nazwę bazy dualnej do {e µ }, a sama przestrzeń V nazwę przestrzeni dualnej (lub sprzężonej). Jeżeli przejdziemy do innej bazy {e 1,..., e n} w V to elementy nowej bazy możemy wyrazić jako kombinacje liniowe elementów starej bazy i odwrotnie tzn. e ν e µ = e ν a ν µ ( e µ = (a 1 ) ν µe ν ) (1.3) Z nową bazą możemy związać nową bazę dualną, w której możemy wyrazić elementy starej e µ = b µ ν Otrzymujemy następujący ciąg równości: stąd zaś δ µ ν = e µ (e ν) = b µ α = b µ α a β ν e ν ( e µ = (b 1 ) µ ν e α (e β a β ν) e α (e β ) = b µ α a β ν δ α β = bµ α a α ν e ν ). (1.4) δ µ ν = b µ α a α ν (1.5) czyli w postaci macierzowej ˆb = â 1. Zatem baza dualna transformuje się przy pomocy macierzy odwrotnej. -

10 1 Rozdział 1. Przypomnienie z algebry Możemy teraz powtórzyć powyższą konstrukcję, wychodząc od przestrzeni dualnej. Otrzymamy wtedy przestrzeń dwukrotnie sprzężoną V. Element v V jest funkcjonałem liniowym nad V. Jednak V jest izomorficzna z V, bowiem każdemu elementowi v V możemy przyporządkować dokładnie jeden funkcjonał liniowy nad V, którego wartością na v V będzie po prostu v (v). To odwzorowanie musi być surjekcją skoro dim V = dim V = dim V. Zatem dwukrotne sprzężenie nie wnosi nic nowego Pojęcie tensora. Określmy pojęcie tensora o walencji (k, l) nad V. Definicja Tensorem o walencji (k, l) nad skończenie wymiarową przestrzenią wektorową V (dim V = n) nazywamy odwzorowanie wieloliniowe T : V V }{{ V V R }}{{} k l Wieloliniowe oznacza, że jest liniowe z uwagi na każdą ze zmiennych. Innymi słowy, jeśli ustalimy wszystkie zmienne poza jedną otrzymamy odwzorowanie liniowe. Zgodnie z tą definicją widzimy, że tensor o walencji (,1) jest po prostu wektorem dualnym. Zaś tensor o walencji (1, ) elementem przestrzeni V ale zgodnie z naszym utożsamieniem po prostu zwykłym wektorem. Jeżeli na zbiór tensorów odpowiedniej walencji narzucimy reguły dodawania i mnożenia przez liczby to otrzymamy przestrzeń liniową T (k, l) tensorów o walencji (k,l). Wymiar tej przestrzeni jest równy dim T (k, l) = n k+l Działania algebraiczne na tensorach. Wprowadzimy dwie ważne operacje na tensorach Niech {e 1,..., e n } będzie bazą przestrzeni V, zaś { e 1,..., e n } bazą dualną w V. Definicja Kontrakcją (zwężeniem) względem i-tego i j-tego wskaźnika nazywać będziemy odwzorowanie C : T (k, l) T (k 1, l 1), które tensorowi T T (k, l) przyporządkowuje tensor n CT = T (..., µ=1 e µ }{{} i Twierdzenie 1.2. Operacja zwężenia nie zależy od wyboru bazy. Dowód. Niech {e 1,..., e n} będzie inną bazą w V. Wtedy n e µ = e ν a ν µ ν=1 Jak pokazaliśmy baza dualna transformuje się przez macierz odwrotną: e µ =,... ;..., e µ,... ). (1.6) }{{} j n (a 1 ) µ ν ν=1 e ν

11 1.4. Przestrzeń dualna V. Tensory. 11 Możemy napisać zatem następujący ciąg równości: n T (..., e µ,... ;..., e µ,... ) = µ=1 = = = = n n T (..., (a 1 ) µ n ν e ν,... ;..., e σ a σ µ,... ) µ=1 ν=1 σ=1 n n n (a 1 ) µ νa σ µt (..., e ν,... ;..., e σ,... ) µ=1 ν=1 σ=1 n n δ σ νt (..., e ν,... ;..., e σ,... ) ν=1 σ=1 n T (..., n e ν,... ;..., e σ δ σ ν,... ) ν=1 σ=1 n T (..., e ν,... ;..., e ν,... ) (1.7) ν=1 Co kończy dowód. Z dowodu widać, że kontrakcja może być zdefiniowana jedynie względem wskaźników mieszanych tzn. jednego wektorowego i jednego dualnego. W przeciwnym bowiem razie definicja zależałaby od wyboru bazy. Definicja Mając dany tensor T o walencji (k,l) oraz tensor S o walencji (r,s) możemy zdefiniować nowy tensor o walencji (k+r,l+s) zwany iloczynem tensorowym T i S, oznaczany T S. Definiujemy go następująco: weźmy k+r wektorów dualnych v 1,..., v k+r V, oraz l + s wektorów v 1,..., v l+s V wartością tensora T S na układzie wektorów i kowektorów v 1,..., v k+r, v 1..., v l+s jest T S(v 1,..., v k+r, v 1,..., v l+s ) := := T (v 1,..., v k, v 1,..., v l ) S(v k+1,..., v k+r, v l+1,..., v l+s ) (1.8) Widać stąd, że jednym ze sposobów konstruowania tensorów jest mnożenie tensorowe wektorów i wektorów dualnych. Łatwo pokazać, że jeżeli {e 1,..., e n } oraz { e 1,..., e n } są bazami odpowiednio V i V to układ: e µ1 e µk e ν 1 e ν l jest bazą przestrzeni T (k, l). Zatem dowolny tensor T możemy rozpisać w bazie: T = n n µ 1,...,µ k =1 ν 1,...,ν l =1 T µ 1...µ kν1...ν l e µ1 e µk e ν 1 e ν l (1.9) gdzie współczynniki rozwinięcia T µ 1...µ kν1...ν l są wartościami tensora T na układzie wektorów bazowych. Istotnie, (skorzystamy z konwencji sumacyjnej po powtarzających się wskaźnikach) T ( e µ 1,..., e µ k ; e ν1,..., e νl ) = = T α 1...α kβ1...β l e α1 e αk e β 1 e β l ( e µ 1,..., e µ k ; e ν1,..., e νl ) = T α 1...α kβ1...β l e α1 ( e µ 1 ) e αk ( e µ k ) e β 1 (e ν1 e β l (e νl }{{}}{{}}{{}}{{} δ µ 1 α1 δ µ k αk δ β 1 ν1 = T µ 1...µ kν1...ν l. (1.1) δ µ l αl

12 12 Rozdział 1. Przypomnienie z algebry Z (1.9) wnioskujemy o prawie transformacji współrzędnych tensora przy przejściu od bazy {e 1,..., e n } do {e 1,..., e n}. Rzeczywiście, T µ 1...µ kν1...ν l = T α 1...α kβ1...β l a µ 1 α1... a µ k αk (a 1 ) β 1 ν1... (a 1 ) β l νl (1.11) T = T α 1...α kβ1...β l e α1 e αk e β 1 = T α 1...α kβ1...β l e µ 1 a µ 1 α1 e µ k a µ k αk (a 1 ) β 1 ν1 e ν 1 (a 1 ) β l νl e β l = T α 1...α kβ1...β l a µ 1 α1... a µ k αk (a 1 ) β 1 ν1... (a 1 ) β l ν e µ 1... e µ k e ν l e ν 1... Jeżeli T ma w pewnej bazie współrzędne T µ 1...µ kν1...ν l zaś S (o walencji (r,s)) w tej samej bazie współrzędne S σ 1...σ r ϱ1...ϱ s to iloczyn tensorowy T S ( o walencji (k+r,l+s)) e ν l (T S) α 1...α k+r β 1...β l+s = T α 1...α kβ1...β l S α k+1...α k+r β l+1...β l+s (1.12) Natomiast kontrakcja ma we współrzędnych postać: {}}{ (CT ) µ 1...µ k 1ν1...ν l 1 = T µ 1... i σ...µ k ν1... }{{} σ j...ν l. (1.13) Tensor metryczny. Przestrzeń euklidesowa, przestrzeń Minkowskiego Rozważmy w przestrzeni R n iloczyn skalarny G : R n R n R określony wzorem n G(u, v) = u i v i. i=1 Tak określone odwzorowanie G jest odwzorowaniem symetrycznym G(u, v) = G(v, u), dwuliniowym G(a u + b v, w) = ag(u, w) + bg(v, w), dodatnio określonym tzn. G(u, u) (równość zachodzi tylko gdy u =.) Odpowiednik iloczynu skalarnego możemy zdefiniować w dowolnej przestrzeni wektorowej V. Definicja Niech V będzie przestrzenią wektorową. Metryką riemannowską g w V nazywać będziemy tensor o walencji (,2), który dla dowolnych X, Y V spełnia: 1. g(x, Y ) = g(y, X) - symetryczność 2. g(x, X) równość zachodzi tylko wtedy gdy X =. Definicja Mówimy, że na V jest określona metryka pseudo-riemannowska jeżeli g jest tensorem symetrycznym i niezdegenerowanym tzn. g(x, Y ) = dla każdego X V tylko wtedy gdy Y =. Ponieważ metryka jest odwzorowaniem g : V V R, więc biorąc wektor X V mamy g(x, ) : V R. Zatem g(x, ) = X V jest wektorem kowariantnym (dualnym) (tensorem o walencji (,1)). Z warunku, że g jest niezdegenerowana wynika, że metryka zadaje izomorfizm przestzeni V i V. Zapis we współrzędnych. Jak wiemy elementy e µ e ν stanowią bazę przestrzeni tensorów 2-krotnie kowariantnych T (, 2). Zatem g ma w tej bazie przedstawienie: g = g µν e µ e ν (1.14)

13 1.4. Przestrzeń dualna V. Tensory. 13 Jak w przypadku każdego tensora współrzędne w bazie są wartością odwzorowania na odpowiednich elementach bazowych (porównaj wzór (1.1)) g µν = g(e µ, e ν ). Wtedy symetryczność oznacza, że macierz metryki g µν jest macierzą symetryczną g µν = g νµ. Warunek aby metryka była niezdegenerowana oznacza żądanie aby macierz była niezdegenerowana czyli det(g µν ). Możemy wtedy znaleźć macierz odwrotną g µν z równania g µν g νσ = δ µ σ. Zadajemy wtedy tensor symetryczny, niezdegenerowany 2-krotnie kontrawariantny g: V V R określony układem równości [ g (e µ, e ν )] := [g(e µ, e ν )] 1 Umowa: Tensor odwrotny do g tzn. g oznaczać będziemy tym samym symbolem czyli g µσ g σν = δ µ ν nie powinno to prowadzić do nieporozumień jako, że każdy z tych tensorów działa w innej przestrzeni. analogicznie wektor kowariantny g(x, ) T p M oznaczać będziemy po prostu przez X. We współrzędnych metryka g służyć nam będzie do podnoszenia i opuszczania wskaźników tzn. X ν = g νσ X σ X ν = g νσ X σ Przykłady. 1. Przestrzeń euklidesowa. Rozważmy w przestrzeni R n metrykę riemannowską g : R n R n R, której postacią w pewnej bazie (e 1,..., e n ) jest g = δ µν e µ e ν gdzie e µ V µ = 1,..., n (opuściliśmy symbol nad wektorem dualnym - o tym, że jest to wektor dualny mówi nam indeks na górze). Parę (R n, g) gdzie g metryka riemannowska nazywamy przestrzenią euklidesową. Bazę (e 1,..., e n ) nazywamy ortonormalną gdyż dla każdej pary wektorów { gdy µ ν wzajemnie ortogonalne g(e µ, e ν ) = δ µν = 1 gdy µ = ν znormalizowane do jedynki Dla dowolnych wektorów X, Y V mamy X = X µ e µ, Y = Y ν e ν g(x, Y ) = g(x µ e µ, Y ν e ν ) = X µ Y ν g(e µ, e ν ) = X µ Y ν δ µν Ostatni wzór możemy zapisać korzystając z konwencji podnoszenia i opuszczania wskaźników g(x, Y ) = δ µν X µ Y ν = X ν Y ν = X µ Y µ Zauważmy, że w przestrzeni euklidesowej (w bazie ortonormalnej) X V X 1 = X 1,..., X n = X n Wektory kontrawariantne i kowariantne mają te same współrzędne. W wielu podręcznikach gdzie rozważa się tylko przestrzenie euklidesowe i bazy ortonormalne nie rozróżnia się położenia indeksu i w konsekwencji nie rozróżnia się wektorów kowariantnych i kontrawariantnych.

14 14 Rozdział 1. Przypomnienie z algebry Rozważmy jeszcze macierz przejścia od jednej bazy ortonormalnej do innej bazy ortonormalnej. Spójrzmy na wzory (1.3) e µ = e ν a ν µ Jeżeli nowa baza jest też bazą ortonormalną to g(e µ, e ν) = δ µν (z drugiej strony) g(e µ, e ν) = g(e σ a σ µ, e ρ a ρ ν) = a σ µa ρ νg(e σ, e ρ ) = a σ µa ρ νδ σρ Zatem Zapisane w postaci macierzowej: δ µν = a σ µ δ σρ a ρ ν E = â T E â â T â = E 2. Przestrzeń Minkowskiego. Rozważmy w przestrzeni R 4 metrykę pseudo-riemannowską g : R 4 R 4 R, której postacią w pewnej bazie (e 1,..., e 4 ) jest g = η µν e µ e ν gdzie macierz η = (1.15) Parę (R 4, g) gdzie g metryka pseudo-riemannowska określona przez (1.15 nazywamy przestrzenią Minkowskiego. Bazę (e 1,..., e n ) nazywamy ortogonalną gdyż dla każdej pary wektorów jeżeli µ ν g(e µ, e ν ) = (są wzajemnie ortogonalne) Dla dowolnego wektora X V możliwe są przypadki g(x, X) = η µν X µ X ν > mówimy wtedy, że wektor jest typu czasowego g(x, X) = η µν X µ X ν = mówimy wtedy, że wektor jest typu zerowego (świetlnego) g(x, X) = η µν X µ X ν < mówimy wtedy, że wektor jest typu przestrzennego Zauważmy, że w przestrzeni Minkowskiego (w bazie ortogonalnej) X V X 1 = X 1, X 2 = X 2, X 3 = X 3, X 4 = +X 4 Wektory kontrawariantne i kowariantne mają różne współrzędne. Rozważmy jeszcze macierz przejścia od jednej bazy ortogonalnej do innej bazy ortogonalnej (transformacje Lorentza). e µ = e ν Λ ν µ Jeżeli nowa baza jest też bazą ortonormalną to g(e µ, e ν) = η µν (z drugiej strony) g(e µ, e ν) = g(e σ Λ σ µ, e ρ Λ ρ ν) = Λ σ µλ ρ νg(e σ, e ρ ) = Λ σ µλ ρ νη σρ Zatem η µν = Λ σ µ η σρ Λ ρ ν Czyli warunek na transformacje Lorentza zapisany w postaci macierzowej: Λ T η Λ = η

15 Rozdział 2 Analiza pól Nasze rozważania rozpoczniemy od przypadku gdy rozpatrywane wielkości takie jak pola skalarne, wektorowe czy tensorowe są stałe w czasie tzn. są funkcjami położenia i ewentualnie pewnych innych parametrów np. współczynników przenikalności dielektrycznej, temperatury itp. ale nie będziemy ich na razie wypisywać w sposób jawny. Na ogół nie będziemy wyszczególniać założeń o regularności (klasie różniczkowalności, ciągłości na brzegu itd.) danego pola skalarnego, wektorowego lub tensorowego - ale będziemy milcząco zakładać taką ich regularność jaka potrzebna jest do poprawności matematycznej danych rozważań i rachunków. Potrzebne pojęcia z analizy matematycznej: 1. Pole skalarne. Przyporządkowanie punktom pewnego obszaru Ω R 3 wielkości skalarnej ϕ R nazywać będziemy polem skalarnym (lub funkcją skalarną) Będziemy pisać Równanie ϕ : Ω R ϕ(x) gdzie x = (x 1, x 2, x 3 ) Ω R 3 ϕ(x 1, x 2, x 3 ) = k = const. (2.1) przedstawia powierzchnię, którą nazywamy ekwiskalarną lub powierzchnią stałego ϕ. Jeżeli wartość stałej po prawej stronie równania (2.1) uważać będziemy za parametr zmienny to otrzymamy jednoparametrową rodzinę powierzchni. Rysując kilka powierzchni ekwiskalarnych dla wzrastających o stałą wartość parametrów k (np. k = 1, 2, 3,... ) otrzymamy kilka elementów tej rodziny dających pewne wyobrażenie o polu = tam gdzie powierzchnie te zbliżają się do siebie, pole skalarne zmienia się szybciej (w kierunku prostopadłym do powierzchni). Rysunek Poziomice wysokości npm. h = h(x 1, x 2 ). W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy rodzinę linii. Rysunek 2.1. Linie

16 16 Rozdział 2. Analiza pól 2. Pochodna kierunkowa pola skalarnego. Niech ϕ(x) będzie polem skalarnym (funkcją skalarną ϕ : R 3 Ω R. W dowolnym punkcie x Ω i dla dowolnego wektora X x zaczepionego w tym punkcie definiujemy X x (ϕ) ϕ X x pochodną ϕ w kierunku X w punkcie x następująco: obieramy punkt x = x + εx leżący na prostej l przechodzącej przez x i wyznaczonej przez wektor X X x (ϕ) = lim ε ϕ(x ) ϕ(x) ε gdzie ε > dla kierunku zgodnego z X, ε < dla przeciwnego. Oczywiście X x (ϕ) jest skalarem. Pojęcie pochodnej kierunkowej można sprowadzić do pochodnej zwykłej, mianowicie funkcja ϕ ograniczona do zadanej prostej l jest funkcją jednej zmiennej np. długości łuku wzdłuż prostej. Wtedy pochodna kierunkowa może być określona jako zwykła pochodna tej funkcji jednej zmiennej. Jeżeli jako wektor wybierzemy jednostkowy wektor w kierunku którejkolwiek z osi współrzędnych e i to pochodna kierunkowa redukuje się do pochodnej cząstkowej e i x (ϕ) = ϕ x i x 3. Pole wektorowe. Przyporządkowanie punktom pewnego obszaru Ω R 3 wielkości wektorowej v R 3 nazywać będziemy polem wektorowym v : Ω R 3 Będziemy pisać v(x) gdzie x Ω R 3 Krzywą całkową pola wektorowego nazywamy linię o tej własności, że w w każdym punkcie jest ona styczna do wektora pola w tym punkcie tzn. jeżeli oznaczymy przez x(ε) parametryczną postać krzywej to równaniem tej krzywej jest Uwagi Parametr wzdłuż krzywej można dobrać tak aby dx dε = λ v x(ε) (2.2) dx dε = v. (2.3) Rzeczywiście, niech ε = ε(u) u = u(ε). Wtedy dx du = dx dε dε du = λ v dε. Jeżeli wybierzemy λ(u) dε dx du = 1 to otrzymamy du du = v Z teorii równań różniczkowych zwyczajnych wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania (dla każdego zbioru warunków początkowych x() = x ) x(ε) równania (2.3) gdy v µ są funkcjami gładkimi. Warunkuje to istnienie Maksymalnej krzywej całkowej przechodzącej przez zadany punkt. Określenie maksymalna oznacza, że nie jest ona zawarta w żadnej dłuższej krzywej całkowej tzn. jeżeli x : I Ω jest maksymalną krzywą całkową przechodzącą przez punkt x = x(), zaś x : Ĩ Ω jest inną krzywą całkową przechodzącą przez ten sam punkt punkt x() = x to Ĩ I oraz x(ε) = x(ε) dla ε Ĩ.

17 2.1. Potok pola wektorowego Potok pola wektorowego Jeżeli v jest polem wektorowym, to oznaczmy przez x(ε, a) maksymalną krzywą całkową tego pola przechodzącą przez a = x(, a) Ω. Nazwiemy ją (w hydrodynamice gdy pole wektorowe v ma interpretację pola prędkości) linią prądu (lub w geometrii 1-parametrową grupą transformacji lub potokiem) generowanym przez pole v. Dla każdego a Ω i ε z pewnego przedziału I x zawierającego, x(ε, a) jest punktem na krzywej całkowej przechodzącej przez a. Potok pola wektorowego spełnia następujące warunki: x(δ, x(ε, a)) = x(δ + ε, a), a Ω (2.4a) dla każdych dwóch δ, ε R takich, że obie strony równania są określone, x(, a) = a (2.4b) d dε x(ε, a) = v x(ε,a) (2.4c) dla każdego ε dla którego istnieje. Warunek (2.4c) oznacza, że v jest wektorem stycznym do krzywej x(ε, a), zaś (2.4b) wyznacza warunki początkowe. Dowód (2.4a) wynika wprost z twierdzenia o jednoznaczności rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych, bowiem obie strony tego równania jako funkcje δ spełniają równanie (2.3) przy tym samym warunku początkowym dla δ =. Wyznaczanie linii prądu (lub 1-parametrowej grupy transformacji) generowanej przez dane pole wektorowe v (innymi słowy znajdowanie rozwiązań układu równań (2.4c)) nazywane jest eksponencjalizacją pola wektorowego v. Stosuje się również oznaczenie x(ε, a) := exp(εv)a. W tej notacji odpowiednie własności potoku mają postać exp[(δ + ε)v]a = exp(δv) exp(εv)a (2.5a) tam gdzie powyższe ma sens, dla każdego a Ω. Te własności usprawiedliwiają notację 1 Przykłady linii prądu. exp(v)a = a, (2.5b) d dε [exp(εv)a] = v exp(εv)a (2.5c) 1 Związek z funkcją eksponent jest nawet jeszcze głębszy. Aby się o tym przekonać rozważmy jak gładka funkcja skalarna (pole skalarne) f : M R zmienia się wzdłuż potoku generowanego przez v tzn. rozpatrzmy f(exp(εv)x) gdy zmieniamy ε. W szczególności dla ε = mamy Z rozwinięcia Taylora mamy d dε f(exp(εv)x) = vi (exp(εv)x) f (exp(εv)x) v(f)[exp(εv)x] xi d dε ε=f(exp(εv)x) = vµ (x) f (x) v(f)(x) x µ f(exp(εv)x) = f(x) + εv(f)(x) + O(ε 2 ). Kontynuując różniczkowanie i podstawiając w szereg Taylora otrzymujemy f(exp(εv)x) = f(x) + εv(f)(x) + ε2 2 v2 (f)(x) εk k! vk (f)(x) + O(ε k+1 ).

18 18 Rozdział 2. Analiza pól a) Rozważmy wzdłuż R pole wektorowe v = b x gdzie b = constans. Wtedy exp(εv)x = exp(εb x )x = x + εb jako rozwiązanie równania ẋ(ε) = b przy warunku x() = x. b) Dla pola wektorowego v = bx x, gdzie b =constans mamy exp(εbx x )x = e εb x. jako rozwiązanie równania ẋ(ε) = bx przy warunku x() = x. c) W przypadku R n stałe pole v = a µ µ, daje exp(εv) x = exp(εa µ µ ) x = x + ε a jako rozwiązanie układu równań x(ε) = a przy warunku x() = x. d) Jeżeli weźmiemy pod uwagę pole wektorowe na R n v = a i j xj, gdzie A = [a i x i j ] jest macierzą o stałych współczynnikach, otrzymamy exp(εv) x = e εa x. jako rozwiązanie układu równań x = A x przy warunku x() = x. Gdzie e εa rozumiemy jako szereg potęgowy e εa ε k ε k = k! Ak = I + k! Ak wtedy d dε (eεa ) = k= k=1 kε k 1 A k = A k! k=1 k= ε k k! Ak. Powyższą konstrukcję możemy odwrócić. Mając daną 1-parametrową grupę dyfeomorfizmów spełniającą (2.4a), (2.4b) ψ(ε, x) = (ψ 1,..., ψ n ) definiujemy pole wektorowe wzorem (2.4c) v µ := ( d dε ψµ (ε, x)), µ = 1,..., n. Przykład. Rozważmy na płaszczyźnie R 2 ze współrzędnymi (x 1, x 2 ) 1-parametrową grupę obrotów. Wtedy ψ(ε, x) dane jest przez ψ 1 = x 1 cos ε + x 2 sin ε ψ 2 = x 1 sin ε + x 2 cos ε. Orbitami działania tejgrupy są współśrodkowe okręgi. Pole wektorów stycznych do orbit wyznaczamy z (2.4c): v 1 = dψ1 dε ε= = x 2, gdzie v 2 (f) = v(v(f)), v 3 (f) = v(v 2 (f)), itd. Jeżeli założymy zbieżność szeregu w ε otrzymamy f(exp(εv)x) = k= v 2 = dψ2 dε ε= = x 1. ε k k! vk (f)(x) W szczególności jeśli weźmiemy jako f funkcję x µ to (przy założeniu zbieżności) otrzymujemy [exp(εv)x] µ (Porównaj przykład (d) poniżej.) = x µ + εv µ + ε2 2 v(vµ )(x) +... = k= ε k k! vk (x µ )

19 2.2. Twierdzenia całkowe Twierdzenia całkowe. Poniżej przytoczymy, bez dowodów, użyteczne twierdzenia całkowe. Zakładamy oczywiście (zgodnie z wcześniejszą umową) taką klasę różniczkowalności występujących w twierdzeniach pól skalarnych i wektorowych jaka jest potrzebna do ich prawdziwości. Pole skalarne oznaczymy przez φ, pole wektorowe E, zaś przez n jednostkowe pole wektorowe normalne do powierzchni Σ. Symbolem V oznaczono brzeg obszaru V, oznacza całkę po powierzchni zamkniętej (bez brzegu), dx jest elementem objętości (we współrzędnych kartezjańskich dx = dx 1 dx 2 dx 3 ) a dσ elementem powierzchni dσ = pole powierzchni Σ (2.6a) 2. n dσ = Σ 3. Σ Σ= V 4. Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego. Σ= V ϕ(x)n dσ = E n ds = V V grad ϕ dx div E dv (2.6b) (2.6c) (2.6d) we współrzędnych kartezjańskich div E = E x x + E y y + E z z. Patrz stopka2 We współrzędnych krzywoliniowych postać dywergencji jest omówiona w następnym paragrafie. 5. E n dσ = rot E dx (2.6e) 6. Twierdzenie Stokesa. Σ= V C= S E dl = S V rot E n dσ 2 Szkic dowodu. Rozważmy sześcian V = x y z umieszczony w początku układu wsółrzędnych Oznaczenia ścian: 1 - ściana z = z = const. 2 - ściana y = = const. 3 - ściana x = x = const. 4 - ściana z = = const. 5 - ściana y = y = const. 6 - ściana x = = const. Zamiast całki mamy sumę 6 i=1 E i n i S i = E 1 n 1 }{{} }{{} S 1 E 1z x y + E 2 n 2 }{{} }{{} S 2 E 2y x z + E 3 n 3 }{{} }{{} S 3 E 3x y z (2.6f) ( grupujemy wyrazy ) + E 4 n 4 }{{} }{{} S 4 E z x y + E 5 n 5 }{{} }{{} S 5 E 5y x z + E 6 n 6 }{{} }{{} S 6 E 6x y z = (E 1z E 4z) x y + (E 5y E 2y) x z + +(E 3x E 6x) y z = [ (Ez) z + (Ey) y + (Ex) x ] x y z

20 2 Rozdział 2. Analiza pól we współrzędnych kartezjańskich rot E = E z y Ey z E x z Ez x E y x Ex y. We współrzędnych krzywolinio- wych postać rotacji jest omówiona w następnym paragrafie Funkcje i pola we współrzędnych krzywoliniowych. Oprócz współrzędnych kartezjańskich (x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) i odpowiednio jednostkowych wektorów (e 1, e 2, e 3 ) wzdłuż każdego z kierunków, możemy rozważać współrzędne krzywoliniowe, które oznaczymy (u, v, w). Ustalonej wartości parametrów (u, v, w) odpowiada punkt o współrzędnych x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w). Jeżeli wyznacznik macierzy transformacji (macierzy Jacobiego) det jest różny od zera w jakiś punkcie to w otoczeniu tego punktu możemy wyrazić x u y u z u x v y v z v x w y w z w u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z). Przykłady. Układ współrzędnych cylindrycznych. Oznaczamy u r, v ϕ, w z Jacobian det Transformacja odwrotna r = x = r cos ϕ, y = rsinϕ, z = z. cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ 1 x 2 + y 2, ϕ = arccos = r wszędzie poza osią z x x 2 + y 2, z = z. Układ współrzędnych sferycznych. Oznaczamy u r, v θ, w ϕ x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. Jacobian det sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ = r 2 sin θ wszędzie poza osią z Transformacja odwrotna r = x 2 + y 2 + z 2, θ = arccos z x 2 + y 2 + z, ϕ = arccos x 2 x 2 + y. 2

21 2.3. Funkcje i pola we współrzędnych krzywoliniowych. 21 Gdy ustalimy dwa spośród trzech parametrów (u, v, w) otrzymamy linię (krzywą), którą oznaczymy odpowiednio linia u gdy v = const, w = const linia v gdy u = const, w = const linia w gdy u = const, v = const Gdy linie te przecinają się pod kątem prostym to mówimy, że układ krzywoliniowy jest prostokątny. W dalszym ciągu będziemy rozważać układy krzywoliniowe prostokątne. Oznaczmy przez (e u, e v, e w ) jednostkowe wektory (pola wektorowe) styczne do lini u, v, w odpowiednio. Czyli Rysunek e u e u = 1, e v e v = 1, e w e w = 1, e u e v =, e u e w =, e v e w = Układ wektorów jednostkowych (e u, e v, e w ) można zawsze tak dobrać (zamieniając ewentualnie ich kolejność) aby był układem prawoskrętnym tzn. e u e v = e w, e v e w = e u, e w e u = e v. (2.7) W konsekwencji iloczyn mieszany czyli objętość sześcianu rozpiętego na e u, e v, e w 1 = e u (e v e w ) = e v (e w e u ) = e w (e u e v ) =: [e u, e v, e w ] Wychodząc od pewnego punktu o wektorze wodzącym r = (x, y, x) zmieniając wartości parametrów (u, v, w) o (du, dv, dw) przesuwamy się o wektor dr = r r r du + dv + dw (2.8) u v w gdzie wektor r r jest styczny do linii u a jego długość pomnożona przez du jest przyrostem u u łuku wzdłuż tej linii ds 1 = r r du = U du gdzie U := u u. (2.9) Analogicznie wektory r v, r są styczne do odpowiednich linii v, w. w Z drugiej strony traktując (u, v, w) jako funkcje współrzędnych u = u(x, y, z), v = v(x, y, z), w = w(x, y, z) Gradienty tych funkcji grad u u, grad v v, grad w w, są styczne do odpowiednich linii i mamy Stąd du = u dr = u ( r u dv = v dr = v ( r u dw = w dr = u ( r u u r u = 1, r r r du + dv + dw) = u v w u du, r r r du + dv + dw) = v v w v dv, r r r du + dv + dw) = w v w w dw. r v v = 1, w r w = 1. (2.1)

22 22 Rozdział 2. Analiza pól Wektory r v, r v, r jako styczne do odpowiednich linii u, v, w można wyrazić przez wektory w jednostkowe e u, e v, e 3 w r u = r u e u := Ue u gdzie U = r u = r v = r v e v := V e v gdzie V = r u = r w = r w e w := W e w gdzie W = r w = Stąd i z (2.1) otrzymujemy ( x ) 2 + u ( x ) 2 + u ( ) y 2 + u ( ) y 2 + u ( ) z 2, u ( ) z 2, u ( ) x 2 ( ) y 2 ( ) z 2 + +, w w w u = 1 U e u, v = 1 V e v, w = 1 W e w. (2.11) Obliczmy jeszcze objętości odpowiednich sześcianów [ r u, r v, r ] = UV W w 1 [ u, v, w] = UV W (2.12) Gradient, dywergencja i rotacja we współrzędnych krzywoliniowych Gradient i operator nabla. Zakładamy, że (u, v, w) są krzywoliniowymi współrzędnymi prostokątnymi. Rozważmy funkcję skalarną Φ(u, v, w) i jej przyrost dφ = Φ u Z drugiej strony = ( Φ u du + Φ v Φ dv + dw { zapisujemy w postaci iloczynu skalarnego } w 1 U e u + Φ 1 v V e v + Φ w 1 W e w) (e u Udu + e v V dv + e w W dw) (2.13) dφ = Φ dr (2.14) Porównując stronami (2.13) z (2.14) i korzystając z (2.8) otrzymujemy postać gradientu funkcji skalarnej Φ we współrzędnych krzywoliniowych grad Φ Φ = 1 U Φ u e u + 1 V Φ v e v + 1 W Operator wyrażony przez współrzędne krzywoliniowe prostokątne ma postać a także na mocy (2.11) = e u 1 U Φ = Φ u u + e 1 v V v + e 1 w W w Φ Φ u + v + v w w Φ w e w (2.15) Dywergencja. Rozważamy pole wektorowe A(u, v, w). We współrzędnych kartezjańskich A = A x e 1 + A y e 2 + A z e 3 dywergencja ma niezwykle prostą postać 3 Przyjmujemy oznaczenia takie jak w książce [5]. div A = A x x + A y y + A z z

23 2.3. Funkcje i pola we współrzędnych krzywoliniowych. 23 Aby znaleźć postać dywergencji wektora zapisanego we współrzędnych krzywoliniowych A = A u e u + A v e v + A w e w (2.16) gdzie A u = A e u itd. możemy każdy z wektorów jednostkowych zapisać w bazie (e 1, e 2, e 3 ) e u = e ux e 1 + e uy e 2 + e uz e 3 e v = e vx e 1 + e vy e 2 + e vz e 3 e w = e wx e 1 + e wy e 2 + e wz e 3. Następnie podstawić do postaci wektora (2.16) i szukać div A pamiętając, że współczynniki e ux, e uy,..., e wz na ogół nie są stałe. Wygodniej będzie postąpić nieco inaczej. Zauważmy, że z (2.7) i (2.11) wynika e u = e v e w = V W ( v w) e v = e w e u = W U ( w u) e w = e u e v = UV ( u v) (2.17) Podstawiając do (2.16) otrzymamy A = A u V W ( v w) + A v W U( w u) + A w UV ( u v) (2.18) Zysk jest taki, że dywergencja każdego z iloczynów wektorowych jest równa zero. Rzeczywiście dla przykładu rozważmy div ( v w) = ( v w) = ( v) w ( w) v }{{}}{{} W związku z tym dla pierwszego składnika (2.18) otrzymujemy [A u V W ( v w)] = (A u V W ) ( v w) + A u V W ( v w) }{{} Ale wiemy już jak wygląda gradient we współrzędnych krzywoliniowych (A u V W ) = (A u V W ) u u + (A u V W ) v Mnożąc to wyrażenie skalarnie przez ( v w) otrzymujemy (A u V W ) ( v w) = [ (Au V W ) u u + (Au V W ) v + (A u V W ) w w v v + (Au V W ) w = (Au V W ) u [ u ( v w)] { porównaj (2.12)} = 1 UV W (A u V W ) u ] w ( v w) Analogicznie możemy policzyć dywergencję pozostałych składników we wzorze (2.18) i ostatecznie div A = 1 [ (V W Au ) + (UW A v) + (UV A ] w) (2.19) UV W u v w Rotacja. W celu znalezienia postaci rotacji we współrzędnych krzywoliniowych w rozwinięciu (2.16) wektora A na składowe wykorzystamy wzór (2.11) A = A u e u + A v e v + A w e w = UA u u + V A v v + W A w w

24 24 Rozdział 2. Analiza pól dzięki temu rot A = rot {UA u u + V A v v + W A w w} ale grad (UA u ) = (UAu) u czyli = grad (UA u ) u + UA u rot( v) +grad (V A v ) v + }{{} + V A v rot( v) +grad (W A w ) w + W A w rot( w) }{{}}{{} = grad (UA u ) u + grad (V A v ) v + grad (W A w ) w u + (UAu) v v + (UAu) w w zatem wykorzystując ponadto (2.17) grad (UA u ) u = (UA u) ( v u) + (UA u) ( w u) v }{{} 1 e w }{{} 1 UV w e UW v Analogicznie grad (UA u ) u = 1 UV (UA u ) e w + 1 v UW (UA u ) w e v grad (V A v ) v = 1 UV grad (W A w ) w = 1 UW (V A v ) e w 1 (V A v ) u V W w (W A w ) e v + 1 u V W e u (W A w ) e u v Dodając stronami i grupując wyrazy stojące przy tych samych wektorach jednostkowych otrzymujemy ostatecznie rot A = [ 1 (W Aw ) V W v + 1 [ (UAu ) UW w + 1 [ (V Av ) UV u (V A ] v) w (W A w) u (UA u) v e u + ] e v + ] e w (2.2) Wyrażenie na rotację możemy zapisać w postaci wyznacznika rot A = 1 UV W Ue u V e v W e w u v w UA u V A v W A w Podsumowanie i przykłady Podsumowując widzimy, że chcąc znaleźć grad, div i rot we współrzędnych krzywoliniowych x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w). fundamentalną rolę pełnią długości wektorów r u = x u y u z u, r v = x v y v z v r w = x w y w z w

25 2.3. Funkcje i pola we współrzędnych krzywoliniowych. 25 będących kolumnami macierzy Jacobiego. Długości te wynoszą r u = U = r v = V = r w = W = ( x ) 2 + u ( x ) 2 + v ( ) y 2 + u ( ) y 2 + v ( ) z 2, u ( ) z 2, v ( ) x 2 ( ) y 2 ( ) z w w w I tak otrzymaliśmy grad Φ = 1 Φ U u e u + 1 Φ V v e v + 1 Φ W w e w, div A = [ 1 (V W Au ) + (UW A v) UV W u v rot A = [ 1 (W Aw ) (V A ] v) e u + 1 V W v w UW [ (V Av ) = + 1 UV u (UA u) v ] e w. + (UV A ] w), w [ (UAu ) w (W A ] w) e v + u Jeżeli do wzoru na div A podstawimy A = grad Φ otrzymamy wzór na Laplasian pola skalarnego we wspólrzędnych krzywoliniowych div[grad Φ] Φ div[grad Φ] Φ = 1 UV W [ u ( V W U ) Φ + ( W U u v V ) Φ + ( UV v w W )] Φ w (2.21) Zastosowanie do współrzędnych cylindrycznych i sferycznych. Najczęściej spotykane i stosowane w wielu zagadnieniach fizyki są współrzędne cylindryczne i sferyczne, które zdefiniowaliśmy na początku tego paragrafu. Są one szczególnie użyteczne przy rozważaniu zagadnień o symetrii osiowej lub odpowiednio sferycznej. Współrzędne cylindryczne. Zwyczajowo oznaczamy u r, v ϕ, w z x = r cos ϕ, y = rsinϕ, z = z. Wtedy r r = cos ϕ sin ϕ, r ϕ = r sin ϕ r cos ϕ r z = 1 Stąd U = V = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + = 1, ( r sin ϕ) 2 + (r cos ϕ) 2 + = r, W = = 1.

26 26 Rozdział 2. Analiza pól A zatem grad Φ = Φ r e r + 1 Φ r ϕ e ϕ + Φ z e z, (2.22a) div A = 1 [ (rar ) + A ϕ r r ϕ + r A ] z, z (2.22b) rot A = 1 [ Az r ϕ (ra ] [ ϕ) Ar e r + z z A ] z e ϕ + 1 [ (raϕ ) A ] r e z, r r r ϕ = 1 e r re ϕ e z r r ϕ z (2.22c) A r ra ϕ A z Φ = 1 [ ( r Φ ) Φ r r r r ϕ 2 ] + r 2 Φ z 2 Współrzędne sferyczne. Zwyczajowo oznaczamy u r, v θ, w ϕ x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. (2.22d) Wtedy r r = sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ, r θ = r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ r ϕ = r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ Stąd U = V = W = sin 2 θ cos 2 ϕ + sin 2 θ sin 2 ϕ + cos 2 θ = 1, r 2 cos 2 θ cos 2 ϕ + r 2 cos 2 θ sin 2 ϕ + r 2 sin 2 θ = r, r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ + r 2 sin 2 θ cos 2 ϕ + = r sin θ. A zatem Φ θ e θ + 1 r sin θ grad Φ = Φ r e r + 1 r [ 1 (r 2 sin θa r ) div A = r 2 sin θ r Φ ϕ e ϕ, + (r sin θa θ) θ + (ra ] ϕ) ϕ (2.23a) rot A = = 1 r 2 (r 2 A r ) r + 1 (sin θa θ ) r sin θ θ + 1 A ϕ r sin θ ϕ, [ 1 (sin θaϕ A ] θ e r + 1 [ 1 A r r sin θ θ ϕ r sin θ ϕ (ra ] ϕ) e θ + r + 1 [ (raθ ) A ] r e ϕ, r r θ Φ = 1 ( r 2 r 2 Φ ) + r r 1 r 2 sin θ ( θ sin θ Φ θ ) Φ r 2 sin θ ϕ 2 (2.23b) (2.23c) (2.23d)

27 Rozdział 3 Zasady hydrodynamiki płynów idealnych Pod pojęciem płynu będziemy rozumieć ciecz lub gaz. Ogólne charakterystyczne cechy przepływu: 1. Przepływ ustalony (laminarny). Mówimy, że ruch płynu jest ustalony (laminarny) jeżeli prędkość w dowolnym punkcie przestrzeni jest stała w czasie tzn. v = v(x, y, z) Warunki takie mogą być osiągane przy niskich prędkościach - przykładem jest wolno płynący strumyk. 2. Przepływ wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy wtedy gdy w żadnym punkcie P element płynu V nie ma względem tego punktu wypadkowej prędkości kątowej. (Wyobraźmy sobie małe kółko z łopatkami zanurzone w płynie. Ruch jest bezwirowy gdy kółko jest unoszone nie obracając się.) W przeciwnym razie ruch jest wirowy. 3. Przepływ ściśliwy lub nieściśliwy. Przepływ jest nieściśliwy gdy gęstość ϱ jest stała, niezależna od x, y, z, t. Wtedy matematyczny opis przepływu jest znacznie uproszczony. W praktyce gdy rozważamy przepływ cieczy możemy traktować jako przepływ nieściśliwy. W przypadku ruchu w gazach - jeżeli prędkości są mniejsze od prędkości dźwięku to też możemy traktowć jako ruch nieściśliwy. 4. Przepływ lepki lub nielepki. Lepkość jest w ruchu płynu jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych. Powoduje pojawienie się sił stycznych między warstwami płynu, poruszającymi się względem siebie. Dwa sposoby opisu ruchu płynu: 1. Podejście Lagrange a (Joseph Luis Lagrange ( )) Dzielimy płyn na nieskończenie małe elementy - cząstki płynu. W chwili t cząstka znajduje się w położeniu (x, y, z ). Sledzimy ruch cząstki. W chwili t znajduje się ona w punkcie (x, y, z). Stosując zasady mechaniki należy określić położenie jako funkcje warunków początkowych tzn. wyznaczyć x(t) = x(x, y, z, t, t), y(t) = y(x, y, z, t, t), z(t) = z(x, y, z, t, t). Zadanie to jest tak ogromne, że niejednokrotnie zbyt trudne do wykonania. 2. Podejście Eulera (Leonard Euler ( )) Obserwujemy przestrzeń w której porusza się płyn i określamy gęstośc płynu i prędkość przepływu w każdym punkcie przestrzeni i w każdej chwili czasu ϱ(x, y, z, t), v(x, y, z, t) W tym podejściu koncentrujemy uwagę na tym co dzieje się w pewnym punkcie przestrzeni w pewnej chwili czasu, a nie na tym co dzieje się z pewną określoną cząstką płynu.

28 28 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych Związek pomiędzy wielkościami w obu sposobach opisu ruchu płynu. Współrzędne w przestrzeni R 3 oznaczać będziemy x = (x 1, x 2, x 3 ) Ω R 3. Niech w chwili t ustalona cząstka płynu (podejście Lagrange a) znajduje się w położeniu a = (x1, x 2, x 3 ). W chwili t > t cząstka ta znajduje się w położeniu x = x(a, t, t) Rysunek. Badając przyrost wektora przesunięcia x(a, t, t + t) x(a, t, t) odniesiony do przyrostu czasu t otrzymamy prędkość tej określonej cząstki płynu x(a, t, t + t) x(a, t, t) v = lim = t t ( ) x t a Opis przepływu: tor cząstki, strumień, smuga W rozdziale drugim omówiliśmy potok pola wektorowego. Zrobiliśmy to przy założeniu, że pole wektorowe v jest funkcją położenia, nie zależy w sposób jawny od czasu. O takim polu mówimy, że jest stacjonarne ( a przepływ nazywamy ustalonym). W stacjonarnym polu prędkości przez każdy punkt x Ω R 3 przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego pola, którą w warunkach laboratoryjnych moglibyśmy zwizualizować umieszczając w tym punkcie, w chwili t =, źródło barnika. Po upływie czasy t > obserwowalibyśmy zabarwioną krzywą - tor cząstek. W przypadku gdy v t tzn. v = v(x, t) możemy rozróżnić trzy rodzaje linii pozwalające na wizualizację przepływu: 1. tor cząstki (ang. pathline) - trajektoria cząstki płynu przechodzącej w chwili początkowej przez ustalony punkt x Ω R 3. Tor jest krzywą x = X(x, t) okręśloną równaniem różniczkowym t X(x, t) = v(x(x, t), t) z warunkiem X(x, t = ) = x Umieszczając w punkcie x barwnik i wykonując zdjęcie o długim czasie ekspozycji, tor cząstki odpowiada kolorowej krzywej na fotografii. Rysunek 3.1. Zdjęcie świateł samochodowych o długim czasie naświetlania. Źródło: 2. Potok (ang. streamline). Ustalamy chwilę czasu t. W tej chwili mamy pewien rozkład wektora prędkości v(x) = v(x, t) (t-ustalone). Linią strumienia x = X(ε; x, t) przechodzącą przez punkt x nazywamy krzywą całkową tego pola, czyli rozwiązanie równania ε X(ε; x, t) = v(x(ε; x, t), t) z warunkiem X(ε = ; x, t) = x

29 Wykonując zdjęcie o krótkim czasie naświetlania obszaru gęsto zaznaczonego barwnikami, otrzymamy układ odcinków ilustrujących pole prędkości w chwili t v(x, t) (t-ustalone). Rysując na tym zdjęciu krzywą, o początku w punkcie x, styczną do wektora pola v otrzymamy potok pola prędkości. Gdy zmienimy chwilę t linia potoku również na ogół ulegnie zmianie. 29 Rysunek 3.2. Zdjęcie świateł samochodowych o krótkim czasie naświetlania. Źródło: 3. smuga (ang. streakline) - Rysunek. Smuga dymu z komina Źródło: internet, autor nieznany [ ] yt Przykład. Rozważmy dwuwymiarowe pole prędkości v = 1 1. Tor cząstki. Szukamy rozwiązania układu X t = Y t Y t = 1 przy warunku { X t= = x Y t= = y Stąd Y = y + t i w konsekwencji X t = (y + t)t oraz X = x y t t3. Równanie toru (ruchu) w postaci parametrycznej { X(x, y, t) = x y t t3 Y (x, y, t) = y + t Eliminując t otrzymamy równanie toru w postaci krzywej X = X(Y ) X = x y (Y y ) (Y y ) 3 2. Potok. Szukamy rozwiązania układu Stąd X ε = Y t Y ε = 1 przy warunku { X ε= = x Y ε= = y t = const. { Y (ε; x, y, t) = y + ε X(ε; x, y, t) = x + y tε tε2 Eliminując ε otrzymamy równanie rodziny krzywych X = X(Y, t) parametryzowanych przez t X = x + y (Y y )t t(y y ) 2 3. Smuga.

30 3 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych 3.1. Równanie ciągłości. Ruch płynu opisujemy metodą Eulera za pomocą: - skalarnego pola gęstość płynu ϱ(x, t), - wektorowego pola prędkości płynu v(x, t), Rozważmy płyn przepływający przez prostokątną ramkę o powierchni s ustawioną prostopadle do kierunku ruchu cieczy (wektora prędkości). Masa cieczy która przechodzi przez powierzchnię s w czasie t wynosi m = ϱ s v t Gdy ramka nie jest prostopadła do prędkości to w tym samym czasie przejdzie mniej płynu Można to zapisać w postaci wektorowej m = ϱ s cos α v t m = ϱ v n s t gdzie n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni. Dzieląc stronami przez t otrzymujemy m t = ϱ v n s Dla dowolnej powierzchni S w granicy gdy t ϱv n ds = dm dt S Lewa strona powyższego wzoru nosi nazwę strumienia pola wektorowego ϱ v przez powierzchnię i opisuje szybkość przepływu masy M przez tę powierzchnię. Niech teraz powierzchnia S będzie zamknięta tzn. bez brzegu. Wtedy ogranicza ona (jest brzegiem) pewnej objętości V (S = V ). Wybieramy konwencję, w której wektor n wystaje na zewnątrz, ale v n > gdy kąt pomiędzy v oraz n jest ostry, natomiast v n > gdy kąt pomiędzy v oraz n jest rozwarty. Przy tej konwencji S= V ϱv n dσ jest dodatnie gdy ciecz wypływa z objętości V, a ujemne gdy do niej napływa Szybkość przyrostu masy w objętości V możemy obserwować na podstawie zmian gęstości wewnątrz, stąd ϱ V t S= V dv = ϱv n ds (3.1) Całkowa postać równania ciągłości pod nieobecność źródeł. Gdy wewnątrz obecne są źródła lub ścieki to wzrost masy wewnątrz dokonuje się nie tylko poprzez wpływ i wypływ przez powierzchnię ograniczającą S = V ale również przez produkcję masy wewnątrz. Możemy to zapisać w postaci V ϱ t S= V dv = ϱv n dσ + gdzie f(x, t) opisuje gęstość szybkości produkcji masy, gdy f >, lub wyłapywania w przypadku f <. Chcąc określić różniczkową postać równania ciągłości skorzystajmy z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego Z twierdzenia Gaussa całkową postać równania ciągłości możemy przepisać teraz jako [ ] ϱ t + div (ϱv) dv = f dv V V V f dv

31 3.1. Równanie ciągłości. 31 A stąd ϱ + div(ϱ v) = f t Jest to różniczkowa postać równania ciągłości, prawa strona odpowiada produkcji lub ubytkowi masy.pod nieobecność źródeł lub ścieków otrzymujemy ϱ + div(ϱ v) =. (3.2) t Równanie to wyraża zasadę zachowania masy. Tego typu równanie ( ) t + div[ ] = pojawia się często w fizyce teoretycznej przy opisie wielkości ciągłych - energii, ładunku, pędu, stężenia itd. Jeżeli jakaś wielkość jest zachowana w objętości V - w powyższym sensie (tzn. całkowita ilość wewnątrz V może zmieniać się jedynie na skutek wpływania lub wypływania przez brzeg V ) wtedy zawsze różniczkowa postać prawa zachowania jest analogiczna do (3.2) czyli znika czterodywergencja. Wielkość w nawiasie ( ) pod znakiem pochodnej po czasie nazywamy gęstością tej wielkości (energii, ładunku,... ) czyli ilością na jednostkę objętości. Odpowiednio wielkość wektorowa w nawiasie [ ] pod znakiem dywergencji jest gęstością prądu rozpatrywanej wielkości fizycznej (czyli wektorem, którego kierunek i zwrot opisują kierunek i zwrot przepływu a długość wyznacza ilością przepływającą przez jednostkę powierzchni w jednostce czasu). Ale div(ϱ v) = v grad ϱ + ϱdiv v. Stąd równanie (3.2) możemy zapisać w równoawaźnej postaci ϱ t + v grad ϱ + ϱ div v = Dϱ + ϱ div v = (3.3) }{{} Dt Ciecz nieściśliwa. Bardzo często w analizie zjawisk dotyczących cieczy, przyjmuje się założenie, że rozważany płyn jest nieściśliwy. Oznancza to, że dowolna ustalona cząstka płynu ma w trakcie ruchu niezmienną gęstość. Nie oznacza to bynajmniej, że ϱ =, bowiem do ustalonego punktu t x Ω R 3 mogą napływać cząstki nieściśliwego płynu o różnej gęstości. Warunek nieściśliwości jest postaci Dϱ Dt =. Stąd i z równania ciągłości (3.3) wynika dla cieczy nieściśliwej div v = (3.4) czyli pole prędkości jest solenoidalne. Często przyjmuje się równiaż mocniejszy warunek ϱ = const. dla x Ω R 3, t R. Oczywiście wtedy Dϱ = jest spełnione w spsób trywialny. Dt P r z y k ł a d.

32 32 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych Rysunek 3.3. Wybierając pewną powierzchnię prostopadłą do potoku otrzymamy rurkowaty obszar - zwany strugą prądu. Ograniczenia strugi składają się z linii prądu - stycznych do prędkości cząstek (nie przecinających się ze sobą) - w związku z tym żaden płyn nie przepływa przez to ograniczenie. Struga zachowuje się jak rurka o tym samym co struga kształcie. Płyn, który wchodzi jednym końcem strugi musi wyjść drugim. Zakładamy, że ciecz nie jest wyłapywana ani tworzona wewnątrz a przepływ ustalony ( dv dt = ). Oznacza to, że strumień pola wektorowego jest równy zero ϱv n ds = Dzielimy na trzy powierzchnie ϱv n ds + C 1 C boczna C ϱv n ds + ϱv n ds = C 2 na powierzchni C 1 : (v n) 1 = v 1, na powierzchni C boczna : (v n) boczna =, na powierzchni C 2 : (v n) 2 = v 2. Przy założeniu, że w każdym punkcie przekroju C 1 prędkość i gęstość ma tę samą wartość to C 1 ϱ( v 1 ) ds = ϱ v 1 S 1 gdzie S 1 jest polem powierzchni przekroju poprzecznego. Analogicznie dla C 2. Ostatecznie ϱ 1 v 1 S 1 = ϱ 2 v 2 S 2. Gdy ciecz jest nieściśliwa tzn. ϱ 1 = ϱ 2 v 1 S 1 = v 2 S 2 Z powyższego równania wynika, że dla nieściśliwego przepływu ustalonego prędkość jest odwrotnie proporcjonalna do pola powierzchni przekroju i jest większa w węższych częściach strugi. strzykawka, tłum wychodzący przez małe drzwi Całkowa postać równania ruchu Siły zewnętrzne (objętościowe). Niech na ośrodek działają zewnętrzne siły (np. grawitacyjne) opisane polem wektorowym f(x) siłą na jednostkę masy [ ] wymiarem f(x) jest m s (wymiar przyspieszenia). 2 W punkcie x Ω R 3 na element objętości dx działa wtedy siła ϱ(x) f(x) dx Na objętość V Ω R 3 działa siła V ϱ(x) f(x) dx Siły powierzchniowe. Doświadczenie uczy nas, że jeżeli tą samą objętość V wydzielimy z ośrodka to na ogół porusza się ona inaczej niż zanurzona w ośrodku. Oznacza to, że otaczający

33 3.2. Całkowa postać równania ruchu 33 objętość V ośrodek oddziałuje na nią siłami. Siły te działają przez powierzchnię V ograniczającą objętość V. Nazywać je będziemy siłami powierzchniowymi. Przyjmujemy, że w punkcie x V siły są proporcjonalne do elementu powierzchni dσ. Zatem na objętość V Ω R 3 działa siła powierzchniowa postaci S(x) dσ V Aby przybliżyć pojęcie sił powierzchniowych rozważmy gaz znajdujący się w dwóch obszarach rozgraniczonych powierzchnią S. Rysunek 3.4. Zjawiska na granicy S w skali molekularnej. W skali molekularnej przyjrzyjmy się cząsteczkom przechodzącym z obszaru 1 do 2. Mają one dodatnią składową prędkości w kierunku wektora n. Oznacza to przenoszenie pędu w kierunku wektora n z obszaru 1 do 2. Odwrotnie, cząsteczki przechodzą również z obszaru 2 do 1, przenosząc pęd w kierunku -n. Uśredniony efekt wypadkowy jest równoważny sile w kierunku n - sile ciśnienia powierzchniowego. Siły ciśnienia są z definicji izotropowe tzn. niezależne od kierunku. Oznacza to, że są opisane przez funkcję skalarną p(x, t) - ciśnienie. Siła, w punkcie x, działająca przez powierzchnię dσ, o wektorze normalnym n, wynosi zawsze p n dσ tzn. jest niezależna od wyboru kierunku n (orientacji w przestrzeni elementu powierzchni dσ). Konwencja znaków jest taka, że + p n dσ jest siłą wywieraną na płyn, do wnętrza którego zwrócony jest wektor n, przez płyn z którego skierowany jest n. Jeżeli płyn jako całość jest w spoczynku (w spoczynku w skali w której uważamy go za ośrodek ciągły tzn. z wyłączeniem ruchów w skali molekularnej) to ciśnienie jest jedyną siłą powierzchniową. W poruszającym się płynie istnieją również siły tarcia wewnętrznego (lepkości). Są one również siłami powierzchniowymi. W omawianym przykładzie gazu są one związane z przekazywaniem składowej stycznej pędu (tzn. prostopadłej do n) z obszarów 1 do 2 i odwrotnie. Siły tarcia w gazach są na ogół dużo mniejsze niż siły ciśnienia, ponieważ zjawisko przenoszenia pędu raczej się nawzajem znosi niż dodaje. Gdy płyn jest w spoczynku to efekt znoszenia jest całkowity tzn. ilość cząsteczek o pędzie skierowanym w prawo, przechodzących przez powierzchnię S jest, po uśrednieniu równa w obie strony. Możemy w pierwszym przybliżeniu pominąć lepkość i rozważać tzw. płyn idealny. W wielu zagadnieniach jest on wystarczającym przybliżeniem analizowanych zjawisk np. rozchodzeniu się fal na wodzie, opływu unoszących się w wodzie pęcherzyków, czy opływie skrzydeł samolotu. Opis sił powierzchniowych wymaga wprowadzenia tensora napięć, co zrobimy w następnym paragrafie. Całkowa postać równania ruchu. Pęd płynu zajmującego objętość V (o brzegu V S) wynosi V ϱ(x)v dx. Jego zmiana odbywa się na skutek: działania sił objętościowych,

34 34 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych działania sił powierzchniowych, wpływu (lub wypływu) płynu do objętości obszaru V. Objętość płynu wypływającego z prędkością v z wnętrza obszaru V przez element dσ w czasie δt v n δt dσ [Zgodnie z konwencją, w której wektor n jest skierowany na zewnątrz ciecz wypływa gdy v n >, wpływa zaś gdy v n <.] Pęd unoszony przez ten płyn wynosi ϱv(v n) δt dσ. Stąd szybkość unoszenia pędu przez element powierzchni dσ ϱv(v n) dσ Stosując prawa mechaniki klasycznej otrzymujemy d ϱ(x)v dx = (3.5) dt V }{{} szybkość zmian pędu = ϱ(x) f(x) dx + S(x) dσ ϱv(v n) dσ V }{{} wypadkowa sił objętościowych V }{{} wypadkowa sił powierzchniowych V }{{} szybkość unoszenia pędu Przenosząc ostatni wyraz na lewą stronę i zapisując ównanie dla j-tej składowej otrzymujemy d ϱv j dx + (ϱv j v) n dσ = ϱ f j dx + S j dσ dt V V V V Po lewej stronie możemy d wejść z pochodną pod znak całki dt skorzystać z tw. Gaussa-Ostrogradskiego V V ϱv j dx = V (ϱv j v) n dσ = V t (ϱv j) dx, div {ϱv j v} dx gdzie div {ϱv j v} = {ϱv j v k } (suma po k). x k Podstawiając możemy oba wyrazy zapisać wspólnie pod znakiem całki V [ t (ϱv j) + ] {ϱv j v k } dx x k Wyrażenie w nawiasie kwadratowym możemy przepisać w postaci ( vj ϱ t + v k v j x k ) + v j ( ϱ t + ) (ϱv k ) x k W pierwszym nawiasie rozpoznajemy v j t +v grad v j = Dv j pochodną substancjalną składowej prędkości. Wyrażenie w drugim nawiasie ϱ + div (ϱv) znika na mocy równania ciągłości. Dt t Ostatecznie równanie (3.5) możemy zapisać w postaci V ϱ Dv Dt V dx = ϱ f dx + S dσ (3.6) V Równanie (3.5) lub równoważne (3.6) jest całkową postacią równania ruchu (dynamiki). Aby znaleźć jego różniczkową postać należy przeanalizować postać siły powierzchniowej S(x).

35 3.3. Tensor napięć Tensor napięć W najogólniejszym przypadku powierchniowa gęstość siły S działająca na element dσ może zależeć od kierunku w przestrzeni tego elementu. Oznaczając przez n jednostkowy wektor normalny do powierzchni dσ otrzymujemy, że siła S = S(n) gdzie S jest pewnym polem tensorowym ( o walencji (1,1) przyporządkowującym wektorowi n wektor S). Ustalmy bazę przestrzeni wektorowej (e 1, e 2, e 3 ). W tej bazie n = n 1 e 1 + n 2 e 2 + n 3 e 3 czyli n = Odpowiednio S(n) = W szczególności Z własności tensorowych S n1 S n2 S n3. S(e k ) = Zapisując w postaci macierzowej S n1 S n2 = n 1 S n3 S k1 S k2 S k3 n 1 n 2 n 3. S k, k = 1, 2, 3. S(n) = n 1 S(e 1 ) + n 2 S(e 2 ) + n 3 S(e 3 ) S 11 S 12 S 13 + n 2 S 21 S 22 S 23 + n 3 S 31 S 32 S 33 czyli S n1 S n2 S n3 = S 11 S 21 S 31 S 12 S 22 S 32 S 13 S 23 S 33 n 1 n 2 n 3 Spójrzmy teraz na powyższe wzory jak na iloczyny skalarne. gdzie S k = S 1k S 2k S 3k S nk = n S k, k = 1, 2, Symetryczność tensora napięć Pokażemy teraz, że tensor napięć S jest tensorem symetrycznym (Wystarczy pokazać, że macierz tego tensora jest symetryczna). Wróćmy do równania ruchu V ϱ(x) D Dt v dx = Uzupełnijmy je równaniem na moment pędu V V ϱ(x) f(x) dx + V S(n) dσ r ϱ Dv Dt V dx = r ϱ f dx + r S(n) dσ V

36 36 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych gdzie symbolem oznaczono iloczyn wektorowy tzn. x 1 f 1 r f = x 2 f 2 = x 3 f 3 x 2 f 3 x 3 f 2 x 3 f 1 x 1 f 3 x 1 f 2 x 2 f 1 Warunki równowagi. W przypadku równowagi statycznej ( d v = ) mamy dt = ϱ f dx + S(n) dσ V V = r ϱ f dx + r S(n) dσ Dla 1-szej składowej = ϱ f 1 dx + S n1 dσ V V = ϱ (x 2 f 3 x 3 f 2 ) dx + (x 2 S n3 x 3 S n2 ) dσ V V W pierwszym równaniu podstawiamy S n1 = S 1 n. Całka po powierzchni przyjmuje postać S n1 dσ = S 1 n dσ = div (S 1) dx czyli V Analogicznie dla pozostałych składowych V V V ϱ f 1 + div (S 1) =. ϱ f 2 + div (S 2) =, ϱ f 3 + div (S 3) =. S 23 x 3 W równaniu na momenty sił całka po powierzchni przyjmuje postać (x 2 S n3 x 3 S n2 ) dσ V = (x 2 S 3 x 3 S 2) n dσ = div (x 2 S 3 x 3 S 2) dx V V = [grad(x 2 ) S 3 + x 2 div (S 3) grad(x 3 ) S 2 x 3 div (S 2) dx V = [S 32 + x 2 div (S 3) V }{{} div } (S {{ 2) dx } ϱ f 3 Po podstawieniu do równania ϱ (x 2 f 3 x 3 f 2 ) dx + V V ϱ f 2 V [S 32 x 2 ϱ f 3 S 23 + x 3 ϱ f 2 ] dx = Ostatecznie równanie na 1-szą składową momentu sił redukuje się do postaci [S 32 S 23 ] dx = V Stąd i dowolności obszaru V wynika S 32 S 23 = Analogicznie rozważając pozostałe składowe otrzymamy, że S kl = S lk czyli macierz tensora napięć jest macierzą symetryczną. Co oznacza, że tensor jest tensorem symetrycznym.

37 3.3. Tensor napięć Interpretacja współczynników tensora napięć Niech n będzie jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni dσ. Napięcie na tym elemencie wynosi S n = Ŝ(n) Wektor ten możemy rozłożyć na składowe: w kierunku normalnym n: S n n = σ n - napięcie normalne (rozciągające lub ściskające). w kierunku stycznym t: S n t = τ n - napięcie styczne (tzw. ścinające). W bazie kartezjańskiej (e 1, e 2, e 3 ) wersorów osi: Ox 1, Ox 2, Ox 3 macierz tensora Ŝ napięć gdzie Ŝ = S 11 S 12 S 13 S 21 S 22 S 23 S 31 S 32 S 33 = σ x τ z τ y τ z σ y τ x τ y τ x σ z S 11 = e 1 Ŝ(e 1) = σ x, S 12 = e 1 Ŝ(e 2) e 2 Ŝ(e 1) = τ z, S 13 = e 1 Ŝ(e 3) e 3 Ŝ(e 1) = τ y, S 22 = e 2 Ŝ(e 2) = σ y, S 23 = e 2 Ŝ(e 3) e 3 Ŝ(e 2) = τ x, S 33 = e 3 Ŝ(e 3) = σ z, Skorzystaliśmy z symetrii tensora napięć S ij = e i Ŝ(e j) e j Ŝ(e i) = S ji. Rysunek 3.5. Infinitezymalny prostopadłościan o krawędziach rónoległych do osi układu. Tensor napięć Ŝ zależy w ogólności od punktu w przestrzeni Ŝ = Ŝ(x 1, x 2, x 3 ) tworzy zatem pole tensorowe napięć. Wszystkie współrzędne (składowe) tensora S ij są więc na ogół funkcjami (x 1, x 2, x 3 ) (oraz ewentualnie czasu t i innych parametrów). Jak pokazaliśmy tensor Ŝ jest symetryczny. Pozwala to sprowadzić go na osie główne tzn. wprowadzić w otoczeniu punktu lokalny układ współrzędnych prostokątnych o osiach u, v, w (osiach głównych), w którym to układzie macierz tego tensora jest diagonalna Ŝ = σ u σ v σ w Współrzędne σ u, σ v, σ w nazywamy napięciami głównymi. Zadanie 3.1. Udowodnić następujące Twierdzenie 3.1. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby tensor posiadał trzy wzajemnie protopadłe kierunki niezmienne (własne) u, v, w jest aby tensor był symetryczny.

38 38 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych 3.4. Równanie Eulera. Ciecz idealna. Znajdziemy teraz różniczkową postać równania ruchu. W cieczach rzeczywistych znajdujących się w ruchu występują napięcia styczne - spowodowane występowaniem sił tarcia wewnętrznego między sąsiednimi warstwami cieczy. O czym możemy się przekonać wprawiając naczynie w ruch obrotowy - po pewnym czasie i ciecz w naczyniu wykonuje ruch na skutek przenoszenia pędu pomiędzy wartwami cieczy. Analizę różniczkowej postaci równania ruchu rozpoczniemy od przypadku cieczy idealnej, w której zakładamy znikanie napięć stycznych tzn. w zgodzie z obserwacją Pascala:... ciśnienie w cieczy rozchodzi się jednakowo we wszystkich kierunkach i jest zawsze skierowane prostopadle do powierzchni granicznych powierzchni. Dla cieczy idealnej przyjmujemy macierz tensora napięć postaci Ŝ = σ x τ z τ y τ z σ y τ x τ y τ x σ z p p p (3.7) tzn. napięcia główne σ i są równe σ x = σ y = σ z = p oraz znikają wszystkie napięcia styczne τ x = τ y = τ z =. Zauważmy, że równanie kwadryki: S xx n 2 x + S y n 2 y + S zz n 2 z + 2S xy n x n y + 2S xz n x n z + 2S yz n y n z = const. po podstawieniu postaci tensora (3.7) otrzymujemy pn 2 x pn 2 y pn 2 z = const. = n 2 x + n 2 y + n 2 z = const. równanie kuli. Skoro tak to każdy układ wzajemnie prostopadłych kierunków stanowi układ osi głównych i w każdym układzie tensor przyjmuje postać (3.7). Wynikiem tensora Ŝ na dowolnym wektorze n normalnym do powierzchni jest Ŝ(n) = pn czyli napięcie jest zawsze skierowane prostopadle do powierzchni. Możemy teraz znaleźć różniczkową postać równania ruchu. Wyjdźmy od równania całkowego (3.6) podstawiając w miejsce wektora S = Ŝ(n) = pn Z dowolności obszaru V otrzymujemy ϱ(x) Dv V Dt V dx = ϱ(x) f(x) dx + = ϱ(x) f(x) dx V {porównaj (2.6c)} = ϱ(x) f(x) dx ϱ Dv Dt V V V V ( p)n dσ p dσ grad p dx = ϱf grad p (3.8) Pamiętając, że pochodna substanjalna Dv Dt v + (v )v oraz dzieląc przez dodatnią gęstość t ϱ(x) otrzymujemy ostatecznie równanie ruchu cieczy idealnej zwane równaniem Eulera v t + (v )v = f 1 grad p (3.9) ϱ Zadanie 3.2. Bilans energetyczny. Zinterpretować pod kątem energetycznym równanie Eulera.

39 3.4. Równanie Eulera. Ciecz idealna. 39 Wskazówka. Rozważmy cząskę płynu o masie δm, tak małą aby wewnątrz niej ciśnienie p móc uważać za stałe i zależne od objętości właściwej τ := 1 ϱ. Przez E w oznaczmy energię wewnętrzną na jednostkę masy. Weźmy pod uwagę wzrost energii wewnętrznej elementu δm d(e w δm) = pdx (dx jest elementem objętości). Dla stałej masy wzrost objętości dx wiąże się ze wzrostem objętości właściwej dx = δm dτ czyli de w δm = pδm dτ = de w = p dτ ale dτ = d( 1 ϱ ) = 1 ϱ 2 dϱ. Zatem de w = p ϱ 2 dϱ. Ostatecznie de w dϱ = p ϱ 2 Dla dowolnej objętości energia wewnętrzna płynu Szybkość zmian energii wewnętrznej E wew = V ϱe w dx D Dt (E wew) = D E w ϱ dx = Dt V V Udowodnić ostatnią równość we wzorze (3.1). Obliczmy DE w Dt = de w dϱ D Dt (E w) ϱ dx (3.1) Dϱ Dϱ. Z równania ciągłości (3.3) możemy podstawić = ϱ div v Dt Dt D Dt (E wew) = ϱ de w Dϱ V dϱ Dt V dx = ϱ p ϱ 2 ( 1)ϱ div v dx = p div v dx (3.11) V Przejdźmy do równania Eulera (3.8). Pomnóżmy je skalarnie przez v. Otrzymujemy ϱ v Dv Dt = ϱf v v grad p Lewą stronę możemy przepisać w postaci ϱ D ( 1 Dt 2 v2). Zakładając, że siła jest zachowawcza i nie zależy jawnie od czasu to pierwszy składnik po prawej stronie możemy przedstawić jako gradient potencjału f = grad U gdzie U t =. W konsekwencji f v = grad U v = D Dt (U). Całkując po porcji poruszającego się płynu o objętości V (współporuszającej się z cieczą) mamy ϱ D ( ) 1 V Dt 2 v2 dx = ϱ D V Dt (U) dx v grad p dx V Stąd i tożsamości div (pv) = pdiv v + vgrad p Czyli ostatecznie V ϱ D ( ) 1 Dt 2 v2 + U dx = pv dσ + pdiv v dx Σ= V V D Dt (E kin + E pot + E wew ) = pv dσ Σ= V Odpowiedź. Przyrost całkowitej energii porcji płynu E kin + E pot + E wew na jednostkę czasu równa się mocy ciśnień zewnętrznych.

40 4 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych 3.5. Równanie fizyczne płynu Do opisu zachowania płynu musimy dodać jeszcze zależność gęstości ϱ(x) od ciśnienia p(x). W ogólności związek ten opisuje termodynamiczne równanie stanu postaci f(ϱ, p, T ) = (3.12) gdzie T oznacza temperaturę. Jest ono określone bądź na mocy doświadczenia bądź teorii termodynamicznej materii. Objęcie hydrodynamiki i termodynamiki jest zagadnieniem trudnym i w ogólności jeszcze nie opracowanym 1. Dlatego w wielu zagadnieniach będziemy rozpatrywać równanie fizyczne płynu postaci które można rozwikłać do postaci f(ϱ, p) =, (3.13) ϱ = ϱ(p) lub p = p(ϱ). (3.14) Fizyczne równanie płynu (3.13) pomija szereg zjawisk termodynamicznych m.in. wydzielania ciepła w trakcie ruchu, wpływu temperatury na zmianę gęstości. Równanie (3.14) pozwala nam odróżnić ciecze od gazów. Jeżeli dla rozważanego płynu w granicy gdy ciśnienie p dąży do zera gęstość ϱ również dąży do zera to płyn ten nazywamy gazem. Jeżeli natomiast w granicy p gęstość ϱ ϱ to wtedy mówimy o cieczy. Stąd wnioskujemy, że jeżeli w naczyniu znajduje się gaz i objętość tego naczynia rośnie to gaz będzie zawsze wypełniał naczynie, natomiast ciecz dla dostatecznie dużej objętości utworzy powierzchnię swobodną (wypełni tylko część naczynia). Idealizacją (najprostszym przypadkiem) jest ciecz nieściśliwa. Równanie fizyczne (stanu) redukuje się wtedy do postaci (gęstość nie zależy wtedy od ciśnienia) ϱ(p) = const. Dla cieczy mało ściśliwej możemy zastosować przybliżenie liniowe. Wtedy równanie fizyczne przyjmie postać ϱ(p) = ϱ (1 + αp). W praktyce wiele zastosowań hydrodynamiki opiera się na założeniu cieczy nieściśliwej. Dla gazów idealnych równanie stanu (Clapeyrona) możemy zapisać w postaci p = ϱrt gdzie R uniwersalna stała gazowa. W warunkach izotermicznych wynika równanie fizyczne postaci p p = ϱ ϱ. W warunkach adiabatycznych zaś p = const. Zauważmy, że w tym wypadku T jest proporcjonalne do ϱ κ 1, czyli element gazu poddany kompresji staje się gorętszy 2. Skąd pochodzi ten ϱκ wzrost energii wewnętrznej elementu gazu? Z założenia o adiabatyczności procesu otaczający gaz nie przekazuje ciepła. Siły ciśnienia wykonują pracę ściskając rozpatrywany element i to ona, z pierwszej zasady termodynamiki, jest źródłem wzrostu temperatury. 1 Przykładem może być zachowanie wody w naczyniu szybko i nierównomiernie ogrzewanym. Powstają tam prądy i wiry spowodowane zmianami gęstości wywoływanymi zmianami temperatury. 2 Każdy z nas kto pompował kiedykolwiek koło rowerowe może to potwierdzić.

41 3.6. Opis ruchu cieczy idealnej Opis ruchu cieczy idealnej. Podsumowując możemy napisać układ równań opisujących ruch cieczy równanie Eulera - równanie ruchu v t + (v )v = f 1 ϱ grad p (3.15a) równanie ciągłości - wyrażające prawo zachowania masy równanie fizyczne płynu ϱ + div(ϱ v) = t (3.15b) f(ϱ, p) = (3.15c) Jest to układ pięciu równań skalarnych (bowiem równanie (3.15a) jest układem trzech równań) na pięć niewiadomych funkcji v 1, v 2, v 3, ϱ, p. Zauważmy, że równanie Eulera (3.15a) zawiera wyraz (v grad)v nieliniowy w szukanych prędkościach - co znacznie utrudnia jego rozwiązanie. Jednoznaczne rozwiązanie tego układu otrzymamy rozpatrując warunki brzegowe na powierzchni ograniczającej (w przypadku obszarów ograniczonych) ewentualnie w nieskończoności (gdy obszar jest nieograniczony) i warunki początkowe. Jeżeli obszar Ω jest ograniczony to na jego brzegu Ω składowa normalna prędkości jest równa zero - wyraża to fakt iż ciecz nie wypływa przez powierzchnię, zaś składowa styczna dowolna vn Ω =, v t Ω dowolne. (3.16) Gdy powierzchnia Ω porusza się z prędkością u to ruch cieczy musi być zodny z ruchem powierzchni w tym sensie, że składowe normalne do powierzchni muszą być równe vn Ω = u n (3.17) Zauważmy, że do wektora u można dodać dowolną składową równoległą u do Ω. Prawa strona nie ulegnie wtedy zmianie u n = Powierzchnia swobodna. Poniżej przedstawimy rozważania przydatne przy analizie fal na wodzie. Niech kształt powierzchni będzie opisany równaniem x 3 = ξ(x 1, x 2, t). Zakładamy, że ξ jest funkcją gładką, opisuje zatem fale, które się nie załamują. Rysunek 3.6. Powierzchnia rozgraniczająca wodę i powietrze. Powierzchnia opisana jest równaniem x 3 = ξ(x 1, x 2, t) lub innymi słowy ϕ(x 1, x 2, x 3, t) = x 3 ξ = Aby zastosować na powierzchni warunek (3.17) vn Ω = u n

42 42 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych musimy wyrazić zarówno u jak i n poprzez funkcję ξ(x 1, x 2, t). Przypomnijmy sobie, że na powierzchni ϕ(x) = const gradient jest do niej prostopadły, czyli n = ϕ ϕ Zatem, skoro ϕ(x) = x 3 ξ(x 1, x 2, t) to ϕ = ( ξ x 1, ξ x 2, 1) czyli n = ( ξ x 1, ξ x 2, 1) ( ξ x 1 ) 2 + ( ξ x 2 ) Wektor wodzący punktów na powierzchni x = (x 1 (t), x 2 (t), ξ(x 1, x 2, t)) zatem prędkość u = (ẋ 1, ẋ 2, ξ x 1 ẋ 1 + ξ x 2 ẋ 2 + ξ t ) jej rzut na kierunek normalny n ( ) ( ) ( ) u n = ẋ1 ξ x 1 + ẋ 2 ξ x 2 + ξ x 1 ẋ 1 + ξ x 2 ẋ 2 + ξ t 1 ξ = t ( ξ x 1 ) 2 + ( ξ x 2 ) ( ξ x 1 ) 2 + ( ξ x 2 ) Z drugiej strony składowa normalna pola prędkości przepływu vn = (v 1, v 2, v 3 ) Porównując stronami otrzymujemy czyli ( ξ x 1, ξ x 2, 1) ( ξ x 1 ) 2 + ( ξ x 2 ) ξ ξ v 1 v 2 + v 3 = ξ x 1 x 2 t ξ t + v ξ ξ 1 + v 2 v 3 = x 1 x 2 Z definicji pochodnej substancjalnej (materialnej) = v 1 ξ ξ x 1 v 2 x 2 + v 3 ( ξ x 1 ) 2 + ( ξ x 2 ) Dξ Dt Dx 3 Dt = D Dt (ξ(x 1, x 2, t) x 3 ) = (3.18) Widzimy więc, że jeśli w chwili początkowej ξ(x 1, x 2, t) x 3 było równe zero (warunek, że cząstka znajduje się na powierzchni) to w trakcie przepływu jest ciągle równe zero. Oznacza to, że płyn na powierzchni cały czas na niej pozostaje Strumień pędu cieczy idealnej Powtórzmy jeszcze raz rozważania nad równaniem ruchu cieczy idealnej. Pęd płynu znajdującego się w objętości V wynosi V ϱv dx Zmiana pędu może odbywać się na skutek dizłania sił (objętościowych i powierzchniowych) oraz unoszenia pędu przez wypływający płyn d ϱv dx δt = ϱf dx δt + ( p)n dσδt ϱv(v n)δt dσ (3.19) dt V V V V gdzie lewa strona oznacza przyrost pędu, natomiast składniki po prawej stronie oznaczają odpowiednio popęd sił objętościowych, powierzchniowych oraz ubytek pędu związany z wypłynięciem objętości płynu (v n)δt dσ. Drugą całkę po prawej stronie możemy zgodnie ze wzorem (2.6c) z paragrafu 2.2 zamienić na całkę po objętości ( p)n dσ = grad p dx V V

43 3.7. Strumień pędu cieczy idealnej 43 Wybieramy pewną bazę przestrzeni wektorowej (e 1, e 2, e 3 ). Wtedy szybkość zmiany i-tej składowej pędu d p ϱv i dx = ϱf i dx dx ϱv i (v n) dσ dt V V V x i V Ale (porównaj tw. Gaussa-Ostrogradskiego (2.6d)) Zatem V d dt V ϱv i dx = ϱv i (v n) dσ = V V V t (ϱv i) dx (ϱv i v) n dσ = V div (ϱv i v) dx { t (ϱv i) + p + } (ϱv i v k ) ϱf i dx = (3.2) x i x k Z dowolności obszaru V wynika równanie [zauważmy, że wyraz p deltą Kroneckera tzn. współczynnikami tensora jednostkowego] x i = x k (δ ik p) gdzie δ ik jest t (ϱv i) + (δ ik p + ϱv i v k ) = ϱf i i = 1, 2, 3. (3.21) x k Jeżeli siły objętościowe znikają to pęd jednostki objętości cieczy równy ϱv jest zachowany [porównaj uwagi po wzorze ciągłości (3.2)]. t (ϱv i) + [δ ik p + ϱv i v k ] = i = 1, 2, 3. x k Tym razem gęstość prądu π ik := pδ ik + ϱv k v i jest tensorem [ściślej π ik są współczynnikami macierzy tego tensora w wybranej bazie] Działanie tego tensora na dowolny wektor n daje wektor ˆπ(n) postaci ˆπ(n) = pn + ϱv(v n). Oznaczając przez π i wektor będący wartością tensora ˆπ na i-tym wektorze bazowym e i wzór (3.24) możemy przepisać w postaci π i := ˆπ(e i ) = pe i + ϱ vv i (3.22) t (ϱv i) = divπ i + ϱf i (3.23) Aby zinterpretować tensor ˆπ całkujemy równanie (3.23) po pewnej objętości V w szczególnym przypadku gdy siły objętościowe f są równe zero ϱv i dv = divπ i dv = {tw. Gaussa-Ostrogradskiego} t V V = π i n dσ (3.24) V gdzie n jest jednostkowym wektorem normalnym do elementu powierzchni dσ Lewa strona (3.24) opisuje szybkość zmian i-tej składowej pędu objętości V. Zatem całka po prawej stronie opisuje i-tą składową pędu wypływającą przez powierzchnię V ograniczającą objętość V. Wielkość π i n jest strumieniem i-tej składowej pędu na jednostkę powierzchni o wektorze normalnym n. Współrzędna π ik tensora ˆπ jest zatem i-tą składową pędu przepływającą w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłej do e k. Tensor ˆπ nazywa się tensorem gęstości strumienia pędu. Zadanie 3.3. Znaleźć parcie (siłę ciśnienia) na zgiętym kawałku rury, przez którą przepływa ciecz nieściśliwa, a przepływ jest ustalony.

44 44 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych 3.8. Równanie Bernoulliego Wyprowadzimy równanie mające sens zasady zachowania energii przy następujących założeniach: p 1. ciecz jest idealna tzn. S = p i spełnione jest równanie Eulera, p 2. fizyczne równanie płynu jest postaci ϱ = ϱ(p), 3. zewnętrzne siły objętościowe są zachowawcze tzn. f = grad V. p Z założenia (2) możemy zdefiniować funkcję P(p) := Wtedy zgodnie z regułą różniczkowania funkcji złożonej P = P p = 1 x i p x i ϱ(p) p 1 ϱ(p ) dp górnej granicy całkowania. p = grad P = 1 grad p (3.25) x i ϱ Zauważmy, że jeśli ciecz jest nieściśliwa ϱ = const to grad P = grad [ 1 ϱ p]. Wychodzimy od równania Eulera (3.9) dv dt v t + (v )v = f 1 ϱ grad p Z założenia (4) prawa strona jest równa f 1 ϱ grad p = grad V 1 grad p. Na mocy założenia ϱ (2) możemy wykorzystać równość (3.25). Otrzymamy zatem v t Z lewej strony skorzystamy z tożsamości 3 + (v )v = grad (V + P) 1 ( 2 grad A 2) = (A grad) A + A rot A (3.26) Stosując ją do pola wektorowego prędkości v otrzymamy Po podstawieniu otrzymamy Równoważnie 1 ( 2 grad v 2) = (v )v + v rot v v t + grad(1 2 v2 ) v rot v = grad (V + P) ( v t v rot v = grad V + P + 1 ) 2 v2 Stąd wynikają dwie formy twierdzenia Bernoulliego. 3 Rzeczywiście, we współrzędnych kartezjańskich, dla pierwszej składowej mamy (3.27) 1 ( ) A A A x 1 = A 1 A 1 x 1 + A 2 A 2 x 1 + A 3 A 3 x 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 2 A 3 + A 2 + A 3 x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 1 ( ) ( ) ( ) A 1 A 1 A 1 A2 = A 1 + A 2 + A 3 + A 2 A1 A1 A 3 A3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 Analogicznie dla pozostałych składowych. = (A ) A 1 + A 2 (rot A) 3 A 3 (rot A) 2 = (A ) A 1 + (A rot A) 1

45 3.9. Proste przykłady 45 Twierdzenie 3.2. Jeżeli przepływ jest ustalony tzn v t wtedy wielkość = bezwirowy rot v = czyli istnieje potencjał prędkości v = grad ϕ Ψ = V + P v2 spełnia warunek ( v grad V + P v2) = skąd wynika, że ( Ψ = V + P v2) jest stała wzdłuż toru ruchu. Ψ = ϕ t + V + P v2 grad ( ϕ t + V + P v2) = ( Ψ(t) = ϕ t + V + P v2) jest niezależne od położenia w przestrzeni Związek równania Bernoulliego z zasadą zachowania energii Proste przykłady Zadanie 3.4. Hydrostatyka [3] Zadanie 3.5. Zadanie 3.6. Paradoks hydrostatyczny. [3]Wyznaczyć rozkład ciśnienia w słupie cieczy. Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej cieczy nieściśliwej znajdującej się w polu siły ciężkości w naczyniu cylindrycznym, które obraca się wokół swej osi ze stałą prędkością kątową ω. Zadanie 3.7. Prawo Archimedesa. Wyprowadzić prawo wyporu Archimedesa. Rozwiązanie. Rozważmy ciecz w równowadze. Wytnijmy w myśli pewien obszar V ograniczony powierzchnią S = V (S jest brzegiem obszaru V ). Na element powierzchni dσ działają siły powierzchniowe pdσ. Całkując po całej powierzchni S otrzymamy wypadkową siłę (parcie) F W z jaką otaczająca ciecz działa na ciecz wewnątrz obszaru V F W = ( p)dσ = grad p dx. S= V Korzystając z równania Eulera możemy wyznaczyć grad p. Z założenia ciecz jest w równowadze statycznej więc równanie ruchu (Eulera) redukuje się do postaci = ϱf grad p gdzie ϱf jest zewnętrzną siłą objętościową. Pozwala to znaleźć wartość siły parcia = grad p dx = ϱf dx. F W V Czyli siła parcia jest równa wypadkowej zewnętrznych sił objętościowych działających na ciecz znajdującą się wewnątrz obszaru V lecz skierowaną przeciwnie. V V

46 46 Rozdział 3. Zasady hydrodynamiki płynów idealnych Gdy w obszarze V umieścimy zamiast cieczy inne ciało to siła wyporu F W nie ulegnie zmianie bowiem jest to wypadkowa siła z jaką otaczająca ciecz działa przez powierzchnię graniczną S = V. Prawo Archimedesa otrzymamy gdy jako siłę zewnętrzną przyjmiemy siłę ciężkości f = g (przyspieszenie ziemskie) i założymy, że gęstość cieczy jest taka sama w każdym punkcie F W = ϱg dx = ϱ g vol(v ) V gdzie vol(v ) = V dx jest objętością obszaru V.

47 Rozdział 4 Ruch potencjalny. W tym rozdziale przyjrzymy się pojęciu momentu pędu cząstki cieczy wokół jej środka masy. Na początek określimy pojęcie wirowości (wiru) prędkości wraz z fundamentalnymi twierdzeniami dotyczącymi zachowania wirów. W drugim paragrafie rozpatrzymy ruch bezwirowy Wirowość. Mając dane pole wektora prędkości v definiujemy pole ω = rotv. (4.1) Nazywać je będziemy wirowością (lub wirem) pola v. Jej k-ta współrzędna wynosi ω k = ɛ kij v i x k (suma po i, j) gdzie ɛ kij jest tensorem całkowicie antysymetrycznym 1. Interpretacja geometryczna. Aby zilustrować sens geometryczny dokonajmy rozwinięcia prędkości w szereg Taylora wokół punktu x dla i-tej współrzędnej Tensor gradientu prędkości v = antysymetrycznej v(x, t) = v(x, t) + (x x ) x=x v + O( x x 2 ) v i (x, t) = v i (x, t) + (x j x j ) v i x j x=x + O( x x 2 ) ( vi x j ) możemy przedstawić jako sumę części symetrycznej i v i = 1 x j 2 ( v i + v j ) + 1 x j x i 2 ( v i v j ) x j x i }{{}}{{} symetryczna antysymetryczna = 1 2 ( v i x j + v j x i ) ɛ ijkω k (4.2) 1 Wielkość ɛ kij jest właściwie pseudotensorem { ( 1) J gdzie J ilość inwersji w ciągu (i, j, k) ɛ kij = gdy którykolwiek z indeksów się powtarza W dalszych rozważaniach przydatna będzie tożsamość ɛ ijk ɛ klm = δ il δ jm δ imδ jl

48 48 Rozdział 4. Ruch potencjalny. Ponieważ gradient prędkości jest na ogół różny od zera, więc elementy płynu są w trakcie przepływu deformowane i obracane. Cząstki poruszające się z prędkością v po upływie czasu δt przemieszczają się o wektor u = vδt. Tensor gradientu przemieszczenia jest na mocy (4.2) równy ( ) ui = x j ( ui x j + u ) j x i u 11 u 12 u 13 u 12 u 22 u 23 u 13 u 23 u δt ω 3 ω 2 ω 3 ω 1 ω 2 ω 1 (4.3) gdzie u ij := 1 2 są składowymi tensora odkształceń (tzw. tensora odkształceń Cauchy ego). W ramach liniowej teorii małych odkształceń opisanej w 7.3 współrzędne te mają klarowną interpretację geometryczną. Współrzędne równo-wskaźnikowe (elementy na przekątnej) są odkształceniami liniowymi wzdłuż odpowiednich osi, a współrzędne różno-wskaźnikowe (poza przekątną) są odkształceniami kątowymi mierzonymi w płaszczyznach określonych indeksami współrzędnych. Natomiast antysymetryczna część tensora opisuje podwojony kąt obrotu w odpowiedniej płaszczyźnie czyli 1 2 ω i jest prędkością kątową obrotu elementu płynu wokół i-tej osi. Biorąc materialny element liniowy δl tzn. utworzony z cząstek płynu, poruszających się wraz płynem, o początku x 1 (t) i końcu x 2 (t). Przy tych oznaczeniach δl = x 1 (t) x 1 (t). Wtedy zmiana w czasie d dt δl = dx 2 dt dx 1 = v(x 2, t) v(x 1, t) dt = v(x 1 + δl, t) v(x 1, t) = v(x 1, t) + (δl grad) v x=x 1 + O = (δl grad) v x=x 1 + O ( δl 2) ( δl 2) v(x 1, t) Stąd w granicy infinitezymalnego δl otrzymujemy równanie ruchu materialnego elementu liniowego d δl = (δl grad)v. (4.4) dt Zadanie 4.1. Przeanalizować, w zależności od początkowego kierunku, ruch materialnego elementu liniowego δl, umieszczonego w początku układu współrzędnych, dla pola prędkości wokół punktu stagnacji (Ten rodzaj przepływu opisany jest w dodatku 4.4 do tego rozdziału), postaci v = 1) δl = δl 1 2) δl = δl 2 Odpowiedź. 1) Element będzie rozciągany δl = δl 1 δl 2 e αt rozciągając δl = αx 1 αx 2 3) δl = e αt, α >. Rozważyć przypadki δl 1 δl 2. 2) Element będzie się kurczył δl =. 3) Element będzie się obracał zgodnie z ruchem wskazówek zegara jednocześnie δl 1 e αt δl 2 e αt, Przykład. Rozważmy przepływ opisany polem prędkości postaci sumy v = v roz + v wir gdzie βx 1 β v roz = βx 2, β >. Gradient tego składnika prędkości v roz = β czyli 2βx 3 2β

49 4.1. Wirowość. 49 opisuje rozciąganie bez zmiany objętości (jako bezśladowy - porównaj paragraf 7.4). Ponadto x 2 rotv roz = Niech drugi składnik opisuje wirowanie v wir = Ω(r, t) x 1 gdzie r = x x2 2. Wtedy rotv wir = ω ω = x 1 (x 1 Ω) = 2Ω + x 1 Ω r Ω Ω ( x 2 Ω) = 2Ω + x 1 + x 2 x 2 x 1 x 2 r Ω r + x 2 = 2Ω + r Ω x 1 r x 2 r W tym polu prędkości element δl równoległy do osi x 3 spełnia βx dδl 1 Ωx 2 = (δl grad ) v = δl 3 βx 2 + Ωx 1 = δl 3 dt x 3 2βx 3 r 2Ω(, t) (4.5) d czyli dt (δl 3) = δl 3 2β = δl 3 = const e 2βt. Taki element jest jedynie rozciągany. Gdy w początku układu współrzędnych rozważymy element objętości, w kształcie cylindra, o długości δl i polu powierzchni δs, a osi symetrii pokrywającej się z osią x 3 to: cylinder będzie obracał się z prędkością Ω(, t) (na mocy (4.5)), podczas rozciągania wzdłuż osi symetrii przekrój poprzeczny cylindra będzie zachowywał swój okrągły kształt (na mocy symetrii), objętość cylindra pozostanie stała (bowiem ślad macierzy v = ) = vol = δlδs = const, dla cieczy nieściśliwej oznacza to jednocześnie, że masa cylindra się niezmienia, moment pędu cylindra pozostanie stały (siły ciśnienia działające na powierzchni cylindra mają kierunek prostopadły do osi obrotu, więc ich moment jest równy zero) = ωδs = const (Rzeczywiście, moment pędu moment bezwładności prędkość kątowa masa prędkość kątowa (promień przekroju poprzecznego) 2 ale (promień przekroju poprzecznego) 2 δs) Stąd wynika ω ω δl czyli ω = δl δl gdzie ω oraz δl oznaczają wartości w chwili t > t. Jako wniosek możemy sformułować stwierdzenie, że rozciąganie wzmaga wirowość. Widocznym przykładem tego stwierdzenia jest spływająca woda w umywalce, efekt ten widoczny jest również w cyklonach i tornadach. W równaniu Eulera v t + (v )v = f 1 ϱ grad p Dla sił zewnętrznych potencjalnych f = gradv, cieczy nieściśliwej (ze względu na stałą wartość, można wprowadzić gęstość ϱ pod znak gradientu). Korzystając ze wzoru (3.26) równanie ruchu przekształcamy do postaci v t + grad(1 2 v2 ) v rot v = grad ( V + p ϱ Działając na obie strony tego równania operatorem rot (pamiętając, że rotacja gradientu znika), otrzymujemy równanie zawierające tylko prędkość rot v t ) 2β rot (v rot v) =. (4.6)

50 5 Rozdział 4. Ruch potencjalny. Drugi składnik po lewej stronie wynosi 2 rot(v ω) = (ω grad)v + v (div ω) (v grad)ω ω (div v) Dla cieczy nieściśliwej div v =, ponadto znika = div ω = div (rot v). Podstawiając otrzymujemy czyli ω t (ω grad)v + (v grad)ω =. dω dt = (ω grad)v (4.7) gdzie po lewej stronie dω dt = ω +(v grad)ω jak zwykle oznacza pochodną substancjalną (materialną). Równanie (4.7) jest identyczne z równaniem (4.4) dla liniowego elementu materialnego. t Zatem wiry poruszają się jak gdyby były materialnymi elementami liniowymi Twierdzenie Kelwina o zachowaniu krążenia. Całkowym odpowiednikiem wirowości jest cyrkulacja (inaczej krążenie (porównaj twierdzenie Stokesa (2.6f)) C := u dl (4.8) Udowodnimy teraz fundamentalne twierdzenie dotyczące cyrkulacji Twierdzenie 4.1. (Kelwina - o zachowaniu krążenia) Dla nielepkiej cieczy, o równaniu stanu postaci ϱ = ϱ(p) (w szczególności dla nieściśliwej), na którą działają siły potencjalne cyrkulacja pola prędkości wzdłuż materialnej krzywej zamkniętej pozostaje stała. Dowód. Niech Γ t oznacza materialną krzywą zamkniętą w chwili t, sparametryzowaną przez a 1 { } Γ t = x R 3, x = X(a, t), a 1 Współrzędne X(a, t) stanowią współrzędne Lagrange a (materialne - śledzimy z upływem czasu tor konkretnych cząstek numerowanych przez a). Wtedy tx(a, t) = v(x(a, t), t) wyznacza pole prędkości. Przy tych oznaczeniach cyrkulacja 1 C := u dl = v(x(a, t), t) X a da Γ Γ dc dt = = 1 1 [ d dt [ dvk dt v(x(a, t), t) X a X k a + v k 2 X k a t ] da = ] da 1 [ ] d X k v k da dt a 2 Napiszmy dla i-tej składowej [rot (v ω)] i = ε ijk x j (ε klm v l ω m) = { ε ijk ε klm = δ il δ jm δ imδ jl } = (δ il δ jm δ imδ jl ) (v l ω m) x j = (v iω j) v i ω j ω i v j (v jω i) = ω j + v i v j ω i x j x j x j x j x j x j = (ω grad)v i + v i (div ω) (v grad)ω i ω i (div v)

51 4.3. Przykłady ruchu potencjalnego cieczy nieściśliwej 51 Pod znakiem całki wyraz dv k dt stanowi lewą stronę równania Eulera (3.9), podstawiamy w nim dla sił zachowawczych f = gradv, dla równania stanu ϱ = ϱ(p) w miejsce 1 ϱgradp = gradp otrzymamy dv k dt = (P + V ) x k W konsekwencji dv k dt X k a = x k (P + V ) X k a jest to a (P + V ). W drugim składniku v k a do całki dc dt = 1 [ (P + V ) + 1 ] a 2 v 2 da = czyli ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonej ( ) ( Xk t = v k a (v k) = 1 a 2 v 2). Podstawiając [ (P + V ) v 2 ] a=1 Ale krzywa z założenia jest zamknięta czyli a = i a = 1 odpowiadają temu samemu punktowi w przestrzeni zatem [ (P + V ) v 2] a=1 dc =. Stąd wynika teza dt =. a= Uwaga Przepływ nazywamy bezwirowym wtedy i tylko wtedy gdy wszędzie (dla każdego punktu) ω = rotv =. Jeżeli w jakiejś chwili ruch był bezwirowy to takim pozostaje. Dowód. Reductio ad absurdum. Załóżmy, że w chwili t = ruch był bezwirowy. Jeżeli dla t > istnieje taki punkt x, że ω x = to z ciągłości tego pola wynika, że również w pewnym otoczeniu Ω tego punktu rotv. Istnieje zatem powierzchnia S Ω taka, że w chwili t > całka S rotv ndσ. Ale S rotv ndσ = S v dl równa jest cyrkulacji pola prędkości wzdłuż brzegu powierzchni S. Z twierdzenia o stałości krążenia wynika, że również w chwili początkowej nie mogło ono znikać wzdłuż krzywej materialnej Γ, która po upływie czasu t tworzy S. Implikuje to nieznikanie całki po powierzchni S rozpiętej na konturze Γ S rotv ndσ. W konsekwencji otrzymujemy sprzeczność rotv t= w punktach leżących na powierzchni S wbrew pierwotnemu założeniu o bezwirowości ruchu w chwili t =. 2. Ważnym przypadkiem szczególnym jest płyn, który początkowo był w spoczynku. 3. Twierdzenie Kelwina wskazuje również jak się mogą tworzyć (lub znikać) wiry. Mogą one mianowicie (przy założeniach twierdzenia - ciecz nielepka, siły potencjalne) jedynie wskakiwąć do (lub uciekać z) obszaru poprzez jego granice np. granice przeszkód. a= Rysunek 4.1. Opływ przeszkody. Z tyłu za przeszkodą widoczny obszar występowania wirów. Źródło: Milton Van Dyke, An Album of Fluid Motion, Parabolic Press, 12th edition, Przykłady ruchu potencjalnego cieczy nieściśliwej Zauważmy, że dla przepływu potencjalnego, jaki chcemy zbadać w tym paragrafie rot v = i równanie ruchu (wynikające z równania Eulera) (4.6) jest spełnione tożsamościowo. Tak więc jedynym równaniem opisującym ruch cieczy jest równanie ciągłości, które dla ϱ = const przybiera prostą postać div v = (4.9)

52 52 Rozdział 4. Ruch potencjalny. Wprowadzamy potenjał prędkości: v = grad φ Podstawiając definicję potencjału prędkości do równania ciągłości (4.9) otrzymujemy równanie Laplace a φ = (4.1) opisujące ruch cieczy w rozważanym przypadku Ruch 3D z symetrią osiową. We współrzędnych sferycznych ma ono postać (2.23d) 1 r 2 ( r r 2 φ r ) + 1 r 2 sin θ ( θ sin θ φ θ ) φ r 2 sin θ ϕ 2 =. Rozważmy przypadek szczególny o symetrii osiowej tzn. załóżmy, że rozwiązanie jest niezmiennicze na obroty wokół pewnej osi. Wybierając układ współrzędnych w taki sposób aby ta oś pokrywała się z osią x 3 warunek symetrii osiowej będzie miał prostą postać φ ϕ = φ nie zależy od zmiennej ϕ Spróbujmy zatem znaleźć rozwiązania równania Laplace a o symetrii osiowej 1 r 2 ( r r 2 φ r ) + 1 r 2 sin θ ( θ sin θ φ θ ) =. (4.11) Poszukajmy ich metodą rozdzielenia zmiennych. Postulujemy rozwiązanie postaci Podstawiając do równania otrzymujemy czyli φ(r, θ) = r n Q n (θ) n(n 1)r n 2 Q n (θ) + 2 r nrn 1 Q n (θ) + 1 r 2 rn d2 Q n dθ 2 + cos θ r 2 sin θ rn dq n dθ = Dokonajmy zamiany zmiennych Oznaczmy Wtedy oraz druga pochodna { r n 2 [n(n 1) + 2n] Q n (θ) + d2 Q n dθ 2 dq n dθ = dp n dµ d 2 Q n dθ 2 = d [ dpn dθ dµ + cos θ sin θ µ = cos θ, dµ dθ = sin θ Q n (θ(µ)) = P n (µ) dµ dθ = dp n dµ ( sin θ) = dp n 1 µ dµ 2 ] dµ = d2 P n dθ dµ 2 ( ) dµ 2 + dp n d 2 µ dθ dµ dθ 2 = d2 P n dµ 2 sin2 θ + dp n dµ ( cos θ) = d2 P ( n dµ 2 1 µ 2) µ dp n dµ } dq n =. (4.12) dθ

53 4.3. Przykłady ruchu potencjalnego cieczy nieściśliwej 53 Podstawiając do równania (4.12) otrzymujemy { r n 2 n(n + 1)P n (µ) + (1 µ 2 ) d2 } P n dµ 2 µdp n dµ + µ dp n 1 µ 2 dµ ( 1 µ 2 ) =. czyli { r n 2 n(n + 1)P n (µ) + d [ (1 µ 2 ) dp ]} n =. (4.13) dµ dµ Ale z kursu metod matematycznych w fizyce wiemy, że rozwiązaniem równania { } = są wielomiany Legandre a P n (µ) = 1 d n [( ) n ] 2 n n! dµ n µ 2 1 (4.14) Zadanie 4.2. Sprawdzić, że wielomiany (4.14) spełniają równanie n(n + 1)P n (µ) + d [ (1 µ 2 ) dp ] n =. dµ dµ Wskazówka. Rozważyć W n (µ) := (µ 2 1) n. Sprawdzić tożsamość (µ 2 1)W n 2nµW n =. Zróżniczkować ją n + 1 krotnie. Pierwsze cztery wielomiany Legandre a Zadanie 4.3. P (µ) = 1, P 1 (µ) = µ, P 2 (µ) = 3 2 µ2 1 2, P 3(µ) = 5 2 µ3 3 2 µ. Sprawdzić, że podstawienie w równaniu (4.11) φ(r, θ) = Sn r prowadzi n+1 do równania analogicznego do (4.12). Ogólnym rozwiązaniem równania Laplace o symetrii osiowej otrzymanym metodą rozdzielenia zmiennych jest we współrzędnych sferycznych φ(r, θ) = n= { A n r n + B } n r n+1 P n (cos θ) (4.15) gdzie A n, B n są stałymi dowolnymi. Ich wartość w rozwiązaniu szczególnym, musi być tak dobrana aby spełnione były zadane warunki brzegowe. Przyjrzyjmy się oddzielnie trzem pierwszym składnikom sumy (4.15) 1. B wszystkie pozostałe A n i B n znikają. Jednostkowy wektor w kierunku promienia wodzącego oznaczmmy (jak w rozdziale 2) przez e r = x x = x r. φ = B r P (cos θ) = B r nie zależ od θ v = grad φ = B x x 3 = B e r r 2 a) To rozwiązanie reprezentuje wypływ ze źródła lub do ścieku. W zależności od znaku stałej B mamy do czynienia z wypływem na zawnątrz punktowego źródła umieszczonego w początku układu współrzędnych (gdy B < ) lub wpływem do ścieku (gdy B > ) i masa pojawia się lub znika w punkcie osobliwym (początku układu współrzędnych.) b) W obu przypadkach prędkość ma symetrię sferyczną. c) Warunek nieściśliwości jest oczywiście spełniony. Ze wzoru na dywrgencję we wsółrzędnych sferycznych (2.23b) mamy div v = 1 ) (r 2 r 2 v r = 1 r r 2 r ( r 2 B r 2 ) =

54 54 Rozdział 4. Ruch potencjalny. d) Spełniony jest warunek zachowania masy tzn. prąd przepływający przez dowolną powierzchnię zawierającą początek układu współrzędnych nie zależy od tej powierzchni. Dla prostoty wybierzmy sferę o promieniu R. Wtedy S ϱv ndσ = nie zależy od promienia R. 2. A 1 wszystkie pozostałe A n i B n znikają S ϱ( B R 2 )e r e r dσ = ϱ B R 2 dσ = ϱ B S R 2 4πR2 = 4πϱB φ = A 1 rp 1 (cos θ) = A 1 r cos θ = A 1 z v = A 1 e z gdzie z jest współrzędną kartezjańską wzdłuż osi symetrii układu e z wersorem tej osi. Przedstawia zatem stały przepływ w kierunku osi z. 3. B 1 wszystkie pozostałe A n i B n znikają φ = B 1 r 2 P 1(cos θ) = B 1 r 2 cos θ = B ( 1z ez r 3 v = B 1 r 3 3ze ) r r 4 a) Jako bazę przestrzeni wektorowej wybraliśmy tu e r, e z zamiast e r, e θ, gdzie e z = cos θe r sin θe θ ( ez b) Zauważmy, że v = B 1 r 3 3ze ) r r 4 możemy otrzymać z przypadku pierwszego tzn. ( ez B 1 r 3 3ze ) r r 4 = ( B ) 1e r z r 2 Zadanie 4.4. Potencjalny opływ kuli. [1] Kula o promieniu R porusza się w nieściśliwej cieczy idealnej. Wyznaczyć rozkład prędkości wokół kuli, rozkład ciśnienia na powierzchni kuli i wypadkową siłę działającą na kulę. Rozwiązanie. Prędkość poruszającej się kuli oznaczmy u. Zakładamy, że w nieskończoności prędkość cieczy v znika. Aby mówić o stacjonarnym przepływie (polu prędkości) przejdźmy do układu odniesienia współporuszającego się z kulą i początku w środku kuli. W nim nieruchomą kulę opływa nadbiegająca z nieskończoności ciecz, poruszająca się ruchem potencjalnym. Na zewnątrz kuli potencjał prędkości opisuje równanie φ = dla r > R. Prędkość cieczy w nieskończoności v = +u. Kierunek osi z wybieramy wzdłuż kierunku wektora u. Z uwagi na symetię opływanego ciała układ charakteryzuje się symetrią osiową (względem z). Rozwiązanie możemy więc przedstawić w postaci (4.15). Skoro przepływ w nieskończoności ma być jednorodny to potencjał φ ur cos θ gdy r czyli dąży do przypadku (2) opisanego powyżej. Ciecz nie wnika do wnętrza kuli czyli znika składowa normalna prędkości φ r = na powierzchni r = R. Mamy dwa warunki brzegowe, które pozwalają określić dwie stałe w rozwinięciu (4.15). Zauważmy jednak, że jedynym wielomianem Legandre a liniowym w cos θ (taką asymptotykę ma mieć potencjał φ) jest P 1 (cos θ) = cos θ. Zatem dla n > 1 wszystkie A n, B n będą równe zero i pozostaje ( φ = A 1 r + B 1 r 2 ) cos θ. Aby spełniony był warunek w nieskończoności stała A 1 = u. Aby spełniony był warunek na brzegu r = R ( φ r = A 1 2 B ) 1 r 3 cos θ = dla każdego θ

55 4.3. Przykłady ruchu potencjalnego cieczy nieściśliwej 55 Stąd A 1 = 2B 1 R 3 czyli B 1 = 1 2 ur3. Zatem rozwiązaniem jest Odpowiadające mu pole prędkości v = u ( 1 R3 r 3 ( ) φ = u r + R3 2r 2 cos θ. ) ( ) cos θ e r u 1 + R3 2r 3 sin θ e θ Punktami stagnacji są r = R, θ =, π (czyli na powierzchni kuli na froncie i z tyły kuli), natomiast największą prędkość na powierzchni sfery jest w punktach θ = π/2. Zadanie. W znanym pakiecie matematycznym wykreślić to pole wektorowe. Wskazówka. We współrzędnych kartezjańskich v = v 1 v 2 v 3, e r = sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ, e θ = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ cos θ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ Rysunek 4.2. Krzywe całkowe pola prędkości. Źródło: wikipedia.org. Rozkład ciśnienia na powierzchni i całkowita siła. Wykorzystamy prawo Bernoulliego dla ruchu potencjalnego, pod nieobecność sił objętościowych p ϱ v 2 = p ϱ v 2 gdzie p, v = u są odpowiednio wartościami ciśnienia i prędkości w nieskończoności. Stąd otrzymujemy rozkład ciśnienia, dla r R p(r, θ) = p ϱu2 1 ( 1 R3 r 3 ) 2 cos 2 θ ( ) R3 2r 3 sin θ 2 Znając ciśnienie możemy wyznaczyć siłę działającą na kulkę F = [ pn dσ ] gdzie całkujemy po całej powierchni kuli r = R. Wtedy p r=r (θ) = p ϱu sin2 θ, wektor normalny n = e r. We współrzędnych kartezjańskich F = F 1 F 2 F 3 = ( p r=r ) sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cos θ R 2 sin 2 θ dθ dϕ