PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA)

PRZESTRZEŃ WEKTOROWA (LINIOWA) Def. 1 (X, K,, ) X, K - ciało : X X X ( to diałanie wewnętrne w biore X) : K X X ( to diałanie ewnętrne w biore X) Strukturę (X, K,, ) naywamy prestrenią wektorową : 1) Struktura (X, ) jest grupą abelową 2) x,y X α K: α (x y) (α x) (α y) α,β K x X :( α β) x α (β x) ) (α + β) x (α x) (β x) ) x X 1 x x Elementy bioru X naywamy wektorami, a elementy ciała K skalarami. Pryjmujemy umowę: x - wektor X - prestreń wektorowa Prykład 1 ( R, R,, ) Definiujemy diałania: R (x 1, y 1, 1 ) (x 2, y 2, 2 ) : (x 1 + x 2, y 1 + y 2, 1 + 2 ) R α (x, y, ) : (α x, α y, α ) Sprawdamy cy ( R, R,, ) jest prestrenią wektorową. Cy ( R, ) jest grupą abelową? [(x 1, y 1, 1 ) (x 2, y 2, 2 )] (x, y, ) (x 1 + x 2, y 1 + y 2, 1 + 2 ) (x, y, ) (x 1 + (x 2 + x ), y 1 + (y 2 +y ), 1 + ( 2 + )) (x 1, y 1, 1 ) [(x 2, y 2, 2 ) (x, y, )] wniosek: diałanie jest łącne Z premienności dodawania wynika premienność diałania. Elementem neutralnym diałania jest 0 (0, 0, 0) Każdy element (x, y, ) posiada element preciwny równy (-x, -y, -) bo (x, y, ) (-x, -y, -) (0, 0, 0) (-x, -y, -) (x, y, ) (0, 0, 0) Więc struktura ( R, ) jest grupą abelową. Poostałe warunki łatwo sprawdić. Wniosek: ( R, R,, ) jest prestrenią wektorową. Pryjmujemy umowę: Zamiast pisemy +, a amiast pisemy i prestreń wektorową apisujemy: (X, K, +, ) Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 1 10 Cęść - Prestreń wektorowa

Def. 2 Element neutralny diałania + naywamy wektorem erowym i onacamy: 0 Prykład 2 X F(X, ) {f: f: X R } -- b. odworowań R (F(X, R ), R, +, ) Definiujemy diałania: + : F(X, R ) F(X, R ) F(X, R ) f, g F(X, R ) f + g h : x X :(f + g)(x) f(x) + g(x) h(x) α f g : x X (α f)(x) α f(x) W tym prypadku wektorami są odworowania. F(X, R ) 0 : x X 0(x) (Wektorem erowym jest odworowanie!) Łatwo auważyć, że spełnione są odpowiednie warunki i struktura (F(X, R ), R, +, ) jest prestrenią wektorową. Def. U, U X Strukturę (U, K, +, ) naywamy podprestrenią wektorową prestreni X : 1) x, y U :(x + y) U 2) α K x U :(α x) U Prykład (R, R, +, ) prestreń wektorowa (patr: Prykład 1) a). U : {(x, y, ) R : x + y + } Sprawdamy, cy (U, R, +, ) jest podprestrenią prestreni R. U ponieważ np. (1, 0, 1) U U x (x 1, y 1, 1 ) x 1 + y 1 + 1 U y (x 2, y 2, 2 ) x 2 + y 2 + 2 Pytamy, cy x + y U (pierwsy warunek podprestreni) x + y (x 1 + x 2, y 1 + y 2, 1 + 2 ) x 1 + x 2 + y 1 + y 2 + 1 + 2 (x 1 + y 1 + 1 ) + (x 2 + y 2 + 2 ) + 0 Tera pytamy, cy α x U (drugi warunek podprestreni) α x α (x, y, ) (αx, αy, α) αx + αy + α α(x + y +) α 0 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 2 10 Cęść - Prestreń wektorowa

Wniosek: ponieważ spełnione są obydwa powyżse warunki to (U, R,+, ) jest podprestrenią prestreni R b). V : {(x, y, ) R : x + y + 1} Sprawdamy, cy struktura (V, R, +, ) jest podprestrenią prestreni R. V ponieważ np. (1, -1, 1) V V x (x 1, y 1, 1 ) x 1 + y 1 + 1 1 V y (x 2, y 2, 2 ) x 2 + y 2 + 2 1 Pytamy, cy x + y U (pierwsy warunek podprestreni) x + y (x 1 + x 2, y 1 + y 2, 1 + 2 ) x 1 +x 2 + y 1 +y 2 + 1 + 2 (x 1 + y 1 + 1 ) + (x 2 + y 2 + 2 ) 1 + 1 2 1 Wniosek: Ponieważ powyżsy warunek nie jest spełniony to (V, R, +, ) nie jest podprestrenią prestreni R. Twierdenie 1 Każda podprestreń prestreni wektorowej jest prestrenią wektorową., U U X (U, K, +, ) podprestreń wektorowa prestreni X T: (U, K, +, ) prestreń wektorowa Własności diałań w prestreni wektorowej. 1) x X : x 0 2) α K :α 0 ) α K x X :- (α x) ( α) x α ( x) ) α K x X :α x α x 5) α 0 x, y X :α x α y x y 6) α, β K x 0 :α x β x α β Twierdenie 2 (Warunek koniecny i wystarcający na podprestreń). U U X T: (U, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X α, β K x, y U :(α x + β y) U Twierdenie Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 Cęść - Prestreń wektorowa

U U X T: (U, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X α,α2,...,αn K x1, x2,..., U :(α1 x1 + α2 +... + αn ) 1 Def. x1,x2,..., X α1,α2,...,αn K x α1 x1 + α2 +... + αn Mówimy, że wektor x jest kombinacją liniową wektorów x, x2,..., α1,α2,..., αn - naywamy współcynnikami kombinacji liniowej. Def. 5 (X, K, +, ) prestreń wektorowa x1,x2,..., X - wektory prestreni X Wektory U 1 n 2 x 1,x2,..., są liniowo ależne : α1 x1 + α2 +... + αn Σ αi > 0 i 1 Def. 6 (X, K, +, ) prestreń wektorowa x1,x2,..., X Wektory x 1,x2,..., są liniowo nieależne : nie są liniowo ależne (: α 1 x1 + α2 +... + αn α1,α2,...,αn ) Prykład ( R, R, +, ) prestreń wektorowa a). u (0,1,1) v (1,0,0) w (1,1,1) Sprawdamy, cy wektory u, v, w są liniowo ależne/nieależne Pytamy kiedy α u + β v + γ w α(0,1,1) + β(1,0,0) + γ(1,1,1) (0,0,0) (0,α,α) + (β,0,0) + (γ,γ,γ) (0,0,0) (β+γ, α+γ, α+γ) (0,0,0) Otrymujemy układ równań: β + γ α + γ α + γ Po prostych prekstałceniach otrymujemy: -t - t t R t Cyli α,β,γ : α 0 v β 0 v γ 0 : α u + β v + γ w Np. dla t2 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 Cęść - Prestreń wektorowa

-2-2 2 Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo ależne. b). u (,2,-1) v (1,-2,1) w (1,1,1) Pytamy kiedy α u + β v + γ w α(,2,-1) + β(1,-2,1) + γ(1,1,1) (0,0,0) (α+β+γ, 2α-2β+γ, -α+β+γ) (0,0,0) Otrymujemy układ równań: - α + β + γ 2α - 2β + γ α + β + γ Po prostych prekstałceniach otrymujemy: Wniosek: Wektory u, v, w są liniowo nieależne. Twierdenie Z: (X, K, +, ) prestreń wektorowa x1,x2,..., X - liniowo nieależne T: Jeżeli wektor x jest kombinacją wektorów x 1,x2,..., to współcynniki tej kombinacji liniowej są wynacone jednonacnie ( dokładnością do kolejności) Cyli Jeżeli: x α1 x1 + α2 +... + αn x β1 x1 + β2 +... + βn to: α 1 β 1 α 2 β 2... α n β n Twierdenie 5 x1,x2,..., X T: Wektory x 1,x2,..., są liniowo ależne prynajmniej jeden nich jest kombinacją liniową poostałych ( i : xi α1x1 +... + αi-1x i-1 + αi+ 1xi+ 1 +... + αnx n ). Wnioski: 1) Jeżeli wektory są liniowo nieależne to żaden nich nie jest kombinacją liniową poostałych, 2) Zespół wektorów: x 1,x2,...,0,..., jest liniowo ależny. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 5 10 Cęść - Prestreń wektorowa

Def. 7 A X A Liniową powłoką bioru A naywamy biór: LinA : {x X: α,α,...,α K: x,x,...,x A: x α1 x1+ α2 x 2+... + αn x 1 2 n 1 2 n Cyli: L ina to biór wsystkich kombinacji liniowych wektorów e bioru A. Twierdenie 6 A A X T: ( LinA, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X (cyli dla siebie prestrenią) Def. 8 Z: (X, K, +, ) A A X T: ( LinA, K, +, ) naywamy prestrenią generowaną pre biór A Def. 9, A Zbiór A naywamy baą prestreni wektorowej jeżeli: 1) LinA X (każdy wektor X daje się predstawić jako kombinacja liniowa wektorów A) 2) x 1,x 2,..., A wektory x 1,x 2,..,x n są liniowo nieależne Prykład 5 Z: ( R, R, +, ) A {u (,2,-1), v (1,-2,1), w (1,1,1)} Sprawdamy, cy A jest baą prestreni R. Pytamy, cy LinA R R (x, y, ) α(, 2, -1) + β(1, -2, 1) + γ(1, 1, 1) (α+β+γ, 2α-2β+γ, -α+β+γ) (x, y, ) Otrymujemy układ równań: - α + β + γ 2α - 2β + γ y α + β + γ x Po prostych prekstałceniach otrymujemy: 1 1 x 1 1 1 x y + 12 1 2 y + n Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 6 10 Cęść - Prestreń wektorowa

Cyli: (x, y, ) ( 1 1 ) (, 2, -1) + ( 1 1 1 y + ) (1, -2, 1) + 1 2 ( y + ) (1, 1, 1) x x 12 Wniosek: LinA R Liniową nieależność wektorów u, v, w sprawdiliśmy w prykładie b). Wniosek: A jest baą prestreni R. Uwaga Każdy podespół espołu wektorów liniowo nieależnych jest espołem wektorów liniowo nieależnych (ale NIE NA ODWRÓT). Twierdenie 7 T: Każda nieerowa (nie łożona tylko 0 ) prestreń wektorowa posiada baę. Ponadto: Jeżeli istnieje baa skońcona i x1, x 2,..., x n X stanowią baę X ora y, y,..., też stanowią baę to n k. 1 2 yn Def. 10 Jeżeli prestreń posiada baę łożoną e skońconej licby wektorów to mówimy, że prestreń jest skońcenie wymiarowa i ilość wektorów w baie naywamy wymiarem prestreni dim X n Jeżeli prestreń posiada baę nieskońconą ilością wektorów to jest nieskońcenie wiele wymiarowa (dim X + ). Jeżeli prestreń składa się tylko wektora erowego to pryjmujemy definicji: dim {0}:0 Def. 11 Reperem baowym (krótko: baą) naywamy baę, w której ustaliliśmy kolejność wektorów. Def. 12 B {e1,e2,...,en} reper baowy i wektor x X predstawiamy jako x α1e1 + α2e2 +... + αnen to α 1,α2,..., αn naywamy współrędnymi wektora x w baie B (wględem bay B) i stosujemy apis x[α 1,α 2,...,α n] B Prykład 6 Z: ( R, R, +, ) A (u (,2,-1), v (1,-2,1), w (1,1,1)) - baa R Znaleźć współrędne wektora (,, 8) w baie A. Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 7 10 Cęść - Prestreń wektorowa

(,, 8) α(, 2, -1) + β(1, -2, 1) + γ(1, 1, 1) Korystając prykładu 5 mamy: 1 1 x 1 1 1 x y + 12 1 2 y + Cyli: 1 20 1 20 (,,8) -(,2,-1) + (1, 2,1) + (1,1,1) [ 1,, ] Prykład 7 Pry ałożeniach popredniego prykładu: naleźć wektor, którego współrędne w baie A wynosą [1,-1,2] A. (x, y, ) [1,-1,2] A 1(,2,-1) + (-1)(1,-2,1) + 2(1,1,1) (,6,0) Cyli: (x, y, ) (,6,0) Prykład 8 ( R, R, +, ) B (e1 (1,0,0),e2 (0,1,0),e (0,0,1)) Sprawdamy, cy B jest baą prestreni R. Pytamy, cy wektory baowe generują całą prestreń R. (x, y, ) α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) (α, β, γ) x α y β Wniosek: wektory B generują całą prestreń R. γ Pytamy, cy wektory e 1,e2, e są liniowo nieależne. α(1,0,0) + β(0,1,0) + γ(0,0,1) (0,0,0) (α, β, γ) (0,0,0) Wniosek: wektory B są liniowo nieależne. Cyli: B jest baą prestreni R. Współrędne wektora w baie B: (x, y, ) [x, y, ] B baę taką naywamy baą kanonicną. Baa kanonicna prestreni ( R n, R, +, ) ma postać: B (e1 (1,0,...,0), e2 (0,1,0,...,0),..., e n (0,0,...,1)) Wnioski: dim X n a) każdy espół n+1 wektorów jest liniowo ależny b) każdy espół n wektorów które generują prestreń jest liniowo nieależny B Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 8 10 Cęść - Prestreń wektorowa

c) każdy espół n wektorów liniowo nieależnych generuje prestreń Uwaga 1) Jeśli namy wymiar prestreni n to aby sprawdić cy n wektorów jest baą prestreni wystarcy sprawdić jeden dwóch warunków na baę (albo liniową nieależność, albo cy generują całą prestreń). 2), dim X n U X, U podprestreń prestreni X To: n dim U dim U n U X Def. 1 (X 1, K, +, ), (X 2, K, +, ) podprestrenie prestreni X Sumą dwóch podprestreni naywamy biór + X : {x X : x X x X : x x x } X1 2 1 1 2 2 1 + 2 Twierdenie 8 Jeżeli: (X, K, +, ) prestreń wektorowa (X 1, K, +, ), (X 2, K, +, ) podprestrenie prestreni X To: 1) (X 1 +X 2, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X. 2) (X 1 X 2, K, +, ) jest podprestrenią prestreni X Uwaga Unia dwóch podprestreni (X 1 X 2 ) na ogół nie jest podprestrenią. Prykład 9 ( R 2, R, +, ) X 1 {(0, y): y R } (X 1, R, +, ) podprestreń R 2 X 2 {(x, 0): x R } (X 2, R, +, ) podprestreń R 2 e1 X1 e1 (0,1) e1 (X1 X 2 ) e2 X2 e2 (1,0) e2 (X1 X2) + e (1,1) (X X ) e1 2 1 2 Def. 1 (X 1, K, +, ), (X 2, K, +, ) podprestrenie prestreni X Sumą prostą podprestreni X 1 X 2 naywamy biór: X X : {x X :!x X!x X : x x + x } 1 2 1 1 2 2 1 2 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 9 10 Cęść - Prestreń wektorowa

Twierdenie 9 Suma dwóch podprestreni jest sumą prostą cęścią wspólną podprestreni jest wektor erowy. X X X + X X X {0} 1 2 1 2 1 2 Def. 15 X 1 podprestreń prestreni X ora X 2 taka podprestreń prestreni X, że: X 2 : XX 1 X 2 to X 2 naywamy prestrenią uupełniającą prestreni X 1 Twierdenie 10 Każda podprestreń posiada prestreń uupełniającą. Twierdenie 11 1) dim (X 1 +X 2 ) dim X 1 + dim X 2 dim (X 1 X 2 ) 2) dim (X 1 X 2 ) dim X 1 + dim X 2 Wniosek: X X 1 X 2 dim X dim X 1 + dim X 2 Wykład dr Magdaleny Sękowskiej strona 10 10 Cęść - Prestreń wektorowa