Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 1. Literatura do wykładu M. Gewert, Z. Skocylas, Analia matematycna 1; T. Jurlewic, Z. Skocylas, Algebra liniowa 1; Stankiewic, Zadania matematyki wyżsej dla wyżsych ucelni technicnych Żakowski, Dacewic, Matematyka, cęść I LICZBY ZESPOLONE Def. i naywamy jednostką urojoną, spełniającą równość j 1. Licbą espoloną nawiemy wielkość yj, gdie y, Wielkości yj ora u vj są sobie równe u ora y v Diałania (,,,:) wykonuje się analogicnie do praw arytmetyki licb recywistych: ( yj) ( u vj) yj u vj ( u) ( y v) j, ( yj) ( u vj) u vj yuj yvj u ( v yu) j yv( 1) u yv ( v yu) j. Prykłady: ( 3 j) ( 4 j) 3 j 4 j 1 6 j, (7 j)( 5 3 j) 35 1 j 10 j 6 j 35 11 j 6 4111 j 3 j 3 j 4 j 1 3 j 4 j j 1 j 1 13 j 13 1 j j j 4 j 4 4 4 16 1 17 17 17 ( 4 j) (3 8 j) ( 7 4 j)(4 7 j) 3 6j j 4 5 0 6 18 0 50 0 1) Jeżeli yj to licbę yj naywamy licbą sprężoną do i onacamy Własności sprężenia Jeżeli yj, to y ) 1 1, 1
3) 1 1, 4) 1 1 5)., o ile 0, Prykład. a)rowiąż równanie: 3 j( ) 4 3 i. Row. Podstawiamy jy, iy ( jy) 3( jy) j( jy jy) 4 3 j, jy 3 3 jy j 4 3 j, (5y ) j 4 3 j, 11 4 4 j, 4 4 4 5 11 5y 3 5y 8 3 5y 11 y 11 5 4 j. 5 b) Rowiąż równanie: 4 3( ) 5 7 j. Row. Podstawiamy jy, jy 4( jy) ( jy) 3( jy jy) 5 7 j, 4 4 jy jy 6 5 7 j, 0 yj 5 7 j, 05 y 7 Odp. równanie nie ma rowiąań. c) Znajdź licby ab, takie, że ( aj)( b 3 j) j sprecność Zbiór licb espolonych onacmy, gdie { : iy,, y }.
Jeśli yj, to naywamy cęścią recywistą, a y cęścią urojoną, wprowadamy funkcje: Re( ),Im( ) y. Prykłady 7 1 j, to Re( ) 7, Im( ) 1, 3 j, to Re( ) 0, Im( ) 3, 11, to Re( ) 11, Im( ) 0. Płascyna espolona Niech yj wtedy otrymamy punkt na płascyźnie o współrędnych P(, y ) lub wektor r [, y] taką płascynę naywamy płascyną espoloną, oś O naywamy osią recywistą, Oy osią urojoną Rys 10 Def. Modułem licby espolonej j y (, y ) naywamy licbę recywistą określoną worem: def. y (Re ) (Im ) jy 1 1-0 3
Def. Argumentem licby espolonej jy (, y ) naywamy każdą licbę taką (to jest spełniającą układ równań), że: cos, y sin, gdie 0. Argumentem głównym arg licby espolonej naywamy argument tej licby taki, że 0 (casami ). jy ᵠ = arg Zbiór arg wsystkich argumentów licby espolonej naywamy argumentem pełnym: arg : arg k : k, gdie jest biorem licb całkowitych. Pryjmujemy, e argumentem głównym licby espolonej 0 dla 0. jest 0 ( Arg 0 0) ora arg Długość wektora r naywamy modułem licby espolonej i onacamy, cyli dla yj mamy y. Prykład 5 5, 7 j 7, 5 j ( 5) ( 1) 5 1 6. 4
Własności modułu 1) ) 1 1 3) 1 1, o ile 4) 1 1 5) 0 6) Re, Im Prykład. Narysować biór licb espolonych takich, że j 3 Row. j 3 jy j 3 ( y1) 3 ( y1) 3 Uwaga Równanie 0 R predstawia na płascyźnie espolonej okrąg o środku w punkcie 0 i promieniu R. 5
Postać trygonometrycna licby espolonej. cos (*) sin y stąd cos, y sin. Zatem jy cos j sin. (cos j sin ), - postać trygonometrycna licby espolonej Argumentem licby espolonej jy naywamy każdą licbę, spełniającą równanie (*), onacamy arg cyli arg k, k. Argumentem głównym licby naywamy Arg spełniający warunek 0. Prykład Wynacyć argument główny licy a) 3 1 j, b) 3 3 j.. 6
Row a) 3 1 3 1 1 4 4 3 3 cos 1, Arg, 1 (cos jsin ) cos jsin. 1 6 6 6 6 6 6 1 sin 1 b) 3 3 9 9 18 9 9 3 0 3 1 6 4 3 cos I II III IV 3 1 3 sin 0 1 sin 3 1 sin cos 3 3 1 cos 1 0 3 3 =, ćw. II,Arg, 4 4 4 4 3 3 3 (cos jsin ). 4 4 Fakt Każdą licbę espoloną można predstawić równoceśnie w postaci: a) algebraicnej jy, b) trygonometrycnej (cos j sin ), c) wykładnicej j k e, gdie e cos j sin. Fakt (cos j sin ), (cos j sin ). Wtedy Niech 1 1 1 1 (cos( ) j sin( )) 1. 1 1 1 1. 1 1 (cos( 1 ) j sin( 1 )). 7
Fakt Niech (cos j sin ), ora n. Wtedy Prykład Oblic: a), b) 3 3 30 n n cos n j sin n. 3 1 j j 1 Row. a) 30 30 3 1 j cos j sin cos 30 j sin 30 cos 5 j sin 5 6 6 6 6 cos( ) sin( ) cos sin 1 j j b) 0 0 3 3 0 3 3 3 3i 3 (cos i sin ) 3 cos 0 j sin 0 4 4 4 4 0 8 3 cos15 j sin15 3 0 cos 7 j sin 7 9 cos j sin 18 10 10 10 8