7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie funkcji w przedziale (, ) lub ( ) załóżmy, że funkcja f ( x ) określona w przedziale (, ) jes w ym przedziale bezwzględnie całkowalna: ( ),l.,. W ym celu f x dx < (7.) Dalej, że w każdym skończonym przedziale spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichlea. Oznaczmy I przedsawimy funkcję f ( x ) w przedziale [ l, l] l = (7.) za pomocą jej szeregu Fouriera: a nx nx f ( x) = + an sin + bn cos ( x ( l, l) ) n= λ λ (7.3) O współczynnikach danych wzorami Eulera-Fouriera, kóre przybiorą posać: a b n n ( ) cos n = f * ( n,,... ) = (7.4) sin λ Wsawmy prawe srony związków (7.4) do równości (7.3). Orzymamy: nx n nx n f ( x) = f ( ) f ( ) cos cos sin sin + n= + = λ λ λ λ ( ) n x = f ( ) f ( ) cos + π n= λ λ (7.5) i przejdźmy do granicy, gdy l lub, co jes równoważne, gdy λ. Z założenia bezwzględnej całkowalności wynika, że pierwsza z całek po prawej sronie w powyższej równości jes zbieżna, a ponieważ mianownik rośnie nieograniczenie, więc: Oznaczmy Wobec czego lim f ( ) = λ (7.6) n ωn = ( n =,,3,... ) (7.7) λ
Wprowadzając nową funkcję: n n ωn = ωn ωn = = λ λ λ φ ( ω, x, λ ) = f ( ) cos( ω ( x )) (7.8) Możemy szereg w równości (7.5) napisać w posaci I uznać za sumę przybliżona całki Co nie jes ścisłe, bo (, x, ) n= (, x, ) φ ω λ ω n (, x, ) n φ ω λ d ω (7.9) φ ω λ n zależy od ω n =, poza ym nie jes o suma lecz szereg. λ Przejście graniczne przy λ daje całkę: Łącząc zależności (7.9) I (7.) orzymujemy wierdzenie: Twierdzenie Funkcję f ( x ) bezwzględnie całkowalną w przedziale (, ) φ ( ω, x) = f ( ) cos( ω ( x )) (7.) spełniajaca w nim pierwszy i drugi warunek Dirichlea można przedsawić za pomocą zw. wzoru całkowego Fouriera: f ( x) = dω f ( ) cos ( ω ( x ) ) π (7.) Isnieje ścisły dowód równości (7.), ale znacznie bardziej skomplikowany i dłuższy od powyżej podanego... Prawa srona wzoru (7.) nazywa się całką Fouriera funkcji f ( x ). Przekszałcając ja dosajemy: Co zapiszemy w posaci f ( x) = dω f ( ) cosω cosωx + f ( ) sinω sinωx π (7.) f ( x) = a cosωx + b sinωx dω (7.3)
Przy czym oznaczamy a b = f ω π (7.4) sin ( ) cos Wzór (7.3) będący analogiem szeregu Fouriera dla funkcji w przedziale ograniczonym, mówi, że, rozłożyć na drgania harmoniczne o f ( x ) można w nieograniczony przedziale ( ) częsoliwości zmieniającej się w sposób ciągły od zera do nieskończoności. Funkcje a( ω ) i b( ω ) nazywają się współczynnikami widma ciągłego funkcji f ( ) nasępujące własności, x. Funkcje e mają a = a b = b (7.5) Funkcję, kórej warość w każdym punkcie jes równa warości jej całki Fouriera, nazywamy rozwijalną na całkę Fouriera. Dla akiej funkcji zachodzi wedy analagon równości Parsevala f ( ) = a + b dω 7. Całka Fouriera funkcji parzysej lub nieparzysej. (7.6) Niech funkcja f ( x ) rozwijalna na całkę Fouriera, będzie funkcją parzysą. Wedy b funkcja podcałkowa we wzorach (7.4) będzie nieparzysa. Naomias Wzór całkowy dla funkcji parzysej przybiera posać, bo a = f ( ) cos( ω) π (7.7) f x = a ω ωx dω (7.8) ( ) ( ) cos( ) Analogicznie w przypadku funkcji nieparzysej orzymujemy 7.3 Całka Fouriera funkcji w przedziale (, ). b( ω ) = f ( ) sin ( ω) π ( ) = ( ) sin ( ) f x b ω ωx dω (7.9) Rozparzmy funkcję f ( x) zadana w przedziale [, ) i w nim bezwzględnie całkowalną oraz spełniająca pierwszy i drugi warunek Dirichlea. Uwórzmy funkcję pomocniczą określoną w sposób nasępujący
φ ( x) f ( x) gdy x (, ) ( ) (,) = f x gdy x (7.) Funkcja φ ( x) jes oczywiście rozwijalna na całkę Fouriera, mianowicie ( x) = a ( ) cos ( x) d x (, ) φ ω ω ω a = f ( ) cos( ω ) π Wobec czego w przedziale (, ) zachodzi równość f ( x ) cos ( ωx ) dω f ( ) cos ( ω ) π = (7.) Analogicznie worząc nieparzysą funkcję pomocniczą orzymujemy f x sin x d f sin x, π ( ) = ( ω ) ω ( ) ( ω ) ( ) (7.) Każdą z równości (7.) i (7.) nazywamy wzorem Fouriera w przedziale (, ), a prawe srony ych wzorów nazywamy całkami Fouriera w przedziale (, ). Funkcję, kóra w przedziale (, ) da się przedsawić równością (7.) lub (7.) nazywamy funkcją rozwijalną na całkę Fouriera w przedziale (, ). 7.4 Sinusowe i cosinusowe przekszałcenie Fouriera. Załóżmy, że funkcja f ( x ) jes rozwijalna na całkę Fouriera w przedziale (, ). Wedy (7.) i (7.): Przyjmijmy oznaczenia: Wobec czego f ( x) = f ( ) sinω sinωxdω π = f xd x π ( ) cosω cosω ω (, ) F = f (7.3) s c ( ω ) ( ) sin ( ω ) F = f (7.4) ( ) cos( ω )
Fs sin ( ω ) = f ( ) π (7.5) Oraz Fc cos( ω) = f ( ) π (7.6) Wzór (7.3) nazywamy prosym sinusowym przekszałceniem Fouriera, zaś (7.5) przekszałceniem sinusowym Fouriera odwronym (względem niego). Analogicznie wzory (7.4) i (7.6) nazywają się prosym i odwronym cosinusowym przekszałceniem Fouriera. Związek między funkcją f ( ) a jej sinusową lub cosinusową ransformaą F s lub F c będziemy oznaczać nasępująco: ( ), ( ) ( ), ( ) Fs = s f f = s Fs Fc = c f f = c Fs (7.7) W dalszym ciągu zajmiemy się obliczaniem sinusowego i cosinusowego przekszałcenia pochodnych i całki funkcji f ( ). Oznaczmy przez k i k prawosronne granice w począku układu: ( ), '( ) k = f + k = f + (7.8) Obliczmy ransformay pierwszych pochodnych funkcji f ( ) przy założeniu ( ), f gdy s f ' = sin = f sin f cos = F ( ) ( ω ) ( ) ( ω ) ω ( ) ( ω ) ω c f ' = cos = f cos + f sin = k + Fs ( ) ( ω ) ( ) ( ω ) ω ( ) ( ω ) ω c (7.9) Przy obliczaniu drugich pochodnych załóżmy ponao, że [ k F ] k F ( ) ( ) f ', gdy d f s f ''( ) = sin ( ω) = sin ( ω) ω cos( ω) = = ω + ω = ω ω ω s s d f c f '' = cos = cos + sin = k Fc ( ) ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) ω ( ω ) Przy obliczaniu ransforma całki (7.3)
f ( τ ) dτ Załóżmy, że ( ) f τ dτ, gdy f ( τ ) dτ = f ( τ ) dτ sinω = s = f d f Fc ω + = ω ω ( τ ) τ cos( ω ) ( ) cos( ω ) f ( τ ) dτ = f ( τ ) dτ cosω = c = f d f Fs ω = ω ω ( τ ) τ sin ( ω ) ( ) sin ( ω ) ( ω ) (7.3) (7.3) Treść zadania Przykład obliczeniowy x Znaleźć ransformaę sinusową funkcji f ( x) = e gdy x [, ) Rozwiązanie Fs 7.5 Całka Fouriera w posaci zespolonej. π ( ω ) = sin ( ω ) ω ω + Niech funkcja f ( x ) będzie rozwijalną na całkę Fouriera. Wedy x dx f ( x) = dω f ( ) cos ( ω ( x ) ) π (7.33) Wewnęrzna całka jes parzysą funkcją zmiennej ω, wobec czego można zewnęrzną całkę rozciągnąć na przedział (, ) dzieląc jednocześnie całą prawą sronę równości (7.33) przez. Wobec ego będzie f ( x) = dω f ( ) cos ω ( x ) π ( ) (7.34) Gdybyśmy eraz w prawej sronie równości (7.33) zasąpili cosinus sinusem, o całka wewnęrzna byłaby nieparzysą zmiennej ω, wobec czego całka zewnęrzna sałaby się równa zeru. Byłoby wedy
= sin π dω f ( ) ( ω ( x ) ) (7.35) Dodajmy sronami równość (7.34) do równości (7.35) pomnożonej przez j, pamięając jednocześnie, że wzór Eulera pozwala zapisać: Orzymamy ( ) sinω ( ) j cosω x + j x = e ω ( x ) jω ( x ) f ( x) dω f ( ) e π = (7.36) Wzór (7.36) nazywa się wzorem całkowym Fouriera w posaci zespolonej, zaś jego prawa srona zespoloną całką Fouriera. 7.6 Zespolone przekszałcenie Fouriera. Zapiszmy równość (7.36) korzysając z własności dodawania argumenów funkcji wykładniczej: Oznaczmy całkę wewnęrzną Wedy równość (7.37) przybierze posać: jω jωx f ( x) = f ( ) e e dω π z (7.37) z (7.38) j ( ) ( ) F = f e = f jωx f ( x) = Fz e dω = z Fz π (7.39) Wzór (7.38) nazywamy prosym zespolonym przekszałceniem Fouriera (niekiedy dodajemy dwusronnym), zaś (7.39) nazywamy zespolonym przekszałceniem odwronym. Funkcja f ( ) nazywa się oryginałem albo funkcją oryginalną przekszałcenia, zaś ( ) ansformaą lub przekszałceniem odwronym. F ω - obrazem, Transformaę Fz ( ω ) nazywamy akże zespolonym widmem ciągłym funkcji f ( ). Aby znaleźć związek miedzy zespolonym widmem ciągłym i widmami rzeczywisymi, danymi wzorami (7.4) zauważymy, że: F ω f ω j f ω z ( ) = ( ) cos ( ) ( ) sin ( ) Oznaczając, zgodnie z wzorami (7.4) z
A = π a = f ( ) cos( ω) B = πb = f ( ) sin ( ω) (7.4) Możemy widmo zespolone przedsawić w posaci: ( ) ( ) ( ) Fz ω = A ω jb ω = Fz ω e Widmo ampliudy Fz ( ω ) i widmo fazy z ( ) rzeczywisych. Mianowicie: Wobec czego: Oczywiście re( Fz ) jargf z Arg F ω da się obliczyć w zaleznosci od widm A = F Arg F, B = F Arg F z z z z F = A + B z = A jes funkcją parzysą, a im( F ) 7.7 Przekszałcenie Fouriera operacji różniczkowych i całkowych. Załóżmy, że pochodne pierwsza i druga oraz całka f ( τ ) dτ funkcji ( ) z = B jes funkcją nieparzysą argumenu ω. f, mającej ransformaę Fouriera, akże są ransformowalne oraz że spełnione są nasępujące warunki graniczne: Obliczmy: Pierwsza pochodna Druga pochodna Całka ( ) ( ) ( τ ) f, f ', f dτ, gdy (7.4) z f = e = f e + j f e = j F jω jω jω '( ) ( ) ω ( ) ω z [ ω] (7.4) Można orzymane wyniki wysłowić jak nasępuje: ( ) z f '' = j Fz (7.43) z f ( τ ) dτ = Fz (7.44) jω
Różniczkowanie oryginału jes równoważne mnożeniu obrazu przez jω, całkowanie (w granicach (, ) ) oryginału jes równoważne dzieleniu obrazu przez jω. 7.8 Funkcja Heaviside a. Pseudofunkcją Heaviside a nazywamy fumkcję określoną w sposób nasępujący:, gdy x > η ( ) =, gdy x =, gdy x < (7.45) Na rys. 7. przedsawiono funkcje Heaviside a η ( ), zaś na rys. 7. ę samą funkcję z opóźnionym argumenem η ( ). Rys. 7. Funkcja Heaviside a η ( ): a) =, b) Operację polegajaca na przemnożeniu funkcji f ( ) przez funkcję Feaviside a η ( ) nazywamy gaszeniem funkcji. Przykłady funkcji zgaszonych zosały przedsawione na rys. 7. ( ) sin η sin i rys. 7.3 [ e η e ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Rys. 7. Zgaszona funkcja sin ( ) Rys. 7.3 Zgaszona funkcja ( ) e Zauważmy, że funkcja Heaviside a spełnia warunki Dirichlea w każdym przedziale skończonym, naomias nie jes rozwijalna na całkę Fouriera, gdyż nie jes bezwzględnie całkowalna na całej osi rzeczywisej. 7.9 Prawosronne zespolone przekszałcenie Laplace a. Zakładając, że funkcję η ( ) f ( ) można poddać przekszałceniu Fouriera, zdefiniujmy nasępujące przekszałcenia:
jω ( ) ( ) F = f e = f (7.46) jω η ( ) f ( ) = F e dω = F π (7.47) Wzór (7.46) nosi nazwę prosego prawosronnego przekszałcenia Fouriera, zaś (7.47) odwronego prawosronnego zespolonego przekszałcenia Fouriera. W prawosronnym zespolonym przekszałceniu Fouriera będziemy zapisywać funkcję f, uważając ja od razu za zgaszoną. Wedy w ransformowaną zamias ( ) f ( ) η króko ( ) formule (7.47) można pominąć η ( ). Załozmy eraz, że funkcja f ( ) i jej pochodna f '( ) oryginałami przekszałcenia Fouriera i przyjmijmy założenia: ( ) ( ) ( τ ) są f, f ', f dτ, gdy (7.48) Oraz ( ), '( ) f + = k f + = k (7.49) Wedy (7.5) jω jω jω ( ) ( ) ω ( ) ω f ' = e = f e + j f e = k + j F ( ) ω f '' = k j k + j F Przy odpowiednich założeniach doyczących całek f ( ). 7. Splo. (7.5) f ( τ ) dτ = F (7.5) ω Zauważmy, że wszyskie doychczas przez nas poznane przekszałcenia są liniowe. Zapiszmy en fak, np. dla dwusronnego zespolonego przekszałcenia Fouriera, oznaczając: = ( ), [ ω] = ( ) Fz z f Gz z g I zakładając isnienie wprowadzonych wyżej funkcji i odwronych ransforma Fouriera. Zachodzą mianowicie nasępujące równości: ( ) ( ) [ ] ( ) z α f + β g = α Fz ω + βgz ω (7.53) ( ) + ( ) = ( ) + [ ] α f β g z α Fz ω βgz ω (7.54) Dowód ych własności opiera się na liniowości całki oznaczonej.
Równość (7.53) można wysłowić: Obrazem kombinacji liniowej oryginałów jes aka sama kombinacja liniowa obrazów. Równość (7.54) : Oryginałem kombinacji liniowej oryginałów jes aka sama kombinacja liniowa oryginałów. Zakładając eraz, że obie funkcje f ( ) i g ( ) są całkowalne z kwadraem, poszukujemy związku między oryginałami, odpowiadającego iloczynowi obrazów ych funkcji. W ym celu wyraźmy iloczyn obrazów za pomocą całki podwójnej jωτ jωτ Fz Gz = f ( τ ) e dτ g ( τ ) e dτ = = jω( τ+ τ ) ( ) ( ) f τ g τ e dτ dτ (7.55) A nasępnie zasosujmy zamianę zmiennych τ i τ na zmienne, τ. τ + τ =, τ = τ, czyli τ = τ (7.56) Jakobian ej zmiany jes równy : ( τ, τ ) ( τ, ) = = Jes przekszałcenie płaszczyzny τ, τ w płaszczyznę,τ.
Rys. 7.3 Przekszałcenie płaszczyzny τ, τ w płaszczyznę, τ Zauważymy, że przy ym przekszałceniu pierwsza ćwiarka opisująca się nierównościami (rys. 7.3) : τ >, τ > Zosaje odwzorowana na obszar opisujący się nierównościami < τ <, > Wyraźmy całkę, wysępującą w iloczynie obrazów (7.55), za pomocą całki ierowanej w nowym układzie współrzędnych. Będzie wedy jω Fz Gz = f ( τ ) g ( τ ) dτ e Całkę wewnęrzną w prawej sronie zależności (7.57) oznaczymy: (7.57) ( ) ( ) I nazywamy sploem lub konwolucją funkcji f ( ) i f ( ). f * f = f τ f τ dτ (7.58) Symbol nazywamy symbolem splaania lub mnożenia sploowego. Wobec definicji (7.58) możemy zależność (7.57) zapisać
Co jes reścią wierdzenia Borela: Twierdzenie Borela jω Fz Gz ( ω ) z ( f * g ) ( f * g ) e = = (7.59) W zespolonym przekszałceniu Fouriera mnożeniu obrazów odpowiada splaanie oryginałów. Posługując się odwronym przekszałceniem Fouriera możemy zależność (7.59) zapisać w posaci zwanej wzorem całkowym Fouriera dla splou funkcji: z z z z z π Podsawowymi własnościami splaania są: przemienność Łączność [ ] ( ) ( ) jω F G = F ω G ω e dω = f * g (7.6) f * f = f * f (7.6) ( f * f )* f f *( f * f ) = (7.6) 3 3 Można wykazać, że jeżeli f ( ) i f ( ) są bezwzględnie całkowalne w przedziale (, ) a) co najmniej jedna z nich jes w przedziale (, + ) ograniczona lub + oraz b) obie funkcje są całkowalne z kwadraem w przedziale (, + ), o splo ych funkcji jes w przedziale (, + ) funkcją ciągłą. W prawosronnym zespolonym przekszałceniu Fouriera wysępuje funkcja zgaszona. Dla akiej funkcji definicja splou podana wzorem (7.58) ma posać: ( ) ( ) f * f f τ f τ dτ (7.63) Gdzie ( τ ) η ( τ ) ( τ ), ( τ ) = η ( τ ) ( τ ) f f f f Oczywiście zachowują się poprzednio wykazane własności splou, a mianowicie przemienność i łączność. Splo zapisany równością (7.63) nazywamy niekiedy prawosronnym sploem funkcji f i f. Robiąc analogiczne założenia co do funkcji oraz ę samą zamianę zmiennych (7.56) i obliczając iloczyn prawosronnych zespolonych ransforma orzymujemy:
jωτ jωτ F G = f ( τ) e dτ g ( τ ) e dτ = jω( τ + τ ) = f τ g τ e dτ dτ = ( ) ( ) = f g d e = f g jω ( τ ) ( τ ) τ ( * ) Z czego wynika, że wierdzenie Borela jes prawdziwe akże w przypadku prawosronnego zespolonego przekszałcenia Fouriera.