Laboratorium wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 Plitechnika Lubelka MECHANIKA Labratrium wytrzymałści materiałów Ćwiczenie 4 - Swbdne kręcanie prętów kłwych Przygtwał: Andrzej Teter (d użytku wewnętrzneg)

2 Swbdne kręcanie prętów kłwych Jednym z prtych przypadków wytrzymałści materiałów jet wbdne kręcanie. W celu piania zjawik zachdzących w tym przypadku przyjmujemy d analizy wał długści l i przekrju krągłym prmieniu r, na pwierzchni któreg narywan iatkę kwadratwą (ry. a). (a) (b) Ry. Jeżeli analizwany wał bciążyć na kńcach dwma mmentami równej wartści M lecz zwrtach przeciwnych i ddatkw działających w płazczyźnie prtpadłej d i pręta t wzytkie iły wewnętrzne prwadzają ię d wewnętrzneg mmentu kręcająceg wartści M =M. Wynika t wprt z warunku równwagi. Na pdtawie zmian iatki znajdującej ię na pwierzchni wału (ry. b) mżemy twierdzić że:. Twrzące, które były równległe d i pręta, p defrmacji zmieniają ię w linie śrubwe kącie nachylenia γ jednakwym na całej długści pręta. 2. Przekrje kńcwe pręta pztają nadal płakie, przy czym ani długść l, ani średnica pręta nie ulega zmianie. 3. Linie bwdwe pztają nadal płakie i zachwują kztałt kłwy. 4. Narywany na kńcwym przekrju pręta prmień braca ię kąt ϕ, zwany kątem kręcenia pręta, pztając nadal prtym. Przedtawine berwacje pzwalają przyjąć za bwiązującą hiptezę płakich przekrjów. Ddatkw mżna przyjąć tezę, że tan naprężeń w pręcie kręcanym jet analgiczny d tanu czyteg ścinania. Naprężenia tyczne τ ą prtpadłe d prmieni pmyślanych w przekrjach pprzecznych pręta i zwiękzają ię prprcjnalnie: wartści zerwej w i pręta d wartści makymalnej τ max dla punktów płżnych przy zewnętrznej pwierzchni pręta (ry. 2a). Spełnina jet zależnść:

3 Plitechnika Lubelka, Lublin τ ρ = τmax r gdzie: ρ - dwlny prmień, r prmień zewnętrzny. () (a) (b) Ry. 2 Krzytając z przeprwadznych berwacji mżna piać tan dkztałceń kręcanych prętów kłwych (ry. 2b). Opiując gemetrię pwierzchniweg wycinka wału długści dx mżna wyprwadzić natępującą zależnść: dϕ γ = ρ (2) dx Kąt γ jet kątem dkztałcenia ptaciweg na zewnętrznej pwierzchni pręta krągłeg prmieniu ρ i mże ztać wyrażny przez naprężenie ścinające za pmcą prawa Hke'a dla ścinania: τ γ = (3) G Wpółczynnik prprcjnalnści G jet nazywany mdułem dkztałcenia ptaciweg lub mdułem Kirchhffa. Pdbnie jak mduł prężytści pdłużnej E, mduł dkztałcenia ptaciweg ma wymiar naprężeń [MPa]. Dwdzi ię, że pmiędzy mdułem ścinania G, mdułem Yunga E raz liczbą Pina ν zachdzi związek: E G = (4) 2( + ν) Na pdtawie pwyżzych równań trzymuje ię zależnść piującą makymalne naprężenia ścinające: d τ = G ϕ max r (5) dx Pdtawiając (5) d () trzymujemy zależnść naprężeń tycznych τ d prmienia ρ:

4 4 Plitechnika Lubelka, Lublin 2008 dϕ τ = G ρ (6) dx Zapiując warunki równwagi w ptaci umy mmentów względem i ymetrii pręta dla wydrębnineg elementu uzykuje ię zależnść pmiędzy mmentem kręcającym M i kątem kręcenia ϕ. Siła tnąca działająca na element pwierzchni df (ry. 2a) wyni τ df, a mment tej iły względem i pręta jet równy τ ρdf. P zumwaniu teg elementarneg mmentu p całym plu przekrju pprzeczneg uzykuje ię mment całkwity w przekrju pręta, który mui być zrównważny przez mment zewnętrzny M=M czyli: Pdtawiając (6) mamy: P wprwadzeniu znaczenia: F F ρ τ df M = 0 (7) 2 dϕ ρ G df M = 0 (8) dx I ρ df = 2 F gdzie: I jet t biegunwy mment bezwładnści kłweg przekrju pprzeczneg trzymujemy: d ϕ M = (0) dx GI Dla kła prmieniu r biegunwy mment bezwładnści wyni: I 4 (9) π r = () 2 zaś dla rury prmieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R mment ten wyni: Pdtawiając (0) d (6) trzymuje ię: I 4 4 π ( R r ) = (2) 2 M τ = I ρ (3) Jet t zależnść naprężeń ścinających d dległści ρ d śrdka przekrju pręta. Pnieważ zarówn mment M, jak i biegunwy mment bezwładnści I ą tałe więc rzkład naprężeń tnących jet liniwą funkcją dległści d śrdka

5 Plitechnika Lubelka, Lublin ymetrii wałka. Najwiękze naprężenia ścinające w brębie przekrju pprzeczneg pręta krągłeg wytępują dla ρ = r i wynzą: lub gdzie: M τ max = r (4) I M W τ max = (5) I W = (6) r nazywany jet wkaźnikiem wytrzymałści na kręcanie. Dla przekrju kłweg wyni: 3 π r W = (7) 2 zaś dla rury prmieniu wewnętrznym r i zewnętrznym R wkaźnik ten wyni: 4 4 π( R r ) W = (8) 2R Kąt kręcenia ϕ mżna wyznaczyć przez całkwanie wyrażenia (8): l ϕ = 0 M GI dx (9) W przypadku wałka tałym prmieniu r i długści l, bciążnym tałym mmentem M =cnt trzymuje ię całkwity kąt kręcenia: M l GI ϕ = (20) Ogólny warunek wytrzymałściwy pręta kręcaneg ma ptać: τ M = k max max (2) W gdzie: k naprężenia dpuzczalne na kręcanie, przyjmuje ię, że k = k t, M max - makymalny mment kręcający. W przypadku kręcanych wałów należy również prawdzić warunek ztywnści: ϕ = l 0 M dx ϕ GI gdzie: ϕ dp - dpuzczalny kąt kręcenia, przyjmuje ię ϕ dp = 0,0087 rad/m. dp (22)

6 6 Plitechnika Lubelka, Lublin 2008 Badania tenmetryczne Analgicznie jak w przypadku czyteg zginania w badaniach dświadczalnych d pmiaru dkztałceń zatujemy tenmetry prwe. Budwa i działanie tenmetrów prwych pian w rzdziale pt. Czyte zginanie tatycznie wyznaczalnej belki. Ry. 3 Zgdnie z przeprwadznymi berwacjami wiemy, że pwierzchnia kręcanej rury pddana jet czytemu ścinaniu, które jet zczególnym przypadkiem płakieg tanu naprężeń. W tym przypadku naprężenia działają w kierunkach głównych () i (2) równe c d wartści naprężenia nrmalne, ale przeciwnych znakach: σ y = -σ x = σ i ą brócne kąt 45 raz -45 (ry. 3). Kł Mhra dla czyteg ścinania przedtawin na ry. 4. Ry. 4 W celu wyznaczenia wartści naprężeń tycznych τ max wytępujących na pwierzchni rury naklejamy tenmetr pd kątem 45 d i rury. Odkztałcenia ε, które mierzy ten tenmetr mżemy bliczyć z ugólnineg prawa Hke a dla płakieg tanu naprężeń:

7 Plitechnika Lubelka, Lublin ε = E Z kła Mhra mżemy dczytać (ry. 4): Pdtawiając (24) d (23) trzymujemy: więc: ( σ νσ ) 2 (23) σ = τ max σ 2 = τmax (24) τmax ε = E τ max = ( + ν) ε E ( + ν) (25) (26) Zależnść (26) mżemy wykrzytać d wyznaczenia mdułu Kirchhffa G. Pdtawiamy (4) i trzymujemy: G τ M 2ε 2ε W max = = (27)

8 8 Plitechnika Lubelka, Lublin 2008 Plitechnika Lubelka, Wydział Mechaniczny Katedra Mechaniki Stwanej Labratrium Wytrzymałści Materiałów Imię i nazwik Grupa Data wyknania Prwadzący Ocena Labratrium Wytrzymałści Materiałów Swbdne kręcanie prętów kłwych. Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jet dświadczalne badanie z zatwaniem tenmetrów prwych kręcania wbdneg rury raz wyznaczenie mduły prężytści ptaciwej G. 2. Opi tanwika badawczeg Badania dświadczalne prwadzimy na tanwiku (ry. ) kładającym ię z rury zamurwanej jednym kńcem i bciążnej parą ił wywłujących kręcanie. Na pwierzchni rury naklejn tenmetry płączne z układem pmiarwym ESAM TRAVELLER i kmputerem zbierającym wyniki pmiarów. Ry.

9 Plitechnika Lubelka, Lublin Przebieg ćwiczenia. Dknać pmiaru w kilku miejcach gemetrii rury: r średnica wewnętrzna, R średnica zewnętrzna, a dległść między iłami. Pmiary pwtarzamy, a w prawzdaniu zamiezczamy wartści średnie. 2. Zgdnie z wytycznymi prwadząceg przygtwać układ pmiarwy. 3. Dknać pmiarów dkztałcenia dla wkazanych bciążeń. 4. Opracwanie wyników i wyknanie prawzdania W celu pracwania prawzdania należy: a) Wzytkie wyniki pmiarów umieść w prawzdaniu. b) Nazkicwać zary tanwika. c) Z badań dświadczalnych bliczyć naprężenia tyczne τ maxd na zewnętrznych pwierzchniach rury. d) Obliczyć teretyczne wartści naprężenia tycznych τ maxt na zewnętrznych pwierzchniach rury. e) Błąd ppełniny bliczyć ze wzru: τ δσ = max t τ τ max t max d 00% f) Wyznaczyć wartść mdułu Kirchhffa G ze wzrów: τ max G = 2ε M G = 2ε W g) Błąd ppełniny dla G bliczyć ze wzru: δg = E G 2( + ν ) E 2( + ν ) 00% h) Otrzymane wartści naprężeń teretycznych i dświadczalnych przenieść na wykre w funkcji mmentu kręcająceg.

10 0 Plitechnika Lubelka, Lublin Wymiary tanwika i inne dane: Tabela r R a ν E I W Lp. [ ] [..] [ ] [..] [ ] [ ] [ ] 2 3 Średnia 6. Wyniki pmiarów i bliczeń Obciążenie P [..] Mment kręcający M [ ] Odkztałcenie względne ε [ ] Naprężenie dświadczalne τ maxd [ ] Naprężenie teretyczne τ maxt [ ] Tabela 2 Błąd pmiaru Obciążenie P [..] Mment kręcający M [ ] Mduł dświadczalne G d [ ] Mduł teretyczne G t [ ] Błąd pmiaru Tabela 3 Uwaga. Pdać wzytkie wzry, pdtawienia i wyniki bliczeń teretycznych i błędów.

11 Plitechnika Lubelka, Lublin Wykre naprężeń tycznych: τ d i τ t w funkcji mmentu kręcająceg 8. Wniki i uwagi kńcwe