Matematyczne Metody Chemii I

Zwi ekszenie liczby wysoko wykwalifikowanych absolwentów kierunków ścis lych Uniwersytetu Jagiellońskiego POKL.04.01.02-00-097/09-00 Matematyczne Metody Chemii I Wyk lad dla III roku Chemii UJ Grzegorz Mazur, Marcin Makowski, Lukasz Pi ekoś Projekt wspó lfinansowany przez Unie Europejska w ramach Europejskiego Funduszu Spo lecznego

2 Wyk lad 1 Wst ep

3 Plan zaj eć Wst ep Literatura Powtórzenie wiadomości Liczby zespolone Macierze Permutacje Kwaterniony

4 Wst ep Na kursie omawiane sa podstawy algebry liniowej i teorii reprezentacji ilustrowane przyk ladami zastosowań do zagadnień krystalografii spektroskopii chemii kwantowej chemii organicznej i nieorganicznej To nie jest kurs matematyki waski zakres materia lu pominiete matematycznie interesujace zagadnienia aplikatywne podejście Ale nie jest to kurs spektroskopii czy mechaniki kwantowej tylko matematyczne podstawy interpretacja chemiczna i fizyczna na innych kursach

5 Literatura Materia ly to ilustracja do wyk ladu a nie podr ecznik Literatura: A. Herdegen, Wyk lady z algebry liniowej i geometrii A. Staruszkiewicz, Algebra i geometria A. Kowalska, Zastosowania teorii grup w fizyce F. A. Cotton, Teoria grup. Zastosowania w chemii M. T. Pawlikowski, Wst ep do teoretycznej spektroskopii molekularnej. Teoria grup

6 Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: Definicja Liczby zespolone I z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Powyższy zbiór z wyżej określonymi dzia laniami nazywamy cia lem liczb zespolonych i oznaczamy (C, +, ). Definicja Jeżeli z = (x, y), to liczbe rzeczywista x nazywamy cześci a rzeczywista, zaś liczbe rzeczywista y cześci a urojona liczby zespolonej z i piszemy x = Rz, y = Iz lub x =Rez, y =Imz.

7 Liczby zespolone II Liczby zespolone postaci (x, 0) (o zerowej cz eści urojonej) utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczbe (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy i. Ma ona te w lasność, że i 2 = 1. Latwo sprawdzić, że z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Stad otrzymujemy zapis z = x + iy (postać kanoniczna liczby zespolonej). Definicja Sprz eżeniem liczby zespolonej z = (x, y) nazywamy liczb e z = z := x iy. Modu lem liczby zespolonej nazywamy liczb e z := x 2 + y 2. Zachodzi równość z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2.

8 Liczby zespolone III Definicja Pamietaj ac, że x = z cos ϕ i y = z sin ϕ otrzymujemy postać trygonometryczna liczby zespolonej: z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Potegowanie liczb zespolonych u latwia wzór de Moivre a: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Definicja Pierwiastkiem algebraicznym stopnia n liczby zespolonej z nazywamy zbiór (n-elementowy) postaci: n z := {w C : w n = z}

9 Liczby zespolone IV Zachodzi nastepuj acy wzór Eulera: Stad wynikaja zależności cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ i sin ϕ = eiϕ e iϕ 2i oraz postać wyk ladnicza liczby zespolonej z = z e iϕ W szczególności, dla x = π otrzymujemy najpi ekniejszy wzór matematyki: e iπ + 1 = 0

10 Permutacje I Rozważmy zbiór skończony E := {1,..., n}, n 1 oraz zbiór S n := {σ : E E : σ bijekcja}. Definicja Elementy zbioru S n (czyli bijekcje zbioru skończonego) nazywamy permutacjami. Permutacje zapisujemy symbolem: σ = ( 1... n a 1... a n ), gdzie σ(j) = a j. Zbiór S n z dzia laniem sk ladania (mnożenia) permutacji tworzy grupe (nieprzemienna dla n 3), która oznaczamy (S n, ).

11 Permutacje II Definicja Niech a 1, a 2,..., a k bedzie uk ladem k n liczb. Permutacje ϱ określona wzorem: ϱ(a i ) = a i+1, dla i = 1,..., k 1, ϱ(a k ) = a 1 ϱ(j) = j, dla j / {a 1, a 2,..., a k } nazywamy cyklem k-elementowym i zapisujemy skrótowo ϱ = (a 1,..., a k ). Liczbe k nazywamy d lugościa cyklu ϱ. Cykl dwuelementowy nazywamy transpozycja.

12 Definicja Permutacje III Cykle ϱ 1 = (a 1,..., a k ) i ϱ 2 = (b 1,..., b l ) nazywamy cyklami roz l acznymi, gdy {a 1,..., a k } {b 1,..., b l } =. Twierdzenie Każda permutacja ze zbioru S n jest cyklem lub z lożeniem cykli roz l acznych. Rozk lad permutacji na cykle roz l aczne jest jednoznaczny. Każda permutacja jest iloczynem transpozycji. Rozk lad taki nie musi być jednoznaczny a transpozycje nie musza być roz l aczne. Jeżeli w pewnym rozk ladzie permutacji σ na transpozycje liczba transpozycji jest parzysta, to jest też taka w dowolnym rozk ladzie na transpozycje tej permutacji.

13 Permutacje IV Definicja Permutacje σ S n, w której rozk ladzie wystepuje parzysta (nieparzysta) liczba transpozycji nazywamy permutacja parzysta (nieparzysta). Liczbe sgn (σ) := ( 1) k, gdzie k jest liczba transpozycji w rozk ladzie permutacji σ nazywamy znakiem permutacji σ. Dzieki wcześniejszej uwadze znak permutacji jest dobrze określony (nie zależy od wyboru rozk ladu permutacji σ na transpozycje).

14 Wyk lad 2 Grupy

15 Plan zaj eć Dzia lanie wewn etrzne Definicja grupy

16 Definicja Dzia lanie wewn etrzne Dzia laniem wewn etrznym na zbiorze A nazywamy (dowolne) odwzorowanie f : A A A. Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzia lanie wewn etrzne cz esto określa si e jako dzia lanie. Notacja Przy zapisie dzia lań cz esto używana jest notacja infiksowa. Wtedy a f b := f (a, b). Przy zapisie infiksowym najcz eściej oznacza si e dzia lania symbolami zamiast literami, np. : A A A a b := (a, b).

17 Dzia lanie l aczne Definicja Dzia lanie : A A A jest l aczne jeżeli a, b, c A : ( (a, b), c) = (a, (b, c)) czy też, w notacji infiksowej Przyk lad a, b, c A : (a b) c = a (b c) Sk ladanie odwzorowań jest dzia laniem l acznym Odejmowanie liczb ca lkowitych jest dzia laniem wewnetrznym, ale nie jest dzia laniem l acznym

18 Definicja Dzia lanie f : A A A jest przemienne jeżeli czy też, w notacji infiksowej Przyk lad a, b A : f (a, b) = f (b, a) a, b A : a b = b a Dzia lanie przemienne Mnożenie macierzy kwadratowych nie jest dzia laniem przemiennym Iloczyn wektorowy jest dzia laniem wewn etrznym w R 3, ale nie jest dzia laniem przemiennym Odejmowanie liczb ca lkowitych jest dzia laniem wewn etrznym, ale nie jest dzia laniem przemiennym

19 Element neutralny I Definicja Elementem neutralnym wzgl edem dzia lania : A A A nazywamy e A jeżeli Przyk lad a A : a e = e a = a. 0 jest elementem neutralnym dla dodawania liczb 1 jest elementem neutralnym dla mnożenia liczb macierz jednostkowa jest elementem neutralnym dla mnożenia macierzy kwadratowych odwzorowanie identycznościowe jest elementem neutralnym dla sk ladania odwzorowań

20 Element neutralny II Twierdzenie Jeżeli element neutralny dzia lania istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Za lóżmy, że istnieja dwa różne elementy neutralne e 1, e 2 A dzia lania : A A A. Wtedy e 1 = e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 2

21 Element odwrotny I Definicja Elementem odwrotnym do elementu a A wzgl edem dzia lania : A A A nazywamy b A jeżeli a b = b a = e gdzie e A jest elementem neutralnym. Przyk lad Elementem odwrotnym jest (o ile istnieje) liczba przeciwna dla dodawania liczb liczba odwrotna dla mnożenia liczb macierz odwrotna dla mnożenia macierzy kwadratowych odwzorowanie odwrotne dla sk ladania odwzorowań

22 Twierdzenie Element odwrotny II Jeżeli dzia lanie jest l aczne, to element odwrotny (o ile istnieje) jest wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Niech b 1, b 2 A bed a różnymi elementami odwrotnymi do elementu a A wzgledem dzia lania : A A A. Wtedy b 1 = b 1 e = b 1 (a b 2 ) = (b 1 a) b 2 = e b 2 = b 2 gdzie e jest elementem neutralnym. Notacja W przypadku dzia lań l acznych zwykle oznaczamy element odwrotny do elementu a przez a 1.

23 Grupa Definicja Grupa nazywamy pare uporzadkowan a (G, ) jeżeli 1 : G G G jest dzia laniem l acznym 2 istnieje w G element neutralny wzgledem dzia lania 3 każdy element zbioru G posiada element odwrotny w G Dzia lanie nazywamy dzia laniem grupowym. Definicja Grupe nazywamy przemienna lub abelowa jeżeli dzia lanie grupowe jest przemienne. Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, grup e (G, ) cz esto oznacza si e przez G. Dzia lanie grupowe zwykle nazywa si e iloczynem.

24 Rzad grupy Definicja Rzad grupy G, oznaczany przez G, to moc zbioru G. Ze wzgledu na rzad, grupy dzielimy na skończone nieskończone przeliczalne nieprzeliczalne

25 Generator grupy Definicja Zbiór S G nazywamy zbiorem generujacym grupe (G, ) jeżeli każdy element G da sie przedstawić jako iloczyn elementów zbioru S. Definicja Minimalnym zbiorem generujacym nazywamy element minimalny rodziny zbiorów generujacych.

26 Rzad elementu grupy Definicja Pot eg e elementu grupy definiujemy przez dla n N. Definicja g n = g g... g }{{} n-krotnie Rz edem elementu g grupy skończonej (G, ) nazywamy najmniejsze takie n N, że g n = e.

27 Grupa cykliczna Definicja Grupe nazywamy cykliczna, jeżeli minimalny zbiór generujacy jest jednoelementowy. Taki element nazywamy generatorem grupy. Wniosek Grupa cykliczna jest przemienna. Przyk lad { 1, 1} jest zbiorem generujacym (Z, +) obrót wzgledem osi n-krotnej jest generatorem grupy C n ; grupy te sa grupami cyklicznymi

28 Podgrupa Definicja Grupa (H, ) jest podgrupa grupy (G, ) jeżeli 1 H G 2 dzia lanie jest zaw eżeniem do zbioru H Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, dzia lanie grupowe podgrupy zwykle oznacza si e tym samym symbolem co dzia lanie grupowe grupy. Definicja Podgrupa H grupy G jest podgrupa w laściwa jeżeli H G.

29 W lasności podgrup Każda grupa jest zarazem swoja podgrupa (niew laściwa) Każda grupa zawiera podgrupe jednoelementowa, zawierajac a element neutralny

30 Wyk lad 3 Homomorfizmy

31 Homomorfizm Definicja Niech (G, ) i (H, ) bed a grupami. Odwzorowanie f : G H jest homomorfizmem jeżeli a, b G : f (a b) = f (a) f (b).

32 W lasności homomorfizmów Wniosek Niech homomorfizm h : G H a e G G i e H H oznaczaja elementy neutralne grup G i H. Wtedy h(e G ) = e H. Dowód. g G : h(g) = h(g e G ) = h(g) h(e G ) Wniosek Niech dla homomorfizmu h : G H zachodzi b = h(a). Wtedy h(a 1 ) = b 1. Dowód. h(e G ) = h(a a 1 ) = h(a) h(a 1 ) = b h(a 1 )

33 Warstwa Definicja Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Dla dowolnego a G zbiór ah = {a h : h H} nazywamy warstwa lewostronna elementu a wzgledem podgrupy H. Analogicznie warstwe prawostronna definiujemy przez Ha = {h a : h H}

34 Podzia l grupy na warstwy Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Wprowadźmy relacje L H przynależności do tej samej warstwy lewostronnej a, b G : a L H b h H : a = b h Analogicznie konstruujemy relacje R H dla warst prawostronnych.

35 Lemat L H i R H sa relacjami równoważności. Dowód. 1 Relacja L H jest zwrotna: a = a e Podzia l grupy na warstwy 2 Relacja L H jest symetryczna: jeżeli a = b h to b = a h 1. 3 Relacja L H jest przechodnia: jeżeli a = b h 1 i b = c h 2, to a = c h 2 h 1 i h 2 h 1 H 4 Dowód dla relacji R H jest analogiczny. Wniosek Klasami równoważności relacji L H i R H sa warstwy, odpowiednio lewostronne i prawostronne. Oznacza to, że różne warstwy sa roz l aczne a ich suma jest równa ca lej grupie.

36 Lemat Weźmy grup e (G, ). Dla dowolnych a, b, c G takich, że a e, b c zachodzi a b a c. Dowód. Moc warstw Mnożac a b = a c lewostronnie przez a 1 otrzymujemy b = c. Twierdzenie Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Dla dowolnego a G zachodzi ah = H. Analogiczne twierdzenie zachodzi dla warst prawostronnych. Dowód. Wprost z lematu wynika możliwość skonstruowania bijekcji H ah.

37 Rzad podgrupy Twierdzenie (Lagrange a) Dla grup skończonych rzad podgrupy jest dzielnikiem rzedu grupy. Dowód. Wynika wprost z możliwości podzia lu grupy na warstwy i z faktu, że warstwy skonstruowane z tej samej podgrupy sa równoliczne.

38 Podgrupa niezmiennicza Definicja Niech H bedzi e podgrupa w laściwa grupy (G, ). Jeżeli a G : ah = Ha to H nazywamy podgrupa niezmiennicza. Wniosek Każda podgrupa grupy abelowej jest niezmiennicza.

39 Grupa ilorazowa Niech H bedzi e podgrupa niezmiennicza grupy (G, ). Oznaczmy zbiór warstw generowanych przez podgrupe H jako G/H i wprowadźmy dzia lanie : G/H G/H G/H Ponieważ ah bh = (a b)h 1 jest to dzia lanie l aczne 2 jego elementem neutralnym jest H (czyli warstwa elementu neutralnego) 3 dla każdej warstwy ah istnieje element odwrotny a 1 H (G/H, ) stanowi grupe. Tak skonstruowana grupe nazywamy grupa ilorazowa.

40 Elementy sprz eżone Definicja Elementy a, b G nazywamy sprz eżonymi jeżeli g G : g 1 a g = b Twierdzenie Sprzeżenie jest relacja równoważności. Wniosek Relacja sprz eżenia dzieli grup e na klasy elementów sprz eżonych.

41 Wyk lad 4 Przestrzenie wektorowe

42 Definicja Cia lem nazywamy strukture algebraiczna (K, +,, 0, 1) jeżeli 1 (K, +) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 0; dzia lanie grupowe nazywamy dodawaniem Cia lo 2 (K \ {0}, ) jest grupa przemienna z elementem neutralnym 1; dzia lanie grupowe nazywamy mnożeniem 3 zachodzi rozdzielność mnożenia wzgl edem dodawania + Notacja a, b, c K : (a + b) c = a c + b c Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, cia lo (K, +,, 0, 1) zwykle oznacza si e przez K. Zwykle też pomija si e w zapisie mnożenia symbol dzia lania.

43 Przyk lady Cia lo stanowia (R, +,, 0, 1) (C, +,, 0, 1) (Q, +,, 0, 1) Nie jest cia lem zbiór liczb ca lkowitych z dodawaniem i mnożeniem liczb jako dzia laniami

44 W lasności cia l Twierdzenie Weźmy cia lo (K, +,, 0, 1). Wtedy a K : 0 a = 0 Dowód. 0 a = (0 + 0)a = 0 a + 0 a

45 Dzia lanie zewn etrzne Definicja Dzia laniem zewn etrznym nazywamy dowolne odzworowanie : A B B. Przyk lad Dzia laniem zewnetrznym jest : R C C (mnożenie liczby zespolonej przez liczbe rzeczywista).

46 Przestrzeń wektorowa Definicja Weźmy cia lo (K, +,, 0, 1), grupe przemienna (V, ) i dzia lanie zewnetrzne : K V V. Trójke uporzadkowan a (K, V, ) nazywamy przestrzenia wektorowa nad cia lem K jeżeli 1 α K : u, v V : α (u v) = α u α v 2 α, β K : u V : (α + β) u = α u β u 3 α, β K : u V : α (β u) = (α β) u 4 u V : 1 u = u

47 Liniowa niezależność Definicja Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Uk lad wektorów v 1,..., v n V nazywamy liniowo niezależnym jeżeli α 1,..., α n K : n α i v i = 0 α 1 = α 2... = α n = 0 i=1

48 Wymiar i baza przestrzeni Definicja Przestrzeń wektorowa jest n-wymiarowa, jeżeli istnieje w niej liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, a każdy n + 1 elementowy uk lad wektorów jest liniowo zależny. Jeżeli dla każdego n istnieje liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Definicja Baza (uporzadkowan a) przestrzeni n-wymiarowej jest dowolny n-elementowy ciag liniowo niezależnych wektorów.

Definicja Macierz zmiany bazy Weźmy bazy (e) i (e ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. e 1 = A 11 e 1 + A 12 e 2 +... + A 1n e n e 2 = A 21 e 1 + A 22 e 2 +... + A 2n e n.. e n = A n1 e 1 + A n2 e 2 +... + A nn e n Tak określona macierz A nazywamy macierza zmiany bazy. Wniosek Macierz zmiany bazy jest nieosobliwa. Wniosek Jeżeli A jest macierza zmiany bazy z (e) do (e ), to macierz zmiany bazy z (e ) do (e) jest macierza odwrotna do A. 49

50 Reprezentacja wektora Twierdzenie Weźmy n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Każdy wektor v V można w sposób jednoznaczny przedstawić jako kombinacje liniowa wektorów bazy. Dowód. Weźmy baze e 1,..., e n. Niech v 0. Ponieważ przestrzeń jest n-wymiarowa, istnieja takie skalary α 1,..., α n nie wszystkie równe zero i β 0, że n i α i e i + βv = 0. Czyli v = β 1 n i α i e i. Wektor zerowy dany jest kombinacja o wspó lczynnikach równych zero. Definicja Ciag z lożony ze wspó lczynników kombinacji liniowej wektorów bazy przedstawiajacej wektor v nazywamy reprezentacja wektora v.

51 W lasności transformacyjne wektorów Weźmy dwie bazy (e) i (e ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Dla każdego wektora v V v = n i=1 v i e i = n v j e j j=1 Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A ij e j. Wtedy ) v = n i=1 v i e i = n i=1 v i n A ij e j = j=1 ( n n v i A ij e j j=1 i=1 }{{} v j czyli sk ladowe wektora transformuja sie przez macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy.

52 Notacja macierzowa Weźmy dwie bazy (e) i (e ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A ij e j. Przedstawmy reprezentacje wektora v V w bazie (e ) w postaci macierzowej v 1 v v = 2. Wtedy postać macierzowa reprezentacji wektora w bazie (e) otrzymujemy v = Av v n

53 Wyk lad 5 Formy liniowe. Przestrzeń dualna

54 Forma liniowa Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Forma liniowa nazywamy przekszta lcenie f : V K liniowe, czyli takie, że 1 α K : v V : f (αv) = αf (v) (jednorodność) 2 u, v V : f (u + v) = f (u) + f (v) (addytywność)

55 Reprezentacja form liniowych Definicja Weźmy forme liniowa f : V K. Niech (e) bedzie baza przestrzeni V. Dla dowolnego wektora v V ( n ) n f (v) = f v i e i = v i f (e i ) }{{} i=1 i=1 f i Ciag (n-elementowy) f i := f (e i ) nazywamy reprezentacja formy liniowej f w bazie (e).

56 W lasności transformacyjne form liniowych Weźmy dwie bazy (e) i (e ) n-wymiarowej przestrzeni V nad cia lem K. Niech A bedzie macierza zmiany bazy: e i = n j=1 A ij e j. Dla dowolnej formy liniowej f : V K n n n = f (e i ) = f A ij e j = A ij f (e j ) = A ij f j f i j=1 czyli sk ladowe formy liniowej transformuja sie przez macierz zmiany bazy. j=1 j=1

57 Wariantność Definicje Notacja Obiekty transformujace sie zgodnie z wektorami bazy określamy jako kowariantne (np. formy liniowe) Obiekty transformujace sie przez macierz odwrotna do macierzy zmiany bazy określamy jako kontrawariantne (np. wektory) Ściślej, jeżeli reprezentacja obiektu jest wieloindeksowa, poj ecie wariantności odnosi si e do poszczególnych indeksów. Sk ladowe reprezentacji obiektów kowariantnych zwykle oznacza si e indeksem dolnym, a kontrawariantnych górnym. Czyli sk ladowe wektora v oznaczamy przez v i a formy liniowej f przez f i.

58 Konwencja sumacyjna W konwencji sumacyjnej Einsteina opuszcza sie znak sumy jeżeli sumowanie przebiega po parze sasiaduj acych ze soba indeksów kowariantnego i kontrawariantnego. Na przyk lad wynik dzia lania forma liniowa f na wektor v f (v) = n f i v i i=1 zapiszemy jako f (v) = f i v i

59 Notacja macierzowa Weźmy baze (e) w n-wymiarowej przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Z postaci wyrażenia opisujacego dzia lanie formy liniowej f : V K na wektor v f (v) = f i v i i faktu, że v jest macierza kolumnowa widać, że reprezentacja formy liniowej f musi być macierza wierszowa f = (f 1, f 2,..., f n) Wtedy f (v) = fv

60 Grupa form liniowych Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Zdefiniujmy dodawanie form liniowych przez (f + g)(v) := f (v) + g(v) gdzie v V a f, g sa formami liniowymi V K. Od razu widać, że Tak zdefiniowane dodawanie jest dzia laniem wewnetrznym, l acznym i przemiennym Elementem neutralnym jest f (v) = 0 Dla każdej formy liniowej f istnieje element odwrotny f 1 = f Wniosek Zbiór wszystkich form liniowych f : V K, oznaczany przez V, z dodawaniem zdefiniowanym powyżej stanowi grupe przemienna.

61 Przestrzeń dualna Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Wprowadźmy naturalne mnożenie formy liniowej f : V K przez skalar α K (αf )(v) := αf (v) dla każdego v V. Od razu widać, że V stanowi przestrzeń liniowa nad cia lem K. Definicja Przestrzeń V nad cia lem K nazywamy przestrzenia dualna (sprzeżon a) do przestrzeni V. Definicja Niech (e i ) bedzie baza przestrzeni V. Ciag form liniowych (f j ) takich, że f j (e i ) = δ ij nazywamy baza dualna.

62 Wyk lad 6 Operatory liniowe

63 Operator liniowy Definicja Weźmy przestrzeń liniowa V nad cia lem K. Operatorem liniowym nazywamy odwzorowanie L : V V liniowe, czyli takie, że 1 α K : v V : L(αv) = αl(v) (jednorodność) 2 u, v V : L(u + v) = L(u) + L(v) (addytywność) Notacja Zapisujac dzia lanie operatora liniowego na wektor zwykle pomija sie nawiasy Lv L(v)

64 Reprezentacja operatora liniowego Weźmy n-wymiarowa przestrzeń wektorowa V i baze e w tej przestrzeni. Rozpatrujac i-ta sk ladowa wyniku dzia lania operatora L : V V na dowolny wektor v V n n n (Lv) i = L v j e j = v j Le j = v j (Le j ) }{{} i j=1 i j=1 i j=1 L ij stwierdzamy, że reprezentacja operatora liniowego L jest macierz otrzymana przez dzia lanie L na wektory bazy.

W lasności transformacyjne operatorów liniowych 65

Grupa liniowa 66

67 Wyk lad 7 Zagadnienie w lasne

Zagadnienie w lasne 68

69 Wyk lad 8 Reprezentacja grupy

70 Poj ecie reprezentacji Definicja Reprezentacja grupy G nazywamy w ogólności homomorfizm ρ : G GL(V ) gdzie V jest n-wymiarowa przestrzenia wektorowa, a GL grupa odwracalnych przekszta lceń liniowych T : V V Wprowadzenie bazy przestrzeni V pozwala na utożsamienie reprezentacji z homomorfizmem w grup e odwracalnych macierzy stopnia n.

71 Zaw eżenie zainteresowań Na potrzeby tego wyk ladu ograniczymy si e do: skończonych grup operatorów symetrii reprezentacji unitarnych

Konstrukcja postaci macierzowej reprezentacji w przestrzeni wektorowej V wprowadźmy pewna baze z lożona z wektorów e 1, e 2,..., e N zdefiniujmy dzia lanie grupy dla operatorów z grupy G takie, że: wynikiem dzia lania dowolnego operatora na dowolny wektor bazy jest pewien wektor z przestrzeni V Re i = struktura grupy jest zachowana N e j D ji (R) j=1 SR = U D(S)D(R) = D(U) Macierz D(R) bedziemy traktować jako reprezentanta macierzowego operatora R w danej bazie, zbiór takich macierzy wyznaczonych dla wszystkich operatorów grupy G bedziemy nazywać reprezentacja macierzowa grupy G. 72

73 Reprezentacje macierzowe - przyk lad grupa: C 4 baza: kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej dzia lanie grupowe: przekszta lcenia geometryczne 1 0 0 0 1 0 E 0 1 0 C 4 1 0 0 0 0 1 0 0 1 C 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C 3 4 0 1 0 1 0 0 0 0 1

74 Reprezentacje równoważne Zmiana bazy przestrzeni V prowadzi do zmiany postaci macierzowej reprezentacji. Odpowiednie reprezentacje macierzowe bedziemy nazywać reprezentacjami równoważnymi. Zwiazek miedzy macierzami reprezentacji równoważnych jest zadany przez macierz zmiany bazy. Twierdzenie Jeśli dwie bazy przestrzeni wektorowej sa zwiazane nastepuj ac a zależnościa (e 1, e 2,... e N) = (e 1, e 2,... e N)C to odpowiednie reprezentanty macierzowe D (R) i D(R) spe lniaja zwiazek D (R) = C 1 D(R)C

75 Przywiedlność reprezentacji Definicja Niech G bedzie dzia laniem grupy G określonym na przestrzeni V. Niech W bedzie zbiorem wszystkich podprzestrzeni przestrzeni V zamknietych ze wzgledu na G. Jeśli W zawiera tylko dwa elementy: podprzestrzeń zerowa i ca l a przestrzeń V, to reprezentacje zadana przez G nazywamy reprezentacja nieprzywiedlna. W każdym innym przypadku, reprezentacja ta jest reprezentacja przywiedlna. Twierdzenie Każda reprezentacje grupy skończonej można roz lożyć na sume prosta reprezentacji nieprzywiedlnych.

76 Przywiedlność w obrazie macierzowym Rozk lad reprezentacji na reprezentacje nieprzywiedlne można utożsamić z podzia lem przestrzeni V na podprzestrzenie. Wprowadzenie bazy przestrzeni umożliwia prze lożenie tej operacji na j ezyk macierzy: reprezentacja macierzowa wymiaru 1 jest nieprzywiedlna każda grupa posiada trywialna reprezentacje nieprzywiedlna z lożona z macierzy jednostkowych wymiaru 1 reprezentacja macierzowa o wymiarze wiekszym od 1 jest przywiedlna, jeżeli istnieje reprezentacja równoważna, w której wszystkie reprezentanty macierzowe sa blokowo-diagonalne i maja identyczna strukture blokowa macierze utworzone z odpowiednich diagonalnych bloków reprezentantów macierzowych tworza reprezentacje

77 Rozk lad reprezentacji I grupa C 4 oryginalna baza: baza kanoniczna przestrzeni kartezjańskiej Reprezentacja Γ E C 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C 4 C 3 4 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1

78 Rozk lad reprezentacji II Macierz zmiany bazy 1 2 i 2 0 i 2 2 1 0 0 0 1 Reprezentacja równoważna E C 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 C 4 C 3 4 i 0 0 0 i 0 0 0 1 i 0 0 0 i 0 0 0 1

79 Rozk lad reprezentacji III Γ = Γ 1 Γ 2 Γ 3 E C 4 C 2 4 C 3 4 Γ 1 (1) (-i) (-1) (i) Γ 2 (1) (i) (-1) (-i) Γ 3 (1) (1) (1) (1)

80 Wyk lad 9 Twierdzenia o ortogonalności

81 I lemat Schura Twierdzenie Jeśli D (µ) (R) i D (ν) (R) sa macierzami różnych reprezentacji nieprzywiedlnych oraz dla pewnej macierzy A zwiazek AD (µ) (R) = D (ν) (R)A jest spe lniony dla każdego operatora R w grupie, to A = 0

82 II lemat Schura Twierdzenie Jeśli D (µ) (R) jest macierza reprezentacji nieprzywiedlnej oraz dla pewnej macierzy A zwiazek AD (µ) (R) = D (ν) (R)A jest spe lniony dla każdego operatora R w grupie, to A = λ1, gdzie λ jest liczba rzeczywista

83 Wielkie twierdzenie o ortogonalności Twierdzenie Jeśli Γ µ i Γ ν sa reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G skończonego rzedu g o wymiarach odpowiednio n µ i n ν, to reprezentanty macierzowe spe lniaj a zwiazek R G D (µ) il (R) D (ν) jm (R) = g δ il δ jm δ µν n µ

84 Charaktery Definicja Charakterem operatora R w µ-tej reprezentacji nazywamy ślad reprezentanta macierzowego operatora R w tej reprezentacji χ (µ) (R) = n µ i=1 D (µ) ii (R)

85 Ma le twierdzenie o ortogonalności I Twierdzenie Jeśli Γ µ i Γ ν sa reprezentacjami nieprzywiedlnymi grupy G skończonego rzedu g, to χ (µ) (R) χ (ν) (R) = gδ µν R G

86 Ma le twierdzenie o ortogonalności II Dowód. Na mocy wielkiego twierdzenia o ortogonalności R G ( nµ ) D (µ) ii (R) R G i=1 Stad i z definicji charakteru D (µ) ii (R) D (ν) jj (R) = g δ n ijδ 2 µν µ n ν j=1 D (ν) jj χ (µ) (R) χ (ν) (R) = g R G (R) = g n µ n µ i=1 1 n µ n ν j=1 δ 2 ijδ µν. n µ n µ δ 2 ij δ µν = g i=1 j=1

87 Pożyteczne w laściwości Twierdzenie Suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych grupy jest równa rz edowi tej grupy Twierdzenie Suma kwadratów charakterów dowolnej reprezentacji nieprzywiedlnej jest równa rz edowi tej grupy Twierdzenie Charaktery dowolnej reprezentacji sa równe dla elementów grupy należacych do tej samej klasy Twierdzenie Liczba reprezentacji nieprzywiedlnych danej grupy równa jest liczbie klas wystepuj acych w tej grupie

88 Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych I Grupa D 3 E, 2C 3, 3C 2 ; rzad grupy g = 6, liczba klas: 3 liczba reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa liczbie klas: m = 3 suma kwadratów wymiarów reprezentacji nieprzywiedlnych jest równa rzedowi grupy: rozwiazanie równania n1 2 + n2 2 + n2 3 = 6 daje informacje, że mamy do czynienia z dwiema reprezentacjami jednowymiarowymi i jedna reprezentacja dwuwymiarowa Każda grupa posiada reprezentacje nieprzywiedlna, dla której wszystkie charaktery sa równe jedności (dlaczego?) χ Γ 1 (E) = 1, χ Γ 1 (C 3 ) = 1, χ Γ 1 (C 2 ) = 1

89 Charaktery reprezentacji nieprzywiedlnych II Charaktery dla reprezentacji jednowymiarowych moga być równe jedynie 1 lub -1 (dlaczego?). Ponadto, charakter odpowiadajacy elementowi neutralnemu grupy musi być równy wymiarowi reprezentacji (dlaczego?). Z powyższych i z ma lego twierdzenia o ortogonalności możemy wywnioskować, że: zestaw charakterów dla drugiej z reprezentacji jednowymiarowych ma postać χ Γ 2 (E) = 1, χ Γ 2 (C 3 ) = 1, χ Γ 2 (C 2 ) = 1 zestaw charakterów dla reprezentacji dwuwymiarowej to χ Γ 3 (E) = 2, χ Γ 3 (C 3 ) = 1, χ Γ 3 (C 2 ) = 0

90 Tabele charakterów D 3 E 2C 3 3C 2 A 1 1 1 1 x 2 + y 2, z 2 A 2 1 1-1 z, R z E 2-1 0 (x, y), (R x, R y ) (x 2 y 2, xy), (xz, yz) W kolejnych kolumnach symbol reprezentacji charaktery dla poszczególnych klas operacji symetrii w lasności transformacyjne translacji i obrotów w lasności transformacyjne iloczynów x, y, z

91 Symbolika Mullikena I reprezentacje jednowymiarowe oznacza si e symbolem A lub B, dwuwymiarowe - symbolem E, trójwymiarowe - symbolem T reprezentacje jednowymiarowe, dla których charakter odpowiadajacy obrotowi wzgledem osi g lównej C n wynosi 1 (zwane reprezentacjami symetrycznymi wzgledem tego obrotu) oznacza sie symbolem A, reprezentacje dla których χ(c n ) = 1 (reprezentacje antysymetryczne) - symbolem B Indeksy dolne 1 i 2 dopisane do symbolu A lub B oznaczaja odpowiednio symetrie i antysymetrie reprezentacji wzgledem obrotu wokó l osi C 2 prostopad lej do osi g lównej lub, jeśli taka oś nie istnieje, symetrie(antysymetri e) dla odbicia wzgledem σ v

92 Symbolika Mullikena II Znaki i dodaje si e dla zaznaczenia odpowiednio symetrii i antysymetrii wzgl edem odbicia w p laszczyźnie σ h Indeksy dolne g i u stosuje si e dla zaznaczenia odpowiednio symetrii i antysymetrii wzgl edem operacji inwersji Na nasze potrzeby możemy przyjać, że stosowanie indeksów liczbowych dla reprezentacji wielowymiarowych jest dowolne i s luży jedynie ich odróżnieniu od siebie w razie konieczności

93 W lasności transformacyjne translacji I grupa D 3 baza dla reprezentacji - trójka wersorów w przestrzeni kartezjańskiej wybieram do rozważań obrót wzgledem osi C 2 pokrywajacej sie z osia OY E C 3 C 2 cos 2π 3 sin 2π 3 0 sin 2π 3 cos 2π 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

94 W lasności transformacyjne translacji II blokowa struktura macierzy reprezentacji pozwala na rozk lad ( E ) ( C 3 ) ( C 2 ) 1 0 cos 2π Γ 3 sin 2π 3 1 0 x,y 0 1 sin 2π 3 cos 2π 3 0 1 ( ) ( ) ( ) Γ z 1 1 1 charaktery reprezentacji Γ x,y odpowiadaja reprezentacji nieprzywiedlnej E para wersorów w kierunkach x, y stanowi baze reprezentacji E wspó lrz edne x, y transformuja sie zgodnie z reprezentacja E wspó lrz edna z transformuje sie zgodnie z reprezentacja A 2

95 Wyk lad 10 Operatory rzutowe

96 Twierdzenie o rozk ladzie I Twierdzenie Jeżeli reprezentacje Γ przedstawimy w postaci sumy prostej reprezentacji nieprzywiedlnych,. to reprezentacja Γ (ν) pojawi sie w takim rozk ladzie reprezentacji a ν razy, gdzie a ν jest zadane nastepuj aco a ν = 1 χ (ν) (R) χ(r) g R G

97 Twierdzenie o rozk ladzie II Dowód. Jeżeli reprezentacje Γ jest suma prosta reprezentacji Γ (µ) a a µ sa odpowiednimi liczbami wystapień, to spe lniona jest nastepuj aca zależność: χ(r) = a µ χ (µ) (R). µ Mnożac obustronnie przez χ (ν) (R) i sumujac po wszystkich elementach grupy otrzymujemy χ (ν) (R) χ(r) = a µ χ (ν) (R) χ (µ) (R) = gδ µν = a ν g R G µ R G

98 Operatory rzutowe I Niech ψ = µ n µ i=1 ψ (µ) i gdzie ψ jest dowolna funkcja (wektorem) z przestrzeni V, a ψ (µ) i funkcja (wektorem) transformujacym sie zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji nieprzywiedlnej Γ µ. Jak wyznaczyć poszczególne ψ (µ) i? Twierdzenie gdzie ψ (µ) P (µ) i = n µ g i = P (µ) i ψ R D (µ) ii (R) R

99 Operatory rzutowe II Rozważmy sume n µ funkcji transformujacych sie zgodnie z kolejnymi wierszami reprezentacji Γ µ ψ (µ) = n µ i=1 ψ (µ) i Twierdzenie ψ (µ) = P (µ) ψ gdzie P (µ) = n µ g χ (µ) (R) R R

100 Operatory rzutowe III pos lugiwanie sie operatorami P (µ) jest wygodniejsze niż operatorami P (µ) i w przypadku reprezentacji jednowymiarowych oba zestawy operatorów sa identyczne dla n µ > 1 operatory P (µ) gubia cześć informacji

101 W lasności operatorów rzutowych Operatory P sa idempotentne i ortogonalne P (µ) i P (ν) j = P (µ) i δ ij δ µν Suma wszystkich operatorów P jest operatorem identycznościowym ψ = µ n µ i=1 P (µ) i ψ

102 Struktura π-elektronowa etylenu I grupa: D 2h baza: walencyjne orbitale p z atomów w egla konwencja: oś x skierowana wzd luż wiazania podwójnego Reprezentacja Γ ( ) 1 0 E 0 1 C z 2 ( 0 1 1 0 ) C y 2 ( 0 1 1 0 ( ) ( ) ( C2 x 1 0 0 1 i σ xy 1 0 0 1 1 0 0 1 ( ) ( ) σ xz 1 0 σ yz 0 1 0 1 1 0 ) )

103 Struktura π-elektronowa etylenu II Rozk lad reprezentacji Γ na reprezentacje nieprzywiedlne E C z 2 C y 2 C x 2 i σ xy σ xz σ yz A g 1 1 1-1 1 1 1 1 B 1g 1 1-1 -1 1 1-1 -1 B 2g 1-1 1-1 1-1 1-1 B 3g 1-1 -1 1 1-1 -1 1 A u 1 1 1 1-1 -1-1 -1 B 1u 1 1-1 -1-1 -1 1 1 B 2u 1-1 1-1 -1 1-1 1 B 3u 1-1 -1 1-1 1 1-1 Γ 2 0 0-2 0-2 2 0 Γ = B 2g B 1u

104 Struktura π-elektronowa etylenu III Operatory rzutowe P B 2g = 1 8 ( E C z 2 + C y 2 C x 2 + i σ xy + σ xz σ yz) P B 1u = 1 8 ( E + C z 2 C y 2 C x 2 i σ xy + σ xz + σ yz)

105 Struktura π-elektronowa etylenu IV Rezultat dzia lania operatorów rzutowych P B 2g p z1 = 1 2 (p z 1 p z2 ) P B 2g p z2 = 1 2 (p z 2 p z1 ) P B 1u p z1 = 1 2 (p z 1 + p z2 ) P B 1u p z2 = 1 2 (p z 1 + p z2 )

106 Baza orbitali symetrii Struktura π-elektronowa etylenu V φ 1 = 1 2 (p z1 p z2 ) φ 2 = 1 2 (p z1 + p z2 ) Reprezentacja w bazie orbitali symetrii ( ) ( 1 0 E C z 1 0 2 0 1 0 1 ) C y 2 ( 1 0 0 1 ( ) ( ) ( C2 x 1 0 1 0 i σ xy 1 0 0 1 0 1 0 1 ( ) ( ) σ xz 1 0 σ yz 1 0 0 1 0 1 ) )

107 Wyk lad 11 Iloczyn prosty reprezentacji. Regu ly wyboru.

108 Iloczyn prosty reprezentacji Definicja Niech zestawy funkcji {(ψ (µ) } i {(ψ (ν) } bed a bazami odpowiednio reprezentacji Γ µ i Γ ν Rψ (µ) i = Rψ (ν) j = n µ ψ (µ) k D (µ) ki (R) k=1 n ν l=1 ψ (ν) l D (ν) lj (R) Przez iloczyn prosty reprezentacji Γ µ ν = Γ µ Γ ν bedziemy rozumieć reprezentacje, dla której baza zbiór iloczynów ψ (µ) i ψ (ν) j

109 Reprezentacja macierzowa iloczynu prostego Wynik dzia lania operatora R na element zbioru ψ (µ) i ψ (ν) j ma postać R(ψ (µ) i ψ (ν) j ) = n µ n ν k=1 l=1 ψ (µ) k ψ (ν) l D (µ) ki (R)D (ν) (R) lj Stad D (µ ν) kl,ij (R) = D (µ) ki (R)D (ν) lj (R)

110 Charaktery reprezentacji iloczynowej Twierdzenie Dowód. χ (µ ν) (R) = χ (µ ν) (R) = χ (µ) (R)χ (ν) (R) χ (µ ν) (R) = n µ n ν i=1 j=1 D (µ) ij n µ n ν i=1 j=1 D (µ ν) ij,ij (R) (R)D (ν) (R) = χ (µ) (R)χ (ν) (R) ij

111 Rozk lad reprezentacji iloczynowej Z twierdzenia o rozk ladzie: D 3 E 2C 3 3C 2 A 1 1 1 1 A 2 1 1-1 E 2-1 0 E A 2 2-1 0 E E 4 1 0 E A 2 = E E A 2 = A 1 A 2 E

112 W laściwości iloczynu prostego Twierdzenie Reprezentacja Γ σ zawiera si e w iloczynie Γ µ Γ ν tyle razy, ile razy reprezentacja Γ µ zawiera si e w iloczynie Γ ν Γ σ i tyle razy, ile razy reprezentacja Γ ν zawiera si e w iloczynie Γ µ Γ σ Twierdzenie Iloczyn prosty reprezentacji nieprzywiedlnych Γ µ i Γ ν zawiera reprezentacje pe lnosymetryczna 0 lub 1 razy. Drugi z wymienionych przypadków zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy µ = ν.

113 Ca lki I Twierdzenie Jeśli funkcja ψ (µ) i o argumentach x 1, x 2,... x N transformuje sie zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γ µ, to ca lka... ψ (µ) i dx 1, dx 2,... dx N jest równa zeru lub Γ µ jest reprezentacja pe lnosymetryczna

114 Ca lki II Twierdzenie Jeśli funkcje ψ (µ) i i ψ (ν) j o argumentach x 1, x 2,... x N transformuja sie odpowiednio zgodnie z i-tym wierszem reprezentacji Γ µ i j-tym wierszem reprezentacji Γ ν, to... ψ (µ) i φ (ν) j dx 1, dx 2,... dx N = aδ ij δ µν gdzie a jest pewna liczba.

115 Regu ly wyboru Kiedy ca lka... ψ 1 Ôψ 2 dx 1, dx 2,... dx N może być różna od zera? Twierdzenie Jeśli jeden ze stanów, mi edzy którymi zachodzi przejście, należy do reprezentacji Γ µ drugi do reprezentacji Γ ν a operator Ô do reprezentacji Γ σ, to przejście indukowane przez operator Ô jest dozwolone, jeśli Γ σ Γ µ Γ ν