Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych Wartość tej fukcji dla liczby aturalej azywamy -tym wyrazem ciagu i ozaczamy przez a, b itp Ciagi o takich wyrazach ozaczamy odpowiedio przez a ), b ) itp Zbiór wyrazów ciagu a ) ozaczamy przez {a } Uwaga Niektórzy autorzy defiiujemy ciąg jako fukcję określoą a dowolym podzbiorze liczb aturalych Uwaga 2 W książce D Wrzoska ciąg o wyrazach a, N ozaczay jest przez {a } = Sposoby określaia ciagu Ciągi liczbowe możemy określać: i) wzorem: p a = 3 ii) opisowo a -ta cyfra po przeciku w rozwiięciu dziesiętym liczby π; iii) rekurecyjie: wyraz + ) szy jest określoy jako fukcja początkowych wyrazu ciągu; p ciąg arytmetyczy a ), którego pierwszy wyraz jest rówy i różica r jest rówa 2, może być określoy rekurecyjie w astępujący sposób: por [Wrz08, str 09] Ciag geometryczy Defiicja 2 Ciag a ) określoy przez a =, a + = a + 2 a = a, a + = qa, gdzie a i q sa daymi liczbami rzeczywistymi, azywamy ciagiem geometryczym o pierwszym wyrazie a i ilorazie q Przykład W chwili t = liczebość populacji bakterii wyosi 000 Po upływie czasu T liczebość populacji bakterii się podwaja Przyjmujac T za jedostkę pomiaru czasu liczebość populacji a w chwili t = moża określić wzorem: a = 000; a + = 2a
Defiicja 3 Ciag a ) jest ograiczoy z dołu, jeżeli zbiór {a } jest ograiczoy z dołu, tj istieje m R takie, że dla każdego N a m Defiicja 4 ciągu ograiczoego z góry) Ciag a ) jest ograiczoy z góry, jeżeli zbiór {a } jest ograiczoy z góry, tj istieje M R takie, że dla każdego N a M Przykład Ciąg b = +3 jest ograiczoy z góry- ograiczeiem górym jest p Defiicja 5 ciągu ograiczoego) Ciag a ) jest ograiczoy, jeżeli zbiór {a } jest ograiczoy, tj ma zarówo ograiczeie dole jak i góre Przykład Ciąg a = 2 + jest ograiczoy Ograiczeiem dolym jest p 0 a ograiczeiem górym p Defiicja Ciag a ) jest rosacy, jeżeli a < a 2 < a 3 <, tz dla każdego N a < a + Aalogiczie defiiujemy ciąg iemalejący: Defiicja 7 Ciag a ) jest iemalejacy, jeżeli a a 2 a 3, tz dla każdego N a a + Uwaga Aalogiczie defiiuje się ciąg malejący i ierosący Ciąg azywamy mootoiczym, jeżeli jest ierosący lub iemalejący Pojęcie graicy ciagu Rozważmy ciąg a ) określoy przez a = Dla dowolego ε > 0 wszystkie, z wyjątkiem co ajwyżej skończoej liczby, wyrazy tego ciągu ależą do epsiloowego otoczeia zera 0 ε, 0 + ε) Zamiast wszystkie z wyjatkiem co ajwyżej skończoej liczby będziemy często pisać prawie wszystkie Defiicja 8 słowe określeie graicy właściwej ciągu) Ciag a ) jest zbieży do graicy właściwej a R, jeśli w dowolym otoczeiu epsiloowym a zajduja się prawie wszystkie wyrazy tego ciagu Pojęcie graicy ciagu cd Defiicja 9 graicy właściwej ciągu) Ciag a ) jest zbieży do graicy właściwej a R, co zapisujemy lim a = a, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istieje 0 N takie, że dla każdego aturalego większego iż 0 a a < ε 2
Rówość lim a = a często jest zapisywaa krócej: lim a = a lub a a Graica ciagu przykład Zadaie Korzystając z defiicji graicy uzasadij, że lim = 0 Rozw Mamy pokazać, że dla każdego ε > 0 istieje 0 N takie,że dla > 0 0 < ε Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią Musimy zaleźć liczbę 0 N taką, że dla każdego > 0 będzie spełioa ierówość 0 < ε Mamy 0 = < ε wtedy i tylko wtedy, gdy > ε Zatem za 0 moża przyjąć dowolą liczbę aturalą większą iż ε Graica zastosowaia geometrycze Problem Chcemy obliczyć pole s figury S ograiczoej prostą y = 0, prostą x = i wykresem fukcji fx) = x 2 Rozwiazaie przybliżoe Dzielimy odciek [0, ] a odcików o rówej długości: [ 0, ), [, 2 ),, [, Suma pól prostokątów, których podstawy są rówe tym odcikom a wysokości kwadratom ich lewych końców, ozaczaa przez s, jest sesowym przybliżeiem pola figury S Pole figury S moża zdefiiować jako lim s Przykład geometryczy cd Mamy [ k ) 2 ] s = k= wykorzystaliśmy rówość: 2 + 2 2 + + 2 = ] = )2 ) 3 ; + )2 + ) Obliczeie graicy ciągu s ) bezpośredio z defiicji raczej trude 3
x^2 00 02 04 0 08 0 00 02 04 0 08 0 x Rysuek : Przybliżoy sposób obliczaia pola figury S Twierdzeie o arytmetyce graic ciągów) Jeżeli ciag a ) jest zbieży do graicy właściwej a oraz ciag b ) jest zbieży do graicy właściwej b, to lim + b ) = a + b, ) lim b ) = a b, 2) lim ) = ca, gdzie c R, 3) lim b ) = ab, 4) lim a b = a/b, o ile b 0, 5) Przykład geometryczy cd Korzystając z twierdzeia o arytmetyce graic ciągów możemy obliczyć graicę ciagu s ) : lim s = 3 lim )2 ) 3 = ) )2 ) )2 ) 3 2 = 7) 2 2 3 + 2 = 8) 2 2 2 lim 3 2 + lim 2 = 9) 2 + lim 2 = 3 0) Przy obliczeiach zostało wykorzystae Twierdzeie o arytmetyce graic ciągów Liczba e 4
Rozważmy ciąg e = + ) Moża sprawdzić, że: e = 2; e 2 = 2,25; e 0 = 2,594; e 00 = 2,705 Fakt Moża pokazać, że ciąg e ) jest rosący Fakt Dla każdego zachodzi e 3 Z powyższych faktów, oraz z twierdzeia, które mówi, że ciąg rosący i ograiczoy z góry jest zbieży por G Fichteholz, rachuek różiczkowy i całkowy, t, rozdz 34), wyika, że Twierdzeie 2 Ciag e = + ) jest zbieży Graicę tego ciągu będziemy ozaczać przez e od matematyka szwajcarskiego L Eulera 707-783)): e + ) Liczba e z dokładością do 0 cyfr po przeciku jest rówa 2,78288285 5