Zastosowania zasad dynamiki Newtona Katarzyna Sznajd-Weron Wykład dla Matematyki Stosowanej
Zasady Dynamiki Newtona skrót (inercjalne układy odniesienia) 1. σ F = 0 a = 0 (definicja układu inercjalnego) 2. σ F = ma σf x = ma x σf y = ma y σf z = ma z 3. ԦF AB = ԦF BA https://www.goodfreephotos.com/astrophotography/moon-and-earth-in-space.jpg.php
Zastosowania Dynamiki 1. Siła oporu płynu (gazu lub cieczy) 2. Siła tarcia 3. Siła sprężystości i ruch harmoniczny 4. Ruch harmoniczny vs. ruch po okręgu 5.
Skoki małych żywych organizmów Steven Vogel, Living in a physical world II. The bio-ballistics of small projectiles J. Biosci. 30:167-175 (2005)
Siła oporu aerodynamicznego Ԧf = f v v, v = Ԧv Ԧv f v = bv + cv 2 związany z lepkością (tarcie płynu), proporcjonalny do: lepkości płynu rozmiaru liniowego obiektu związany z przyśpieszaniem cząstek, z którymi się zderza obiekt proporcjonalny do: gęstości ośrodka przekroju poprzecznego obiektu Przyzwoite funkcje rozwijamy w szereg potęgowy Taylora! f v = a + bv + cv 2 +
Siła oporu aerodynamicznego Ԧf = f v v, v = Ԧv Ԧv f v = bv + cv 2 = f lin + f kw Dla obiektów o kształcie kulistym o średnicy D : b = βd, c = γd 2 W powietrzu warunkach normalnych: β = 1,6 10 4 Ns m 2 γ = 0,25 Ns2 m 4
Siła oporu aerodynamicznego kiedy można coś zaniedbać? f v = bv + cv 2 = f lin + f kw f kw = cv2 f lin bv = c γd2 v = b βd v = 1,6 103 s/m 2 Dv Ex: Piłka baseballowa o D=7cm leci z prędkością v = 5m s Ex: Kropla deszczu o D=1mm leci z prędkością v = 0,6m Ex: Kropla oleju o D = 1,5 μm leci z prędkością v = 5 10 5 m s : f kw f lin 10 7 s : f kw f lin = 600 : f kw f lin 1
Przykład: kulka w oleju (mała prędkość) Siła działają tylko w kierunku Y F y (t) = mg kv y (t) = ma y (t) Na początku v y 0 = 0 oraz a y 0 = g Wraz ze wzrostem prędkości rośnie opór W końcu układ osiąga równowagę: σ F y = mg kv t = 0 v t = mg/k prędkość graniczna (terminal speed) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: kulka w oleju równania ruchu v t = mg/k UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: Spadające koty Badania z 1987r. dane z pogotowia weterynaryjnego w Nowym Yorku 132 koty, 90% kotów przeżyło rekordzista spadł z 32 piętra na beton Prędkość graniczna 97km/h a potem? F g = mg F g = mg F g = mg
Przykład: Powietrzny skoczek Dla ciała ludzkiego spadającego w powietrzu w pozycji jak na zdjęciu wartość współczynnika D 0.25 kg. Znajdź graniczną prędkość m skoczka o masie 50kg. A co jeśli masa będzie większa? σ F y = mg Dv 2 y = 0 v y = mg D = 44 m s 160 km h! UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: prędkość graniczna (m=4kg) J. Kloc & T. Weron (2018)
Rzut ukośny z oporem liniowym v y > 0 Ԧv v x > 0 v x > 0 v y < 0 Ԧv F oy = (0, k y v y (t 2 ), 0) F g = (0, mg, 0) F oy = (0, k y v y (t 1 ), 0) F g = (0, mg, 0) Ԧv = (v x, v y, 0) v x = (v x, 0,0) v y = (0, v y, 0) Ԧv = v x + v y = (v x, v y, 0) Ԧa = Ԧv = d Ԧv dt, Ԧa = a x, a y, a z = dv x dt, dv y dt, dv x dt d Ԧr dt, Ԧv = v x, v y, v z = dx dt, dy dt, dz dt
Rzut ukośny z oporem liniowym Ruch poziomy (sprawdź czy to dobrze): ma x = bv x dv x dt = b m v x x t = v 0x τ 1 exp( t/τ), Gdzie τ = m czas charakterystyczny (relaksacji) b Ruch pionowy (sprawdź czy to dobrze): ma y = mg bv y dv y dt = g b m v y y t = (v 0y +v g )τ 1 exp( t/τ) v g t
Siła tarcia Bardzo ważna ( złe i dobre aspekty): Olej w silniku samochodowym minimalizuje tarcie pomiędzy ruchomymi częściami Bez tarcia między oponami a drogą nie mogliśmy jechać ani skręcić (opony nie mogłyby się obracać) Jak odkręcałoby się żarówkę? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Tarcie kinetyczne i statyczne Tarcie statyczne działa kiedy nie ma względnego ruchu powierzchni próbujesz przesunąć pudło po podłodze a ono się nie rusza podłoga wywiera przeciwnie skierowaną siłę na pudło f s μ s n UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Tarcie kinetyczne i statyczne Trudniej poruszyć ciało niż utrzymać je w ruchu! Tarcie kinetyczne działa gdy ciało ślizga się po powierzchni dwie powierzchnie poruszają się względem siebie siła tarcia wzrasta, gdy rośnie siła normalna Empiryczne! f k = μ k n współczynnik tarcia kinetycznego UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Co się dzieje z tarciem? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Wybrane współczynniki tarcia powierzchnie μ s μ k stal-stal 0.74 0.57 aluminium na stali 0.61 0.47 szkło-szkło 0.94 0.40 teflon-teflon 0.04 0.04 teflon na stali 0.04 0.04 guma na betonie (suchym) 1.0 0.8 guma na betonie (mokrym) 0.30 0.25 lód-lód 0.1 0.03 nawoskowane drewno na mokrym śniegu 0.14 0.1 nawoskowane drewno na suchym śniegu - 0.04
Przykład: Jazda na sankach z tarciem Jaki kąt, żeby sanki jechały ze stałą prędkością? Znajdź ten kąt w zależności od wagi w i współczynnika tarcia μ k. F x = wsin α f k = wsin α μ k n = 0 wsin α = μ k n Równowaga! F y = n wcos(α) = 0 n = wcos(α) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: Jazda na sankach z tarciem F x = wsin α f k = wsin α μ k n = 0 wsin α = μ k n σ F y = n wcos(α) = 0 n = wcos(α) wsin α = μ k wcos(α) μ k = sin(α) cos(α) = tg(α) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Ruch po okręgu Ruch jest przyśpieszony zmienia się prędkość Przyśpieszenie prostopadłe do toru ruchu (prędkości): zmienia kierunek wektora prędkości Przyśpieszenie równolegle do toru ruchu (prędkości): zmienia długość wektora prędkości UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Ruch po okręgu ze stałą szybkością Ruch jest przyśpieszony zmienia się prędkość Nie zmienia się wartość wektora prędkości Zmienia się kierunek wektora prędkości a rad = v2 R UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
φ Skąd to się wzięło? φ Ԧv = v x x + v y y Z trójkąta prostokątnego na rys. a): sinθ = y p r, cosθ = x p r Ԧv = v y p x + v x p y r r d Ԧv Ԧa = dt = v dy p x + v dx p r dt r dt = v r v y x + v r v x y y = Z rys. b): v x = vsinθ, v y = vcosθ
Skąd to się wzięło? d Ԧv Ԧa = dt = v r v y x + v r v x y v x = vsinθ, v y = vcosθ Ԧa = a = v2 r cosθ x + v2 r sinθ a x 2 + a y 2 = v2 r a = v2 r y cos 2 θ + sin 2 θ
Po co nachylona droga? Z jaką maksymalną szybkością można jechać na takim zakręcie? Znamy promień krzywizny R Znamy współczynnik tarcia μ Przyśpieszenie dośrodkowe auta: a rad = v2 Równania Newtona: σf x = f = ma rad = mv2 R σf y = n + mg = 0 R UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Po co nachylona droga? σf x = f = ma rad = mv2 R σf y = n + mg = 0 n = mg Tarcie potrzebne, żeby utrzymać w tym ruchu rośnie z prędkością, ale max: f max = μ s n = μ s mg Czyli: μ s mg = m R v max 2 v max = μ s gr UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Po co nachylona droga? Zał: brak tarcia σf x = nsinβ = ma rad = mv2 R σf y = n cos β + mg = 0 n = mg cos β mg mv2 sinβ = cos β R grtgβ = v 2 A co jeśli jeszcze tarcie? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: Indianapolis, Speedway, Indiana Droga ma długość: 2.5 mili 4000 m: Dwóch prostych odcinków o długości 1000m Czterech zakrętów o długości 400 m Dwóch prostych o długości 200m Nachylenie: Proste: 0 0 Zakręty: 9,2 0 Nawierzchnia: asfalt Indy500 805km
200m Przykład: Indianapolis, Speedway, Indiana Z jaką maksymalną prędkością można jechać na zakrętach? Obwód koła: 1600 = 2πr r 255 Nachylenie: Proste: 0 0 Zakręty: 9,2 0 1000m
Jak szybko kręcić kieliszkami?
Oscylator harmoniczny x = 0: położenie równowagi 0 x F x = kx > 0 x < 0 0 x F x = kx < 0 0 x > 0x x < 0: wychylenie z położenia równowagi x > 0: wychylenie z położenia równowagi
Wahadło matematyczne F x = mgsinθ Druga zasada dynamiki: ma x = mgsinθ a x = gsinθ = d2 x dt 2 Długość łuku: x = Lθ Równanie ruchu: θ ሷ + g L sinθ = 0 UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Jak to rozwiązać? θ ሷ + g L sinθ = 0 sinθ = θ θ3 3! + θ5 5! Jeśli założysz, że θ 0, wtedy sinθ = θ θ ሷ + g L θ = 0 łatwo rozwiązać (jak?) Ale co to znaczy θ 0? (doświadczenie)
Małe kąty Dla małych kątów (oscylator harmoniczny) ሷ θ + g L θ = 0 Otrzymujemy: θ t = θ 0 cos Wtedy prędkość kątowa: ሶ θ t = θ 0 g L sin g L t g L t
Wahadło matematyczne i pomiar przyśpieszenia ziemskiego Wahadło matematyczne i oscylator harmoniczny: ሷ θ + g L θ = 0 x ሷ + k m x = 0 Częstość kątowa: k = ω 2 m ω = k m = g L Okres nie zależy od masy ani wychylenia?! ω = 2π T = 2πν T = 2π ω = 2π L g
Dlaczego ω to jakaś częstość (kołowa)? x t = Acos(ωt) x t = x t + T, T to okres cos ωt = cos ω t + T z własności cosinusa: cos ωt = cos(ωt + 2π) cos ωt + 2π = cos( ωt + ωt) 2π = ωt ω = 2π T = 2πf Częstość (liczba okresów w 1s) oznaczana: f lub ν
Wahadło matematyczne i sprężyna: okres, położenie, prędkość i energia Restnik Halliday Walker
Oscylator tłumiony i wymuszany mx ሷ = F x = kx równanie Newtona mx ሷ + kx = 0 oscylator harmoniczny mx ሷ + bx ሶ + kx = 0 tłumienie mx ሷ + bx ሶ + kx = F(t) wymuszanie x ሷ + b m x ሶ + k m x = F t m = f t = f 0sin(ωt)
Wymuszane wahadło
Ruch harmoniczny i ruch po okręgu W 1610, skonstruowanym przez siebie teleskopem odkrył 4 główne księżyce Jowisza Sonda Juno (NASA ) film poklatkowy, rozpoczyna się w dniu 12 czerwca (Juno 10 milionów mil od Jowisza), a kończy się w dniu 29 czerwca (3 miliony mil). Galileo Galilei (1564 1642) Portrait by Giusto Sustermans Źródło: Wikipedia
Ruch harmoniczny i ruch po okręgu Ruch ze stałą prędkością kątową ω Jakim wzorem zadane położenie Q na OX? x = Acosθ = Acos(ωt + φ) Restnik Halliday Walker
Do czytania ten wykład D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007), Tom 1, Rozdziały 1-4