Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc zerowe funkcji kwdrtowej 4 9 więc f x x x : x x Prol któr jest wkresem funkcji f m rmion skierowne do dołu 0 x Odcztujem ziór rozwiązń nierówności: x Odpowiedź: x Zdjąc otrzmuje pkt gd: olicz lu pod prwidłowo pierwistki trójminu kwdrtowego x x i n tm poprzestnie lu łędnie zpisze ziór rozwiązń nierówności rozłoż lewą stronę nierówności n cznniki liniowe np x x i n tm poprzestnie lu łędnie rozwiąże nierówność popełni łąd rcunkow prz oliczniu wróżnik lu pierwistków trójminu kwdrtowego i konsekwentnie do popełnionego łędu rozwiąże nierówność Zdjąc otrzmuje pkt gd pod ziór rozwiązń nierówności : lu x lu x
Zdnie ( pkt) Liczę k 4 zpisz w postci l gdzie k i l są liczmi cłkowitmi Wkorzstując włsności dziłń n potęgc i definicję potęgi o wkłdniku wmiernm dodtnim oliczm: 4 4 4 4 Odpowiedź: Zdjąc otrzmuje pkt gd zpiszę liczę 4 w jednej z postci: i n tm poprzestnie lu dlej popełni łęd Zdjąc otrzmuje pkt gd zpisze liczę w żądnej postci: Zdnie (pkt) O zdrzenic losowc i wiem że P i P P ' Olicz P 4 Ze wzoru n prwdopodoieństwo zdrzeni przeciwnego oliczm prwdopodoieństwo zdrzeni : P P ' 4 4 Ze wzoru n prwdopodoieństwo sum dwóc zdrzeń oliczm prwdopodoieństwo ilocznu zdrzeń i : P P P P 4 4 Odpowiedź: P Zdjąc otrzmuje pkt gd: olicz prwdopodoieństwo zdrzeni i n tm poprzestnie lu dlej popełni łęd: P 4 olicz prwdopodoieństwo zdrzeni popełnijąc łąd rcunkow i konsekwentnie do popełnionego łędu olicz prwdopodoieństwo ilocznu zdrzeń i Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz prwdopodoieństwo ilocznu zdrzeń i : P
Zdnie 4 (pkt) Dn jest ciąg n określon wzorem drugiego i piątego wrzu tego ciągu n n n dl n Oliczm drugi i piąt wrz ciągu: nstępnie średnią rtmetczną tc licz: Odpowiedź: Olicz średnią rtmetczną 7 Zdjąc otrzmuje pkt gd: olicz drugi i piąt wrz ciągu i n tm poprzestnie lu dlej popełni łęd: olicz drugi i piąt wrz ciągu popełnijąc jeden łąd rcunkow i konsekwentnie do popełnionego łędu olicz średnią rtmetczną oliczonc dwóc wrzów Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz średnią rtmetczną drugiego i piątego wrzu ciągu: Zdnie (pkt) Przez koniec średnic okręgu o środku S poprowdzono stczną N tej stcznej orno tki punkt P że PS 4 (zocz rsunek) Olicz mirę kąt 4 P S Poniewż kąt PS jest prost więc z twierdzeni o sumie mir kątów trójkąt oliczm mirę kąt PS: PS 0 PS PS 0 90 4 44 Kąt to kąt wpisn w okrąg oprt n łuku okręgu N tm smm łuku oprt jest również kąt środkow S więc S 44 Odpowiedź:
Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz mirę kąt PS: PS 44 Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz mirę kąt : Zdnie (pkt) Przekątn sześcinu jest o dłuższ od jego krwędzi Olicz pole powierzcni cłkowitej tego sześcinu Oznczm przez długość krwędzi sześcinu Przekątn sześcinu m wted długość Poniewż jest on o dłuższ od krwędzi to Stąd mm kolejno: Pole powierzcni cłkowitej sześcinu jest równe P 4 Odpowiedź: P 4 Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz długość krwędzi sześcinu i n tm poprzestnie lu dlej popełni łęd: popełni łąd rcunkow oliczjąc długość krwędzi sześcinu i konsekwentnie do otrzmnego rezulttu olicz pole powierzcni cłkowitej sześcinu Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz pole powierzcni cłkowitej sześcinu: P 4 Zdnie 7 (pkt) Łódź motorową w cenie 40 zł kupiono n rt Ustlono że kwot t ędzie spłcon w rtc Olicz wsokość pierwszej rt jeśli kżd nstępn rt ędzie o 0 zł mniejsz od poprzedniej Kwot kolejnc rt tworzą ciąg rtmetczn o różnic 0 Oznczm n-t wrz tego ciągu przez n Sum początkowc wrzów tego ciągu jest równ 40 więc ze wzoru n sumę n-pocztkowc wrzów ciągu rtmetcznego zpisujem równnie 0 40 Stąd otrzmujem kolejno: 70 40 70 40 00 Odpowiedź: Wsokość pierwszej rt jest równ 00 zł
Zdjąc otrzmuje pkt gd zpisze równnie z jedną niewidomą np: 0 40 Zdjąc otrzmuje pkt gd olicz pierwsz wrz ciągu: 00 Zdnie (pkt) N przprostokątnc i trójkąt prostokątnego zudowno n zewnątrz kwdrt DE i FG Prost E przecin ok w punkcie P prost G przecin ok w punkcie Q (ptrz rsunek) Wkż że odcinki P i Q mją równą długość E P D Q Oznczm przez długość oku kwdrtu DE przez długość oku kwdrtu FG Trójkąt P i ED są prostokątne i mją wspóln kąt ostr prz wierzcołku więc z cec kk podoieństw trójkątów wnioskujem że są podone Ztem z cec podoieństw trójkątów otrzmujem proporcję P DE D więc P F Stąd P Trójkąt Q i GF również są prostokątne F G i mją wspóln kąt ostr prz wierzcołku więc z cec kk podoieństw trójkątów wnioskujem że są podone Ztem z cec podoieństw trójkątów otrzmujem proporcję Q FG F więc Q E D P G Q
Stąd Q Wkzliśm więc że P Q Zdjąc otrzmuje pkt gd: uzsdni podoieństwo odpowiednic pr trójkątów np: P ED i Q GF (lu P PE i Q QG ) Zdjąc otrzmuje pkt gd uzsdni równość odcinków P i Q Zdnie 9 (4pkt) Punkt i 4 są kolejnmi wierzcołkmi trpezu prostokątnego D o podstwc i D Olicz współrzędne wierzcołk D tego trpezu Współcznnik kierunkow prostej jest równ x x Prost D jest równoległ do prostej więc jej współcznnik kierunkow jest tki sm jk współcznnik kierunkow prostej Ztem prost D m równnie postci x Poniewż punkt 4 leż n tej prostej to 4 stąd Prost D m więc równnie x Prost D jest prostopdł do prostej więc współcznnik kierunkow prostej D jest równ Równnie prostej D m więc postć x Przecodzi on przez punkt więc Stąd Ztem równnie prostej D to x Proste D i D przecinją się w punkcie D więc współrzędne x i punktu D spełniją ukłd równń: x x Rozwiązując ten ukłd mm kolejno: x x x x x x x x x D 0 x więc D
Rozwiąznie w którm postęp jest niewielki le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni pkt Oliczenie współcznnik kierunkowego prostej lu równni prostej : Rozwiąznie w którm jest istotn postęp pkt Wznczenie równni prostej D równni prostej D: x x Pokonnie zsdniczc trudności zdni pkt Zpisnie ou równń ukłdu pozwljącego oliczć współrzędne punktu D: x i x Rozwiąznie ezłędne 4 pkt Oliczenie współrzędnc wierzcołk D trpezu: D Zdnie 0 (pkt) Dwj motockliści pokonli tę smą trsę długości km Średni prędkość pierwszego z nic ł o km/ większ od średniej prędkości drugiego Pierwsz motocklist pokonł tę trsę w czsie o 0 minut krótszm niż drugi Olicz w ciągu jkiego czsu kżd z motocklistów pokonł cłą trsę Oznczm przez v średnią prędkość pierwszego motocklist przez t czs w godzinc w jkim pokonł on trsę km Otrzmliśm równnie vt Średni prędkość drugiego motocklist ł równ v czs jego przejzdu ł równ t godzin Stąd otrzmujem równnie v t Rozwiązujem ukłd równń vt v t vt v t vt v t v t 4 t t v t t t 0 v t t 4 4 t vt v t 4 t 0 lu t Pierwsz z otrzmnc wrtości t nie spełni wrunków zdni więc zs przejzdu drugiego motocklist ł więc równ t 4 4 4 vt v t 4 0 4 4 t 4 Odpowiedź: Pierwsz motocklist przeł trsę w ciągu godzin i 4 minut drugi w ciągu 4 godzin i minut
Rozwiąznie w którm postęp jest niewielki le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni pkt Zpisnie zleżności międz drogą prędkością i czsem dl drugiego z motocklistów jeśli z niewidome zostł przjęte prędkość i czs pierwszego z motocklistów zpisnie zleżności międz drogą prędkością i czsem dl pierwszego z motocklistów jeśli z niewidome zostł przjęte prędkość i czs drugiego z motocklistów: np Jeśli v - średni prędkość pierwszego motocklist t - czs w godzinc w jkim pierwsz motocklist pokonł trsę km to zdjąc otrzmuje punkt z równnie v t Jeśli v - średni prędkość drugiego motocklist t - czs w godzinc w jkim drugi motocklist pokonł trsę km to zdjąc otrzmuje punkt z równnie v t Rozwiąznie w którm jest istotn postęp pkt Zpisnie ukłdu równń z niewidommi v i t np: vt v t gdzie v t oznczją odpowiednio prędkość i czs pierwszego motocklist vt v t gdzie v t oznczją odpowiednio prędkość i czs drugiego motocklist Pokonnie zsdniczc trudności zdni pkt Doprowdzenie ukłdu do równni z jedną niewidomą (v t) np: t t gdzie t ozncz czs pierwszego motocklist Rozwiąznie zdni do końc lecz z usterkmi które jednk nie przekreślją poprwności rozwiązni (np łęd rcunkowe) 4 pkt Doprowdzenie do równni kwdrtowego z jedną niewidomą (v t) np: t t 0 gdzie t ozncz czs pierwszego motocklist Rozwiąznie ezłędne pkt Oliczenie czsu w jkim kżd z motocklistów przeł cłą trsę: godzin i 4 minut czs pierwszego motocklist 4 godzin i minut czs drugiego Zdnie (pkt) Krwędź oczn ostrosłup prwidłowego czworokątnego m długość Kosinus kąt ncleni tej krwędzi do płszczzn podstw jest równ Olicz ojętość tego ostrosłup orz sinus kąt ncleni ścin ocznej do płszczzn podstw
Przjmijm oznczeni tkie jk n rsunku Wted O cos S le O (połow przekątnej kwdrtu) więc Stąd Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt OS otrzmujem więc 44 Stąd 4 7 7 Ojętość ostrosłup jest równ Z twierdzeni Pitgors dl trójkąt SOE otrzmujem V 4 7 OE OS 4 4 7 7 4 więc Sinus kąt ncleni ścin ocznej ostrosłup do płszczzn podstw jest ztem równ sin 4 7 7 4 4 Rozwiąznie w którm postęp jest niewielki le konieczn n drodze do pełnego rozwiązni pkt Nrsownie ostrosłup i zznczenie n rsunku kąt ncleni krwędzi ocznej do płszczzn podstw Rozwiąznie w którm jest istotn postęp pkt Oliczenie długości krwędzi podstw ostrosłup: Pokonnie zsdniczc trudności zdni pkt Oliczenie wsokości ostrosłup: 4 7 Rozwiąznie zdni prwie do końc lu do końc z usterkmi które nie przekreślją poprwności rozwiązni (np łęd rcunkowe) 4 pkt Oliczenie ojętości ostrosłup i rk oliczeni sinus kąt ncleni ścin ocznej do 7 płszczzn podstw: V Rozwiąznie ezłędne pkt Oliczenie ojętości ostrosłup i oliczenie sinus kąt ncleni ścin ocznej do płszczzn 7 4 podstw: V i sin 4 D S O E