Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a, ci g {b } ma graic b, przy czym»ade z wyrazów ci gu {b } ie rówa si zeru, ai te» jego graica b ie jest rówa zeru, to ci g { a b } ma graic a b. Tw. 5. Ci g o wyrazie ogólym u q ma sko«czo graic tylko dla < q, przy czym: a). Je»eli < q <, to lim q 0 b). Je»eli q, to q, wi c lim q Tw. 6. Je»eli ci g {a } o wyrazach ieujemych ma graic a, to ci g { p a }, gdzie p jest ustalo liczb atural, ma graic p a. Tw. 7. O trzech ci gach Je»eli wyrazy ogóle trzech ci gów {a }, {u }, {b } speªiaj dla 0 ierówo± : a u b i je»eli ci gi {a }, {b } maj wspól graic g, tz: lim a lim b g to ci g {u } ma t sam graic, czyli: lim u g Wzór : lim a, dla a > 0 Wzór : lim ( + a ) a e, je»eli lim a 0 i a 0.
u + Zauwa»my,»e dla N i > 0 oba wyra»eia podpierwiastkowe s dodatie. Zatem ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b u + ++ + ++ ++ Widzimy,»e dla liczik jest rówy atomiast miaowik d»y do, czyli caªy uªamek d»y do 0, a wi c lim u 0.. u + Zauwa»my,»e dla N i > 0 wyra»eie podpierwiastkowe jest dodatie, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b u + ++ + ++ ++ Podzielmy teraz liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u + + + + + + Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim lim u lim + lim +lim +lim + +0+. u + 5 Zauwa»my,»e dla N i > 0 wyra»eie podpierwiastkowe jest dodatie, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b u +5 + +5 5 + +5 5 + +5 Podzielmy teraz liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u 5 5 5 + +5 + + 5 + + 5
Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim u lim 5 lim +lim + 5 5 5 + lim +lim 5 + +0 5. u + 5 Musi zachodzi : + 5 0 () ( 5) + 60 6 6 + 6 8 6 +8 6 0 6 6 6 5 Z powy»szego rysuku odczytujemy,»e: () ( ; 5 > < ; )
Poiewa» N i > 0, wi c waruek () zawsze jest speªioy a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu korzystaj c z wzoru: a b a b u + 5 ( ) + 5+ + 5 + 5+ 5 + 5+ Podzielmy teraz liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u 5 + 5+ 5 + 5 + 5 + 5 + Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim u 5 lim lim lim + 5 +lim a+b 0 lim +lim lim 5 + +0 0+
.5 u 9 + 6 5 Musi zachodzi : 9 + 6 5 0 () 6 9 ( 5) 6 + 6 5 6 + 50 576 576 6 9 6+ 9 0 8 8 8 5 Widzimy wi c,»e dla N i > 0 waruek () jest speªioy a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu {u } korzystaj c z wzoru: a b a b a+b 5
u () 9 +6 5 + 9 +6 5 9 9 6+5 + 9 +6 5 6+5 + 9 +6 5 Podzielmy liczik i miaowik powy»szego uªamka przez : u 6 + 5 + 9 +6 5 6+ 5 6+ 5 + 9 + 6 5 + 9+ 6 5 Korzystaj c z twiedze«,, i 6 obliczamy graic ci gu {u }: lim u lim 6 + 9+0 0 6 + 6 6 6+ 5 lim ( 6)+lim 5 6+0 + 9+ 6 5 lim +lim 9+ 6 5 6 + lim 9+lim lim 5.6 u + Najpierw zauwa»my,»e dla N i > 0 wyra»eie podpierwiastkwe jest zawsze dodatie, a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Przeksztaª my wyraz ogóly ci gu korzystaj c z wzoru: a b (a b)(a + ab + b ) a b a b a +ab+b u ( + ) ( + ) + + + + Podzielmy teraz liczik i miaowik przez : ( + ) + ( + ) + ( + ) + 6 + 5 + u ( + ) + 6 + 5 + ( + ) 6 + 6 + 5 ( 6 + + ) ( ) + 6 6 + 5 6 + ( + (+ ) + + + + + 6 + + + + 8 + 6 + + + ) + + + Korzystaj c z twierdze«, i 6 obliczamy graic ci gu: lim lim u lim + 8 + 6 +lim + +lim 8 lim +lim +lim 6 + lim +lim + +0+0+ +0+ ++.7 u + 5 7 Zauwa»my,»e dla wyra»eie podpierwiastkowe jest rówe 0, atomiast dla N i > jest oo dodatie. Zatem wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu korzystaj c z wzoru: a b (a b)(a + ab + b ) 6
a b a b a +ab+b u ( ) ( +5 7) ( ) + +5 7+( +5 7) 5 +7 + +0 + ( +5 7) 5 +7 + +0 + ( +5 7) Podzielmy liczik i miaowik przez : u 5 + 7 + +0 + ( +5 7) 5+ 7 + + 0 + ( + 5 7 ) + 5+ 7 +0 5+ 7 + + 0 + (+ 5 7 ) Korzystaj c z twierdze«,,, i 6 obliczamy graic ci gu: + ( +5 7) ( ) 7 lim ( 5)+lim lim u lim +lim + 0 +lim (+ 5 7 ) 5+0 + 0 lim +lim lim + 5 (lim +lim lim 7 ) 5 + +0 0+ (+0 0) 5 + + 5.8 u 5 7 Zauwa»my ajpierw,»e dla N i liczba jest zawsze liczb parzyst atomiast 7 jest liczb ieparzyst. A wi c miaowik powy»szego uªamka jest zawsze ró»y od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u 5 5 7 ( ) 5 7 7 Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic ci gu: 7 5 lim u lim lim 5 lim lim 7 0 0.9 u 5 9 +7 Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u 5 5 ( ) 5 9 9 +7 9 9 +7 + 7 9 Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic ci gu: 9 +7 5 7
lim u lim 5 lim 9 lim +lim 7 9 5 0 +0 5.50 u + 0 5 + Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u 0 5 0 5 5 + + Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic ci gu: lim u 5 + ( ) 0 + 0 lim lim 5 lim 0 +lim 5 0 +0 5 8 5.5 u 8 7 + Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz ogóly wyraz ci gu: u 8 8 7 7 8 7 7 8 56 8 7 56 ( 8 7 ) Korzystaj c z twierdzeia obliczamy graic ci gu: lim u lim ( 56 ) lim ( 8 7 ) 56 Czyli ci g te jest rozbie»y do..5 u + + + Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik uªamka jest zawsze wi kszy od 0 a tym samym ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu {u }: u + + + + 9 ( ) Korzystaj c z tw.,, 5 obliczamy graic ci gu: 8
lim u lim ( 9 ( ) ) lim lim 9 lim ( ) 9 0.5 u ( ) + + Zauwa»my ajpierw,»e dla N i miaowik drugiego uªamka jest wi kszy od 0, wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Przeksztaª my teraz wyraz ogóly ci gu {u }: u Korzystaj c z twierdze«i obliczamy graic ci gu: lim u lim lim lim lim 0 0.5 u + Wyra»eie podpierwiastkowe jest dla N i zawsze wi ksze od 0 a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Poadto zachodzi ierówo± : < + < + < + < + < + < < + < Zatem wyrazy badaego ci gu {u } s zawarte mi dzy odpowiedimi wyrazami ci gów a i b Korzstaj c z twierdzeia i wzoru obliczamy graice tych ci gów: lim a lim lim b lim lim lim Korzystaj c z twierdzeia 7 o trzech ci gach otrzymujemy: lim u 9
.55 u 0 + 9 + 8 Wyra»eie podpierwiastkowe jest dla N i zawsze wi ksze od 0 a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Poadto zachodzi ierówo± : 0 < 0 + 9 + 8 < 0 + 0 + 0 0 < 0 + 9 + 8 < 0 0 < 0 + 9 + 8 < 0 A wi c wyrazy badaego ci gu {u } s zawarte mi dzy odpowiedimi wyrazami ci gów a 0 i b 0. Graice tych ci gów wyosz (korzystamy z tw. i wzoru ): lim a lim 0 0 lim b lim (0 ) lim 0 lim 0 0 Korzystaj c teraz z twierdzeia 7 o trzech ci gach otrzymujemy: lim u 0.56 u 0 00 0 00 Oba wyra»eia podpierwiastkowe s wi ksze od 0 a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Korzystaj c z tw. i wzoru mamy: lim u lim ( 0 00 0 00 ) lim 0 00 lim 0 00 0.57 u ( ) + ( ) Wyra»eie podpierwiastkowe jest dla N i dodatie a wi c wszystkie wyrazy ci gu {u } s okre±loe. Po sprowadzeiu uªamków do wspólego miaowika dostajemy: u ( 8 ) + ( 9 ) Zachodz ast puj ce ierówo±ci: 0
( 9 ) < ( 8 ) + ( 9 ) < ( 9 ) + ( 9 ) ( 9 ) < ( 8 ) + ( 9 ) < ( 9 ) 9 < ( 8 ) + ( 9 ) < 9 A wi c wyrazy badaego ci gu {u } s zawarte mi dzy odpowiedimi wyrazami ci gów a 9 i b 9. Graice tych ci gów wyosz (korzystamy z tw. i wzoru ): lim a lim 9 9 lim b lim ( 9 ) lim 9 lim 9 9 Korzystaj c teraz z twierdzeia 7 o trzech ci gach otrzymujemy: lim u 9.58 u +++...+ Zauwa»my,»e dla N i miaowik uªamka jest iezerowy, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.59: + + +... + (+) Mamy wi c: u ( + + +... + ) (+) + + + Korzystaj c z tw, i obliczamy graic ci gu: lim u lim +lim lim +0.59 u + +...+ Na pocz tku zauwa»my,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest iezerowy, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.56: + +... + + + 6 u ( + +... + ) ( + + 6 ) Korzystaj c z twierdzeia obliczamy graic ci gu: + + 6 + + 6
lim u lim + lim + lim 6 + 0 + 0.60 u + +...+ Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest iezerowy, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.6: + +... + ( (+) ) u ( + +... + ) + + Korzystaj c z twierdzeia i obliczamy graic ci gu: lim u lim +lim +lim lim +0+0 ( (+) ) ( ) ( (+) ) ( +) + + + +.6 u + + +...+ + + +...+ Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest wi kszy od, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Nast pie zauwa»my,»e liczik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q. Podobie miaowik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q. W zadaiu.6 udowodili±my,»e -ta suma cz stkowa post pu geometryczego wyosi: S a q q, dla q Zastosujmy te wzór do aszego uªamka: u ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] ( ) ( ) Korzystaj c z tw., i obliczamy graic ci gu: lim u lim lim lim lim lim 0 0
.6 u +a+a +...+a + + 6 +...+ Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N i miaowik uªamka jest wi kszy od, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Nast pie zauwa»my,»e liczik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q a. Podobie miaowik tego uªamka jest -t sum cz stkow ci gu geometryczego, w którym a oraz q. W zadaiu.6 udowodili±my,»e -ta suma cz stkowa post pu geometryczego wyosi: S a q q, dla q Zastosujmy te wzór do miaowika uªamka i obliczmy graic ci gu {u } dla a : u ++ +...+ + + 6 +...+ + + ( ) Korzystaj c z tw., i dostajemy: ( + ) ( + ) lim u lim ( + ) lim lim lim lim 0 A wi c dla a ci g jest rozbie»y do iesko«czoo±ci. Zastosujmy teraz wzór a sum cz stkow do liczika i miaowika uªamka ci gu {u } dla a : u a a ( ) a a a a a a Korzystaj c z twierdze«, i obliczamy graic : lim u lim lim a lim lim lim a lim lim lim lim a a lim a 0 a Na podstawie twierdzeia 5 oraz waruku a otrzymujemy,»e ci g o wyrazie ogólym a ma sko«czo graic dla dla < a < i wyosi oa 0, zatem graica ci gu {u } wyosi: lim u 0 a ( a) Podsumowuj c, ci g {u } jest ma sko«czo graic dla < a < i wyosi oa ( a), atomiast dla a ci g jest rozbie»y..6 u k + k +... + k Zauwa»my ajpierw,»e dla ka»dego N, i k C miaowik uªamków jest dodati, wi c ka»dy wyraz ci gu {u } jest okre±loy. Poiewa» wszystkie uªamki maj wspóly miaowik, wi c wyraz ogóly ci gu mo»emy zapisa :
u ++...+ k Skorzystajmy teraz z wzoru udowodioego w zadaiu.59: + +... + (+) u ++...+ (+) + k k k Dla k 0 mamy: u + + + 0 lim u Dla k mamy: u + + + lim u Dla k mamy: u + + Korzystaj c z twierdze«i zajdujemy graic : lim u lim +lim lim +0 Dla k > mamy: u + k k + k k + k Korzystaj c z twierdze«i zajdujemy graic : lim u lim k +lim k lim 0+0 0 Dla k < 0 mamy: u + k ( +) k Poiewa» w rtym przypadku liczik wraz z wzrostem ro±ie ieograiczeie, wi c: lim u Podsumowuj c, dla k < ci g jest rozbie»y do plus iesko«czoo±ci, dla k graic ci gu jest a dla k > graic ci gu jest 0.