Drgania układów mechanicznych

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI ĆWICZENIE NR Drgania układów mechanicznych Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapznanie się z właściwściami układów drgających raz metdami pmiaru i analizy drgań Ćwiczenie składa się z dwóch części ierwsza część ćwiczenia dtyczy drgań układów ciągłych, druga bejmuje pmiary drgań układu stpniu swbdy I Drgania układów ciągłych Układ pmiarwy 3 4 6 5 - badany układ drgający, - wzbudnica drgań, 3 - wzmacniacz mcy, 4 - generatr, 5 - częstścimierz, 6 - strbskp Zadania labratryjne Zmierzyć częsttliwści pprzecznych drgań własnych (mdów) belek róŝnych długściach i przekrjach pprzecznych, wyknanych z róŝnych materiałów Wyznaczyć trzy pierwsze spsby (mdy) drgań pprzecznych belek 3 Otrzymane wyniki zamieścić w tabeli wg wzru (tabela 3) i prównać z wynikami teretycznymi krzystając z zaleŝnści pdanych w Ddatku A i danych materiałwych pdanych w tabelach i 4 Wyznaczyć figury Chladnieg na drgających płytach róŝnych kształtach 5 Obserwacja fal rzchdzących się na pwierzchni wdy 3 Zagadnienia d przygtwania 3 Drgania strun, prętów, belek i płyt 3 Częsttliwści drgań własnych (mdów) Literatura [] Dbrucki A, dstawy akustyki Skrypt Wr,Wrcław 987 [] Januszajtis A, Fizyka dla litechnik, Tm III Fale, 5 WN W-wa 99 [3] śyszkwski Z, dstawy elektrakustyki, wyd3 WNT W-wa 984, rzdz 6

Tabela Dane materiałwe Materiał Współczynnik spręŝystści pdłuŝnej (mduł Yunga) E [N/m ] Gęstść ρ [kg/m 3 ] rędkść fali pdłuŝnej (dźwięku) cl = E / ρ [m/s] Stal, 0 7800 5900 Msiądz,0 0 8600 3830 Duraluminium 0,7 0 700 598 lexiglas 4,45 0 9 80 670 Tabela Mmenty bezwładnści przekrjów róŝnych kształtach Kształt przekrju przeczneg Mment bezwładnści przekrju [m 4 ] rstkątny (a x b) Kłwy ( r ) a 3 b/ πr 4 /4 Trójkąt równbczny ( a ) 3 a 96 4

Tabela 3 Wyniki pmiarów i bliczeń Materiał arametry gemetryczne l = a = b = r = n f n, zm (Hz) f n, bl (Hz) δ f (%) 3 m x nm, zm (mm) x nm, bl (mm) δ x (%) S = I = l = a = b = r = S = I = 3 l = a = b = r = S = I = 3 Uwaga: δ f = (f n, zm - f n, bl )/ f n, bl x 00 %; δ x = (x n, zm - x n, bl )/ x n, bl x 00 %; l długść [m]; a grubść [m]; b szerkść [m]; r prmień [m]; S ple pwierzchni przekrju [m ]; I mment bezwładnści przekrju [m 4 ]; n numer mdu drgań; m numer węzła drgań 3

Ddatek A DRGANIA RĘTÓW RzwaŜamy pręt jednstajnym przekrju pprzecznym S [m ], wyknany z materiału gęstści ρ [kg/m 3 ] i współczynniku spręŝystści pdłuŝnej materiału (mduł Yunga) E [N/m ] W przeciwieństwie d strun nie uwzględnia się zupełnie naciągu rzyjmuje się, Ŝe całkwita siła zwracająca pręt d płŝenia równwagi pchdzi jedynie d jeg spręŝystści własnej ręt mŝe drgać pdłuŝnie, pprzecznie i skrętnie (wirw) I DRGANIA ODŁUśNE RĘTÓW Rys Drgania pdłuŝne pręta d wpływem działającej siły F [N] dległść ξ dległść między dwma dwlnymi ξ przekrjami wzrsła dξ = dx, zatem względne wydłuŝenie pręta w tym bszarze wynsi x ξ ε = i zgdnie z prawem Hke a jest prprcjnalna d napręŝenia σ x : x σ F ε = x =, F = ES E E S ε Siła działająca na prawy przekrój jest F x F + dx = F + ES dx, x x 4

czyli, Ŝe wypadkwa siła działająca na dcinek pręta dξ wynsi: x df = ES dx x Jest t siła spręŝystści d wpływem tej siły masa dcinka pręta dx równa dm = Sρdx, dznaje przyspieszenia ξ Zatem na pdstawie II prawa Newtn a trzymujemy równanie: t (I) ξ t ξ, x = c L w którym cl = E / ρ [m/s] jest prędkścią fali pdłuŝnej (dźwięku) w pręcie Jest t równanie falwe, jednwymiarwe (fali dźwiękwej w pręcie) Spełnia je dwlna ξ x ± ct funkcja typu ( ) Dla wyznaczenia drgań własnych pręta pstępuje się pdbnie jak dla struny, tj metdą rzdzielenia zmiennych szukuje się rzwiązania równania (I) w pstaci ilczynu dwóch funkcji, z których jedna zaleŝy tylk d x, a druga tylk d t ξ ( x, t) = X ( x) T ( t) Ostatecznie, rzwiązanie równania falweg ma pstać: nπ ( x, t) C cs t C sin t sin x n n n n, n = 0,,, n l (I) ξ = ( ω + ω ) gdzie stałe C n, C n wyznacza się z warunków pczątkwych, natmiast częstści drgań własnych (mdów) są równe: (I3) nπ E ωn =, [rad/s] l ρ NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe częstści pdłuŝnych drgań własnych pręta są, pdbnie jak struny, harmniczne w stsunku d częstści pdstawwej ω (n = ) 5

II DRGANIA ORZECZNE RĘTÓW Rys Drgania pprzeczne pręta Drgania pprzeczne pręta stałym przekrju S i gęstści ρ wzdłuŝ długści l pisuje równanie róŝniczkwe: (II) z z ρs t x x + EI 0 =, gdzie wyraŝenie w nawiasie jest mmentem zginającym, natmiast I jest mmentem bezwładnści przekrju pprzeczneg pręta I = z ds S Równanie (II) nie jest równaniem falwym JeŜeli pdstawimy d (II) rzwiązanie z( x, t) = Z exp j( ωt kx), t trzymamy związek dyspersyjny falwe np w pstaci ( ) (dyspersja - zjawisk w którym prędkść fali zaleŝy d częsttliwści): EI ω = k, ρs przy czym k = π/λ jest liczbą falwą, λ długścią fali pprzecznej Z zaleŝnści tej wynika, Ŝe prędkść przemieszczania się pwierzchni stałej fazy, czyli prędkść fazwa drgań pprzecznych, jest równa: ω I c = = ωcl ω k S Ze względów fizycznych jest t niemŝliwe, zatem równanie (II) nie jest ścisłe Jednak dla małych częsttliwści, dla których długść fali pprzecznej λ jest znacznie większa d wymiarów liniwych przekrju pprzeczneg pręta (a/λ < 0), równanie (II) jest wystarczając dkładne dla zastswań technicznych dstawiając d równania (II): z( x, t) Z( x)exp( jωt ) =, trzymamy: (II) ( ) 4 dx 4 d Z x ρs EI 4 4 µ Z( x) = 0, µ = ω 6

Ogólne rzwiązanie równania (II) mŝna przedstawić w pstaci: (II3) µ x µ x jµ x jµ x Z( x) = A e + Ae + A3e + A4e = = B csh µ x + B sinh µ x + B cs µ x + B sin µ x 3 4 Rzwiązanie (II3) zawiera cztery stałe d wyznaczenia których ptrzebne są cztery warunki brzegwe, p dwa na kaŝdy kniec pręta II ręt zaciśnięty na jednym kńcu i swbdny na drugim Dla x = 0 wychylenie i nachylenie pręta muszą być równe zer: Stąd B = -B 3 raz B = -B 4 dz( x) Z(0) = 0 i x= 0 = 0 dx Dla x = l mment zginający i siła ścinająca na swbdnym kńcu pręt muszą być równe zer: Stąd przy czym 3 d Z ( x) d Z( x) 0 i 0 x= l = 3 x= l = dx dx sin µ l sinh µ l cs µ l + csh µ l B = B = B, cs µ l + csh µ l sin µ l + sinh µ l ( ) + = cs µ l csh µ l sinh µ l sin µ l, csh µ l cs µ l = Wartści własne statnieg równania wynszą: µ l = 875, µ l = 46946, µ 3l = 78548, µ 4l = 09957, Dla tych wartści µ n, n=,,, trzymuje się ze wzru (II) częsttliwści pprzecznych drgań własnych pręta: (II4) EI = 4 ω n µ n ρs Na rysunku 3 pkazan cztery pierwsze mdy drgań pprzecznych pręta zaciśnięteg na jednym kńcu 7

Rys 3 Cztery pierwsze spsby (mdy) drgań pprzecznych pręta zaciśnięteg na jednym kńcu częsttliwściach: f = 05596 EI l ρs, [Hz] f f = 668 f, = 7548 f, 3 f = 34387 f 4 8

III DRGANIA SKRĘTNE RĘTÓW Rys 4 Drgania skrętne pręta Gdy pręt jest pbudzany mmentem skręcającym pwstają drgania skrętne (wirwe) ręt przenszący mmenty skręcające nazywany jest wałem Częsttliwść pdstawwa drgań własnych skrętnych jest kreślna wzrem: E (III) f =, [Hz], l ρ( + σ ) gdzie σ jest liczbą issna Częsttliwści drgań wyŝszych mdów są harmniczne w stsunku d częsttliwści pdstawwej f 9

II miary drgań układu stpniu swbdy Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapznanie się z właściwściami układów drgających raz metdami pmiaru i analizy drgań Układ pmiarwy - wzbudnica drgań typ 076 RFT, - czujniki drgań typ KD 3 RFT, 3 - układy całkujące typ SM 0 RFT, 4 - wzmacniacze napięciwe 607 B&K, 5 - wzmacniacz mcy typ 706 B&K, 6 kmputer C + prgram WINOMI Zadania labratryjne łączyć układ wg schematu blkweg Uruchmić prgram d pmiarów elektrakustycznych Winmi 3 W prgramie Winmi dknać następujących nastaw: Typ kienka: rstkątne Długść FFT: 89 Sygnał pmiarwy: Chirp Liczba uśrednień: 3 Ilść cykli bez pmiaru: Napięcie wyjściwe: 0V Częsttliwść próbkwania: 4 khz Tryb pracy: dwa kanały Zaznaczyć kienk autskalwanie Zakres napięć wejściwych karty pmiarwej wynsi ± 0 V NaleŜy wyregulwać pzim sygnału pdawaneg na wzbudnicę drgań (regulatr wzmcnienia wzmacniacza mcy), jak teŝ wzmcnienia przedwzmacniaczy czujników drgań i wzmacniaczy pmiarwych Sprawdzenie napięć sygnałów pdawanych na kartę mŝna dknać w prgramie Winmi wybierając: miar Analiza sygnału Analizy rzebieg czaswy i uruchamiając miar 4 Dla zadanej masy bciąŝającej spręŝynę (m ) zmierzyć charakterystykę częsttliwściwą przyspieszenia drgań układu stpniu swbdy W tym celu naleŝy w prgramie Winmi wybrać: miar Transmitancja 0

Analizy Mduł transmitancji Tryb pracy: stsunek A/B i uruchmić miar Otrzymany wykres mdułu transmitancji zdkumentwać p wstępnym dbraniu zakresów zmian pzimu i częsttliwści rzy pmcy kursra dczytać bardz dkładnie częsttliwść drgań swbdnych jednwymiarweg scylatra harmniczneg W tym celu naleŝy graniczyć wykres d zakresu częsttliwści bliskich częsttliwści reznanswej, jak teŝ zmienić skalę częsttliwści na liniwą Odczytać równieŝ wartści częsttliwści dla spadku pzimu sygnału względem pzimu w reznansie 3 db Odczytać wartść przesunięcia fazweg funkcji transmitancji dla częsttliwści reznanswej W tym celu naleŝy w prgramie Winmi wybrać: Analizy Faza transmitancji 5 Zmieniając masę bciąŝającą spręŝynę (m ) pwtórzyć pmiary pisane w punkcie 4 6 Znając masy m i m i dpwiadające im częsttliwści reznanswe f i f, wyznaczyć masę i pdatnść spręŝyny w układzie drgającym stpniu swbdy krzystając z zaleŝnści pdanej w Ddatku B 7 Określić dbrć układu róŝnych masach 3 Zagadnienia d przygtwania 3Kinematyczne wymuszenie drgań układu stpniu swbdy 3 Drgania własne i wymuszne układu z tłumieniem Literatura [] Dbrucki A, dstawy akustyki Skrypt Wr, Wrcław 987 [] Januszajtis A, Fizyka dla litechnik, Tm III Fale, 5 WN Warszawa 99 [3] Kucharski T, Drgania mechaniczne Rzdz 4,6 WNT Warszawa 004

Tabela Wyniki pmiarów arametr m (g) Wartść zmierzna f (Hz) f (-3 db) (Hz) ϕ (rad) m (g) f (Hz) f (-3 db) (Hz) ϕ (rad) Tabela Wyniki bliczeń arametr Wartść bliczna m s (g) k (N/m) Q Q

Ddatek B WROWADZENIE Ciała lub układy wyknujące drgania nszą nazwę scylatrów W gólnym przypadku scylatry nie muszą się pruszać, wystarczy, Ŝe wielkści charakteryzujące ich stan zmieniają się kresw JeŜeli przebieg zmiennści jakiejś wielkści mŝna pisać funkcją sin lub cs, t drgania nazywa się harmnicznymi RzróŜnia się scylatry nie tylk ze względu na rdzaj drgającej wielkści, ale przede wszystkim ze względu na zakres częsttliwści: - mechaniczne, drgające z częsttliwścią akustyczną d k 0 5 Hz, - elektryczne, z częsttliwścią radiwą: 0 3-0 Hz, - atmwe, z częsttliwścią ptyczną 0-0 7 Hz, - jądrwe, z częsttliwścią d 0 Hz i więcej Aby układ mógł wyknywać drgania, muszą być spełnine następujące warunki: Istnieje płŝenie równwagi i przywracająca je siła zwrtna Układ ma bezwładnść 3 Opry ruchu nie są zbyt duŝe Ad łŝenie równwagi i siła zwrtna W gólnym przypadku energia ptencjalna scylatra zaleŝy d wielkści q, E = E ( q) łŝenia (lub stany) równwagi dpwiadają minimum energii ptencjalnej Wychyleniu, czyli dejściu d stanu równwagi twarzyszy pjawienie się siły przywracającej równwagę W scylatrze mechanicznym wielkść q znacza wychylenie, a siłą przywracającą równwagę jest siła zwrtna, przeciwnie skierwana d wychylenia, której wartść rśnie wraz z wychyleniem: () F( q) = grad E ( q) = E, de lub w przypadku jednwymiarwym: F( x) = Wychylenie x mierzy się d płŝenia dx równwagi Gdy zachdzi (), t ple sił F jest plem zachwawczym, w którym suma energii kinetycznej i ptencjalnej jest wielkścią stałą (zasada zachwania energii) W dalszych rzwaŝaniach będziemy mieli d czynienia z siłami zachwawczymi i będziemy pmijać siły pru, które są siłami niezachwawczymi W jednym wymiarze wszystkie siły, zaleŝne jedynie d x (siły tarcia pmijamy), są autmatycznie zachwawcze, pniewaŝ istnieje tylk jedna jednznaczna drga między dwma punktami, a mianwicie linia prsta Krzywa zaleŝnści energii ptencjalnej d płŝenia mŝe mieć róŝny przebieg JeŜeli przebieg E ( x ) jest taki, jak na rys, t ruch dpwiadający energii E będzie zawsze ruchem peridycznym, niekniecznie jednak harmnicznym Krzywa zaleŝnści energii ptencjalnej d płŝenia mŝe być pewną skmplikwaną funkcją, trudną d pisu analityczneg Jednym z najczęściej stswanych przybliŝeń w fizyce teretycznej jest przybliŝenie harmniczne W ramach teg przybliŝenia funkcję E x rzwijamy w szereg ptęgwy Taylra: ( ) 3

Rys Ruch kreswy między punktami a i b dla wartści energii ptencjalnej lkalneg maksimum energii E pniŝej d E n E ( x) = ( x x ) = a ξ n n n 0 n, n= 0 n! dx x= x n= 0 0 w którym x znacza płŝenie, x jest płŝenie równwagi w którym ξ = x x jest wychylenie z płŝenia równwagi de Uwzględniając, Ŝe w płŝeniu równwagi = 0, dx x=x 0 E = min, a raz Ŝe dla małych wychyleń wln pminąć dalsze wyrazy (dla n 3) szereg Taylra mŝna zapisać w pstaci (przybliŝenie harmniczne): Stąd i z () siła zwrtna jest równa: d E E ( x) = E ( x0) + ξ dx x=x0 () F de d E = = ξ = kξ, d ξ dx x= x0 przy czym stałą k (współczynnik spręŝystści lub sztywnści) znajduje się dświadczalnie F jak stsunek siły d wychylenia (praw Hke'a): k =, [N/m] ξ ZaleŜnść () znacza, Ŝe przy małym wychyleniu z płŝenia równwagi, siła zwrtna jest wprst prprcjnalna d wartści wychylenia Siły takie nazywa się quasi-spręŝyste Energia ptencjalna w przybliŝeniu harmnicznym ma zatem pstać: E x E x kξ ( ) = ( ) + rzy małych wychyleniach ξ ruch jest harmniczny (siły quasi-spręŝyste) Dla energii E pniŝej lkalneg maksimum ruch między punktami a i b jest zawsze kreswy, ale nie musi być harmniczny 4

Rys Aprksymacja krzywej energii ptencjalnej parablą czątek układu współrzędnych mŝna przyjąć w płŝeniu równwagi (x 0 = 0, x = ξ) Rys3 Zwrt siły F wynika ze znaku pchdnej energii ptencjalnej Wówczas wzór na energię ptencjalną w przybliŝeniu harmnicznym mŝna zapisać w pstaci: (3) E ( x) = E (0) + kx, raz F = kx W przypadku trójwymiarwym wychylenie x zastępujemy wektrem r F = grade = kr Ad Bezwładnść Gdyby nie był bezwładnści, siła zwrtna przywróciłaby stan równwagi i ruch na tym by się zakńczył Bezwładnść pwduje, Ŝe p przejściu płŝenia równwagi następuje wychylenie w przeciwną strnę wstaje przy tym siła zwrtna skierwana w strnę płŝenia równwagi, która ją przywraca (pr rys ), ale bezwładnść znwu nie pzwala na zatrzymanie w tym miejscu, itp Miarą bezwładnści w scylatrach mechanicznych jest masa m ciała drgająceg, która jest wielkścią fizyczną niezaleŝną d prędkści 5

Ad3 Opry ruchu W kaŝdym ruchu mamy d czynienia z prami ruchu, czyli siłami przeciwnie skierwanymi d prędkści, których praca jest zawsze ujemna NaleŜą d nich tarcie i lepkść Są t siły niezachwawcze, które niedwracalnie zmniejszają energię układu Ich główny efekt działania plega na zmniejszeniu amplitudy, która z czasem znika JeŜeli pry są zbyt duŝe, czas zaniku jest mniejszy, niŝ kres drgań i w góle nie dchdzi d drgań Bardziej dkładna analiza zstanie pdana przy mawianiu drgań tłuminych RUCH SWOBODNY JEDNOWYMIAROWEGO OSCYLATORA HARMONICZNEGO jęcie scylatra harmniczneg pjawia się we wszystkich dziełach fizyki teretycznej i zagadnieniach technicznych, np scylujący prąd elektryczny w cewce (energia kinetyczna) i kndensatrze (energia ptencjalna); pór elektryczny (praw Ohma) dgrywa w tym przypadku rlę tarcia RUCH SWOBODNY OSCYLATORA BEZ TARCIA Drgania swbdne układu są t drgania pdczas których ich energia nie jest ani rzpraszana ani nie rśnie Jak przykład drgań swbdnych rzwaŝmy cięŝarek m drgający na spręŝynie masie m s Długść swbdna spręŝyny (niebciąŝnej) jest l 0, a bciąŝnej l (pr rys ) Rys CięŜarek na waŝkiej spręŝynie Wychylenie x z płŝenia równwagi wytwarza siłę zwrtną kx przeciwnie skierwaną d wychylenia rzy niezbyt duŝym bciąŝeniu mg skrócenie spręŝyny jest d nieg prprcjnalne (praw Hke a): mg = k l l, ( ) gdzie k jest sztywnścią spręŝyny [N/m], g przyspieszenie grawitacyjne ObciąŜna spręŝyna pzstaje w równwadze rzy wychyleniu x z płŝenia równwagi skrócenie spręŝyny wynsi l l + x, a związana z nim siła spręŝystści jest k l l x k l l równwaŝy cięŝar mg równa ( + ) z czeg ( ) RóŜnica sił: F = mg k( l l + x) = kx, 0 jest wprst prprcjnalna i przeciwnie skierwana d wychylenia i działa jak siła zwrtna 6

Element długści spręŝyny dξ dległy ξ d zamcwaneg kńca ma masę: dξ dms = ms l rzemieszczenie elementu spręŝyny dξ jest wprst prprcjnalne d jeg dległści ξ d punktu zamcwania W punkcie zamcwania spręŝyny (ξ = 0), przemieszczenie elementu spręŝyny dξ jest równe zeru rzy wzrście ξ przemieszczenie rśnie, a na kńcu spręŝyny ξ = jest równe wychyleniu x cięŝarka z płŝenia równwagi, dξ = x Zatem w dległści l ξ ξ przemieszczenie elementu spręŝyny dξ jest równe dξ = x chdna przemieszczenia p l czasie znacza jeg prędkść ξ x &, a energia kinetyczna elementu spręŝyny wynsi: l ξ m sx& deks = dms ( l x& ) = ξ dξ, 3 l stąd energia kinetyczna całej spręŝyny jest równa: l l m sx& ks = ks = ξ ξ 3 6 s l = 0 0 E de d m x& Ddając energię kinetyczną cięŝarka mx& trzymamy: () E k = m + m x 3 s & Zatem efektywna masa spręŝyny, która bierze udział w ruchu drgającym układu wynsi m 3 s Z wychyleniem x (nie za duŝym) masy m jest związana energia ptencjalna: () E p = kx Z równania ruchu Eulera-Lagrange a: d E (3) k E p 0 dt + = x, & x raz na pdstawie () i () trzymujemy następujące równanie ruchu dla scylatra bez tarcia (nietłumineg): (4) ( ) m + m && x + kx = 3 s 0 Równanie t jest przykładem liniweg równania róŝniczkweg zwyczajneg, drugieg rzędu, stałych współczynnikach Jest n liniwe, b nie zawiera x w ptędze wyŝszej niŝ 7

pierwsza raz współczynniki m + m i k nie zaleŝą d czasu t Równania teg typu mają 3 s jφ rzwiązania gólne w pstaci zesplnych funkcji trygnmetrycznych: e = csφ + j sinφ Sens fizyczny ma część rzeczywista tych rzwiązań Zgdnie z tym pszukujemy rzwiązania w pstaci zesplnej, metdą pdstawienia: pdstawieniu d (4) trzymujemy: ( ) = = ( ) = ω jωt jφ jϖ t x t Xe, X X e, && x t Xe, ω ( m + m ) j t 0 3 s + k Xe ω = Równść musi zachdzić dla kaŝdej wartści t, zatem ω ( m + m ) + k = 0 3 s Stąd pulsacja drgań swbdnych scylatra bez tarcia ω 0 jest równa: (5) k ω = m + m 3 s Ruch masy m jest więc ruchem harmnicznym: jωt (6) { } x( t) = Re Xe = X cs( ω t + φ), przy czym amplitudę X i fazę ϕ drgań wyznaczamy z warunków pczątkwych RUCH SWOBODNY OSCYLATORA Z TARCIEM W fizyce teretycznej przyjmuje się zwykle (niekniecznie zgdnie z rzeczywistścią), Ŝe siły tarcia są prprcjnalne d prędkści Zakładamy więc, Ŝe siła tarcia w scylatrze ma dx pstać r, gdzie stałą r [kg/s] nazywamy rezystancją mechaniczną scylatra dt Aby móc krzystać z równań Eulera-Lagrange a wprwadza się funkcję pisującą rzpraszanie energii w czasie, tzw funkcję dyssypacji, która jest mcą tracna w układzie scylatra na skutek działania siły tarcia lepkieg, prprcjnalną d prędkści: = rx& = Rx&, gdzie R = rx& jest siłą tarcia Funkcja dyssypacji jest miarą szybkści zmian energii w układzie scylatra d ( E k + E p ) =, dt która jest zawsze ujemna, c interpretuje się jak ubywanie energii z układu Równanie ruchu Eulera-Lagrange a scylatra tłumineg jednym stpniu swbdy jest zatem następujące: 8

(7) d E k E p dt x + = & x x&, przy czym energia kinetyczna E k, energia ptencjalna E p i mc tracna w układzie scylatra są równe: Ek = mx&, E p = kx, = rx& pdstawieniu trzymamy, tak jak pprzedni, liniwe równanie róŝniczkwe zwyczajne drugieg rzędu, stałych współczynnikach: dstawiając k m r k && x + x& x 0 m + m = = ω, gdzie ω jest pulsacją drgań swbdnych scylatra bez tarcia, raz r α =, gdzie α jest dekrementem tłumienia, trzymuje się równanie ruchu scylatra m jednym stpniu swbdy w pstaci: (8) && x + x& + x = α ω 0 Rzwiązania teg równania pszukujemy równieŝ w pstaci zesplnej, metdą pdstawienia: j t j( t ) x t = Xe ω = X e ω + θ, przy czym ( ) ( ) ω ( ) = ω x& t = j Xe && x t Xe pdstawieniu d równania ruchu (8) trzymamy: ( ω jω α ω ) jωt, jωt + + Xe jωt = 0 Równanie t musi być spełnine dla kaŝdeg t, zatem musi zachdzić równść: (9) ω + jωα + ω = 0 Jest t równanie charakterystyczne, kwadratwe, któreg pierwiastkami są: (0) ω = jα ± ω α, Oznaczając pulsację drgań swbdnych tłuminych układu przez rzwaŝyć trzy przypadki w zaleŝnści d α Ω = ω α, naleŝy Ruch swbdny peridyczny 9

JeŜeli α < ω, t pulsacja drgań swbdnych tłuminych układu Ω jest rzeczywista Rzwiązanie równania ruchu w pstaci zesplnej: jωt αt () x( t) = Xe = X e exp j ( Ω t + φ ), mŝna interpretwać gemetrycznie jak fazr malejącej długści (amplitudzie) αt αt ( ) A t = X e = A e, wirujący w płaszczyźnie Gaussa z prędkścią kątwą Ω i nachylny w chwili t pd kątem Ωt + φ d si rzeczywistej Kniec fazra zakreśla spiralę lgarytmiczną (patrz rys ) Rzwiązanie rzeczywiste jest zatem rzutem fazra na jedną z si: na ś rzeczywistą αt (a) x( t) = { x( t) } = A e cs( Ωt + ϕ ) lub ś urjną Re, αt (b) y( t) = { x( t) } = A e sin( Ωt + ϕ ) Im Łatw sprawdzić, Ŝe bydwa rzwiązania spełniają równanie ruchu (8) Rys Tłumine scylacje masy m scylatra; przypadek peridyczny, gdy α < ω Lgarytmiczny dekrement tłumienia Czynnik e -αt we wzrach (a) i (b) wyraŝa zanik amplitudy drgań masy scylatra w czasie Jeg wartść w ciągu kresu T = π/ω wynsi e -αt, przy czym 0

() α δ = αt = π ω α jest lgarytmicznym dekrementem tłumienia Birąc lgarytm naturalny ze stsunku amplitud dla dstępu czasu nt, n =,, trzymamy: ln αt A( t) A e ln ( t+ nt ) ( + ) = = nαt = nδ α A t nt A e niewaŝ dekrement tłumienia jest równy α = r/m, zatem A( t ) ( + ) m r = mα = ln nt A t nt c pzwala wyznaczyć rezystancję mechaniczną scylatra, jeŝeli znamy masę układu m, kres T i zmierzymy stsunek amplitud drgań rzy słabym tłumieniu układu, tj gdy α << ω, częstść drgań tłuminych Ω jest taka sama jak drgań swbdnych nietłuminych ω, zatem α r δ π = π ω km Tak więc, im większe k i m tym mniejsze δ i tym szybszy zanik amplitudy drgań Czas relaksacji Czas relaksacji τ ma kreślny sens fizyczny Jest t czas p którym amplituda drgań tłuminych maleje e razy, tj 0lge = 868 db αt A( t ) A e α ( t+ τ ) ( + τ ) A e A t Stąd czas relaksacji amplitudy drgań tłuminych: ατ = = e = e, (3) T τ = α = δ Mc lub energia maleje przy tym tak, jak kwadrat amplitudy: zatem czas relaksacji energii jest równy: (3a) τ e = = τ α αt Ae ατ e α ( t+ τ ) = = A e e, Energia ruchu Wychylenie i prędkść masy scylatra w ruchu peridycznym są wg (a) równe:

Energia kinetyczna: ( ) ( ) α { } t ( φ ) ( ) ( φ ) x t = Re x t = A e cs Ω t + = A t cs Ω t +, ( ) da t x& ( t) = cs( Ω t + φ ) A( t) sin ( Ω t + φ ) dt ( ) da t da t ( ) ( ) ( ) ( ) cs Ω t + φ ΩA t cs Ω t + φ sin Ω t + φ + Ek ( t) = mx& ( t) = m dt dt + ( ΩA( t) sin ( Ω t + φ )) ( ) Energia ptencjalna: E ( ) ( ) ( ) cs( ) p t = kx t = mω A t Ω t + φ Suma tych energii jest całkwitą energią mechaniczną scylatra: ( ) ( ) ( ) E t = E t + E t = k p ( ) ( ) ( ) da t = m Ω A t ΩA t Ω t + + Ω t + dt ( ) da t sin ( φ ) cs ( φ ) dt Uśredniając za czas T = π/ω, drugi wyraz zawierający sin ( Ω t + ϕ) znika JeŜeli A(t) d zmienia się wln, t pchdna A ( t ) dt zawierający ( ) jest mała w prównaniu z ΩA(t), zatem trzeci wyraz d A t mŝna pminąć dt Ostatecznie całkwita energia scylatra jest w przybliŝeniu równa: t E t mω A t = mω A e α (4) ( ) ( ) Jest t energia scylatra, którą mŝna dzyskać ( free energy ) i nie jest energią niedwłalnie tracną na ciepł Szybkść zmian całkwitej energii scylatra jest mcą tracną w układzie scylatra na skutek działania siły tarcia lepkieg: ( ) d E t αt = αmω A e = α E ( t) dt Stąd i na pdstawie (3a), średnia za czas T = π/ω, energia drgań swbdnych scylatra tłumineg jest ilczynem średniej mcy tracnej w układzie i czasu relaksacji energii:

E = τ e Ruch swbdny scylatra silnie tłumineg JeŜeli α > ω, t równanie charakterystyczne (9) ma pierwiastki czyst urjne: (5) ω = jα ± j α ω,, zatem pulsacja drgań swbdnych tłuminych scylatra nie ma części rzeczywistej Ω i ruch masy dbywa się w spsób nadtłuminy, tj mamy d czynienia z czyst wykładniczym zanikiem ruchu, bwiem rzwiązania szczególne równania ruchu (8) mają pstać: x, t Xe A e exp t jω,t jφ ( ) = = ( α ± α ω ) Zarówn część rzeczywista i urjna spełniają równanie ruchu scylatra (8), zatem zgdnie z zasadą superpzycji rzwiązanie gólne αt (6) x( t) = e A exp ( α ω ) + A exp ( α ω ), jest kmbinacją wyrazów wykładniczych i ruch masy jest aperidyczny, przy czym stałe A i A zaleŝą d warunków pczątkwych W szczególnym przypadku mŝe djść d maksimum wychylenia w jedną strnę i d drgań nie dchdzi Występuje c najwyŝej jedn przejście przez zer szczególne wyrazy w (6) zanikają z róŝną szybkścią Wyraz z wykładnikiem wykładnikiem ddatnim rśnie α ω znika najwlniej, a z Rys 3 Aperidyczny zanik wychylenia masy scylatra w ruchu silnie tłuminym 3 Ruch swbdny scylatra przy tłumieniu krytycznym 3

Tak zwany aperidyczny przypadek graniczny, gdy α = ω, jest dść skmplikwany matematycznie ( degeneracja ) Wówczas ω, = jα, Ω = 0 i prócz rzwiązania ω, ( ) Re{ } j t αt x t = Xe = A e, istnieje jeszcze rzwiązanie ( ) x t = A te αt Zgdnie z zasadą superpzycji rzwiązanie gólne jest sumą: x t = A + A t e αt, (7) ( ) ( ) gdzie A, A znajdujemy z zadanych warunków pczątkwych równując (6) i (7) mŝna zauwaŝyć, Ŝe zanik wychylenia masy jest w przypadku tłumienia krytyczneg (α = ω ) szybszy niŝ w przypadku ruchu silnie tłumineg, gdy α > ω Jest t równieŝ ruch aperidyczny (pr rys 3) 4