FUNKCJE ANALITYCZNE JEDNOSEMESTRALNY WYK LAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008 Zbigniew B locki Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 2 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych 5 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych 9 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego 11 5. Wzór ca lkowy Cauchy ego 14 6. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych 15 7. Szeregi potegowe 17 8. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych, cd. 19 9. Funkcje analityczne 21 10. Globalne twierdzenie ca lkowe Cauchy ego 22 11. Szeregi Laurenta 25 12. Osobliwości funkcji holomorficznych 27 13. Twierdzenie o residuach 29 13a. Obliczanie pewnych ca lek rzeczywistych 30 14. Lokalizowanie zer funkcji holomorficznych 34 15. Odwzorowania konforemne 36 16. Sfera Riemanna 39 17. Funkcje harmoniczne 40 18. Iloczyny nieskończone 43 19. Funkcja ζ Riemanna 46 20. Rodziny normalne, iteracja funkcji wymiernych 48 Literatura 51 Zagadnienia na egzamin ustny 52 Typeset by AMS-TEX
2 ZBIGNIEW B LOCKI 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych Liczba zespolona nazywamy pare liczb rzeczywistych, zbiór liczb zespolonych C to zatem dok ladnie zbiór R 2. Element z = (x, y) C zapisujemy w postaci x + iy. Na zbiorze C wprowadzamy mnożenie (zgodnie z regu l a i 2 = 1): (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 + i(x 2 y 1 + x 1 y 2 ). Można latwo pokazać Ćwiczenie, że C z dodawaniem wektorowym w R 2 oraz tak wprowadzonym mnożeniem jest cia lem. Jeżeli z = x + iy, to x nazywamy cześci a rzeczywista, natomiast y cześci a urojona liczby z; ozn. x = Re z, y = Im z. Każda liczbe zespolona z możemy rówież zapisać przy pomocy wspó lrzednych biegunowych: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = z = x 2 + y 2, zaś ϕ jest katem pomiedzy odcinkami [0, 1] i [0, z] (gdy z 0) - nazywamy go argumentem liczby z. Zachodzi oczywiście nierówność trójkata z + w z + w, z, w C, można również latwo pokazać Ćwiczenie, że zw = z w, z, w C. Chcemy teraz zdefiniować zespolona funkcje wyk ladnicza exp : C C. Dla z = x + iy C oczekujemy, że e z = e x e iy, czyli wystarczy określić e it dla t R. Chcemy by funkcja ta spe lnia la d dt eit = ie it, e 0 = 1, a wiec (oznaczajac e it = A + ib) A = B, B = A, A(0) = 1, B(0) = 0. Jedynym rozwiazaniem tego uk ladu sa funkcje A = cos t, B = sin t. Funkcje wyk ladnicza definiujemy zatem nastepuj aco: e z := e x (cos y + i sin y), z = x + iy C. Można latwo pokazać Ćwiczenie jej nastepuj ace w lasności e z+w = e z e w, z, w C, d dt etz = ze tz, t R, z C. Z faktu, że e z = e x oraz dzieki temu, że y jest argumentem liczby e z wynika, że funkcja wyk ladnicza proste pionowe x = x 0 odwzorowuje na okregi o promieniu e x 0, natomiast proste poziome y = y 0 na pó lproste otwarte o poczatku w 0 o argumencie y 0. Wracajac do wspó lrzednych biegunowych, możemy je teraz zapisać w postaci z = re iϕ. Dla z 0 przez arg z oznaczamy zbiór argumentów liczby z, tzn. arg z := {ϕ R : z = z e iϕ }.
FUNKCJE ANALITYCZNE 3 Ponieważ e i(ϕ+2π) = e iϕ, dla dowolnego ϕ 0 arg z mamy arg z = {ϕ 0 + 2kπ : k Z}. Dla każdego z C (:= C \ {0}) znajdziemy dok ladnie jeden element arg z należacy do przedzia lu [ π, π). Nazywamy go argumentem g lównym liczby z i oznaczamy Arg z. Funkcja Arg, określona na C, jest nieciag la na pó lprostej (, 0). Możemy teraz podać geometryczna interpretacje mnożenia w C: jeżeli z = re iϕ, w = ρe iψ, to zw = rρe i(ϕ+ψ) ; czyli mnożymy d lugości, a dodajemy argumenty. Możemy stad również wywnioskować wzór de Moivre a: z tego, że (e iϕ ) n = e inϕ otrzymamy (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos(nϕ) + i sin(nϕ), ϕ R, n N. Dla danego z C oraz n N przez pierwiastek z stopnia n rozumiemy zbiór n z := {w C : w n = z}. Zapisujac z i w we wspó lrzednych biegunowych: otrzymamy warunki z = re iϕ, w = ρe iψ, ρ = r 1/n, ψ = ϕ + 2kπ, k Z. n Ponieważ e iψ = e i(ψ+2π), dla k = 0, 1,..., n 1 otrzymamy wszystkie rozwiazania. Zatem n z = { z 1/n e i(ϕ+2kπ)/n : k = 0, 1,..., n 1}. W szczególności, pierwiastek stopnia n z liczby niezerowej jest zawsze zbiorem n elementowym. Ćwiczenie Udowodnić, że rozwiazaniem równania kwadratowego w C: gdzie a C, b, c C, jest az 2 + bz + c = 0, z = b +, 2a gdzie = b 2 4ac, przy czym jest zbiorem dwuelementowym jeżeli 0 - w tym przypadku zawsze otrzymamy dwa rozwiazania (jedno jeżeli = 0). W przypadku wielomianów dowolnego stopnia mamy rezultat niekonstruktywny, tzw. zasadnicze twierdzenie algebry. Twierdzenie 1.1. Każdy niesta ly wielomian zespolony ma pierwiastek. Powyższy rezultat można udowodnić w sposób elementarny przy pomocy lematu d Alemberta (oryginalny dowód z 1746 r. zawiera l luk e): Lemat 1.2. Za lóżmy, że P jest niesta lym wielomianem zespolonym oraz, że dla pewnego z 0 C mamy P (z 0 ) 0. Wtedy dla każdego otoczenia U punktu z 0 znajdziemy z U takie, że P (z) < P (z 0 ).
4 ZBIGNIEW B LOCKI Dowód. (Argand, 1806) Niech Wtedy P (z) = a 0 + a 1 z + + a n z n. P (z 0 + h) = a 0 + a 1 (z 0 + h) + + a n (z 0 + h) n = P (z 0 ) + A 1 h + + A n h n, gdzie wspó lczynniki A j zależa tylko od P i z 0. Któryś z nich na pewno nie znika, gdyż w przeciwnym wypadku wielomian P by lby sta ly. Niech j bedzie najmniejszym indeksem, dla którego A j 0. Mamy zatem gdzie P (z 0 + h) = P (z 0 ) + A j h j + R(h), R(h) < A j h j, gdy h jest odp. ma le, h 0. Możemy znaleźć h o dowolnie ma lym h, dla którego A j h j ma argument przeciwny do argumentu P (z 0 ). Wtedy P (z 0 + h) P (z 0 ) + A j h j + R(h) = P (z 0 ) A j h j + R(h) < P (z 0 ). Dowód Twierdzenia 1.1. Oznaczajac P jak w dowodzie Lematu 1.2 i zak ladajac, że a n 0, mamy P (z) a n z n a 0 + a 1 z + + a n 1 z n 1 a n z n a 0 a 1 z a n 1 z n 1. Możemy w szczególności znaleźć R > 0 takie, że P (z) > P (0), gdy z = R. Funkcja P jest ciag la na C (bo oczywiste jest, że mnożenie jest odwzorowaniem ciag lym), znajdziemy zatem z 0 K(0, R) takie, że P (z 0 ) = min P. K(0,R) Jeżeli P (z 0 ) 0, to dzi eki Lematowi 1.2 znajdziemy z K(0, R) takie, że P (z) < P (z 0 ) - sprzeczność. Dla z C definiujemy log z := {w C : e w = z} (dla z = 0 ten zbiór jest oczywiście pusty). Jeżeli zapiszemy w = η + iξ, z = re iϕ, to otrzymamy równanie e η e iξ = re iϕ. Zatem η = log r = log z, natomiast ξ = ϕ + 2kπ, k Z. Ostatecznie log z = log z + iarg z. Liczb e Log z := log z + iarg z
FUNKCJE ANALITYCZNE 5 nazywamy logarytmem g lównym z. Przy pomocy logarytmu możemy zdefiniować pot egi zespolone: dla z C, w C k ladziemy z w = e w log z. Zauważmy, że z 1/n = e 1 n (log z +iarg z) = z 1/n e i arg z n, czyli otrzymamy to samo, co przy definicji pierwiastka. Ćwiczenie Obliczyć i i. Przypomnijmy, że e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R. Zespolone funkcje trygonometryczne można latwo wyprowadzić ze wzorów Eulera: Stad Mamy również e iz = cos z + i sin z, e iz = cos z i sin z. cos z := eiz + e iz, 2 sin z := eiz e iz. 2i cosh z := cos(iz) = ez + e z, 2 sinh z := i sin(iz) = ez e z. 2 Ćwiczenie Pokazać, że arccos z = i log(z + z 2 1). Dla liczby zespolonej z = x + iy definiujemy jej sprz eżenie: z := x iy. Natychmiast otrzymujemy, że z 2 = zz. Ćwiczenie Pokazać, że (zw) = z w oraz e z = e z. 2. Różniczkowanie funkcji zespolonych Oczywiście każde odwzorowanie liniowe C C jest postaci (2.1) C z az C dla pewnego a C. Ponieważ C = R 2, możemy również rozpatrywać równania liniowe w sensie rzeczywistym - bed a one postaci C = R 2 z Az R 2 = C,
6 ZBIGNIEW B LOCKI gdzie ( p q (2.2) A = s t ), p, q, s, t R. Takie odwzorowania C C bedziemy nazywać R-liniowymi, natomiast odwzorowania postaci (2.1) C-liniowymi. Można latwo sprawdzić, że każde odwzorowanie C-liniowe jest R-liniowe, przy czym A jest postaci ( α β A = β α gdzie a = α + iβ. Z drugiej strony, dane odwzorowanie R-liniowe jest C-liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy p = t i q = s w (2.2) ( Ćwiczenie ). Niech f bedzie funkcja o wartościach zespolonych określona w pewnym otoczeniu punktu z 0 C. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym powiemy, że f jest C-różniczkowalna w punkcie z 0, jeżeli istnieje granica ), f(z) f(z 0 ) lim C. z z 0 z z 0 Granice te nazywamy pochodna zespolona funkcji f w z 0 i oznaczamy przez f (z 0 ). Jest oczywiste, że każda funkcja C-różniczkowalna w z 0 jest w ciag la w z 0. W podobny sposób jak w przypadku rzeczywistym dowodzimy podstawowych w lasności funkcji C-różniczkowalnych. Propozycja 2.1. Jeżeli funkcje f, g sa C-różniczkowalne w z 0, to funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g(z 0 ) 0) sa C-różniczkowalne w z 0 oraz w z 0 mamy (f ± g) = f ± g, (fg) = f g + fg, ( ) f = f g fg g g 2. Propozycja 2.2. Jeżeli f jest C-różniczkowalna w z 0, zaś g jest C-różniczkowalna w f(z 0 ), to g f jest C-różniczkowalna w z 0 oraz (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )) f (z 0 ). Przypomnijmy, że funkcja zespolona f jest różniczkowalna w z 0 w klasycznym sensie (b edziemy wtedy mówić, że jest ona R-różniczkowalna), jeżeli istnieje odwzorowanie R-liniowe A takie, że f(z) f(z 0 ) A(z z 0 ) lim = 0. z z 0 z z 0 Jeżeli f = u + iv, gdzie u, v sa funkcjami rzeczywistymi, to ( ) ux (z A = 0 ) u y (z 0 ) v x (z 0 ) v y (z 0 )
FUNKCJE ANALITYCZNE 7 (ozn. u x = u/ x, u y = u/ y). Zauważmy, że każda funkcja C-różniczkowalna jest R-różniczkowalna, przy czym A = ( ) Re f (z 0 ) Im f (z 0 ) Im f (z 0 ) Re f. (z 0 ) Przyk lad. Funkcja f(z) = z, z C, jest R-różniczkowalna w każdym punkcie (jest nawet R-liniowa), ale nigdzie nie jest C-różniczkowalna: zauważmy, że dla t R mamy { z z 0 1, jeżeli z = z0 + t, = z z 0 1, jeżeli z = z 0 + it, czyli odpowiednia granica nie istnieje. Za lóżmy, że f = u + iv jest R-różniczkowalna w z 0. Oznaczajac f x = u x + iv x, f y = u y + iv y mamy Ponieważ f(z) = f(z 0 ) + f x (z 0 )(x x 0 ) + f y (z 0 )(y y 0 ) + o( z z 0 ). (2.3) x = z + z 2, y = z z, 2i otrzymamy f(z) = f(z 0 ) + f x(z 0 ) if y (z 0 ) 2 (z z 0 ) + f x(z 0 ) + if y (z 0 ) (z z 0 ) + o( z z 0 ). 2 Dla funkcji R-różniczkowalnej definiujemy pochodne formalne (2.4) f z (= f z) := 1 ( f 2 f z (= f z) := 1 2 ) x i f, y ( ) f x + i f. y Pochodne czastkowe / z i / z prowadzić możemy również przy pomocy formy df: mamy a stad f x dx + f y dy = df = f z dz + f z dz = f z (dx + idy) + f z (dx idy), (2.5) { fx = f z + f z, f y = i(f z f z ), skad latwo dostaniemy (2.4). Ćwiczenie Pokazać, że dla dowolnej funkcji R-różniczkowalnej f mamy ( ) f = f z z, ( ) f = f z z.
8 ZBIGNIEW B LOCKI Ćwiczenie Obliczyć f z oraz f z, gdzie f(z) = z 2 Re (z 8 ). Dla funkcji R-różniczkowalnej w z 0 mamy wi ec oraz, dla z z 0, f(z) = f(z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + f z (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 ) f(z) f(z 0 ) z z 0 = f z (z 0 ) + f z (z 0 ) z z 0 z z 0 + o( z z 0 ) z z 0. Wspólnie z ostatnim przyk ladem daje to nastepuj ac a charakteryzacje funkcji C- różniczkowalnych: Propozycja 2.3. Funkcja zespolona f = u + iv jest C-różniczkowalna w punkcie z o wtedy i tylko wtedy, gdy f jest R-różniczkowalna w z 0 oraz f z (z 0 ) = 0, tzn. w z 0 spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna: W takiej sytuacji f (z 0 ) = f z (z 0 ). { ux = v y, u y = v x. Powiemy, że funkcja f : Ω C (Ω bedzie zawsze oznacza lo obszar w C) jest holomorficzna, jeżeli jest ona C-różniczkowalna w każdym punkcie. Zbiór wszystkich funkcji holomorficznych w Ω oznaczamy przez O(Ω), natomiast przez O (Ω) zbiór nigdzie nieznikajacych funkcji holomorficznych. Z Propozycji 2.1 i 2.2 wynika, że suma, iloczyn, iloraz i z lożenie funkcji holomorficznych sa funkcjami holomorficznymi. Jeżeli f = u + iv jest R-różniczkowalna, to f jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnione sa równania Cauchy ego-riemanna. Ćwiczenie Pokazać, że e z jest jedyna funkcja z O(C) taka, że f = f oraz f(0) = 1. Ćwiczenie Pokazać, że cos, sin, cosh, sinh O(C) oraz obliczyć pochodne zespolone tych funkcji. Propozycja 2.4. Za lóżmy, że f jest holomorficzna i klasy C 1 w pewnym otoczeniu z 0 C oraz f (z 0 ) 0. Wtedy istnieje U - otwarte otoczenie z 0 oraz V - otwarte otoczenie f(z 0 ), t.że f : U V jest bijekcja, f 1 jest holomorficzna oraz (2.6) (f 1 ) (f(z)) = 1 f (z), z U. Dowód. Jeżeli zapiszemy f = u + iv, to rzeczywista różniczka f ma postać ( ) ( ) ux u A := y ux u = y v x v y u y u x dzi eki równaniom Cauchy ego-riemanna. Z drugiej strony, wprost z definicji C- różniczkowalności f = f x = u x iu y. Mamy wi ec det A = u 2 x + u 2 y = f 2.
FUNKCJE ANALITYCZNE 9 Dzieki temu, że f (z 0 ) 0, z rzeczywistego twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie wynika, że istnieja odp. otoczenia U i V, t.że f : U V jest bijekcja klasy C 1 oraz f 1 jest również klasy C 1. Zapiszmy f 1 = α + iβ. Różniczka f 1 jest równa ( ) ( ) αx α y = A 1 1 ux u = y β x β y u 2 x + u 2. y u y u x W szczególności α x = β y, α y = β x, czyli f 1 jest holomorficzna. Formu l e (2.6) dostaniemy różniczkujac wzór f 1 (f(z)) = z, z U. Ćwiczenie Pokazać, że Log z O(C \ (, 0]) oraz (Log z) = 1/z. Podamy teraz formu l e na różniczkowanie z lożenia funkcji zespolonej z krzywa. Za lóżmy, że funkcje f : Ω C oraz γ = (γ 1, γ 2 ) : (a, b) Ω sa różniczkowalne (w klasycznym sensie). Wtedy, korzystajac z (rzeczywistej) formu ly na pochodna z lożenia oraz z (2.3), (2.5), otrzymamy (2.7) d dt f(γ(t)) = f x(γ(t)) γ 1(t) + f y (γ(t)) γ 2(t) = f z (γ(t)) γ (t) + f z (γ(t))γ (t). 3. Ca lkowanie funkcji zespolonych Niech a, b R, a < b. Funkcje γ : [a, b] C nazywamy droga, jeżeli γ jest ciag la oraz γ jest kawa lkami klasy C 1, tzn. istnieja a = t 0 < t 1 < < t n = b takie, że γ C 1 ([t j, t j+1 ]), j = 0, 1,..., n 1. Punkt γ(a) nazywamy poczatkiem zaś γ(b) końcem drogi γ. Obraz γ bedziemy oznaczać γ. Jeżeli γ(a) = γ(b), to γ nazywamy droga zamkniet a. Za lóżmy, że f : γ([a, b]) C jest funkcja ciag l a. Definiujemy γ f(z)dz := b a f(γ(t))γ (t)dt. (Powyższa definicje otrzymamy także rozpatrujac cześć rzeczywista i urojona formy różniczkowej f dz = (u + iv)(dx + idy).) Zauważmy, że funkcja pod ca lka jest ca lkowalna w sensie Riemanna niezależnie od tego jakie wartości przyjmuje w punktach t j. Ponadto, jeżeli ϕ : [c, d] [a, b] jest dyfeomorfizmem, to γ := γ ϕ jest droga taka, że γ = γ oraz { d f(z)dz = f(γ(ϕ(s)))γ (ϕ(s))ϕ γ (s)ds = f(z)dz, jeżeli ϕ > 0; γ f(z)dz, jeżeli ϕ < 0. γ c Zatem, jeżeli γ (a,b) jest iniekcja, to f(z)dz zależy tylko od obrazu γ oraz od γ kierunku, w którym ca lkujemy, tzn. od orientacji. W takiej sytuacji bedziemy czesto utożsamiać drogi z ich obrazem oraz odpowiednia orientacja.
10 ZBIGNIEW B LOCKI W szczególności, jeżeli D jest obszarem, którego brzeg można iniektywnie sparametryzować droga zamkniet a, to możemy mówić o dodatniej orientacji D - bedzie nia dowolna parametryzacja o kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Ca lka f(z)dz ma wówczas sens, gdyż nie zależy od wyboru takiej parametryzacji (i jest ona zgodna z ca lka D z formy po krzywej g ladkiej). Bedziemy używać tego oznaczenia przede wszystkim, gdy D jest ko lem lub wnetrzem trójkata. Jeżeli f jest określone w pewnym otoczeniu γ i ma tam funkcje pierwotna, tzn. istnieje funkcja holomorficzna F taka, że F = f, to z (2.7) otrzymamy (3.1) γ f(z)dz = b a d F (γ(t)) dt = F (γ(b)) F (γ(a)). dt W szczególności, jeżeli γ jest droga zamkniet a, to f(z)dz = 0. γ Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f = u + iv ma pierwotna, to pole wektorowe (v, u) jest potencjalne, tzn. (v, u) = χ dla pewnej funkcji χ. Przyk lad. Dla n Z, z 0 C oraz r > 0 obliczymy (z z 0 ) n dz. K(z 0,r) Dla n 1 pierwotna funkcji podca lkowej jest funkcja (z z 0 ) n+1 /(n+1), określona na C \ {z 0 }. W tym przypadku wiec, dzieki (3.1), nasza ca lka znika. Dla n = 1 po lóżmy γ j (t) = z 0 + re it, a j t b j, gdzie a j jest pewnym ciagiem malejacym do zera, zaś b j rosnacym do 2π. Wtedy, także z (3.1), mamy K(z 0,r) Otrzymaliśmy wiec (3.2) dz z z 0 = lim j K(z 0,r) γ j dz ( = lim Log (re ib j ) Log (re ia j ) ) = 2πi. z z 0 j { 0, jeżeli n 1; (z z 0 ) n dz = 2πi, jeżeli n = 1. Pokazuje to w szczególności, że funkcja 1/(z z 0 ) nie ma pierwotnej w żadnym pierścieniu o środku w z 0. Jeżeli z, w C, to przez [z, w] oznaczamy droge dana przez parametryzacje γ(t) = (1 t)z + tw, t [0, 1]. Ćwiczenie Obliczyć Log z dz. Ćwiczenie Zauważmy, że (3.3) [1,i] Podobnie jak powyżej pokazać, że dζ ζ z = 2πi, z K(z 0, r). γ K(z 0,r) b f(z)dz a f(γ(t)) γ (t) dt l(γ) max f, γ
FUNKCJE ANALITYCZNE 11 gdzie jest d lugościa γ. l(γ) := b a γ (t) dt 4. Twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Podstawowa w lasnościa geometryczna funkcji holomorficznych jest twierdzenie ca lkowe Cauchy ego. Latwo wynika ono ze wzoru Greena w nastepuj acym przypadku (Cauchy, 1825): za lóżmy, że f jest funkcja holomorficzna klasy C 1 w obszarze Ω, natomiast γ jest droga zamkniet a w Ω, która parametryzuje brzeg klasy C 1 obszaru D Ω. Wtedy γ f(z)dz = D d(fdz) = D f z dz dz = 0. G lównym problemem w uogólnieniu tego faktu jest pozbycie sie za lożenia, że f jest klasy C 1. Zosta lo to dokonane przez Goursata w 1900 r. Podstawowym krokiem w dowodzie ogólnej wersji twierdzenia ca lkowego Cauchy ego by lo wykazanie jego wzmocnionej wersji dla brzegu trójkata (sam Goursat rozpatrywa l czworokaty, jak jednak wkrótce zauważy l Pringsheim, naturalnym obiektami metody Goursata by ly trójkaty): Twierdzenie 4.1. Za lóżmy, że f O(Ω \ {z 0 }) C(Ω), gdzie z 0 Ω. Wtedy dla dowolnego trójkata T Ω (czyli otoczki wypuk lej trzech niewspó lliniowych punktów) mamy f(z)dz = 0. T Dowód. Za lóżmy najpierw, że z 0 / T. Przez z 1, z 2, z 3 oznaczmy wierzcho lki T. Rozpatrujac punkty (z j + z k )/2, j, k = 1, 2, 3, dzielimy trójkat T na cztery trójkaty T 1,..., T 4. Mamy wtedy T f(z)dz = 4 j=1 T j f(z)dz. Wybierajac jako T 1 odpowiedni z trójkatów T 1,..., T 4 otrzymamy T f(z)dz T 4 f(z)dz. 1 Zauważmy także, że l( T 1 ) = l( T )/2. W ten sam sposób wybieramy indukcyjnie trójkaty T n, n = 1, 2,..., tak, że f(z)dz T n 1 4 f(z)dz T n
12 ZBIGNIEW B LOCKI oraz l( T n ) = l( T n 1 )/2. Otrzymaliśmy zatem zstepuj acy ciag trójkatów T n taki, że (4.1) f(z)dz T 4n f(z)dz n oraz T (4.2) diam(t n ) l( T n) 2 Z twierdzenia Cantora wynika, że = l( T ) 2 n+1. T n = { z} n=1 dla pewnego z T. Z C-różniczkowalności f w z mamy gdzie f(z) = f( z) + ( f ( z) + ε(z) ) (z z), lim ε(z) = 0. z z Ponieważ funkcja f( z) + f ( z)(z z) ma pierwotna, z (3.1) i (3.3) wynika, że f(z)dz = ε(z)(z z)dz T n T l( T n)diam(t n ) max ε. T n n Korzystajac z (4.1) i (4.2) otrzymamy dla każdego n T f(z)dz (l( T ))2 2 max ε, T n czyli twierdzenie zachodzi przy za lożeniu, że z 0 / T. Jeżeli z 0 T, to dzielac T na trzy (lub dwa) mniejsze trójkaty, których wierzcho lkiem jest z 0 widzimy, że bez straty ogólności możemy za lożyć, że z 0 jest jednym z wierzcho lków T. Jeżeli teraz podzielimy T na trójkat T n o wierzcho lku w z 0 oraz czworokat Q n tak, że l(t n) daży do 0, to z poprzedniej cześci wnioskujemy, że f(z)dz = 0, Q n zatem T f(z)dz = T n f(z)dz l(t n) max f. T Przyk lady. i) Niech f(z) = e z2 i dla R > 0 niech T R bedzie trójkatem o wierzcho lkach 0, R, R + ir. Z Twierdzenia 4.1 mamy f(z)dz = 0. T R
Mamy także, gdy R, π i) e z2 dz e x2 dx = [0,R] 0 2, R ii) e z2 dz [R,R+Ri] = i e t2 R 2 2iRt dt 0 R iii) e z2 dz = (1 + i) e 2it2 dt, [R+Ri,0] skad latwo wnioskujemy, że 0 FUNKCJE ANALITYCZNE 13 0 cos t 2 dt = 0 R 0 sin t 2 dt = e t2 R 2 dt π 8. R 0 e Rt R2 dt 0, Nastepnym krokiem jest pokazanie zwiazku twierdzenia ca lkowego Cauchy ego z istnieniem funkcji pierwotnej: Twierdzenie 4.2. Niech f bedzie funkcja ciag l a w Ω. Wtedy nastepuj ace warunki sa równoważne i) Istnieje F O(Ω) takie, że F = f; ii) f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamknietej γ w Ω. γ Jeżeli Ω jest obszarem gwiaździstym, to powyższe warunki sa równoważne nastepu- jacej w lasności iii) f(z)dz = 0 dla każdego trójkata T Ω. T Dowód. Implikacja i) ii) wynika natychmiast z (3.1). W celu pokazania implikacji przeciwnej ustalmy z 0 Ω. Dla z Ω niech γ bedzie dowolna droga l acz ac a z 0 oraz z. K ladziemy F (z) := f(ζ)dζ. Dzi eki i) widać, że definicja F nie zależy od wyboru γ. Dla odp. ma lych h mamy (4.3) F (z + h) F (z) = a stad, dzieki (3.3), F (z + h) F (z) h f(z) = 1 h [z,z+h] γ [z,z+h] f(ζ)dζ, (f(ζ) f(z))dζ sup f(ζ) f(z). ζ [z,z+h] Z ciag lości f w z wynika, że ostatnie wyrażenie daży do 0. Otrzymaliśmy zatem, że F O(Ω) oraz F = f. Jeżeli Ω jest gwiaździsty, to implikacja ii) iii) jest trywialna, natomiast, zak ladajac, że zachodzi iii) i że Ω jest gwiaździsty wzgledem z 0, k ladziemy F (z) := [z 0,z] f(z)dz, z Ω.
14 ZBIGNIEW B LOCKI Z iii) wynika, że zachodzi (4.3) i identycznie jak poprzednio dowodzimy, że F = f. Z Twierdzeń 4.1 i 4.2 wynika wersja twierdzenia Cauchy ego dla zbiorów gwiaździstych: Wniosek 4.3. Jeżeli obszar Ω jest gwiaździsty i f O(Ω\{z 0 }) C(Ω) dla pewnego z 0 Ω, to f(z)dz = 0 dla każdej drogi zamkni etej γ w Ω. γ 5. Wzór ca lkowy Cauchy ego Podstawowa w lasnościa funkcji holomorficznych jest wzór ca lkowy Cauchy ego (1831), który odtwarza dana funkcje wewnatrz ko la z jej wartości na brzegu. Twierdzenie 5.1. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to (5.1) f(z) = 1 f(ζ) 2πi K(z 0,r) ζ z dζ, z K(z 0, r). Co wiecej, f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz f (n) (z) = n! f(ζ) 2πi K(z 0,r) (ζ z) n+1 dζ, z K(z 0, r), n = 1, 2,... Dowód. Niech Ω b edzie gwiaździstym otoczeniem K(z 0, r), w którym funkcja f jest określona. Dla ζ Ω zdefiniujmy f(ζ) f(z), ζ z, g(ζ) := ζ z f (z), ζ = z. Wtedy g O(Ω \ {z}) C(Ω), zatem Wniosek 3.3 implikuje, że 0 = K(z 0,r) g(ζ)dζ = K(z 0,r) f(ζ) dζ 2πif(z). ζ z Otrzymaliśmy zatem (5.1). Druga cześć tezy wynika z faktu, że możemy teraz różniczkować pod znakiem ca lki, zauważmy, że ( ) n ( ) 1 =0, z ζ z ( ) n ( ) 1 1 = z ζ z (ζ z) n+1.
FUNKCJE ANALITYCZNE 15 Druga cz eść Twierdzenia 5.1 jest specjalnym przypadkiem ogólnego rezulatu o holomorficzności funkcji danej wzorem ca lkowym dla dowolnej drogi (nazywanego lematem o produkcji funkcji holomorficznych): Lemat 5.2. Za lóżmy, że γ jest dowolna droga w C, natomiast g funkcja ciag l a na γ. Po lóżmy g(ζ) f(z) := ζ z dζ, z C \ γ. γ Wtedy f O(C \ γ ), f jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy oraz dla n = 1, 2,... mamy Ćwiczenie f (n) (z) = n! γ Obliczyć K(0,2) g(ζ) (ζ z) n+1 dζ, z C \ γ. e z (z + 1) 2 dz. Jeżeli rozpatrzymy wzór Cauchy ego dla z = z 0 oraz parametryzacj e ζ = z 0 +re it, 0 t 2π, otrzymamy twierdzenie o wartości średniej: Wniosek 5.3. (Poisson, 1823) Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to f(z 0 ) = 1 2π f(z 0 + re it )dt. 2π 0 Bezpośrednia konsekwecja wzoru Cauchy ego jest także nierówność Cauchy ego (1835): Twierdzenie 5.4. Niech f O(K(z 0, r)) bedzie taka, że f M dla pewnej sta lej M. Wtedy f (n) (z 0 ) n! M, n = 1, 2,... rn Dowód. Wystarczy zastosować wzór Cauchy ego w kole K(z 0, ρ) dla ρ < r oraz (3.3), a nast epnie skorzystać z dowolności ρ. 6. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych Udowodnimy teraz szereg w lasności funkcji holomorficznych wynikajacych ze wzoru Cauchy ego. Pokazaliśmy, że każda funkcja holomorficzna jest C-różniczkowalna dowolna ilość razy. W szczególności, każda funkcja, która lokalnie ma pierwotna jest holomorficzna. Z Twierdzenia 4.2 wynika zatem rezultat odwrotny do twierdzenia ca lkowego Cauchy ego: Twierdzenie 6.1. (Morera, 1886) Za lóżmy, że funkcja f C(Ω) spe lnia f(z) dz = 0 T dla każdego trójkata T Ω. Wtedy f O(Ω).
16 ZBIGNIEW B LOCKI Funkcje holomorficzna określona na C nazywamy ca lkowita. Twierdzenie 6.2. (Liouville, 1847, Cauchy, 1844) Każda ograniczona funkcja ca lkowita jest sta la. Dowód. Jeżeli f M na C, to z nierówności Cauchy ego wynika, że f (z) M/r dla każdego z C i r > 0. Jeżeli wiec r, to dostaniemy, że f = 0 na C. Ale to oznacza, że również pochodna rzeczywista f wszedzie znika. Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja f O(C) jest taka, że Re f M dla pewnej sta lej M, to f jest sta la. Ćwiczenie Pokazać, że jeżeli funkcja ca lkowita f spe lnia f(z) C z n, gdy z R, dla pewnych C, R > 0, to f musi być wielomianem stopnia n. Z twierdzenia Liouville a w latwy sposób wynika zasadnicze twierdzenie algebry. Bo jeżeli niesta ly wielomian P nie mia lby pierwiastka, to f := 1/P by loby funkcja ca lkowita. Co wiecej lim f(z) = 0. z W szczególności, f by laby funkcja ograniczona, a wiec na mocy twierdzenia Liouville a otrzymalibyśmy, że P jest sta ly. Nastepnym rezulatem jest zasada maksimum dla funkcji holomorficznych: Twierdzenie 6.3. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω taka, że f osiaga maksimum w Ω, to f jest sta la. Dowód. Dla K(z 0, r) Ω z twierdzenia o wartości średniej wynika, że f(z 0 ) 1 2π f(z 0 + re it ) dt. 2π 0 Jeśli zatem f f(z 0 ) na K(z 0, r), to z ciag lości f wynika, że f = f(z 0 ) na K(z 0, r), a wobec dowolności r, także w K(z 0, r). Twierdzimy, że jeżeli f = f(z 0 ) w K(z 0, r), to wtedy f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli f(z 0 ) = 0, to jest to oczywiste, możemy wiec za lożyć, że f 0 w K(z 0, r). Mamy 0 = ( f 2 ) z = f z f + (f z )f = f f, a zatem f = 0, wi ec f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Pokazaliśmy wi ec, że jeżeli f(z 0 ), to f = f(z 0 ) w K(z 0, r). Jeżeli teraz f osiaga maksimum w z 0 Ω, to k ladziemy Ω := {z Ω : f(z) = f(z 0 )}. max f = K(z 0,r) Zbiór ten jest oczywiście domkniety, natomiast z pierwszej cześci dowodu wynika, że jest on również otwarty, co oznacza, że Ω = Ω. Twierdzenie 6.3 to s laba zasada maksimum (zak ladamy, że maksimum jest globalne), nied lugo pokażemy wzmocnienie Twierdzenia 6.3 (przy za lożeniu, że maksimum jest lokalne).
FUNKCJE ANALITYCZNE 17 Ćwiczenie Niech wielomian P (z) = a 0 +a 1 z+ +a n z n b edzie taki, że P (z) 1, gdy z = 1. Pokazać, że a j 1, j = 1,..., n. Ćwiczenie Niech f bedzie funkcja holomorficzna w otoczeniu pierścienia {1 z 3} taka, że f 1, gdy z = 1 oraz f 9, gdy z = 3. Pokazać, że f(z) 4, gdy z = 2. Przy pomocy wzoru Cauchy ego możemy też latwo udowodnić podstawowy rezultat dotyczacy ciagów funkcji holomorficznych: Twierdzenie 6.4. (Weierstrass, 1841) Jeżeli f n jest ciagiem funkcji holomorficznych w Ω zbieżnym lokalnie jednostajnie do funkcji f, to f jest funkcja holomorficzna oraz dla każdego k = 1, 2,... mamy lokalnie jednostajna zbieżność f n (k) f (k). Dowód. Niech K(z 0, r) Ω. Funkcje f n spe lniaja wzór Cauchy ego (3.6), zatem spe lnia go również f. Z Lematu 4.2 wynika, że f jest holomorficzna w K(z 0, r). Co wiecej, z nierówności Cauchy ego (stosowanej w kole K(z, r/2) K(z 0, r), z K(z 0, r/2)) dostaniemy max f n (k) f (k) k! K(z 0,r/2) (r/2) k max f n f. K(z 0,r) 7. Szeregi pot egowe Wyrażenie (7.1) a n (z z 0 ) n, n=0 z C nazywamy szeregiem potegowym o środku w z 0 C i wspó lczynnikach a n C, n = 0, 1,.... Przyk lad. Szereg geometryczny z n. Jest on zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy z < 1. Wynika to ze wzoru Możemy zatem zapisać n=0 1 + z + + z n = 1 zn+1, z 1. 1 z (7.2) n=0 z n = 1, z < 1. 1 z Twierdzenie 7.1. (Cauchy, 1821, Hadamard, 1892) Po lóżmy (7.3) R := 1 n lim sup an. n
18 ZBIGNIEW B LOCKI Wtedy szereg (7.1) jest bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie zbieżny w kole K(z 0, R) oraz rozbieżny dla każdego z C \ K(z 0, R). Dowód. Dla z K(z 0, R) niech r i λ bed a takie, że z z 0 r < R oraz r/r < λ < 1. Wtedy dla n odp. dużego mamy n a n λ/r, zatem N 2 N2 a n (z z 0 ) n a n (z z 0 ) n n=n 1 n=n 1 n=n 1 λ n = λn1 1 λ 0, gdy N 1. Z warunku Cauchy ego zbieżności otrzymaliśmy zatem bezwzgledn a i jednostajna zbieżność szeregu na K(z 0, r). Z drugiej strony, jeżeli z z 0 > R, to istnieje podciag a nk taki, że k n ank 1/ z z 0, co oznacza, że a nk (z z 0 ) n k 1, nie jest zatem spe lniony warunek konieczny zbieżności szeregu. Ko lo K(z 0, R) z Twierdzenia 7.1 nazywamy ko lem zbieżności, zaś R promieniem zbieżności szeregu (7.1). Formu la (7.3) na promień zbieżności szeregu potegowego nosi nazwe wzoru Cauchy ego-hadamarda. Zauważmy, że promień zbieżności szeregu (7.1) jest dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje M > 0 takie, że dla n odp. dużego mamy a n M n - wtedy R 1/M. Twierdzenie 7.1 nie rozstrzyga zbieżności szeregu potegowego na brzegu ko la zbieżności: Przyk lady. Ko lem zbieżności każdego z szeregów z n, n=0 z n n, n=1 n=1 z n jest K(0, 1). n2 i) Szereg z n jest rozbieżny we wszystkich punktach z brzegu ko la zbieżności. ii) Szereg z n /n 2 jest zbieżny bezwzgl ednie na brzegu. iii) Szereg z n /n jest rozbieżny w 1 i zbieżny warunkowo na K(0, 1) \ {1} ( Ćwiczenie ). Istotna w lasnościa szeregów potegowych jest jednoznaczność ich wspó lczynników: Propozycja 7.2. Za lóżmy, że szeregi potegowe a n (z z 0 ) n oraz b n (z z 0 ) n sa zbieżne do tych samych wartości na zbiorze A takim, że z 0 jest punktem skupienia A. Wtedy a n = b n dla wszystkich n. Dowód. Bez straty ogólności możemy za lożyć, że b n = 0 dla wszystkich n. Przypuśćmy, że a m 0 dla pewnego m i wybierzmy najmniejsze takie m. Wtedy a n (z z 0 ) n = (z z 0 ) m n=0 n=0 a n+m (z z 0 ) n, z z 0. Szereg n=0 a n+m(z z 0 ) n, zbieżny do pewnej funkcji ciag lej w otoczeniu z 0 (dzieki Twierdzeniu 7.1), znika dla z A, zatem znika również w z 0, czyli a m = 0 - sprzeczność. Przyk lad. Rozpatrzmy ciag Fibonacciego (1202): a 0 = 0, a 1 = 1, a n = a n 2 + a n 1, n = 2, 3,...
FUNKCJE ANALITYCZNE 19 Ćwiczenie Pokazać, że w pewnym (rzeczywistym) otoczeniu 0 mamy a n x n = n=0 x 1 x x 2 oraz, rozwijajac prawa strone w szereg potegowy, że a n = 1 5 [( 1 + ) n ( 5 2 1 ) n ] 5 2 (de Moivre, 1730). Nastepuj acy rezultat jest bezpośrednia konsekwencja Twierdzenia 6.4 (można go zreszta udowodnić w bardziej elementarny sposób): Twierdzenie 7.3. Suma szeregu potegowego jest funkcja holomorficzna w kole zbieżności. Szereg potegowy można różniczkować wyraz po wyrazie. 8. Podstawowe w lasności funkcji holomorficznych, cd. Udowodnimy najpierw, że każda funkcja holomorficzna w kole jest granica szeregu potegowego, czyli wynik odwrotny do Twierdzenia 7.3: Twierdzenie 8.1. Za lóżmy, że f O(Ω). Wtedy dla każdego z 0 Ω funkcja f rozwija si e w szereg Taylora w kole K(z 0, dist(z 0, Ω)), tzn. f(z) = n=0 f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n, z z 0 < dist(z 0, Ω). n! Dowód. Niech r b edzie takie, że z z 0 < r < dist(z 0, Ω). Skorzystamy ze wzoru Cauchy ego (5.1). Dla ζ K(z 0, r) dzi eki (7.2) mamy 1 ζ z = 1 ζ z 0 1 1 z z 0 ζ z 0 = n=0 (z z 0 ) n (ζ z 0 ) n+1, przy czym zbieżność jest jednostajna dla ζ K(z 0, r). Zatem f(z) = 1 f(ζ) 2πi K(z 0,r) ζ z dζ = 1 (z z 0 ) n 2πi = n=0 n=0 K(z 0,r) f (n) (z 0 ) (z z 0 ) n. n! f(ζ) dζ (ζ z 0 ) n+1 Pokazaliśmy zatem, że funkcje holomorficzne to dok ladnie te funkcje, które można lokalnie rozwinać w szereg potegowy (bed acy równocześnie szeregiem Taylora tej funkcji). Co wiecej, szereg Taylora funkcji holomorficznej w danym punkcie
20 ZBIGNIEW B LOCKI jest zbieżny w każdym kole o środku w tym punkcie, w którym funkcja ta jest określona. Zasad e identyczności dla funkcji holomorficznych latwo teraz wynika z zasady identyczności dla szeregów pot egowych (Propozycja 7.2): Twierdzenie 8.2. Niech f, g bed a funkcjami holomorficznymi w obszarze Ω. Za- lóżmy, że f = g na zbiorze A Ω posiadajacym punkt skupienia w Ω. Wtedy f = g w Ω. Dowód. Jeżeli z 0 jest punktem skupienia zbioru A, to z Twierdzenia 7.6 i Propozycji 7.2 wynika, że f = g w dowolnym kole K(z 0, r) Ω. Zatem zbiór Ω = {z Ω : f = g w pewnym otoczeniu z} jest domkniety w Ω. Ponieważ jest on również oczywiście otwarty, otrzymujemy Ω = Ω. Ćwiczenie i) Czy istnieje f O( ) takie, że f(1/n) = n/(n + 1), n = 2, 3,...? ii) Czy istnieje f O( ) takie, że f(1/n) = n/(n + 2), n = 2, 3,...? iii) Czy istnieje f O( ) takie, że f(1/n) = e n, n = 2, 3,...? (Ozn. := K(0, 1).) Z Twierdzeń 6.3 i 8.2 wynika natychmiast mocna zasada maksimum dla funkcji holomorficznych. Twierdzenie 8.3. Jeżeli f jest funkcja holomorficzna w obszarze Ω taka, że f osiaga maksimum lokalne w Ω, to f jest sta la. Korzystajac z zasady identyczności oraz zasady maksimum można udowodnić twierdzenie o odwzorowaniu otwartym: Twierdzenie 8.4. Niesta le funkcje holomorficzne określone na obszarze w C sa odwzorowaniami otwartymi. Dowód. Trzeba pokazać, że jeżeli f jest funkcja holomorficzna w otoczeniu ko la K(z 0, r), to istnieje δ > 0 takie, że f(k(z 0, r)) K(w 0, δ), gdzie w 0 = f(z 0 ). Wybieramy ε (0, r) tak, że w 0 / f( K(z 0, ε)). Gdyby takie ε nie istnia lo, to dla każdego odp. ma lego ε > 0 znaleźlibyśmy punkty z ε takie, że z 0 z ε = ε oraz f(z ε ) = w 0. Dzieki zasadzie identyczności sta loby to w sprzeczności z tym, że funkcja f nie jest sta la. K ladziemy teraz δ := 1 2 min f(ζ) w 0. ζ K(z 0,ε) Z definicji ε wynika, że δ > 0. Dla w K(w 0, δ) musimy teraz znaleźć z K(z 0, r) takie, że f(z) = w. Przypuśćmy, że takie z nie istnieje. Z definicji δ mamy f(ζ) w f(ζ) w 0 w 0 w > δ, ζ K(z 0, ε). Funkcja z 1/(f(z) w) jest wi ec holomorficzna w otoczeniu K(z 0, ε), zatem z zasady maksimum wynika, że 1 f(z) w max ζ K(z 0,ε) 1 f(ζ) w < 1 δ, z K(z 0, ε). Dla z = z 0 otrzymamy w 0 w > δ - sprzeczność.
FUNKCJE ANALITYCZNE 21 Zauważmy, że w przypadku rzeczywistym nawet wielomiany nie musza być odwzorowaniami otwartymi, np. f(x) = x 2. Ćwiczenie Pokazać, że z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym latwo wynika s laba zasada maksimum (Twierdzenie 6.3) oraz lemat d Alemberta (Lemat 1.2). 9. Funkcje analityczne Funkcje f : (a, b) R nazywamy analityczna, jeżeli dla każdego x 0 (a, b) istnieje r > 0 takie, że f jest rozwijalna w szereg Taylora w przedziale (x 0 r, x 0 +r). Korzystajac z w lasności szeregów potegowych można elementarnie pokazać naste- pujacy fakt: Propozycja 9.1. Jeżeli funkcje f, g sa funkcjami analitycznymi, to również funkcje f ± g, fg oraz f/g (ta ostatnia pod warunkiem, że g 0) sa analityczne. Przyk lad. Funkcja 1/(1 + x 2 ) jest analityczna na R dzi eki Propozycji 9.1. Szereg Taylora w 0 ma postać (korzystamy z (7.2)) 1 1 + x 2 = ( 1) n x 2n. n=0 Szereg ten jest zbieżny tylko w przedziale ( 1, 1), a wiec, w przeciwieństwie do przypadku zespolonego, funkcji analitycznej nie można zawsze rozwinać w szereg Taylora w maksymalnym przedziale, w którym funkcja jest określona. Funkcje analityczne sa ściśle zwiazane z funkcjami holomorficznymi dzieki naste- pujacej charakteryzacji: Propozycja 9.2. Każda funkcja analityczna na (a, b) jest zacieśnieniem pewnej funkcji holomorficznej określonej w pewnym otoczeniu (a, b) w C. Dowód. Jeżeli dla α (a, b) mamy f(x) = a n (x α) n, x (α r α, α + r α ), n=0 to jest oczywiste (dzieki Twierdzeniu 7.1), że zespolony szereg n=0 a n(z α) n jest zbieżny do funkcji holomorficznej f α w kole K(α, r α ). Co wiecej, z zasady identyczności wynika, że f α = f β w K(α, r α ) K(β, r β ). Na obszarze α (a,b) K(α, r α ) C możemy wiec dobrze zdefiniować funkcje holomorficzna f := f α na K(α, r α ). Zauważmy, że Propozycja 9.1 wynika z Propozycji 9.2 i w lasności funkcji holomorficznych. To, że promień zbieżności szeregu Taylora funkcji 1/(1 + x 2 ) w 0 wynosi 1 wynika z tego, że jej jednoznacznie określone zespolone przed lużenie, czyli funkcja 1/(1 + z 2 ), ma osobliwości w ±i.
22 ZBIGNIEW B LOCKI Podobnie możemy znaleźć promień zbieżności szeregu Taylora w 0 funkcji ( ) 1 x e x 1 = x n. (n + 1)! n=0 Jest ona zacieśnieniem do R funkcji z/(e z 1), która jest holomorficzna w (maksymalnym) obszarze C \ {2kπi : k Z }. Szukany promień jest wi ec równy 2π. Znalezienie go bez korzystania z analizy zespolonej by loby nieporównanie trudniejsze. 10. Globalne twierdzenie ca lkowe Cauchy ego Bedziemy chcieli uogólnić twierdzenie ca lkowe Cauchy ego (zob. Wniosek 4.3) na szersza klase obszarów i dróg zamknietych. W tym celu wprowadzimy pojecie indeksu drogi zamknietej w C. Propozycja 10.1. Dla drogi zamkni etej γ : [a, b] C po lóżmy Ind γ (z) = 1 2πi γ dζ ζ z, z C \ γ. Wtedy i) Ind γ jest funkcja o wartościach ca lkowitych; ii) Ind γ jest sta la na każdej sk ladowej spójnej zbioru C \ γ ; iii) Ind γ 0 na sk ladowej nieograniczonej C \ γ ; iv) Liczba Ind γ (z) jest równa liczbie obrotów (w kierunku odwrotnym do ruchu wskazówek zegara) wektora o poczatku w z i końcu w γ(t), a t b, dooko la z. Dowód. i) Po lóżmy ( t γ ) (s) ϕ(t) = exp a γ(s) z ds, t [a, b], wtedy ϕ = ϕγ /(γ z), a stad (ϕ/(γ z)) = 0 (tam, gdzie γ jest klasy C 1 ). Stad wynika, że funkcja ϕ/(γ z) jest sta la. Korzystajac z faktu, że ϕ(a) = 1, otrzymujemy ( t γ ) (s) exp a γ(s) z ds = γ(t) z γ(a) z, t [a, b]. Dla t = b oznacza to, że exp(2πi Ind γ (z)) = 1, co jest równoważne temu, że Ind γ (z) Z. ii) Wynika natychmiast z i) i z tego, że Ind γ jest funkcja ciag l a (a dzieki lematowi o produkcji funkcji holomorficznych nawet holomorficzna) na C \ γ. iii) Z definicji Ind γ latwo otrzymujemy i wystarczy skorzystać z ii). lim Ind γ(z) = 0 z
FUNKCJE ANALITYCZNE 23 iv) Przez A(t), t [a, b], oznaczymy ca lkowity przyrost argumentu wektora γ(s) z, gdy s rośnie od a do t. Znajdziemy podzia l a = t 0 < t 1 < < t n = b taki, że γ([t j 1, t j ]) jest zawarte w kole niezawierajacym z, j = 1,..., n. Dla danego j możemy wtedy wybrać logarytm tak, by by l ciag ly na γ([t j 1, t j ]). Otrzymamy n tj γ (t) 2πi Ind γ (z) = γ(t) z dt = = j=1 t j 1 n (log(γ(t j ) z) log(γ(t j 1 ) z)) j=1 n ( ) log γ(t j ) z γ(t j 1 ) z + i(a(t j) A(t j 1 )) j=1 = i(a(b) A(a)). W dalszym ciagu wygodnie bedzie ca lkować funkcje zespolone po skończonej sumie dróg (np. po brzegu g ladkiego obszaru wielospójnego). Niech γ 1,..., γ k bed a drogami w C. Tworza one lańcuch, który zapisujemy Γ = γ 1 + + γ k. Obrazem lańcucha Γ jest Γ = γ1 γk. Mamy wtedy k (10.1) f(z)dz := f(z)dz, f C(Γ ), Γ γ j j=1 przy czym prawa strone możemy traktować jako formalna definicje lańcucha Γ, tzn. jako funkcjona l liniowy określony na C(Γ ). Zauważmy, że tak naprawde do tej pory dla danej drogi γ interesowa l nas w laściwie tylko funkcjona l C(γ ) f f(z)dz C. Dlatego też sume γ 1 + +γ k należy rozumieć jako sume odpowiednich funkcjona lów (a oczywiście nie jako sume algebraiczna funkcji γ 1,..., γ k, która zreszta nie mia- laby w ogólnym przypadku sensu). W oczywisty sposób definiujemy sume i różnice dwóch lańcuchów. D lugościa lańcucha Γ = γ 1 + +γ k jest l(γ) = l(γ 1 )+ +l(γ k ). Jest oczywiste (dzieki (3.3)), że norma funkcjona lu (10.1) nie przekracza l(γ). Jeżeli wszystkie drogi γ 1,..., γ k sa zamkniete, to lańcuch Γ = γ 1 + + γ k nazywamy cyklem. Na cykle możemy rozszerzyć pojecie indeksu: Ind Γ (z) := k j=1 γ Ind γj (z) = 1 dζ 2πi Γ ζ z, z C \ Γ. Poniższe twierdzenie precyzyjnie charakteryzuje cykle, dla których zachodzi twierdzenie ca lkowe oraz wzór ca lkowy Cauchy ego (jest ono czasami nazywane twierdzeniem Cauchy ego-dixona): Twierdzenie 10.2. Dla cyklu Γ w obszarze Ω NWSR i) Ind Γ (z) f(z) = 1 f(ζ) dζ, z Ω \ Γ, f O(Ω) (wzór ca lkowy 2πi Γ ζ z Cauchy ego); ii) f(z)dz = 0, f O(Ω) (twierdzenie ca lkowe Cauchy ego); Γ iii) Ind Γ (z) = 0, z C \ Ω.
24 ZBIGNIEW B LOCKI Dowód. (Dixon, 1971) i) ii) Dla f O(Ω) i z Ω \ Γ niech h(ζ) := (ζ z)f(ζ). Wtedy korzystajac z i) mamy 0 = Ind Γ (z) h(z) = 1 f(ζ)dζ. 2πi ii) iii) Dla z C \ Ω funkcja f(ζ) := 1/(ζ z) jest holomorficzna w Ω. iii) i) Niech f O(Ω). Dla z, w Ω po lóżmy { f(z) f(w) z w, z w, g(z, w) := f (z), z = w. Twierdzimy, że g C(Ω Ω). Jest oczywiste, że funkcja g jest ciag la na = {(z, w) Ω Ω : z = w} oraz na Ω Ω \. Dla z, w K(a, r), z w, gdzie r > 0 jest takie że K(a, r) Ω, ze wzoru Cauchy ego dla ko la otrzymamy g(z, w) g(a, a) = 1 2πi = 1 2πi K(a,r) K(a,r) [ 1 z w ( f(ζ) Γ ( f(ζ) ζ z f(ζ) ζ w ) 1 (ζ z)(ζ w) 1 (ζ a) 2 f(ζ) (ζ a) 2 ) dζ. ] dζ Wyrażenie w nawiasie daży do 0 jednostajnie na K(a, r), gdy (z, w) (a, a), a wi ec g C(Ω Ω). Zdefiniujmy Zauważmy, że (10.2) h(z) = 1 2πi h(z) := Γ 1 2πi 1 2πi Z ciag lości g wynika, że h jest ciag la w Ω. Fubiniego mamy Γ Γ g(ζ, z) dζ, z Ω, f(ζ) dζ, z C \ Ω. ζ z g(ζ, z) dζ = 1 f(ζ) 2πi Γ ζ z dζ Ind Γ(z) f(z), z Ω \ Γ. T h(z)dz = 1 g(ζ, z)dz dζ = 0 2πi Γ T Dla trójkata T Ω z twierdzenia (dzieki Wnioskowi 4.3), z twierdzenia Morery otrzymamy zatem holomorficzność h w Ω. Jeżeli U jest sk ladowa spójna C \ Γ taka, że U Ω, to dzieki iii) i Propozycji 10.1.ii mamy Ind Γ (z) = 0, z U, a wiec z (10.2) h(z) = 1 g(ζ, z) dζ = 1 f(ζ) dζ, z U. 2πi 2πi ζ z Γ Z lematu o produkcji funkcji holomorficznych otrzymamy h O(U). L acz ac to z tym, że h O(Ω) wnioskujemy, że h jest funkcja ca lkowita. Co wiecej Γ lim h(z) = 0, z
FUNKCJE ANALITYCZNE 25 z twierdzenia Liouville a mamy zatem h 0. Z (10.2) otrzymujemy i). Mówimy, że cykl Γ jest homologiczny zeru w Ω, jeżeli spe lniony jest warunek iii) w Twierdzeniu 10.2. 11. Szeregi Laurenta Pokazaliśmy, że każda funkcje holomorficzna w kole można przedstawić jako sume szeregu potegowego. Pokażemy teraz, że funkcje określone w pierścieniu P (z 0, r, R) := {z C : r < z z 0 < R} = K(z 0, R) \ K(z 0, r) rozwijaja sie w uogólniony szereg potegowy zawierajacy również potegi ujemne: Twierdzenie 11.1. (Laurent, 1843, Weierstrass, 1841) Jeżeli f O(P (z 0, r, R)), gdzie 0 r < R, to dla z P (z 0, r, R) mamy f(z) = n= a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a k (z z 0 ) k, n=0 k=1 (tzn. oba szeregi sa zbieżne), gdzie dla dowolnego ρ (r, R) (11.1) a n = 1 f(ζ) dζ, n Z. 2πi B(z 0,ρ) (ζ z 0 ) n+1 Dowód. Niech r, R bed a takie, że r < r < R < R. Wtedy P (z 0, r, R ) jest cyklem (orientacja dodatnia wzgledem wnetrza, czyli zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara na K(z 0, r ) i z kierunkiem odwrotnym na K(z 0, R )) takim, że { 0, z C \ P (z0, r, R ), Ind P (z0,r,r )(z) = 1, z P (z 0, r, R ). Spe lniony jest wiec warunek iii) w Twierdzeniu 10.2 (z Ω = P (z 0, r, R)). Dzieki równoważnemu warunkowi ii) dostaniemy teraz niezależność prawej strony (11.1) od ρ (bo funkcja podca lkowa jest holomorficzna w P (z 0, r, R)). Z i) otrzymamy natomiast dla z P (z 0, r, R ) f(z) = 1 ( f(ζ) 2πi P (z 0,r,R) ζ z dζ = 1 ). 2πi K(z 0,R) K(z 0,r) Rozumujemy teraz jak w dowodzie Twierdzenia 8.1. Z (7.2) otrzymamy (z z 0 ) n 1 (ζ z ζ z = n=0 0 ) n+1, ζ K(z 0, R), (ζ z 0 ) k 1 (z z 0 ) k, ζ K(z 0, r), k=1 przy czym zbieżność jest jednostajna wzgledem ζ na, odpowiednio, K(z 0, R) i K(z 0, r).
26 ZBIGNIEW B LOCKI Szereg postaci (11.2) n= a n (z z 0 ) n nazywamy szeregiem Laurenta. Jest on suma dwóch szeregów: cześci regularnej oraz cz eści osobliwej a n (z z 0 ) n = a 0 + a 1 (z z 0 ) +..., n 0 n 1 a n (z z 0 ) n = a 1 + a 2 z z 0 (z z 0 ) 2 +... Mówimy, że szereg Laurenta (11.2) jest zbieżny w z, jeżeli w z zbieżna jest jego cz eść regularna oraz cz eść osobliwa. Twierdzenie 11.2. Cześć regularna szeregu Laurenta (11.2) jest zbieżna bezwzgled- nie i lokalnie jednostajnie w kole K(z 0, R), rozbieżna dla każdego z C \ K(z 0, R), gdzie 1 R = lim sup a n. 1/n n Cz eść osobliwa szeregu Laurenta (11.2) jest zbieżna bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie w C \ K(z 0, r), rozbieżna dla każdego z K(z 0, r), gdzie r = lim sup a k 1/k = k 1 lim sup a n. 1/n n Jeżeli r < R, to szereg Laurenta (11.2) jest zbieżny bezwzgl ednie i lokalnie jednostajnie w pierścieniu P (z 0, r, R), rozbieżny dla każdego z C \ P (z 0, r, R). Dowód. Pierwsza cz eść to dok ladnie Twierdzenie 7.1. Po podstawieniu cz eść osobliwa b edzie mia la postać n 1 w = 1 z z 0, a n (z z 0 ) n = a k w k, a promień zbieżności tego szeregu jest równy 1/r. Stad wynika druga cześć twierdzenia, zaś trzecia jest natychmiastowa konsekwencja pierwszych dwóch. Z Twierdzenia 11.2 wynika w szczególności, że zbieżność w Twierdzeniu 11.1 jest bezwzgl edna i lokalnie jednostajna na P (z 0, r, R). k=1
FUNKCJE ANALITYCZNE 27 Mamy nastepuj aca zasade identyczności dla szeregów Laurenta: Twierdzenie 11.3. Jeżeli szeregi Laurenta a n (z z 0 ) n, n= n= b n (z z 0 ) n sa jednostajnie zbieżne do tej samej granicy na okregu K(z 0, ρ) dla pewnego ρ > 0, to a n = b n dla każdego n Z. Dowód. Bez straty ogólności możemy za lożyć, że b n = 0, n Z. Za lożenie oznacza, że mamy jednostajna zbieżność (11.3) n= a n ρ n e int = 0, t [0, 2π]. Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność w L 2 ([0, 2π]). Dla n, m Z mamy e int, e imt = 2π 0 { 0, n m, e i(n m)t dt = 2π, n = m. Mnożac skalarnie obie strony (11.3) przez e imt otrzymamy a m = 0, m Z. Ćwiczenie Rozwinać funkcje 1/(z 2 z) w szeregi Laurenta w pierścieniach {0 < z < 1} oraz {1 < z < }. 12. Osobliwości funkcji holomorficznych Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma osobliwość izolowana w punkcie z 0, jeżeli f O(U \ {z 0 }), gdzie U jest otwartym otoczeniem punktu z 0 w C. Z Twierdzenia 11.1 (dla r = 0 oraz R takiego, że K(z 0, R) U) wynika, że w otoczeniu z 0 funkcje f możemy rozwinać w szereg Laurenta (12.1) f(z) = n= a n (z z 0 ) n, gdzie wspó lczynniki a n sa wyznaczone jednoznacznie (dzieki Twierdzeniu 11.3; sa one dane przez (11.1)). Jeżeli a n = 0 dla n = 1, 2,..., to mówimy, że f ma osobliwość pozorna w z 0. Jeżeli istnieje m 1 takie, że a m 0 oraz a n = 0 dla n < m, to mówimy, że f ma biegun rzedu m w z 0 (jeżeli m = 1, to biegun nazywamy prostym). W pozosta lych przypadkach (tzn., gdy istnieje nieskończenie wiele n < 0 takich, że a n 0) mówimy, że f ma istotna osobliwość w z 0. Jest jasne, że funkcja holomorficzna ma pozorna osobliwość w z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy przed luża sie do funkcji holomorficznej w otoczeniu z 0 (z tego powodu osobliwości pozorne sa również nazywane usuwalnymi). Jeżeli f ma biegun rzedu m w z 0, to (12.2) f(z) = a m (z z 0 ) m + a m+1 (z z 0 ) m 1 +... = h(z) (z z 0 ) m, gdzie h jest funkcja holomorficzna w otoczeniu z 0 taka, że h(z 0 ) = a m 0.
28 ZBIGNIEW B LOCKI Z drugiej strony, jeżeli g jest holomorficzna w otoczeniu z 0, g 0 i g(z 0 ) = 0, to g(z) = b m (z z 0 ) m + b m+1 (z z 0 ) m+1 + = (z z 0 ) m h(z), gdzie m 1, zaś h jest funkcja holomorficzna w otoczeniu z 0 taka, że h(z 0 ) = a m 0. Takie m nazywamy krotnościa zera funkcji g w z 0. Jest to równoważne temu, że g(z 0 ) = g (z 0 ) = = g (m 1) (z 0 ) = 0, g (m) (z 0 ) 0 (dzi eki wzorowi Taylora). Z powyższych rozważań widać, że dla funkcji holomorficznej f w otoczeniu z 0 mamy f ma w z 0 zero krotności m 1/f ma w z 0 biegun rz edu m. Ogólniej, jeżeli f, g sa holomorficzne w otoczeniu z 0 i maja w z 0 zera krotności, odpowiednio, m i k, to f/g ma w z 0 zero krotności m k, jeżeli m > k, oraz biegun rzedu k m, jeżeli m < k. (Jeżeli m = k, to f/g jest funkcja holomorficzna w otoczeniu z 0 nieznikajac a w z 0 ). W szczególności, funkcja f/g nie może mieć istotnej osobliwości. Przyk lad. Funkcja ma istotna osobliwość w 0. e 1/z = k=0 1 k!z k Jak wynika z poprzednich rezultatów (z Twierdzeń 4.1 i 6.1), każda funkcja holomorficzna posiadajaca osobliwość izolowana w z 0, która można przed lużyć do funkcji ciaglej w z 0, ma w z 0 osobliwość pozorna. Ten fakt udowodni l Riemann w 1851 r. Poniższy, ogólniejszy rezultat jest nazywany twierdzeniem Riemanna o usuwaniu osobliwości: Twierdzenie 12.1. Przypuśćmy, że funkcja holomorficzna f ma w z 0 osobliwość izolowana oraz jest ograniczona w otoczeniu z 0. Wtedy f ma osobliwość pozorna w z 0. Dowód. Niech h(z) := (z z 0 )f(z). Wtedy dla pewnego otoczeniu U punktu z 0 mamy h O(U \ {z 0 }) C(U), a stad h O(U). Ponieważ h ma w z 0 zero krotności 1, a z z 0 zero krotności 1, to f(z) = h(z)/(z z 0 ) ma w z 0 osobliwość pozorna. Twierdzenie 12.2. (Casorati, 1868, Weierstrass, 1876, Sochocki, 1873) Jeżeli funkcja holomorficzna f ma w z 0 istotna osobliwość, to dla każdego odp. ma lego otwartego otoczenia V punktu z 0, zbiór f(v \ {z 0 }) jest gesty w C. Dowód. Przypuśćmy, że twierdzenie nie jest prawdziwe, tzn. istnieje w 0 C oraz ε > 0 takie, że K(w 0, ε) f(v \ {z 0 }) =. Oznacza to, że f w 0 ε w V \ {z 0 }. Funkcja g := 1/(f w 0 ) jest wiec ograniczona w V \{z 0 }, z Twierdzenia 12.1 wynika zatem, że ma w z 0 pozorna osobliwość. Czyli funkcja f = w 0 + 1/g nie może mieć w z 0 istotnej osobliwości - sprzeczność.
FUNKCJE ANALITYCZNE 29 Uwaga. Znacznie mocniejsze (ale i trudniejsze do udowodnienia) niż Twierdzenie 12.2 jest tzw. wielkie twierdzenie Picarda (1879): przy za lożeniach Twierdzenia 12.2 zbiór f(v \ {z 0 }) omija co najwyżej jedna wartość w C. Ćwiczenie Zweryfikować wielkie twierdzenie Picarda w nastepuj acych przypadkach: e 1/z (omija jedna wartość), cos(1/z) (nie omija żadnej wartości). Możemy teraz skojarzyć rodzaje osobliwości izolowanych z istnieniem odpowiednich granic: Twierdzenie 12.3. Za lóżmy, że funkcja holomorficzna f ma osobliwość izolowana w z 0. Wtedy i) f ma pozorna osobliwość w z 0 istnieje lim f(z) C; z z 0 ii) f ma biegun w z 0 lim f(z) = (tzn. lim f(z) = ); z z 0 z z 0 iii) f ma istotna osobliwość w z 0 nie istnieje lim f(z) (ani z C ani ). z z 0 Dowód. i) Natychmiastowa konsekwencja Twierdzenia 12.1 (a nawet Twierdzeń 4.1 i 6.1). ii) Z (12.2) wynika, natomiast wnioskujemy z i) (f nie ma pozornej osobliwości) i Twierdzenia 12.2 (f nie ma istotnej osobliwości). iii) Natychmiastowa konsekwencja i) oraz ii). 13. Twierdzenie o residuach Niech f bedzie funkcja holomorficzna posiadajac a osobliwość izolowana w z 0. W pewnym otoczeniu z 0 mamy rozwiniecie f w szereg Laurenta (12.1), który jest jednostajnie zbieżny na K(z 0, r) dla r > 0 odp. ma lego. Mamy wtedy (13.1) K(z 0,r) f(z)dz = n= a n K(z 0,r) (z z 0 ) n dz = 2πia 1. Liczb e a 1 z rozwini ecia (12.1) nazywamy residuum funkcji f w punkcie z 0 i oznaczamy res z0 f. Ćwiczenie Skonstruować funkcje f O(C \ {0, 1}) majac a istotna osobliwość w 0, biegun rzedu 2 w 1 oraz taka, że res 1 f = 3. Przypuśćmy, że f ma w z 0 biegun rz edu m. Wtedy f(z) = a m (z z 0 ) m + a m+1 (z z 0 ) m 1 +... = h(z) (z z 0 ) m, gdzie funkcja h(z) = a m + a m+1 (z z 0 ) +... jest holomorficzna w otoczeniu z 0. Ze wzoru Taylora otrzymamy a m+k = h(k) (z 0 ), k = 0, 1,... k!
30 ZBIGNIEW B LOCKI Dla k = m 1 dostaniemy nastepuj acy rezultat, który jest podstawowym narze- dziem przy obliczaniu residuów w przypadku biegunów: Propozycja 13.1. Jeżeli funkcja holomorficzna f ma biegun rz edu m w z 0, to res z0 f = ( ) m 1 1 d ( (z z0 ) m f(z) ). (m 1)! dz z=z0 Sformu lujemy teraz i udowodnimy twierdzenie o residuach: Twierdzenie 13.2. Niech Γ bedzie cyklem homologicznym zeru w obszarze Ω. Za lóżmy, że z 1,..., z k Ω \ Γ (z j z l dla j l) i że f O(Ω \ {z 1,..., z k }). Wtedy k f(z)dz = 2πi Ind Γ (z j ) res zj f. Γ j=1 Dowód. Znajdziemy r > 0 takie, że K(z j, r) K(z l, r) = dla j l oraz K(z j, r) Γ =, j, l = 1,..., k. Zastosujemy Twierdzenie 10.2 dla cyklu Γ := Γ k Ind Γ (z j ) K(z j, r) i obszaru Ω \ {z 1,..., z k }. Spe lniony jest warunek iii), zatem z ii) 0 = Γ f(z)dz = Γ j=1 f(z)dz k Ind Γ (z j ) j=1 K(z j,r) f(z)dz i wystarczy skorzystać z (13.1). 13a. Obliczanie pewnych ca lek rzeczywistych Twierdzenie o residuach pozwala obliczyć wiele rzeczywistych ca lek określonych. Poniżej przedstawimy kilka rodzajów takich ca lek. Bedzie to s luży lo przede wszystkim zaprezentowaniu możliwych metod zastosowania twierdzenia o residuach, z ca l a pewnościa poniższa lista nie wyczerpuje przypadków, gdzie można je użyć. I) Ca lki postaci 2π 0 R(cos t, sin t)dt, gdzie R jest funkcja wymierna (czyli R = P/Q, gdzie P i Q sa wielomianami dwóch zmiennych; wielomian Q w tym przypadku nie może mieć zer na rzeczywistym okregu jednostkowym). Podstawiajac z = e it otrzymamy cos t = Re z = z + z 2 sin t = Im z = z z 2i = z + 1/z, 2 = z 1/z 2i