entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia wartoci bezwzględnej i jej interpretacji geometrycznej do wskazania zbioru rozwiązań nierównoci typu x a b (IIf) Poprawna odpowiedź ( p) Wersja arkusza Wersja arkusza D Modelowanie matematyczne Zastosowanie pojęcia procentu (IIId) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonanie obliczeń z zastosowaniem wzorów na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym (Ih) Zadanie 4 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie układu równań liniowych (Ic) Zadanie (0 ) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II4g) D Zadanie 6 (0 ) Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej współrzędnych wierzchołka paraboli (II4b) D Zadanie 7 (0 ) i tworzenie informacji Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (Ia)
Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 8 (0 ) adanie prostopadłoci prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II8c) D Zadanie 9 (0 ) współczynników we wzorze funkcji liniowej do okrelenia położenia prostej w układzie współrzędnych (II4g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie nierównoci liniowej i wskazanie najmniejszej liczby spełniającej tę nierównoć (I) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji wykresu funkcji y f x do wskazania wykresu funkcji typu y f x a, y f x a y f x, y f x (I4d), Zadanie (0 ) własnoci ciągu geometrycznego (IIc) Zadanie (0 ) własnoci ciągu arytmetycznego (IIc) Zadanie 4 (0 ) Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartoci wyrażenia (II6c) D Zadanie (0 ) i tworzenie informacji związków między kątem wpisanym i rodkowym (I7a) D Zadanie 6 (0 ) i tworzenie informacji Rozwiązanie równania wielomianowego (Id)
4 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (0 ) Obliczanie odległoci punktów na płaszczyźnie i obwodu rombu (II8e) D Zadanie 8 (0 ) współrzędnych rodka odcinka do wyznaczenia jednego z końców tego odcinka (II8f) D Zadanie 9 (0 ) Posługiwanie się równaniem okręgu x a yb r (II8g) Zadanie 0 (0 ) i tworzenie informacji Wyznaczanie związków miarowych w wielocianie (I9b) Zadanie (0 ) Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (II9b) Zadanie (0 ) Modelowanie matematyczne Stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III0d) Zadanie (0 ) i tworzenie informacji Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, w tym obliczeń na pierwiastkach (Ia) Zadanie 4 (0 ) Obliczanie mediany uporządkowanego zestawu danych (II0a) D Zadanie (0 ) związków miarowych w graniastosłupie do obliczenia jego objętoci (II9b)
Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania do zadań otwartych Zadanie 6 (0 ) Rozwiąż równanie x x x 8 6 0 i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu na czynniki (IId) I sposób rozwiązania (metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania wyrazów: x x 8 x 8 0 x x 8 x 0 x x lub 8 0 Stąd x lub x 8 lub x 8 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt x x 8, gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np: x x 8 x 8, przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x 8, x 8 II sposób rozwiązania (metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu wielomian x x 8x 6 8 6 Dzielimy x 8 x x x przez dwumian x Otrzymujemy iloraz Zapisujemy równanie w postaci x x 8 0 x x x i x lub x 8 lub x 8 8 8 0 Stąd Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy podzieli wielomian x x 8x 6 x 8 i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy przez dwumian x, otrzyma iloraz Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x, x 8, x 8
6 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie 7 (0 ) Kąt jest ostry i sin i interpretowanie reprezentacji Oblicz wartoć wyrażenia sin cos Zastosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartoci wyrażenia (II6c) I sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartoci funkcji trygonometrycznych) Ponieważ jest ostry i sin, więc 60 Zatem cos cos 60 Stąd sin cos 0 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze wartoć cosinusa kąta : cos i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sin cos 0 II sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi) Obliczamy sin, następnie korzystając z tożsamoci sin cos 4 obliczamy cos, stąd sin cos 0 4 korzystając z tożsamoci sin cos, przekształcamy wyrażenie sin cos do postaci 4sin, a następnie obliczamy jego wartoć: 4sin 0 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: obliczy cos 4 zapisze wyrażenie w postaci sin sin i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy, że sin cos 0
Egzamin maturalny z matematyki 7 III sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny) x x b Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy b x x, więc b x Stąd x cos, więc x sin cos 0 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy: narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długoci i przeciwprostokątnej długoci (lub ich wielokrotnoci), obliczy długoć drugiej przyprostokątnej, zaznaczy w tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy obliczy długoć przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długoci i przeciwprostokątnej długoci (lub ich wielokrotnoci) z błędem rachunkowym, obliczy cosinus tego kąta cos (o ile otrzymana wartoć jest dodatnia i mniejsza od ) i konsekwentnie obliczy wartoć wyrażenia sin cos Zdający otrzymuje pkt gdy obliczy wartoć sin cos 0 Zadania 8 (0 ) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x yz 0, prawdziwa jest nierównoć xy yz zx 0 x yz x y z xyxz yz Możesz skorzystać z tożsamoci Rozumowanie i argumentacja Uzasadnienie prawdziwoci nierównoci algebraicznej (Vb) I sposób rozwiązania Podnosimy obie strony równoci x y z 0 do kwadratu i otrzymujemy równoć równoważną Stąd x y z xyxzyz 0
8 xyxz yz x y z Egzamin maturalny z matematyki Ponieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc xy yz zx 0, co kończy dowód 0 x y z, czyli Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy podniesie obie strony równoci x y z 0 do kwadratu i zapisze np xyxz yz x y z lub xy xzyz x y z i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia x y z lub x y z Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełny dowód II sposób rozwiązania Z równoci x y z 0 wyznaczamy jedną z liczb, np z x y Wtedy otrzymujemy Wyrażenie wyróżnik jest równy xyxz yz xyxx y yx y xyx xyxy y x xy y x xy y x xy y traktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x Wówczas jego y 4 y y 0 To, wraz z dodatnim znakiem współczynnika przy x, oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartoci nieujemne, czyli x xy y 0 Stąd xy xz yz x xy y 0 4 Możemy również zauważyć, że x xy y x y y Jest to suma dwóch liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna Stąd xy xz yz x xy y 0 Możemy również zauważyć, że x xy y x x y y Jest to suma trzech liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna Stąd xy xz yz x xy y To kończy dowód 0 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje pkt gdy wyznaczy z równoci x y z 0 jedną z liczb i zapisze wyrażenie xyxz yz w zależnoci od dwóch zmiennych, np zmiennych x i y: i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia xy xz yz x xy y x xy y Zdający otrzymuje pkt gdy przeprowadzi pełny dowód
Egzamin maturalny z matematyki 9 Zadania 9 (0 ) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f x okrelonej dla x 7,8 8 y 7 6 4-8 -7-6 - -4 - - - - 4 6 7 8 - - -4 - -6-7 -8 x Odczytaj z wykresu i zapisz: a) największą wartoć funkcji f, b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartoci ujemne Rozwiązanie Odczytujemy z wykresu największą wartoć funkcji f Jest ona równa 7 Podajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne:, Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: i interpretowanie reprezentacji poda największą wartoć funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne:, i nie poda największej wartoci funkcji f Uwaga x, lub x lub x i x kceptujemy zapisy: lub x, x Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartoci oraz przedziałów w których funkcja przyjmuje wartoci ujemne (II4b) Zdający otrzymuje pkt gdy poda największą wartoć funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartoci ujemne: 7,, Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki,, x, W rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy: x, x,
0 Egzamin maturalny z matematyki Zadania 0 (0 ) Rozwiąż nierównoć x 7x 0 i interpretowanie reprezentacji Rozwiązanie nierównoci kwadratowej (IIa) Rozwiązanie Rozwiązanie nierównoci kwadratowej składa się z dwóch etapów Pierwszy etap rozwiązania: Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego x 7x obliczamy wyróżnik tego trójmianu: 7 7 49 4 9 i stąd x oraz x 4 4 stosujemy wzory Viète a: 7 x x oraz x x, stąd x oraz x podajemy je bezporednio, np zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową trójmianu lub zaznaczając je na wykresie x, x lub x x Drugi etap rozwiązania: y 4-0 4 x - Podajemy zbiór rozwiązań nierównoci:,, lub,, x lub ( x lub x ) Schemat oceniania Zdający otrzymuje pkt gdy: zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierównoci, np
Egzamin maturalny z matematyki obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierównoci, zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f ( x) x 7x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierównoci, 0 4 rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np x x i na 4 4 tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierównoć, 7 zapisze nierównoć x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór 4 4 rozwiązań nierównoci, realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do tego rozwiąże nierównoć, np popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierównoć, błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów Viète a, np: x x 7 x x oraz i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierównoć, błędnie zapisze nierównoć, np błędu rozwiąże nierównoć 7 x i konsekwentnie do popełnionego 4 4 Zdający otrzymuje pkt gdy: poda zbiór rozwiązań nierównoci:,, lub x,, lub ( x lub x ), sporządzi ilustrację geometryczną (o liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierównoci w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierównoci w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów x
Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki kceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x, i zapisze, np x,,, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje punkty Jeli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np zapisze zbiór rozwiązań nierównoci w postaci Zadania (0 ) Wykaż, że liczba x,,, to otrzymuje punkty 6 00 99 98 6 0 6 jest podzielna przez 7 x Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (Vg) Rozwiązanie 98 Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias 6 6 6 0 6 98 7 Schemat oceniania rozwiązania Doprowadzamy do postaci Zdający otrzymuje pkt 00 99 98 gdy zapisze liczbę 6 6 0 6 w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest potęgą 6 k 98, gdzie 80 k 98 6 6 6 0 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, np Zdający otrzymuje pkt gdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielnoć przez 7 przeprowadzi rozumowanie uzasadniające podzielnoć przez 7 Zadania (0 4) Punkt S jest rodkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym Kąt S jest trzy razy większy od kąta S, a kąt S jest dwa razy większy od kąta S Oblicz kąty trójkąta S Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich (IV7c)
Egzamin maturalny z matematyki I sposób rozwiązania Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc rodek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta Niech oznacza miarę kąta S Wówczas S i S Każdy z trójkątów S, S i S jest równoramienny, więc S S, S S, S S Miary kątów trójkąta są więc równe 4,, Suma miar kątów trójkąta jest równa 80, zatem 4 80, 80, Więc 4 460, 4, 7 Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależnoci od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa sporód trójkątów S, S i S są równoramienne, np: S S, S S, S S Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależnoci od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa sporód trójkątów S, S i S są równoramienne, np: S S, S S, S S Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt S
4 Egzamin maturalny z matematyki Zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta, np: 4 80 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miar kątów trójkąta : 60, 4, 7 II sposób rozwiązania Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku z Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, więc rodek okręgu opisanego na tym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta Z twierdzenia o kącie rodkowym i wpisanym otrzymujemy S z, S x, S y Suma kątów w każdym z trójkątów S, S i S jest równa 80, więc otrzymujemy układ równań y z80 i z x 80i x y Ponieważ i, więc układ możemy zapisać w postaci x 80 y6 z80 i z x 80 i x y 4 80, 7 yz 80 i 4 xz 80 i 7 xy 80 Mnożąc strony pierwszego równania przez, drugiego przez 4 otrzymujemy S 4 y4z 60 i 6 8x4z 70 i 7 xy 80 y Dodając stronami otrzymujemy 9 9x 40, x 60, czyli 60 Zatem S 0 Trójkąt S jest równoramienny, więc 0, czyli Stąd 4, 7 800 S S 0, zatem
Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależnoci od jednej zmiennej, np: S, S i S wykorzystanie zależnoci między kątami rodkowymi S, S i S oraz odpowiednimi kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np: y z80 i z x 80i x y gdzie x 80, S, y S, z S, S, S Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zapisanie miar kątów S, S i S w zależnoci od jednej zmiennej, np: S, S i S oraz wykorzystanie zależnoci między kątami rodkowymi S, S, S oraz odpowiednimi kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema niewiadomymi, np: y6 z80 i z4 y 80i x y 4 80 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Obliczenie miary kąta : x 60 Rozwiązanie pełne 4 pkt Obliczenie miar kątów trójkąta : 60, 4, 7 Zadanie (0 4) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 00 cm, a jego pole powierzchni bocznej jest równe 60 cm Oblicz objętoć tego ostrosłupa Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielocianach (IV9b)
6 Egzamin maturalny z matematyki Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku S Pole podstawy ostrosłupa jest równe 00, więc a 00 Stąd a 0 Pole powierzchni bocznej jest równe 60, więc 4 60 ah Stąd i z poprzedniego wyniku 0h 60, więc h Ponieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc a H h, H, H 44, H Objętoć ostrosłupa jest zatem równa V Pp H 00 400 Odpowiedź: Objętoć ostrosłupa jest równa 400 cm D a Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania pkt Zdający obliczy długoć krawędzi podstawy ostrosłupa: a 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający obliczy wysokoć ostrosłupa: H Uwaga Jeżeli zdający obliczy wysokoć ciany bocznej h i nie traktuje jej jako wysokoci ostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje punkty Jeżeli natomiast przyjmuje, że obliczona wysokoć ciany bocznej jest wysokocią ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej punkt za całe rozwiązanie Rozwiązanie pełne 4 pkt Zdający obliczy objętoć ostrosłupa: V 400 cm Uwagi Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć) Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem powierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej punkt za całe rozwiązanie H O h E
Egzamin maturalny z matematyki 7 Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej ciany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętoć ostrosłupa, to może otrzymać co najwyżej punkty za całe rozwiązanie Zadanie 4 (0 ) Dwa miasta łączy linia kolejowa o długoci 6 kilometrów Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg rednia prędkoć pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od redniej prędkoci drugiego pociągu Oblicz rednią prędkoć każdego z tych pociągów na tej trasie Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekcie praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (IIIb) Rozwiązanie Niech v oznacza rednią prędkoć (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas przejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie Wtedy v 9 oznacza rednią prędkoć drugiego pociągu na tej trasie, t - czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie Zapisujemy układ równań vt 6 v9t 6 6 Z pierwszego równania wyznaczamy t i podstawiamy do równania drugiego v Otrzymujemy równanie z niewiadomą v, które przekształcamy równoważnie v v 6 v 9 6, v 9 6 6 0 v, v 6 9 6 0 (lub v 8v907 0 lub v Równanie to ma dwa rozwiązania v 7, v 6 0 Drugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkoć nie może być ujemna) Gdy v 7, to wtedy v 9 6 9v46 0) Odpowiedź: rednia prędkoć pierwszego pociągu jest równa 7 km / h, rednia prędkoć drugiego pociągu równa się 6 km / h
8 Egzamin maturalny z matematyki Schemat oceniania W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających odpowiednio, prędkoć i czas Oczywicie w pracach maturalnych te niewiadome mogą być oznaczane w inny sposób Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraźnie opisane na początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania pkt Zdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkoci (prędkoć, czas) jest uzależniona od przyjętej niewiadomej, np: v9t 6 v9t 6 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp pkt Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t, np: vt 6 i v9t 6 vt 6 i v 9 t 6 Pokonanie zasadniczych trudności zadania pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t 6 6 v 9 6 9 t 6 v t 6 v 9 6 6 9 t 6 v t Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezporednio zapisać równanie z jedną niewiadomą Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) 4 pkt zdający rozwiąże równanie z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne do popełnionego błędu zapisze prędkoci obu pociągów zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkoć tylko jednego pociągu Rozwiązanie pełne pkt Zdający obliczy rednie prędkoci obu pociągów: rednia prędkoć pierwszego pociągu równa się 7 km / h, rednia prędkoć drugiego pociągu równa się 6 km / h Uwagi Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodnoć typu wielkoci po obu stronach: po jednej stronie prędkoć, po drugiej czas lub niezgodnoć jednostek: prędkoć w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są zapisane jednostki Jeżeli zdający oznaczy rednią prędkoć pierwszego pociągu przez v (w km / h ), a przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkoć rednia drugiego pociągu jest równa v 9 i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie
Egzamin maturalny z matematyki 9 jest równy t, a następnie zapisze układ równań vt 6 i v9t 6 i doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje punkt Jeli rozwiąże to równanie, to otrzymuje punkty, a jeli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca konsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje punkty (otrzymując odpowiednio v 6 i v 9 7 v 6 i v 9 4) Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład Jeli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkoć pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy pociąg 6 v 9 t 6 vt 6 v9t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 6 ujął wyrażenia t w nawias Zapis równania v 9 wskazuje na poprawną t interpretację zależnoci między wielkociami Przykład Jeli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkoć pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy pociąg 6 v t 6 6 6 v 9 6 9 t v 9 t t t i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 6 6 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 9 zdający t t przestawił cyfry w zapisie liczby 6 i pominął liczbę w mianowniku ułamka Przykład Jeli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np v 9v46 0 zamiast równania v 9v46 0 (np w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,
0 Egzamin maturalny z matematyki który może być realną prędkocią jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy punktów