Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem wielomianów, oraz mnożeniem wielomianu przez liczbę. V = C, z działaniami: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, r (a + bi) = ra + rbi. V = C[R], zbiór funkcji ciągłych ze zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiate, oraz dla f, g C[R] oraz r, x R niech (f + g)(x) = f(x) + g(x), (r f)(x) = r(f(x)) V = C 1 [R], zbiór funkcji ciągłych, różniczkowalnych ze zbioru liczb rzeczywistych w liczby rzeczywiate, oraz dla f, g C[R] oraz r, x R niech (f + g)(x) = f(x) + g(x), (r f)(x) = r(f(x)) V = Z[X] zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach całkowitych, wraz ze standardowym dodawaniem wielomianów, oraz mnożeniem wielomianu przez liczbę. Zadanie 2 Czy zbiór A jest podprzestrzenią przestrzeni V : A = {(x, y, z) R 3 : x = z}, V = R 3 A = {(x, y, z) R 3 : x + 2y + z = 0}, V = R 3 A = {(x, y, z) R 3 : x > 0}, V = R 3 A = C 1 [R], V = C[R] A = R 7 [X], V = R[X] Zadanie 3 Czy wektor (2, 3, 6) jest kombinacją liniową wektorów (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)? Czy wektor (5, 3, 1) jest kombinacją liniową wektorów (1, 2, 1), (3, 1, 4), (2, 7, 1)? Czy wielomian 5x 2 +3x 1 jest kombinacją liniową wielomianów 1x 2 +2x+1, 3x 2 +1x+4, 2x 2 + 7x + 1? Zadanie 4 Sprawdź liniową niezależność wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) (2, 2, 3, 3), (2, 2, 4, 4), (3, 3, 5, 5) 1, x, x 3, x 2 sin 2 (x), cos 2 (x), I(x), gdzie xi(x) = 1 Zadanie 5 Uzasadnij, że wektory (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) tworzą bazę przestrzeni R 3 Zadanie 6 Podaj bazę przestrzeni R 7 [X] wielomianów stopnia nie większego niż 7 o współczynnikach rzeczywistych. 1
Zadanie 7 1. Czy przestrzeń liniowa R[X] może mieć skończoną bazę? 2. Czy przestrzeń liniowa funkcji ciągłych może mieć skończoną bazę? Zadanie 8 Czy podane funkcje f : R n R m są funkcjami liniowymi: f((x, y)) = (2x + 3y, 4x + y) f((x, y, x)) = (x, y) f((x, y, x)) = (xyz) f((x, y, x)) = (x 2 + y 2 + z 2 ) Zadanie 9 Podaj macierz funkcji liniowej w bazach standardowych: f((x, y)) = (2x + 3y, 4x + y) f((x, y, x)) = (x, y) f((x, y, x)) = (2x + 4y + z, x + y + z, z) Zadanie 10 Czy operacja brania pochodnej jest funkcją liniową z przestrzeni C 1 [R] w nią samą? Współrzędne wektora w bazie, macierz zmiany bazy. Zadanie 11 Zadanie 12 Niech B baza przestrzeni liniowej V. Wyjaćnij czym jest wektor współrzęsnych wektora v V w bazie B. Zadanie 13 Pokaż, że zbiór wielomianów x 2 + 2x + 1, x + 1, 3 jest bazą przestrzeni liniowej wielomianów stopnia nie większego niż 2, R 2 [X]. Podaj wspórzędne wielomianów x 2, x, 2x 2 + 5x + 3 w bazie z poprzedniego punktu. Zadanie 14 Podaj macierz przejścia z bazy: {(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} do bazy standardowej: {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 Zadanie 15 R 3. Pokaż, że zbiór wektorów {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} jest bazą przestrzeni liniowej Podaj macierz przejścia z bazy: {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} do bazy syandardowej. Zadanie 16 Niech B, B, B bazy przestrzeni liniowej V, P macierz przejścia z bazy B do B, Q macierz przejścia z bazy B do B. Czym są macierze P 1, P Q Zadanie 17 Niech B, B bazy przestrzeni liniowej V, P macierz przejścia z bazy B do B, f : V V funkcja liniowa oraz A macierz funkcji f w bazie B. Uzasadnij, P 1 AP jest macierzą funkcji w f w bazie B Zadanie 18 Podaj macierz funkcji f(x, y, z) = (2x + 3y + 4z, x y + z, x + 3y z) Podaj macierz funkcji f w bazie {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 7)} Jądro, obraz funkcji liniowej. Zadanie 19 Podaj definicję jądra i obrazu funkcji liniowej. 2
Czy zbiór {(x, y, z) R 3 : x 0, y 2} może być jądrem pewnej funkcji liniowej f : R 3 R 3? Czy obraz i jądro są podprzestrzeniami liniowymi? Zadanie 20 Wyznacz jądro i obraz funkcji liniowej: f(x, y, z) = (x, y) : R 3 R 3 f(x, y, z) = (x + y, y + z, x + 2y + z) : R 3 R 3 : R 2 [X] R 2 [X] (funkcja brania drugiej pochodnej na wielomianach stopnia nie większego niż 2) Zadanie 21 Niech f : V W funkcja liniowa. Wyjaśnij wzór: dimim(f) + dimker(f) = dim(v ). Zadanie 22 Wyznacz wymiar jądra funkcji liniowej g(x, y, z) = (x, y), f(x, y, z, t) = 2x 5y + 7z t Przypomnij czym jest funkcja różnowartościowa i co to znaczy że funkcja jest bi- Zadanie 23 jekcją. czy funkcja f(x) = x 2 : R R jest różnowartościowa, czy jest bijekcją. podaj przykład nieróżnowartościowej funkcji z f : R R, której obraz jest całym zbiorem liczb rzeczywistych. Zadanie 24 Udowodnij, że funkcja liniowa f : V W jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dimker(f) = 0. Udowodnij, że funkcja liniowa f : V W jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy dimker(f) = 0 i dimim(f) = dim(w ). Wartości własne, wektory własne. Zadanie 25 Podaj wektory własne i wartości własne macierzy: 3 0 0 0 5 0 0 0 7 Podaj macierz wymiaru 3 3 o wartościach własnych 4, 6, 8 Zadanie 26 Wyznacz wektory własne i wartości własne macierzy: [ 1 2 3 2 ] 7 0 0 0 1 2 0 3 2 Zadanie 27 Podaj macierz obrotu o kąt α 0, sprawdź czy posiada wartości własne. 3
Zadanie 28 Niech λ wartość własna macierzy A. Co wiemy o watrościach własnych macierzy: A 2, A 3, A 1, A Id, A 3Id? Zadanie 29 Wektor v jest wektorem własnym zarówno macierzy A i macierzy B. Uzasadnij, że macierze A + B, A B, 3A 2B posiadają wektory własne. Zadanie 30 Przeprowadź diagonalizację macierzy: [ ] 1 4 3 2 oblicz [ 1 4 3 2 Zadanie 31 Podaj macierz A funkcji liniowej f(x, y) = (y, 3x + 2y) przeprowadź diagonalizację macierzy A zauważając, że f n (x, y) = A n (x, y), wyprowadź wzór na f n (1, 1) wyprowadź wzór na n-ty wyraz ciągu a n zdefiniowanego rekurencyjnie: { ] 10 a 1 = a 2 = 1 a n+2 = 3a n + 2a n+1, n 1 (wsk: wypisz f n (1, 1) oraz a n dla n = 1, 2, 3, 4, 5, zauważ podobieństwo.) Przestrzenie Euklidesowe. Zadanie 32 Uzasadnij podane własności standardowego iloczynu skalarnego w R 3. Niech v, w R 3, kl R: v w = w v kv lw = kl(v w) v w = 0 gdy wektory v, w są prostopadłe. Zadanie 33 Wyznacz rzut wektora (7, 2, 5) na wektor (2, 1, 5) w przestrzeni euklidesowej R 3 ze standardowym iloczynem skalarnym. Wyraź rzut wektora v na wektor w za pomocą iloczynu skalarnego. Zadanie 34 Oblicz kąt między wektorami (3, 7, 1), (5, 2, 3) względem standardowego iloczynu skalarnego. Zadanie 35 Niech e 1, e 2, e 3 baza standardowa przestrzeni R 3. Uzasadnij, że dla dowolnego wektora v R 3 zachodzi: v = Σ 3 i=1(v e i )e i 4
Zadanie 36 Niech B = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), 1 6 ( 1, 1, 2)}. Wyznacz współrzędne wektorów (3, 7, 1), (5, 2, 3) w bazie B. Zadanie 37 Wyaź iloczyn skalarny 7v + 3w 5v 2w za pomacą v w, v v, w w. Zadanie 38 Przypomnij definicję funkcji dwuliniowej Przypomnij czym jest macierz formy dwuliniowej Podaj przykład funkcji dwuliniowej i jej macierzy Zadanie 39 Podaj macierze funkcji dwuliniowych. f((x 1, y 1, z 1 )(x 2, y 2, z 2 )) = x 1 z 2 + y 1 y 2 + z 1 x 2 1. 2. f((x 1, y 1, z 1 )(x 2, y 2, z 2 )) = x 1 x 2 + y1 y 2 + z 1 z 2 + x 1 y 2 Zadanie 40 Podaj wzór funkcji dwuliniowej zadanej przez macierz: 2 3 0 1 2 1 2 3 2 Zadanie 41 Przypomnij definicję iloczynu skalarnego i przestrzeni euklidesowej. Wyraź odległość w przestrzeni euklidesowej za pomocą iloczynu skalarnego. Wyraź kąt między wektorami v, w za pomocą iloczynu skalarnego. Zadanie 42 Pokaż, że w dowolnej przestrzeni euklidesowej V wektor v v jest równoległy do wektora v i ma długość 1. Zadanie 43 Które z poniższych wyrażeń definiują iloczyn skalarny w przestrzeni R 2 1. f((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = 3x 1 y 1 x 2 y 2 2. g((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 2 1 + x 2 2 3. h((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 3x 2 y 2 4. i((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = x 1 y 1 + 2x 1 y 2 + 2x 2 y 1 + x 2 y 2 5. j((x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = 3x 1 y 1 + 4x 2 y 2 Zadanie 44 Wyznacz macierze funkcji dwuliniowych z poprzedniego zadania. Zadanie 45 Udowodnij, że macierz iloczynu skalarnego jest symetryczna i dodatnio określona. Zadanie 46 1. Podaj definicję przestrzeni metrycznej 2. Udowodnij, że odległość w przestrzeni euklidesowej zadana przez iloczyn skalarny jest metryką. Zadanie 47 Pokaż, że jeśli wektory x, y są prostopadłe to x + y 2 = x 2 + y 2. 5
Zadanie 48 Oblicz odległość punktów (1, 2), (7, 8) względem iloczynów skalarnych z poprzedniego zadania. Podaj przykłady wektorów prostopadłych względem tych iloczynów. Zadanie 49 Czy wektory (1, 2), (2, 1) są prostopadłe względem rozważanych iloczynów skalarnych. Zadanie 50 Wyznacz rzut wektora (1, 2, 3) na podprzestrzeń generowaną przez wektory: (1, 3, 4), (1, 1, 1) względem standardowego iloczynu skalarnego. (1, 2, 1), (3, 2, 1) względem iloczynu z zadania poprzedniego. Zadanie 51 Na C[a, b], przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku [a, b] w liczby rzeczywiste zadana jest funkcja f(x) g(x) = b a f(x)g(x)dx. Czy podana funkcja jest iloczynem skalarnym? Zadanie 52 Oblicz odległość między funkcjami względem iloczynu skalarnego f(x) g(x) = f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), a = 0, b = 2π f(x) = x, g(x) = x 2, a = 0, b = 4 b a f(x)g(x)dx: Zadanie 53 Podaj długości f(x) następujących wektorów: 1, x, x 2, x 3, sin(x), cos(x), e x 2π iloczynu f(x) g(x) = f(x)g(x)dx: 0 względem Zadanie 54 Wyznacz rzut wektora f(x) = x 2 na wektory sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x) Zadanie 55 Pokaż, że zbiór {sin(nx) : n N} {cos(nx) : n N} jest ortogonalny w przestrzeni euklidesowej C[0, 2π] z iloczynem skalarnym określonym w poprzednim zadaniu. Zadanie 56 Przypomnij wzór na rzut wektora na podprzestrzeń generowaną przez zbiór ortonormalny {b 1, b 2,..., b n }. Wyznacz rzut wektora (7, 6, 5, 4) na podprzestrzeń generowaną przez wektory ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ), ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ). Zadanie 57 Oblicz odległość punktów: (0, 0, 0, 0), (1, 2, 3, 4) od podprzestrzeni generowanej przez wektory ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ), ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ).. Zadanie 58 Przypomnij algorytm ortogonalizacji Grama-Schmidta. Zadanie 59 Znajdź bazę ortonormalną względem standardowego iloczynu skalarnego podprzestrzeni generowanej przez wektory: (1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1), (1, 4, 1, 3). (Wykonaj ortogonalizację) Zadanie 60 Znajdź bazę ortonormalną przestrzeni wielomianów stopnie nie większego niż 2 względem iloczynu skalarnego f(x) g(x) = 1 0 f(x)g(x)dx. Zadanie 61 Niech f(x) C[0, 2π]. Podaj wzór na rzut f(x) na podprzestrzeń generowaną przez zbiór {sin(nx), cos(nx) : n < 5}, porównaj z szeregiem Fouriera funkcji f. 6
Zadanie 62 Funkcja f(x) g(x) = π π f(x)g(x)dx jest iloczynem skalarnym na przestrzeni funkcji z odcinka [ π, π] w liczby rzeczywiste o skończenie wielu punktach nieciągłości. Wyznacz kilka pierwszych współczynników szeregu Fouriera funkcji: { 1 x [ π, 0] f(x) = 1 x [0, π] Zadanie 63 Zapisz układ równań w postaci odpowiedniego równania wektorowego w R 3 : 10a + b = 19 20a + b = 31 30a + b = 39 Sprawdź, czy wektor (19, 31, 39) należy do przestrzeni generowanej przez wektory (10, 20, 30), (1, 1, 1)? Wyznacz v 0 wektor przestrzeni (10, 20, 30), (1, 1, 1), który leży najbliżej wektora (19, 31, 39). (v 0 jest rzutem wektora (19, 31, 39) na podprzestrzeń). Wyznacz przybliżone rozwiązanie układu równań przedstawiając wektor v 0 liniową wektorów (10, 20, 30), (1, 1, 1). Podaj interpretację geometryczną układu równań oraz rozwązania. jako kombinację Krzysztof Majcher 7