, sin z = eiz e iz. = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0

Transkrypt

1 A. Definicje. z = z z, z = z (cos θ + i sin θ) (argument z - każdy kąt θ spełniający tę równość; każde dwa argumenty z różnią się o całkowitą wielokrotność 2π). Ponadto dla z n z 0 Rez n Rez 0, Imz n Imz Formuła de Moivre a: z z 2 = z z 2 (cos(θ + θ 2 ) + i sin(θ + θ 2 )), w szczególności: z n = z n (cos(nθ) + i sin(nθ)). 3. Eksponenta - exp: C C, t. że expz = e z = lim n ( + z n )n ; e x+iy = e x (cos y + i sin y), x, y R. 4. Funkcje trygonometryczne, z C: cos z = eiz +e iz 2, sin z = eiz e iz 2i ((cos z) = sin z, (sin z) = cos z). 5. Funkcja f : U C określona na zb. otw. U C, z 0 U ma w z 0 pochodną f (z 0 C, jeśli lim z z0 f(z) f(z 0) z z 0 = f (z 0 ) (równoważnie f(z 0 + h) = f(z 0 ) + f (z 0 )h + α(h), gdzie lim h 0 α(h) h = 0). 6. Funkcja f : U C określona na zbiorze zb. otw. U C jest holomorficzna, jeśli ma pochodną w każdym punkcie zbioru U, tzn. jest różniczkowalna na U. 7. Gałąź argumentu w zb. otw. U C\{0} - f. ciągła ϕ : U R t. że z = z (cos ϕ(z) + i sin ϕ(z)), dla z U. 8. Gałąź główna argumentu - f. Arg : C\R ( π, π) (gdzie R = {t R : t 0} przyporządkowująca liczbie zespolonej z / R jedyną liczbę z przedziału ( π, π), która jest argumentem z, jest ciągła, a więc jest gałęzią argumentu w zbiorze C\R. 9. Gałąź logarytmu w zb. otw. U C\{0} - f. ciągła L : U C t. że exp(l(z)) = z, dla z U. 0. Gałąź główna logarytmu - f. Log : C\R C określona: Logz = ln z + iargz, gdzie Arg jest gałęzią główną argumentu.. Gałąź główna potęgi zespolonej o wykładniku w - f. określona na C\R wzorem: z w = exp(wlogz). 2. Całka funkcji ϕ : [a, b] C - f. ϕ jest całkowalna w sensie Riemanna, jeśli obie funkcje Reϕ, Imϕ : [a, b] R są całkowalne w sensie Riemanna i całkę określamy wówczas wzorem: b a ϕ(t)dt = b a Reϕ(t)dt + i b a Imϕ(t)dt. 3. Funkcja ciągła u : [a, b] R kawałkami gładka - jeśli istnieje podział a = a 0 < a <... < a n = b przedziału [a, b] t. że wewnątrz każdego przedziału (a j, a j+ ) f. u ma ciągłą pochodną i istnieją skończone granice lim t a + u (t) oraz j lim t a u (t), w szczególności określona jest całka Riemanna b j+ a u (t)dt. 4. Droga kawałkami gładka - f. ciągła : [a, b] C, której cz. rzeczywista Re : [a, b] R i urojona Im : [a, b] R są kaw. gł. (droga pętlą, jeśli (a) = (b)). Długość drogi kaw. gł. określamy: l() = b a (t) dt ( = (Re ) 2 + (Im ) 2 jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna). 5. Całka ciągłej f. zespolonej f : ([a, b]) C wzdłuż drogi kaw. gł. : [a, b] C: f(z)dz = b a f((t)) (t)dt. (to co pod całką jest całkowalne w sensie Riemanna na [a,b]). 6. F. holo. F : U C jest f. pierwotną na U dla f : U C ciągłej na zb. otw. U C, jeśli F (z) = f(z), dla z U. 7. Pętle 0, : [a, b] U są homotopijne w U C, jeśli istnieje f. ciągła H : [a, b] [0, ] U t. że H(s, 0) = 0 (s), H(s, ) = (s) oraz H(a, t) = H(b, t), dla t [0, ] (tzn. każda droga t (s) = H(s, t) jest pętlą). 8. Ciąg funkcji f n : U C na zb. otw. U C jest zbieżny niemal jednostajnie do funkcji f : U C, jeśli dla każego zbioru zwartego K U ciąg obcięć (f n K) n= zbiega na K jednostajnie do obcięcia f K, tzn. f n f K = sup{ f n (z) f(z) : z K} 0. Szereg n= f n jest zbieżny niemal jednostajnie, jeśli ciąg sum częściowych jest zbieżny niemal jednostajnie. 9. z 0 jest zerem krtoności m funkcji f - jeśli f. holo. f określona w otoczeniu z 0 zeruje się w z 0 i f (m) (z 0 ) jest pierwszą niezerową pochodnąf w z Indeks pętli względem punktu z 0 (gdzie : [a, b] C\{z 0 } - pętla kaw. gł. omijająca z 0 ) - liczba całkowita Ind(, z 0 ) = dz z z 0 = arg( z0) 2π, gdzie ( z 0 )(t) = (t) z 0. Jeśli kaw. gł. pętle, 2 : [a, b] C\{z 0 } są homotopijne w C\{z 0 }, to Ind(, z 0 ) = Ind( 2, z 0 ). 2. Przekształcenie f : W W 2 między zbiorami otw. w C jest konforemne, jeśli jest holo. i wzajemnie jednoznczne.

2 22. Niech U C - zb. otw. z 0 U i niech f : U\{z 0 } C - f. holo. Wówczas: () jeśli istnieje granica lim z z0 f(z) = a, a C, mówimy, że f ma w z 0 osobliwość pozorną; (2) jeśli istnieje granica lim z z0 f(z ) = +, a C, mówimy, że f ma w z 0 biegun; (3) jeśli nie zachodzi ani () ani (2), mówimy, że f ma w z 0 osobliwość istotną. 23. Rząd bieguna z 0 funkcji f - l. naturalna m t. że lim z z0 (z z 0 ) m f(z) = a 0, a C. Jeśli m =, biegun z 0 nazywamy beigunem prostym. 24. F. holo f : U\B C jest meromorficzna na U (gdzie U C - zb. otw., B U - zb. nie mający w U punktów skupienia), jeśli w każdym punkcie b B ma biegun. 25. Residuum funkcji f w punkcie b 0 określamy następująco (gdzie U C - zb. otw.; B U - zb. bez punktów skupienia w U; f : U\B C - f. holo): dla dowolnego koła domkniętego D = {z : z b r} U, r > 0, D B = {b}, Res(f, b) = D f(z)dz. 26. Obszar jednospójny w C - otw. zb. spójny U C t. że każda pętla w U jest homotopijna z pętlą stałą. 27. F. u : U R jest harmoniczna (gdzie U C), jeśli ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu i spełnia równanie Laplace a 2 u x + 2 u 2 y = 0. 2 B. Twierdzenia. Zał. z = a + ib, a = Rez, b = Imz. Teza lim n ( + z n )n = e a (cos b + i sin b). 2. exp(z + z 2 ) = expz expz Tw. Cauchy-Riemanna Zał. f : U C - f. określona na zb. otw. U C, f(z) = u(z) + iv(z), u = Ref, v = Imf i u, v : U R rozpatrywane jako f. zmiennych rzeczywistych mają na U ciągłe pochodne cząstkowe. Teza f jest funkcją holo. na U gdy spełnione są równania Cauchy-Riemanna: u x f (z) = u x (z) i u y 4. (expz) = expz. v v (z) = y (z) + i x (z). 5. Każda gałąź logarytmu L : U C w zb.otw. u C\{0} jest f. holo. i L (z) = z, dla z U. 6. Zał. f : U C - f. ciągła na zb. otw. U C; F - f. pierwotna dla f na U Teza Dla każdej drogi kaw. gł. : [a, b] U zachodzi f(z)dz = F ((b)) F ((a)). 7. Tw. Goursata Zał. f : U C - f. holo na zb. otw. U C Teza Dla każdego trójkąta T U, f(z)dz = 0. T = v y, u y = v x. Ponadto 8. Wzmocnienie tw. Goursata - lemat Zał. f : U C - f. ciągła na zb. otw. U C, z 0 U. Teza Jeśli dla każdego trójkąta T U\{z 0 }, T f(z)dz = 0, to także dla dowolnego trójkąta K U, f(z)dz = 0. K 9. Tw. Cauchy ego Zał. f : U C - f. holo. na zb. otw. U C, D = {z : z z 0 r} U Teza Dla każdego z z wnętrza koła D: () f(z) = D w z dw, (2) f (n) (z) = n! szczególności f. holo jest różniczkowalna nieskońćzenie wiele razy. D (w z) n+ dw, n =, 2,... W 0. Formuła Leibniza - lemat Zał. K C - zb. zwarty, U C - zb. otwarty, F : K U C - f. ciągła t. że dla każdego w K pochodna cząstkowa z F (w, z) jest określona na U i f. z F : K U C - ciągła Teza Dla dowolnej kaw. gł. drogi : [a, b] K: d dz F (w, z)dw =. Tw. Morery Zał. f : U C - f. ciągła na zb. otw. U C Teza Jeśli dla każdego trójkąta T U, f(z)dz = 0, to f jest f. holo. T z F (w, z)dw. 2. Tw. Weierstrassa Zał. f n : U C - ciąg f. holo. na zb. otw. U C, zbieżny niemal jednostajnie do f. f : U C Teza f jest f. holo. i ciąg pochodnych f n : U C jest zbieżny niemal jednostajnie do pochodnej f : U C. 2

3 3. Tw. Cauchy ego-hadamarda Zał. n=0 a n(z z 0 ) n - szereg potęgowy, a n C Teza Promień zbieżności R = lim n, 0 R + tego szeregu ma następujące własności: () szereg a n=0 a n(z n z 0 ) n jest zbieżny niemal jednostajnie w kole otw. {z : z z 0 < R} i jest rozbieżny w każdym punkcie z z 0 > R; (2) suma szeregu f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n jest f. holo. w kole {z : z z 0 < R} i a n = f (n) (z 0) n!, tzn. szereg potęgowy n=0 a n(z z 0 ) n jest szeregiem Taylora dla f. f w tym kole. 4. Zał. f : U C - f. holo. na zb. otw. U C, z 0 U, D = {z : z z 0 < r} U Teza f(z) = f (n) (z 0) n=0 n! (z z 0 ) n, dla z D. 5. Zasada identyczności - lemat pomocniczny Zał. f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n - suma szeregu potęgowego o dodatnim promeiniu zbieżności R, określona w kole {z : z z 0 < R} Teza Jeśli f nie jest tożsamościowo równa zeru, to istnieje otoczenie V punktu z 0 t. że f(z) 0 dla z V \{z 0 }. 6. Zasada identyczności Zał.U C - otw. zbiór spójny Teza Jeśli f. holo. f, g : U C pokrywają się na zbiorze, który ma w U punkt skupienia to f = g. 7. Lemat Zał. f : U C - f. holo. na otw. zb. spójnym U, f(z 0 )=0 i f nie jest stale równa zeru na U Teza Nie wszystkie pochodne f w z 0 są równe zeru i jeśli f (m) (z 0 ) jest pierwszą niezerową pochodną f w z 0, mamy f(z) = (z z 0 ) m g(z) i g(z 0 ) Zał. f : U C - f. holo. na zb. otw. U C, nie zerująca się na żadnej składowej zb. U, K U - zb. zwarty Teza f można zapisać w psotaci f(z) = (z z ) m... (z z k ) m k g(z), gdzie z,..., z k K są zerami f o krotnościach odpowiednio m,..., m k oraz g : U C jest f. holo. nie zerującą się w żadnym punkcie zb. K. 9. Lemat Zał. : [a, b] C\{0} - ciągła droga omijająca 0 Teza Istnieje ciągła droga λ : [a, b] C t. że expλ(t) = (t) dla t [a, b]. Przy tym, jeśli jest kaw. gł., to także λ jest kaw. gł. 20. Lemat Zał. λ : [a, b] C\{0} - droga kawłakami gł. Teza dz (b) z = ln (a) + i arg() (jeśli jest pętlą, (a) = (b), to dz z = arg() 2π jest liczbą całkowitą.) 2. Zał. f : U C - f. holo. w zb. otw. mająca skończenie wiele zer z,... z k w U, prz czym m j jest krotnością zera z j Teza Dla dowolnej kaw. gł. pętli : [a, b] U\{z,..., z k }, homotopijnej w U z pętlą stałą, mamy Ind(f, 0) = f (z) f(z) dz = k j= m jind(, z j ). 22. Tw. Rouché Zał. U C - otw. zb. spójny, : [a, b] U - pętla kaw. gł., homotopijna w U z z pętlą stałą; f, g : U C - f. holo. t. że g((t)) f((t)) < f((t)) dla t [a, b] oraz Ind(, z) =, jeśli f(z) = 0 lub g(z) = 0 Teza N f = N g, gdzie N f i N g są odpowiednio liczbami zer funkcji f i g, liczonych wraz z krotnościami. 23. Zał. f : U C - f. holo. w zb. otw. U C, f(z 0 ) = w 0 i z 0 jest zerem krotności n f. f w 0 Teza Istnieją r > 0 i d > 0 t. że jeśli 0 < w w 0 < d to równanie f(z) = w ma w kole {z : z z 0 < r} dokładnie n pierwiastków, każdy o krotności. 24. Zał. U C - zb. otw., z 0 U; f : U\{z 0 } C - f. holo Teza () f ma w z 0 osobliwość pozorną gdy lim z z0 (z z 0 )f(z) = 0; (2) n.w.s.r.: (i) f ma w z 0 biegun; (ii) istnieje wielomian W stopnia m t. że f. f(z) W ( z z 0 ) ma w z 0 osobliwość pozorną; (3) dla l. naturalnej m lim z z0 (z z 0 ) m f(z) = a, a 0, a C. 25. Szczególny przypadek tw. o resiudach - lemat Zał. W - wielomian; b C; W (b) = W ( z b ) Teza Dla każdej pętli kaw. gł. : [α, β] C\{b}, W ( z b )dz = Res(W (b), b) Ind(, b). 26. Tw. o residuach Zał. U C - zb. otw. B U - zb. skończony; f : U\B C - f. mero. w U Teza Dla każdej pętli kaw. gł. : [α, β] U\B, homotopijnej w U z pętlą stałą f(z)dz = b B Res(f, b) Ind(, b). 3

4 27. Zasada argumentu (uogólnienie tw. 2) Zał. U C - zb. otw.; B U - zb. skończony; f : U\B C - f. mero. w U, mająca skończony zbiór zer Z = {z U\B : f(z) = 0}; n(a) - krotność zera a Z; m(b) - rząd bieguna b B Teza Dla dowolnej pętli kaw. gł. : [α, β] U\(B Z), homotopijnej w U z pętlą stałą, mamy: Ind(f, 0) = f (z) f(z) dz = a Z n(a) Ind(, a) b B m(b) Ind(, b). 28. Tw. Casoratiego - Weierstrassa Zał. U C - zb. otw., z 0 U; f : U\{z 0 } C - f. holo. Teza Jeśli f nie ma w z 0 ani osobliwości pozornej, ani tez bieguna, to dla każdego w C istnieje ciąg z n U\{z 0 } t. że z n z 0 i f(z n ) w. 29. Funkcja f : P C holo. w pierścieniu P = {z : R < z z 0 < R 2 }, 0 R < R 2 +, rozwija się w szereg Laurenta f(z) = n= a n(z z 0 ) n = n=0 a n(z z 0 ) n + n= a n (z z 0), gdzie () oba szeregi n n=0 a n(z z 0 ) n i n= a n (z z 0) są zbieżne w pierścieniu P niemal jednostajnie; (2) dla każdego r (R n, R 2 ) oraz koła D r = {z : z z 0 < r}, a n = f(z) D r (z z 0) dz, n = 0,, 2,.... W szczególności rozwiniecie w szereg Laurenta w n+ pierścieniu P funkcji f jest jednoznaczne. 30. Lemat Schwarza Zał. f : D D - f. holo. koła D = {z : z < } w siebie zachowująca zero, f(0) = 0 Teza f(z) z dla z D i f (0). Ponadto, jeśli dla pewnego z 0 0, f(z 0 = z 0, lub też f (0) =, to istnieje θ R t. że f(z) = e iθ z, dla z D. 3. Każda f. holo. f : U C w obszarze jednospójnym U C ma w U funkcję pierwotną. 32. Tw. Montela Z każdego ciągu f n : U C f. holo., wspólnie ograniczonych na U, f n (z) M dla z U, n =, 2,..., można wybrać podciąg zbieżny na U niemal jednostajnie. 33. Tw. Hurwitza Zał. f n : U C - ciąg f. holo. zbieżny niemal jednostajnie na otw. zb. spójnym U C do f. f 0 : U C Teza Jeśli wszystkie funkcje f n, n =, 2,... są różnowartośćiowe, to granica f 0 jest albo stała, albo różnowartościowa. 34. Tw. Riemanna Dla każdego obszaru jednospójnego U C, U C istnieje przekształcenie konforemne f : U D na koło D = {z : z < }. Ponadto, dla ustalonego z 0 U, istnieje dokładnie jedno takie przeksztąłcenie konforemne spełniające dodatkowo warunki f(z 0 = 0 i f (z 0 = Ref (z 0 ) > Lemat pomocniczy Zał. U C\{c} - obszar jednospójny, z 0 U i D = {z : z < } Teza Istnieje przekształcenie konforemne g : U g(u), t. że g(u) D, g(z 0 ) = 0, g (z 0 ) = Reg (z 0 ) > Lemat pomocniczy Zał. W D = {z : z < } - obszar jednospojny zawierający zero, a D\W Teza Istnieje przekształcenie konforemne ψ : W ψ(w ) D t. że ψ(0) = 0 oraz ψ (0) = + a 2 a >. 37. Zał. U C - obszar jednospójny Teza Dla każdej f. harmonicznej u : U R istnieje f. holo. f : U C t. że u = Ref (f. v = Imf nazywa się funkcją harmonicznie sprzężoną z u na zb. U). 38. Tw. o wartości średniej Zał. u : U R - f. harmoniczna na zb. otw. U C, D = {z : z a r} U Teza u(a) = 2π 2π u(a + re it )dt. 0 C. Wnioski. Jeśli f. ciągła f : U C ma na U f. pierwotną, to dla każdej kaw. gł. pętli : [a, b] U, f(z)dz = 0 (np. gdy f wielomianem W (z) = a 0 + a (z) +... a n z n ; dla pętli (t) = e it, t [0, 2π], f(z) = z ma f. pierwotnej w pierścieniu {z : 2 < z < 2}, bo f(z)dz = ). 2. Zał. W C - otw. zb. wypukły, f : W C - f. ciągła t. że dla każdego trójkata T W, T f(z)dz = 0 Teza f ma f. pierwotną na W. W szczególności każda f. holo. na W ma na W f. pierwotną. 4

5 3. Zał. f : U C - f. holo na zb. otw. U C Teza Jeśli kaw. gł. pętle 0, : [a, b] U są homotopijne w U to 0 f(z)dz = f(z)dz. 4. Teza poprzedniego wn. pozostaje prawdziwa, jeśli zakłada się jedynie, że f : U C - f. ciągła t. że dla pewnego z 0 U, holo. na U\{z 0 }. 5. Nierówność Cauchy ego Jeśli f : U C jest f. holo. na zb. otw. U C, D = {z : z z 0 r} U i M = sup{ f(z) : z D}, to dla n =, 2,... f (n) (z 0 n! r n M. 6. Tw. Liouville a Jeśli funkcja holo. f : C C jest ograniczona to jest stała. 7. Zasada maksimum modułu Zał. f : U C - f. holo. na zb. otw. i spójnym U C Teza Jeśli istnieje w U t. że f(z) dla z U, to f. f jest stała. 8. Zał. Niech U C - zb. otw. z 0 U, f : U C - f. ciągła Teza Jeśli f jest różniczkowalna w każdym punkcie z U\{z 0 } to jest też różniczkowalna w z Zał. f : U C - f. holo., D = {z : z z 0 r} U, (t) = z 0 + re it, t [0, 2π], r > 0 Teza Jeśli f nie przyjmuje zera na D i N f jest liczbą zer f w kole otwartym D\ D, z których każde liczone jest tyle razy, ile wynosi jego krtoność, to N f = f (z) f(z) dz = Ind(f, 0). 0. F. holo., która nie jest stała na żadnym zb. otw., przekształca zb. otw. na zb. otw. D. Zał. f : W C - f. holo. na zb. otw. W C, z 0 W i f (z 0 0 Teza Istnieje otw. otoczenie W punktu z 0 t. że obcięcie f W : W f(w ) jest przekształceniem konforemnym na zb. otw. f(w ). 2. Zał. f : P C - f. holo. w pierścieniu P = {z : 0 < z z 0 < R}; f(z) = n= a n(z z 0 ) n - rozwinięcie f w szereg Laurenta w tym pierścieniu Teza () f ma w z 0 osobliwość pozorną gdy 0 = a = a 2 =...; (2) f ma w z 0 biegun rzędu m gdy a m 0 oraz 0 = a m = a m 2 =...; (3) f ma w z 0 osobliwość istotną gdy a n 0 dla nieskończenie wielu n. 3. Każde przekształcenie konforemne f : D D koła D = {z : z < } na siebie jest postaci f(z) = e iθ ϕ a (z), gdzie θ R i f(a) = Zał. U C - obszar jednospójny; f : U C - f. holo. nie przyjmująca wartości zero Teza Istnieje f. holo. g : U C t. że exp(g) = f. 5. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierającym zera istnieje gałąź logarytmu (L : U C, exp(l(z)) = z). 6. Jeśli f : U C jest f. holo. na zb. jednospójnym U, nie przyjmującą na U wartości zero, to istnieje f. holo. h : U C t. że f = h Zasada maksimum dla f. harmonicznych Zał. u : U R - f. harmoniczna na otw. zb. spójnym, U C Teza Jeśli dla pewnego a U, u(a) u(z) dla z U, to f. u jest stała na U. D. Uwagi. Formuła Eulera: e iπ =. 2. Liczby zespolone z spełniające warunek e z = w, gdzie w 0 są opisane: z = ln w + iθ, gdzie θ jest argumentem w (w różnią się o całkowitą wielokotność. 3. Utożsamiając liczby zespolone z punktami R 2 możemy rozpatrywać f : U R 2. Pochodna f w z 0 U w sensie rzeczywistym jest przekształceniem liniowym df(z 0 ) : R 2 R 2. Istnienie pochodnej zespolonej znacza różniczkowalność w sensie rzeczywistym i dodatkowo warunek, że przekształcenie liniowe df(z 0 ) jest operacją mnożenia przez liczbę zespoloną: df(z 0 )(h) = f (z 0 ) h, gdzie f (z 0 ) = a + ib, h = h + ih Reguły różniczkowania funkcji zespolonych są analogiczne do reguł różniczkowania funkcji rzeczywistych: (f +g) (z 0 ) = f (z 0 )+g (z 0 ); (f g) (z 0 ) = f (z 0 ) g(z 0 )+f(z 0 ) g (z 0 ); ( f g ) (z 0 ) = f (z 0) g(z 0) f(z 0) g (z 0) g 2 (z 0) ; (f g) (z 0 ) = f (g(z 0 )) g(z 0 ). Ponadto, jeśli f : U C holo. w zb. otw. U C i ϕ : (a, b) U jest f. różniczkowalną zmiennej rzeczywistej, ϕ (t) = (Reϕ) (t) = i(imϕ) (t), to: (f ϕ) (t) = f (ϕ(t)) ϕ (t). 5

6 5. W pierścieniuu U = {z : 2 < z < 2} nie istnieje gałąź argumentu. 6. Jeśli ϕ : U R jest gałęzią argumentu, to L(z) = ln z + iϕ(z) jest gałęzią logarytmu w U. 7. Jeśli ϕ, ϕ 2 : [a, b] R są całkowalne w sensie Riemanna i w C, to: b a (ϕ (t)+wϕ 2 (t))dt = b a ϕ (t)dt+w b a ϕ 2(t)dt oraz b a ϕ(t)dt b a ϕ(t) dt. 8. Jeśli T : [c, d] [a, b] jest kaw. gł. homeomorfizmem, to droga τ : [c, d] C jest kaw. gł. i f(z)dz = ( ) = τ f(z)dz, jeśli τ nie zmienia orientacji albo ( ) = f(z)dz wpp. 9. Całka wzdłuż zorientowanej łamanej w C ((t) = z 0 + t(z z 0 ), t [0, ] - standardowa parametryzacja odcinka [z 0, z ] C i przyjmujemy [z f(z)dz = 0,z ] f(z)dz = (z z 0 ) 0 f(z 0 + t(z z 0 ))dt, gdzie f : [z0, z ] C, f - ciągła). 0. Całka wzdłuż zorientowanego brzegu koła w C ((t) = z 0 + re it, t [0, 2π] - standardowa parametryzacja okręgu D = {z : z z 0 = r} i przyjmujemy D f(z)dz = f(z)dz = ir 2π f(z re it )e it dt, gdzie f : D C, f - ciągła; w szczególności dz D z z 0 = ).. Niech : [a, b] C - droga kaw. gł. i f : ([a, b]) C - f. ciągła. Wówczas f(z)dz l() sup{ f(z) : z ([a, b])}. 2. Z tw. Liouville a wynika natychmiast zasadnicze tw. algebry. 3. Zał. f n : U C - ciąg f. ciągłych zbieżny niemal jednostajnie do f : U C, U -zb. otw. w C Teza () f jest f. ciągłą; (2) dla każdej kaw. gł. drogi : [a, b] U, n f(z)dz f(z)dz. 4. M-test Weierstrassa Jeśli dla ciągu f n : K C f. ogarniczonych szereg n f n K norm f n K = sup{ f n (z) : z K} jest zbieżny, to szereg funkcyjny n f n jest zbieżny jednostajnie na K. 5. Rozwinięcia w szereg, z C: expz = + z! + z2 2! +... = sin z = z z3 3! + z5 5!... = z2n+ n=0 ( )n (2n+)! z z2 2 + z = zn n= ( )n+ (n, z <. n=0 zn z2 n! ; cos z = 2! + z4 4!... = z2n n=0 ( )n (2n)! ;. W kole z <, gałęzi głównej logarytmu: Log( + z) = 6. Niech : [a, b] C\{0}, λ : [a, b] C - drogi opisane w tw. 9, = expλ = e Reλ e iimλ. Wówczas Reλ = ln oraz dla każdego t [a, b] Im(t) jest argumentem liczby zespolonej (t). Liczbę rzeczywistą arg () = Imλ(b) Imλ(a) nazywać będziemy przyrostem argumentu wzdłuż drogi. Zauważmy, że arg () nie zależy od wyboru λ oraz, że jeśli, 2 : [a, b] C\{0}, są drogami, λ, λ 2 : [a, b] C i j = expλ j, to 2 = exp(λ + λ 2 ), więc otrzymujemy: arg ( 2 ) = arg ( ) + arg ( 2 ). 7. Założenie g f < f zapewnia, że pętla nie przechodzi przez żadne zero funkcji f lub g. Ponadto, f i g mają tylko skończenie wiele zer. 8. Jeśli f. f holo. w otoczeniu z 0 ma w z 0 zero krotności n, to istnieje otoczenie W punktu z 0 t. że dla każdego z W \{z 0 }, f(z) 0 i f (z) Zał. f : W W 2 - przekształcenie konforemne między zb. otw. W, W 2 C Teza () z Wn. 0 wynika, że f jest homeomorfizmem W na W 2 ; (2) z tw. 24 wynika, że f (z) 0 dla z W ; (3) przekształcenie odwrotne f : W 2 W jest konforemne. 20. () Jeśli f ma w b biegun rzędu m, to Res(f, b) = (m )! lim z b dm dz ((z b) m f(z)); (2) niech f(z) = g(z) m h(z), gdzie g i h są holo. w otoczeniu b, g(b) 0 i h ma w b zero krotności m. Wówczas f ma w b biegun rzędu m; (3) jeśli w (2), h ma w b zero jednokrotne, h (b) 0, to w b jest biegunem prostym f oraz Res(f, b) = g(b) h (b). 2. Przykład osobliwości istotnej - f. exp( z ) w zerze: dla t R mamy lim t 0 + exp( t ) = + oraz exp( it ) = exp( i t ) =, a więc f nie ma w zerze ani osobliwości pozornej, ani też bieguna. 22. Zał. D = {z : z < }; dla a D ϕ a (z) = z a āz, z a Teza () f. ϕ a jest holo. w kole {z : z < a } zawierającym D; (2)ϕ a (D) = D, ϕ a ( D) = D, ϕ a (a) = 0, ϕ a (0) = a; (3) ϕ a : D D jest przekształceniem konforemnym i (ϕ a ) = ϕ a D; (4)ϕ a(0) = a 2, ϕ a(a) = a Zał. U C - obszar jednospójny Teza Dla dowolnej f. holo. f : U C i, 2 : [c, d] U dróg kaw. gł. o wspólnym początku i końcu ( (c) = 2 (c), (d) = 2 (d) mamy f(z)dz = 2 f(z)dz. 24. Jeśli f : U C jest f. holo., to z równań Cauchy-Riemanna wynika, że obie f. Ref i Imf są harmoniczne. 6

7 E.Dowody Tw. 3 Cauchy-Riemanna Istnienie ciągłych pochodnych [ cząstkowych gwarantuje istnienie pochodnej rzeczywistej df(z) w każdym punkcie u x z U. Istnienie pochodnej (z) u y (z) ] [ ] a b v x (z) v y (z) =, co jest równoważne równaniom C-R. Ponieważ f b a (z 0 ) = a+ib, to mamy drugą cz. tezy. Tw. 7 Goursata Lemat: Dla każdego trójkąta K U można wybrać trójkąt L K t. że. l( L) = 2 l( K) oraz L f(z)dz 4 K f(z)dz. Łącząc środki boków trójkąta K odcinkami dostajemy 4 przystające trójkąty K, K 2, K 3, K 4, t. że l( K j = 2 l( K) oraz K f(z)dz = 4 j= K j f(z)dz. Dla pewnego wskaźnika j mamy K j f(z)dz 4 f(z)dz i wybieramy K L = K j. Z lematu można wybrać ciąg trójkątów T = T 0 T T 2... t. że dla j = 0,,... l( T j+ ) = 2 l( T j) (), T j+ f(z)dz 4 T j f(z)dz. Zwartość trójkąta T gwarantuje istnienie z 0 j=0 T j (2). f(z) = f(z 0 )+f (z 0 )(z α(z) z 0 ) + α(z) (3), lim z z0 z z 0 = 0. Ponieważ całka wielomianu po brzegu trójkąta znika dla j = 0,,... dostajemy T j f(z)dz = T j α(z)dz (4). Z () dla j = 0,,...: l( T j ) = ( 2 )j l( T ), T f(z)dz 4j T j f(z)dz (5). Ustalmy teraz dowolne ɛ > 0 i korzystając z (3) wybierzmy δ > 0 t. że α(z) ɛ z z 0, jeśli z z 0 < δ. Wybierzmy następnie j t. że. l(δt j ) < δ. Wówczas z (2) i (6): α(z) ɛ l(δt j ) dla z T j. Z (4), (5), (7) dostajemy T f(z)dz 4 j T j f(z)dz = 4 j Tj α(z)dz 4 j T j α(z) dz 4 j l( T j ) 2 ɛ. Zatem z (5): T f(z)dz 4j 4 l( T ) 2 ɛ = j ɛ l( T ) 2. Wobec dowolności ɛ, f(z)dz = 0. T Tw. 9 Cauchy ego Wzmocnimy najpierw Uw. 9, pokazując, że z D\ D dw D w z =. W tym celu wybierzmy koło K = {w : w z d} D\ D. Niech 0 (s) = z 0 + re is, s [0, 2π] i niech (s) będzie punktem na okręgu K leżącym na odcinku [z, 0 (s)]. Pętle 0 i są homotopijne w U\{z} i f. w w z jest holo. w tym zb., zatem z Wn. 2 dw D w z = dw 0 w z = dw w z = dw K w z =. Teraz wybierzmy R > r t. że koło otw. W = {w : z 0 w < R} jest zawarte w U. Ustalmy punkt z D\ D i rozpatrzmy f. g : W C: g(w) = f(z) w z W \{z}. Zgodnie z Tw. 8, Wn. 2 i Wn. D g(w)dw = 0. Zatem D Zastosujemy formułę Leibniza (Tw. 0) do f. F n (w, z) = d dz D w z dw = d dz D F (w, z)dw = D z F (w, z)dw = D jeśli w z i g(w) = f (z) wpp. Funkcja g jest ciągła w kole W i holo. na w z dz = f(z) dw D w z = f(z) (). (w z), (w, z) D (D\ D), n =, 2,... Mamy n (w z) 2 dw, czyli z () f (z) = D (w z) 2 dw. Tw. Morery Niech z 0 U i W = {z : z z0 r} U, r > 0. Z Wn. 2 f ma f. pierwotną na W, tzn. f. holo. F : W C t. że f = F. Z tw.9 F jest różniczkowalna nieskończenie wiele razy, w szczególności F jest pochodną f na W. Tak więc f. f jest różniczkowalna w z 0 Tw. 2 Weierstrassa Holo. f wynika natychmiast z Tw. i Uw. 3: dla dowolnego trójkąta T U, 0 = T f n(z)dz f(z)dz, a więc T f(z)dz = 0. δt Ustalmy dowolny zb. zwarty K U i niech d = inf{ z w : z K, w / U} > 0 (). Zb. zwarty K można pokryć skońćzenie wieloma kołami o środkach leżych w K i promieniu d 3, K n j= C j, C j = {z : z z j < d 3 }, z j K (2) i niech D j = {z : z z j 2 3 d}, E = D... D n. Wówczas C j D j i E U. Ze wzoru Cauchy ego z C j mamy: f (z) f n(z) = 2π D j (w z) dw f n(w) 2 D j (w z) dw f n(w) 2 2π D j w z dw f f n Dj 2 2π (2π 2 ( 3 d)2 3d). Zatem z (2), (3): f f n K 6 d f f n E, a ponieważ E jest zwarty f f n E 0, a więc f f n K 0. Tw. 6 Zasada identyczności Niech h = f g i niech E = {z U : h zeruje się w pewnym otoczeniu punktu z} (). Zauważmy, że jeśli h(z n = 0, z n z 0, z 0 U, z n z 0 dla n 0, to z 0 E (2). Istatnie, h jest f. holo. na U, rozwija się, więc wokół z 0 w szereg potęgowy (Tw. 4), zatem zgodnie z Tw. 5, zeruje się w pewnym otoczeniu z 0. Stąd i zał. wynika także, że E. Z (2) wynika, że zbiór E zawiera wszystkie swoje punkty skupienia należące do U, a więc jest relatywnie domknięty w U. Jednocześnie z () E jest zbiorem otw., więc ze spójności U wnosimy, że U = E. Tw. 22 Rouché Z założeń i Tw. 2 wynika, że N f = Ind(f, 0), N g = Ind(g, 0). Pozostaje spr., że pętle f i g są homotopijne 7

8 w \{0}. Przyjmijmy 0 = f, = g i niech H(s, t) = 0 (s) + t( (s) 0 (s)), (s, t) [a, b] [0, ]. Wówczas H(s, t 0 (s) t (s) 0 (s) > 0 (s) t 0 (s) 0, a więc H jest homotopią w C\{0} między 0 i. Tw. 26 o residuach Zgodnie z Tw. 25 b B można wskazać wielomian W b (z) t. że f. f(z) W b ( z b ) ma w b osobliwość pozorną. Wówczas g(z) = f(z) b B W b( z b ) ma w każdym punkcie b B osobliwość pozorną i g można rozszeryć na U do f. holo. przyjmując g(b) = lim z b g(z). Ponieważ jest w U homotopijna z pętlą stała, więc g(z)dz = 0 i z def. residuum i Tw. 26 wnosimy, że f(z)dz = b B W b( z b )dz = b B Res(W (b), b) Ind(, b). Stosując ten wzór do pętli t b + re it, t [0, 2π], obiegającej brzeg koła D = {z : z b r} U rozłącznego z B\{b} mamy też Res(f, b) = Res(W (b), b). Stąd wynika tw. o residuach. Tw. 27 Zasada argumentu Tak jak w dowodzie Tw. 26 b B można znaleźć wielomian W b (z) stopnia m(b) t. że f. g(z) = f(z) b B W b( z b ) () ma w każdym punkcie b B osobobliwość pozorną i przyjmując g(b) = lim z b g(z), rozszerzamyy g do f. holo na h(z) U. Formułę () można zapisać w postaci f(z) = (2), gdzie h : U C - f. holo (przy czym h(b) 0 b B (z b)m(b) dla b B, bo inaczej f miałoby w b biegun rzędu niższego niż m(b), Def. 23). Ponieważ h i f mają identyczne zera, z takimi samymi krotnościami h(z) = a Z (z a)n(a) )ϕ(z) (3), gdzie ϕ : U C jest f. holo na U, nie zerującą się w żadnym punkcie U (Tw. 8). Z (2) i (3) mamy więc f(z) = ( a Z (z a)n(a) )( b B (z b)m(b) )ϕ(z). Zatem na zbiorze U\(B Z), f (z) f(z) = n(a) a Z z a m(b) b B z b jest holo. na U, ϕ (z) ϕ(z) dz = 0, zatem z (4) dostajemy Pozostaje przypomnieć, że f (z) f(z) dz = Ind(f, 0). + ϕ (z) ϕ(z) (4). Ponieważ jest homotopijna ze stałą w U i ϕ (z) ϕ(z) f (z) f(z) dz = a Z n(a)ind(, a) b B m(b)ind(, b). Tw. 28 Casoratiego-Weierstrassa Zał. że dla pewnego w 0 C nie istnieje ciąg z n z 0 t. że f(z n ) w 0. To oznacza, że dla pewnych liczb dodatnich d,r, () jeśli 0 < z z 0 < r, to f(z) w 0 d. Rozpatrzmy koło D = {z : z z 0 < r} i funkcję h : D\{z 0 C określoną formułą h(z) = f(z) w 0 (2), z D\{z 0 }. F. h jest ograniczona, więc lim z z0 (z z 0 )h(z) = 0 i zgodnie z Tw. 24 (), ha ma w z 0 osobliwość pozorną, lim z z0 h(z) = a. Jeśli a 0, mamy z (2), lim z z0 f(z) = a + w 0, a więc f ma w z 0 osobliwość pozorną. Jeśli a = 0, lim z z0 f(z) =, a więc f ma w z 0 biegun. Tw. 32 Montela Spr., że rodzina f. f n, n =, 2,... jest jednakowo ciągła w każdym punkcie z 0 U, tzn. ɛ > 0 δ > 0 z U n z z 0 < δ, to f n (z) f n (z 0 ) < ɛ (). W tym celu rozpatrzmy koło D r = {z : z z 0 r} U, r > 0. Jeśli z z 0 < r 2, mamy f n(z) f n (z 0 ) = D r f n(w) w z dw 2πrM z z 0 2π( r 2 )2 = 4M r z z 0. Tak więc, dla zadanego ɛ > 0, δ = min( r 2, ɛr 4M f n(w) D r w z 0 dw = 2π f n(w)(z z 0) D r (w z)(w z dw 0) ) spełnia (), dla z U i n =, 2,.... Niech K p = {z U : z p i z w p dla w / U. Zbiory K p są zwarte, K K 2... U i każdy zbiór zwarty leżący w U jest zawarty w pewnym zb. K p. Twierdzenie Ascoliego-Arzeli, warunek () i wspólna ogarniczoność rodziny f n, n =, 2,... zapewniają, że można kolejno wybrać ciągi f, f 2, f 3,... (wiersz ), f 2, f 22, f 23,... (wiersz 2)..., tak że f, f 2,... jest podciągiem ciągu f, f 2,..., f p+,, f p+,2,... jest podciągiem ciągu f p,, f p,2,... i każdy ciąg f p, f p2,... zbiega jednostajnie na K p. Wówczas ciąg przekątniowy f, f 22,... jest podciągiem ciągu f, f 2,... zbieżnym niemal jednostajnie na U. Tw. 33 Hurwitza Zał. że f. f 0 nie jest stała na U i niech z 0, z U, z 0 z, w 0 = f 0 (z 0 ), w n = f n (z o ), n =, 2... (2). Ponieważ f 0 nie jest stała, z nie jest punktem skupienia zbioru f0 (w 0), można zatem wybrać koło D = {: z z r} U, D f0 (w 0) = (3), z 0 / D. Niech d = inf{ w 0 f 0 (z) : z D} > 0 (4). Ustalmy n t. że (zob. 2) f n f 0 D < d 3, w 0 w n < d 3. Dla z D mamy wówczas (zob. (2), (3), (4)) (f n(z) w n ) (f 0 (z) w 0 ) f n (z) f 0 (z) + w n w 0 < d f 0 (z) w 0, a więc z tw. Roucheé, f 0 w 0 ma w kole D tyle samo zer ( z uwzględnieniem krotności), co f. f n w n. Ponieważ z zał., f n jest f. różnowartościową i z 0 / D (zob. (3)), zatem f n (z 0 ) = w n / f n ( D), czyli f n w n nie zeruje się na D. Tak więc f 0 w 0 nie zeruje się na D i w szczególności, f 0 (z ) w 0 = f 0 (z 0, zob. (2). Wn. 5 Nierówność Cauchy ego Z Tw. 9 i Uw. : f (n) (z 0 ) n! 2π D w z 0 dw n! n+ 2π 2πr M r = n! n+ r M. n Wn. 6 Tw. Liouville a Niech f(z) M dla z C. Ustalmy dowolne z 0 C. Z Wn.5 r > 0, rozpatrując koło {z : z z 0 r} otrzymujemy nierówność f (z 0 ) M r. Wobec dowolności r, f (z 0 = 0. Tak więc pochodna f zeruje się na C i f jest f. stałą. 8

9 Wn. 7 Zasada maksimum modułu Zbiór E = {U U : f(z) = } () jest relatywnie domknięty w U (tzn. Ē U = E). Pokażemy, że jest też otw. Niech z 0 E i D = {z : z z 0 R} U. r (0, R] i koła D r {z : z z 0 r}, z Tw. 9 () i () mamy 2π = 2π f(z 0 ) = f(z) r z z 0 dz f(z) D r z z dz = 0 r D r f(z) dz. Ponieważ 2π = r D r dz ( jest stałą) oraz f(z), dla z D r, wynika stąd, że całka f. nieujemnej D r ( f(z) )dz jest zerem, a więc f. pod całką zeruje się na D r. Pokazaliśmy, że f(z) =, jeśli z z 0 R, a więc D U (zob. ()). Ze spójności U wnosimy, że E = U, a więc moduł F jest f. stałą na U. to oznacza, że f przekształca zb. otw. U w pewien okrąg, zatem pochodna rzeczywista df(z) : R 2 R 2 nie może być izomorfizmem liniowym w żadnym punkcie z U, czyli f (z) = 0 dla z U, a więc f. f jest stała. Inne: Tw. 30 Lemat Schwarza, Tw. 34 Riemanna 9