Mechanika i Termodynamika Wykład 1: Wstęp i kinematyka Katarzyna Weron. Wykład dla Matematyki Stosowanej

Transkrypt

1 Mechanika i Termodynamika Wykład 1: Wstęp i kinematyka Katarzyna Weron Wykład dla Matematyki Stosowanej

2

3 Podstawowa literatura D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki tom 1 i 2, PWN 2015 Fizyka dla szkół wyższych (2018) tom 1 i 2 J.R.Taylor, Mechanika klasyczna 1 i 2, PWN 2012 R. A. Freedman, L. Ford, H. D. Young, University Physics with Modern Physics (2012)

4 E-materiały z Fizyki 8.01 Physics I: Classical Mechanics, Fall 1999 (Complete Lectures by Walter Lewin) Veritasium, Flipping Physics, SciFun, Wykłady prof. Ewy Popko

5 Warunki zaliczeń i zasady zajęć Prezentacje do wykładów i listy zadań na stronie kursu Prezentacje nie są do nauki! Prezentacja to raczej spis treści Obecność na wykładach nie jest obowiązkowa, ale może Was coś ominąć Kolokwia, aktywność + film do publikacji na youtube 1-5 min

6 Fizyka dla matematyki stosowanej

7 Kim jestem? 2018, Marcin Weron Prof. dr hab. Katarzyna Weron (Sznajd-Weron) Fizyk teoretyk, układy złożone (bio, socjo, ekono) Moje ulubione narzędzia: fizyka statystyczna teoria przejść fazowych symulacje Monte Carlo Fizyka to sposób patrzenia na świat

8 Po co? Mapy podziałów etnicznych w amerykańskich miastach, rok 2010 Legenda: Chicago Detroit New York City Biali Czarni Azjaci Latynosi 1 punkt = 25 mieszkańców Eric Fischer, ispiracja: Bill Rankin, 2009 ( Dane z Census OpenStreetMap, CC-BY-SA

9 Model Schellinga (1971) Agenci mogą być tylko dwóch typów i początkowo rozmieszczeni są losowo na sieci Agent jest nieszczęśliwy jeżeli nie ma w otoczeniu takich samych jak on ( parametr T) Nieszczęśliwy agent jest przesuwany do losowo wybranej wolnej komórki Schelling, T.C. Dynamic Models of Segregation, Journal of Math. Sociology 1: (1971)

10 Jaka nauka płynie z modelu Schellinga? Model segregacji ze względu na pewną cechę (wiek, zamożność, ) Nikt nie preferuje ścisłej segregacji Ostra segregacja mimo łagodnych preferencji Mikro motywy i makro zachowanie

11 Fizycy teoretycy to modelarze W fizyce karykatura zamiast dokładnego portretu Po co upraszczać? Jak być dobrym modelarzem? Wszystko powinno być tak proste, jak to tylko możliwe, ale nie prostsze Marcin Weron

12 Po co nam uproszczenia? Przykład z rozprawy doktorskiej Piotra Nyczki: Oryginalny obraz R, G, B [0,255] Zdjęto kolor jedna zmienna o 256 wartościach Coraz mniejsza liczba odcieni szarości, ostatecznie 2 Łatwiejsza analiza może nawet analityczna Większa kontrola (zrozumienie) Możliwość zupełnej analizy wrażliwości na zmianę parametrów (uwaga na przejścia fazowe!) +?

13 Punkt materialny - model Obiekt (układ) przesunięcia obroty, odkształcenia Punkt materialny (matematycznie): obiekt obdarzony masą mający nieskończenie małe rozmiary Model: cząstka, pojazd, planeta Tylko przesunięcia (translacje) Ruch zmiana położenia w czasie

14 Oddziaływania fundamentalne Rodzaj oddziaływania Zasięg [m] Względna siła oddziaływania grawitacyjne nieskończony elektromagnetyczne nieskończony 10 2 słabe silne Sir Isaac Newton ( ) Mechanika James Clerk Maxwell ( ) Elektromagnetyzm Marcin Weron Marcin Weron

15 Siły dalekozasięgowe Oddziaływanie grawitacyjne (prawo powszechnego ciążenia Newtona): F 1 = F 2 = G m 1m 2 r 2 Stała grawitacji Oddziaływanie elektrostatyczne (prawo Coulomba) F 1 = F 2 = 1/4πε 0 Q 1 Q 2 r 2 Source: Przenikalność dielektryczna próżni

16 Porównanie sił dalekozasięgowych F g = G m 1m 2 Q 1 Q 2 r 2, F e = k e r 2, F e = k e F g G Q 1 Q 2 m 1 m 2 układ F e /F g elektron-elektron elektron-proton proton-proton

17 LEPTONY Bozon Higgsa Gluon Bozon W KWARKI Foton Bozon Z Model Standardowy i cząstki elementarne +2/3 FERMIONY BOZONY Górny Powabny Szczytowy -1/3 Dolny Dziwny Spodni -1 Elektron Mion Taon 0 Neutrino Neutrino Neutrino elektronowe 2014 Marcin Weron mionowe taonowe

18 Oddziaływania elektromagnetyczne i silne oddziaływania silne = proton oddziaływania silne = neutron 2014 Marcin Weron

19 Model Standardowy po co tyle cząstek? Wymiana fotonów tak oddziałuje elektron z protonem Gluon skleja kwarki Oddziaływanie silne poprzez wymianę Gluonu

20 Jakimi skalami zajmuje się fizyk i co to znaczy małe? Źródło: D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007)

21 Powers of Ten, Charles i Ray Eames 1968 Cosmic Voyage, IMAX 2009

22 Fizyka (z stgr. φύσις physis "natura") Zmierz to co mierzalne i uczyń mierzalnym to co takim nie jest. Fizycy obserwują przeróżne zjawiska i starają się znaleźć pewne prawidłowości. Jak obserwować i wnioskować? Powtarzalność eksperymentu i teoria A co z innymi? Psychologia społeczna ok. 30% Galileusz, Galileo Galilei ( ) metoda doświadczalna w badaniu zjawisk przyrody Marcin Weron

23 Eksperyment Galileusza T s = = =16 Źródło: Marcin Weron

24 Eksperyment myślowy w fizyce. Po co? Źródło:

25 Uniwersalne prawa: prawo grawitacji F = G mm r 2, a = F m Źródło:

26 Układ SI - jednostki podstawowe XIV Generalna Konferencja Miar w 1971 Wielkość Nazwa jednostki Symbol jednostki długość metr m masa kilogram kg czas sekunda s temperatura kelwin K mol liczność materii mol natężenie prądu elektrycznego amper światłość kandela cd Metr - odległość, jaką pokonuje światło w próżni w czasie 1/ s [XVII Generalna Konferencja Miar i Wag w 1983] A

27 Wielkości fizyczne Wielkości skalarne Wektory I więcej? czas przesunięcie moment bezwładności temperatura prędkość przenikalność elektryczna masa pęd przenikalność magnetyczna długość przyśpieszenie energia siła

28 Wektory: łatwiej jest pchać czy ciągnąć? F M F M F g = mg F g = mg

29 Mechanika Oddziaływanie grawitacyjne Wystarczą 3 jednostki: Jednostka długości [L] m (metr) Jednostka czasu [t] s (sekunda) Jednostka masy [m] kg (kilogram) Inne wielkości mogą być wyrażone przez podstawowe [L], [t], [m] Przykłady: [prędkość]=[l]/[t] Marcin Weron

30 Opis ruchu obiektu - kinematyka Zbiór kilku definicji te trzeba znać! Język mechaniki bez języka się nie porozumiemy Nie zadajemy pytania o przyczynę Trzeba pamiętać o tym, że RUCH JEST WZGLĘDNY W tym momencie poruszamy się z prędkością ok km/h względem słońca! Układ współrzędnych bardzo ważny!

31 Położenie i odległość Położenie: Ԧr = xi Ƹ + yj Ƹ + zk = (x, y, z) Odległość: ΔԦr = Ԧr 2 Ԧr 1 = Ԧr t 2 Ԧr(t 1 ) UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

32 Prędkość Średnia prędkość: v av = r 2 r 1 = Δ Ԧr t 2 t 1 Δt Prędkość: Δr v = lim Δt 0 Δt = dr dt Kierunek Ԧv to kierunek ruchu obiektu Długość Ԧv to szybkość

33 Prędkość to wektor, zwykle łatwiej pracować na współrzędnych Δr v = lim Δt 0 Δt = dr dt v = v x, v y, v z, v = v x x + v y y + v z z v x = dx x, ሶ v dt y = dy dt y, ሶ v z = dz zሶ dt

34 Przyśpieszenie Δv a = lim Δt 0 Δt = dv dt = d2 r dt 2 a = a x, a y, a z, a = a x x + a y y + a z z a x = dv x = d2 x = x, ሷ dt dt 2 a y = dv y dt = d2 y dt 2 = y, ሷ a z = dv z = d2 z = z, ሷ dt dt 2

35 Matematyka baaardzo ułatwia życie! Nie musicie się uczyć wzorów na pamięć Ruch jednostajny Ruch jednostajnie przyspieszony.. Możecie łatwo wszystko wyprowadzić Możecie rozważać bardziej skomplikowane problemy Wasza strategia Narysujcie układ współrzędnych Rozłóżcie ruch na składowe Zapiszcie równania różniczkowe Zapiszcie warunki początkowe Rozwiążcie równania różniczkowe

36 Ruch w jednym wymiarze Źródło: Physics for Scientists and Engineers 6E by Serway and Jewett

37 Pamiętajcie o układzie odniesienia! y[m] v A = (0, v A, 0), v A v A Ԧa = 0, g, 0 Ԧa = g v B = 0, v B, 0, v B v B x[m]

38 Spadek swobodny wybierz układ współrzędnych (to tylko wygoda) x[m] x[m] Ԧv = v x, v y, v z = ( v, 0,0) Ԧv = v x, v y, v z = (v, 0,0) Ԧa = a x, a y, a z = ( g, 0,0) Ԧa = a x, a y, a z = (g, 0,0)

39 Spadek swobodny wybierz układ współrzędnych (to tylko wygoda) x[m] a x = g dv x dt = g Rozdzielenie zmiennych dv x = gdt v න v 0 dv x = න 0 t gdt = g න 0 = gt v v 0 v = v 0 + gt t dt Ԧa = a x, a y, a z = ( g, 0,0) Ew. liczymy całkę nieoznaczoną i stałą wyznaczamy z warunku początkowego

40 Spadek swobodny wybierz układ współrzędnych (to tylko wygoda) x[m] x න x 0 v = v 0 + gt dx dt = v 0 + gt dx = (v 0 +gt)dt dx = න 0 t (v 0 +gt)dt x x 0 = v 0 t gt2 Ԧa = a x, a y, a z = ( g, 0,0) x = x 0 + v 0 t gt2 Co by było, gdyby przyśpieszenie nie było stałe w czasie?

41 Angry bird wystrzelony do góry teraz spróbujemy z całkami nieoznaczonymi x[m] 0 v x 0 = v 0 x 0 = 0 dv x dt = g dv x = gdt න dv x = g න dt v x = gt + C Stałą C wyznaczamy z warunku początkowego: v x 0 = g 0 + C = C = v 0 dx dt = v 0 gt dx = v 0 dt g tdt x = v 0 t 1 2 gt2 + C x 0 = v g02 + C = C = 0 Równanie ruchu ptaka: x(t) = v 0 t 1 2 gt2

42 Czy faktycznie najpierw leci w górę a potem w dół? x[m] x t = v 0 t 1 2 gt2 = t v gt x = 0 dla t = 0 lub v gt = 0 t = 2v 0 g Najwyższy punkt z warunku: dx = v dt x = 0 v x = v 0 gt = 0 t = v 0 g 0 v x 0 = v 0 x 0 = 0 To nie zawsze będzie połowa czasu! Kiedy nie będzie? Jaki znak ma prędkość? v x = v 0 gt > 0 v 0 > gt t < v 0 g v x = v 0 gt < 0 v 0 < gt t > v 0 g

43 Ruch w dwóch wymiarach rzut ukośny

44 Ruch w dwóch wymiarach rzut ukośny

45 Rzut ukośny rozłóż na składowe Nadawana jest prędkość początkowa Następnie podąża ścieżką (trajektorią) zależną wyłącznie od grawitacji i oporu powietrza Ruch można analizować niezależnie skł. x i y a x = 0 v x t = v x 0 a y = g v y t = v y 0 gt

46 Rzut ukośny: Flipping Physics Billy Bobby Bo

47 Ruch w dwóch wymiarach obliczenia na tablicy y[m] dv x dt = 0 v x = const = v x (0) dv y dt = g v y = v y 0 gt t x[m]

48 Zasięg, rzut do celu itp. wyznacz równania ruchu y[m] v x = v x 0 = v 0 cosα x t = v 0 tcosα v y = v y 0 gt = v 0 sinα gt y t = v 0 tsinα 1 2 gt t x[m]

49 Zasięg, rzut do celu itp. Wyznacz równania ruchu zgodne z warunkami początkowymi x t = v 0 tcosα, y t = v 0 tsinα 1 2 gt2 Warunek na zasięg (dlaczego?): y t = 0 t = 0, t = t R x = 0, x = R = x(t R ): R = v 0 2 g sin2α Warunek na max wysokość (dlaczego?): t = t h x = x(t h ) Czy x t h = 2R? Kiedy? dy t dt = v y t = 0 dy t dt = 0 Jak trafić do świni? Świnia znajduje się w punkcie (x s, y s ) y t = 0

50 Jak trafić do świni? Wyznacz równania ruchu zgodne z warunkami początkowymi x t = v 0 tcosα, y t = v 0 tsinα 1 2 gt2 Świnia znajduje się w punkcie (x s, y s ) Tor ruchu musi przechodzić przez (x s, y s ) czyli musi istnieć takie t s, że: x t s = v 0 t s cosα = x s y t s = v 0 t s sinα 1 2 gt s 2 = y s Tor ruchu y = y(x) to też parabola Można też pytać o Kąt z jakim wystrzelić Prędkość z jaką wystrzelić

51 Zasięg, rzut do celu itp. R = v 0 2 g sin2α Max zasięg dla: sin2α = 1 x = v 0 tcosα t = x v 0 cosα y = v 0 tsinα 1 2 gt2 = x sinα cosα 1 gx 2 2 v 2 0 cos 2 α = 1 g 2 v 2 0 cos 2 α x2 + xtgα

52 Równania parametryczne kinematyczne równania ruchu (parametr to czas t) tor ruchu eliminacja t y = y(x)

53 Analogia: Równanie parametryczne okręgu y y 0 R x x y y 0 2 = R 2 Podstawmy: x x 0 = Rcosα y y 0 = Rsinα x 0 x Czyli: x = x 0 + Rcosα y = y 0 + Rsinα

54 Podsumowanie kinematyki Kinematyczne równania ruchu Ԧr = Ԧr t = x t, y t, z(t) Otrzymujemy z definicji d Ԧv Ԧa = dt, Ԧa = a x, a y, a z = dv x dt, dv y dt, dv x dt d Ԧr Ԧv = dt, Ԧv = v x, v y, v z = dx dt, dy dt, dz dt Skąd znamy Ԧa = Ԧa(t)? Musimy znać warunki początkowe

55 Ruch po okręgu więcej szczegółów Ruch jest przyśpieszony zmienia się prędkość Przyśpieszenie prostopadłe do toru ruchu (prędkości): zmienia kierunek wektora prędkości Przyśpieszenie równolegle do toru ruchu (prędkości): zmienia długość wektora prędkości UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

56 Ruch po okręgu ze stałą prędkością Ruch jest przyśpieszony zmienia się prędkość Nie zmienia się wartość wektora prędkości Zmienia się kierunek wektora prędkości a rad = v2 R UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

57 Skąd to się wzięło? Trygonometria Ԧv = v x x + v y y = vsinθ x + vcosθ y Z trójkąta prostokątnego na rys. a): sinθ = y p r, cosθ = x p r Ԧv = v y p x + v x p y r r d Ԧv Ԧa = dt = v dy p x + v dx p r dt r dt = v r v y x + v r v x y Z rys. b): v x = vsinθ, v y = vcosθ y =

58 Skąd to się wzięło? Trygonometria d Ԧv Ԧa = dt = v r v y x + v r v x y v x = vsinθ, v y = vcosθ Ԧa = a = v2 r cosθ x + v2 r sinθ a x 2 + a y 2 = v2 r a = v2 r y cos 2 θ + sin 2 θ

59 Ruch względny Flipping Physics: Introduction to Relative Motion using a Quadcopter Drone Ԧv PE prędkość Priusa w stosunku do ziemi (Earth) Ԧv ME prędkość Minivana w stosunku do ziemi (Earth) Ԧv PM =? prędkość Priusa w stosunku do Minivana Ԧv MP =? Prędkość Minivana w stosunku do Priusa Prius Minivan Ԧv PE = 60 km h, 0,0 Ԧv ME = 80 km h, 0,0

60 Ruch względny: Flipping Physics

61 Prędkość Priusa w stosunku do Minivana Prius Minivan Ԧv PE = 60 km h, 0,0 Ԧv ME = 80 km h, 0,0 Ԧv ME Ԧv PE Ԧv MP Ԧv ME = Ԧv PE + Ԧv MP Ԧv MP = Ԧv ME Ԧv PE Ԧv PE = Ԧv EP Ԧv ME = Ԧv EM Ԧv MP = Ԧv ME + Ԧv EP Ԧv PM = Ԧv PE Ԧv ME = Ԧv ME + Ԧv PE = Ԧv ME Ԧv PE = Ԧv MP

62 Prędkość względna transformacja Galileusza x PA = x PB + x BA dx PA = dx PB + dx BA dt dt dt v PA x = v PB x + v BA x v BA x = v AB x Ԧr PA = Ԧr PB + Ԧr BA v PA = v PB + v BA A co dla baaardzo dużych prędkości? UNIVERSITY PHYSICS, Copyright 2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley

63 Jak dotąd powinniście umieć D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki (2007), Tom 1, Rozdziały 1-4

64 Zwiastun: Fizycy lubią pytać Dlaczego? Dlaczego satelita nie spada na Ziemię? Dlaczego astronauta na statku kosmicznym znajduje się w stanie nieważkości?