Teoia Pola Elektomagnetycznego Wykład Pole elektostatyczne Stefan Filipowicz
. Pole elektostatyczne 1.1. Ładunek elektyczny Pzy badaniu zjawisk pola elektycznego, w wielu ważnych z punktu widzenia paktyki pzypadkach można nie uwzględniać stuktuy atomowej elektyczności. Takie badania makoskopowe zjawisk elektycznych stacjonanych uzasadniamy tym, że wyniki obliczeń zgadzają się w pełni z doświadczeniem. Ładunki elektyczne można taktować jako nieskończenie podzielne i kozystać z pojęcia gęstości ładunku. Jeżeli ładunek q ozłożony jest w pzestzeni, to gęstość objętościową ładunku ρ dv okeślamy wzoem: Odpowiednio możemy wyazić ładunek: dq q ρdv V
.1. Ładunek elektyczny Jeżeli ładunek ozłożony jest na powiezchni S, to gęstość powiezchniowa ładunku wynosi: dq σ ds a ładunek można okeślić z zależności: Analogicznie okeśla się gęstość liniową ładunku: pzy czym dl element długości wzdłuż któej ozłożony jest ładunek: q τdl l q σ ds S τ Jeżeli wymiay geometyczne ciała naładowanego są małe w poównaniu z odległością od tego ładunku do punktów, w któych ozpatuje się to pole to ładunek nazywamy ładunkiem punktowym. Jest oczywiste, że gęstość ładunku punktowego można taktować jako nieskończenie wielką. dq dl
.1. Ładunek elektyczny Dwa ładunki punktowe tego samego znaku wzajemnie się odpychają. Siłę wzajemnego odpychania F dwóch ładunków umieszczonych w póżni okeśla się pawem Coulomba: Qq F k gdzie: Q i q ładunek piewszy i dugi, odległość między ładunkami, k współczynnik popocjonalności zależny od wybou układu jednostek. Należy pamiętać, że pawo Coulomba słuszne jest tylko w odniesieniu do ciał naładowanych ładunkiem punktowym. Tylko w tym pzypadku kształt ciał naładowanych nie wpływa na siły wzajemnego oddziaływania. Jeżeli ciała naładowane nie znajdują się w póżni lecz w śodowisku jednoodnym niepzewodzącym to siła odpychająca jest ε azy mniejsza, czyli: F k ε Wielkość bezwymiaowa ε nosi nazwę pzenikalności elektycznej względnej śodowiska w któym znajdują się ciała naładowane. Qq
.1. Ładunek elektyczny Kieunek siły F wzajemnego oddziaływania jest zgodny z kieunkiem postej łączącej ciała naładowane. Jeżeli ładunki Q i q są óżnego znaku to siła wzajemnego oddziaływania między nimi jest siłą pzyciągającą. Siłę działającą na ładunek q można pzedstawić w postaci wektoowej w sposób następujący: F Qq k 1 ε pzy czym 1 - wekto jednostkowy o zwocie od punktu w któym znajduje się ładunek Q do punktu w któym się znajduje ładunek q. W międzynaodowym układzie jednostek mia SI i MKSA ładunek miezy się w kulombach [C], siłę w niutonach [N] a odległość w metach [m]. W powyższych układach jednostek 1 współczynnik k ma watość: k 4πε
.1. Ładunek elektyczny Wielkość ε nosi nazwę pzenikalności elektycznej bezwzględnej póżni lub stałej elektycznej. Watość ε wynosi: ε 7 1 1 1 8,856 1 9 4πc 4π 9 1 [ F] [ m] pzy czym c pędkość ozchodzenia się światła. Iloczyn pzenikalności elektycznej względnej ε oaz pzenikalności elektycznej bezwzględnej póżni nazywamy pzenikalnością elektyczną bezwzględną ε. Ostatecznie wzó wyażający siłę dwóch ładunków uzyska postać: Qq F k 1 4πε
.. Natężenie pola elektycznego Ładunek elektyczny jest zawsze związany z polem elektomagnetycznym. Jeżeli ładunek nie jest w uchu to pole elektyczne wytwozone pzez ten ładunek jest polem elektostatycznym. Ganica stosunku siły F działającej na póbny ładunek do watości tego ładunku q, gdy ładunek ten dąży do zea, nazywamy natężeniem pola elektycznego: F E lim q dla q dążącego do zea. Natężenie pola elektycznego ładunku punktowego wynosi: Jednostką natężenia pola elektycznego jest volt na met [V/m]. Q E 1 4πε
.. Natężenie pola elektycznego Popzednia definicja natężenia pola elektycznego dobze oddaje jego istotę fizyczną. Z paktycznego punktu widzenia jest jednak mało użyteczna, gdyż posługuje się fikcyjnym w istocie ładunkiem póbnym, któego użycie wcale nie jest konieczne do stwiedzenia istnienia pola elektycznego o natężeniu E. Jeśli w okeślonym punkcie pzestzeni istnieje pole elektyczne natężeniu E, to na umieszczony w tym punkcie ładunek punktowy q działa siła mechaniczna: F qe Kieunek tej siły jest zgodny z kieunkiem wektoa E, zaś zwot zależy od znaku ładunku q.
.. Natężenie pola elektycznego Jeżeli pole elektyczne wytwozone jest pzez kilka ładunków punktowych to wypadkowe natężenie pola elektycznego E w dowolnym punkcie jest ówne sumie wektoowej pól pochodzących od każdego ładunku z osobna co można wykazać na dodze ekspeymentalnej. E A ' q ( ' ) q ( ' ) ) E + E 1 1 1 + 1 1 R1 4πε ' 4πε ' ( R ' ' 1 '
.. Natężenie pola elektycznego Uogólniając, wekto natężenia pola od N punktowych ładunków w punkcie okeślonym pzez wekto : E E 1 + E +... + E n 1 4πε N q i i 1 ( ' i ' i ) 1 R i Z tego ównania można obliczyć natężenie pola elektycznego E jeżeli jest znany ozkład ładunków w pzestzeni. Obliczenia te spowadzają się do wyznaczenia zutów wektoa E w takim układzie współzędnych w któym obliczenia są najpostsze.
.3. Bezwiowość pola elektostatycznego Jeżeli do pola elektostatycznego o natężeniu E wpowadzony zostanie ładunek punktowy q, to pod wpływem sił pola ładunek ten zacznie się pouszać. Paca wykonana pzez siły pola pzy pzemieszczaniu się ładunku z punktu 1 do punktu wynosi: W 1 F dl q 1 E dl Pole elektostatyczne chaakteyzuje się wieloma własnościami, np. paca wykonana wzdłuż dogi zamkniętej ówna jest zeu. E dl l
.3. Bezwiowość pola elektostatycznego W pzypadku gdy mamy ładunek punktowy, to uwzględniając to otzymamy: Q 1 dl 4πε l d Ponieważ 1 dl dl cos(dl) d, zaś całka po kzywej l zamkniętej jest ówna zeu (ganica dolna i góna jest taka sama), wobec tego i całka liniowa natężenia pola elektycznego E wzdłuż kzywej zamkniętej jest ówna zeu. Punkt w któym jest punktem osobliwym pola należy okążyć pzy wyboze dogi całkowania.
.3. Bezwiowość pola elektostatycznego Jeżeli pole elektyczne powstaje od dowolnie ozłożonego ładunku to ładunek ten możemy ozłożyć na ładunki elementane dq i każdy taki ładunek można taktować jako punktowy. Wtedy wekto natężenia pola takiego ładunku punktowego okeślimy jako: d q de 1 4πε Wypadkowe natężenie pola elektostatycznego E otzymamy sumując geometycznie wektoy de. Ponieważ całka liniowa każdego wektoa natężenia pola elektostatycznego de wzdłuż jakiejkolwiek dogi zamkniętej jest ówna zeu to ównież całka liniowa wypadkowego wektoa natężenia pola elektostatycznego E wzdłuż jakiejkolwiek dogi zamkniętej jest ówna zeu. E dl l
.3. Bezwiowość pola elektostatycznego Wykozystując twiedzenie Stokesa powyższa całkę można pzedstawić w postaci: E dl ote ds ote E 1x x E x 1 y y E y 1z z E z l S Ponieważ całka natężenia pola elektostatycznego wzdłuż jakiejkolwiek dogi zamkniętej ówna jest zeu, to i otacja natężenia pola elektostatycznego ówna jest zeu. ote ds To ównanie wyaża podstawową własność pola elektostatycznego: pole jest bezwiowe.
.4. Potencjał elektyczny Ponieważ pole elektostatyczne jest polem bezwiowym (ot E ), to można wyznaczyć taką funkcję skalaną j, któej gadient wzięty ze znakiem minus ówny jest wektoowi natężenia pola E gad j E W teoii pola pzyjmuje się znak minus za względu na zgodność zwotu wektoa natężenia pola z kieunkiem spadku potencjału. Funkcję skalaną j nazywamy po postu potencjałem. Potencjał w dowolnym punkcie pola okeśla się zależnościa: + const d l E ϕ
.4. Potencjał elektyczny Różnica potencjałów między punktami a i b znajdującymi się w polu elektycznym okeślona jest: ϕ a ϕ b b E dl a Jednostką potencjału jest 1 wolt [V]. Łatwo można wykazać, że óżnica potencjałów nie zależy od kształtu dogi całkowania a zależy jedynie od wybou punktu początkowego i końcowego.
.4. Potencjał elektyczny Potencjał wytwozony od ładunku punktowego można łatwo wyznaczyć podstawiając zależność okeślającą wekto natężenia pola elektycznego: Q ϕ 1 dl + const 4πε Potencjał pola wytwozonego pzez ładunki objętościowe, powiezchniowe i liniowe będące w spoczynku można wyznaczyć stosując zasadę supepozycji ϕ + + V ρ dv 4πε V σ d S 4πε V τ dl 4πε
.4. Potencjał elektyczny Mając wyznaczony potencjał można wyznaczyć natężenie pola elektycznego z zależności: E - gad j W polu wytwozonym pzez ładunki objętościowe wekto natężenia pola elektycznego E w każdym punkcie ma watość skończoną i jest ciągły. W polu wytwozonym pzez ładunki powiezchniowe wekto natężenia pola elektycznego E w każdym punkcie pola ma watość skończoną i jest nieciągły na powiezchni S na któej ładunek jest ozłożony. W polu wytwozonym pzez ładunki liniowe, wekto natężenia pola elektycznego E ówny jest nieskończoności na pzewodniku, wzdłuż któego jest ozłożony.
.5. Pzedstawienie gaficzne pola elektostatycznego Pole elektostatyczne można pzedstawić gaficznie za pomocą powiezchni ekwipotencjalnych i linii wektoa pola. Powiezchnie ekwipotencjalne okeślamy ównaniem j const Pzedstawiając óżne watości stałej otzymamy odzinę powiezchni. Linie wektoa pola elektycznego są we wszystkich punktach styczne do kieunku natężenia pola elektycznego. Linie wektoa natężenia pola elektostatycznego pzecinają się pod kątem postym z powiezchniami ekwipotencjalnymi. Równanie óżniczkowe linii można pzedstawić jako iloczyn wektoowy: E dl
.5. Pzedstawienie gaficzne pola elektostatycznego W układzie współzędnych postokątnych popzedni iloczyn wektoowy ozdziela się na tzy ównania: E y dz E z dy; E z dx-e x dz; E x dy-e y dx W polu elektostatycznym linie wektoa natężenia pola elektycznego są kzywymi otwatymi. Mają one swój początek na ładunkach dodatnich, a kończą się na ładunkach ujemnych. Jeżeli linia wektoa natężenia pola elektycznego byłaby zamknięta, to cykulacja wektoa E wzdłuż tej linii nie mogłaby się ównać zeu. Pzeczyłoby to podstawowemu pawu elektostatyki: E dl l
.6. Polayzacja elektyczna i indukcja elektyczna W śodowisku niepzewodzącym natężenie pola elektycznego jest ε azy mniejsze niż w póżni. Zmiana natężenia pola elektycznego wywołana jest polayzacją dielektyka. Stopień polayzacji dielektyka chaakteyzuje się wektoem polayzacji P, któy w pzypadku dielektyków jednoodnych i izotopowych umieszczonych w polu elektycznym o stosunkowo małym natężeniu jest popocjonalny do natężenia pola elektycznego P ε κe Bezwymiaową wielkość κ nazywamy podatnością elektyczną dielektyka. Podatność elektyczna związana jest z pzenikalnością dielektyczną względną dielektyka zależnością: κ ε -1
.6. Polayzacja elektyczna i indukcja elektyczna Wekto indukcji elektycznej (zwany ównież pzesunięciem) okeślamy zależnością: D ε E+P ε (1 +κ) E ε ε E ε E Indukcja elektyczna jest więc popocjonalna do natężenia pola elektycznego. Współczynnik popocjonalności jest ówny pzenikalności elektycznej bezwzględnej ε. Polayzację dielektyka P i indukcję elektyczną D miezymy w kulombach na met kwadatowy [C/m ]
.7. Twiedzenie Gaussa Twiedzenie Gaussa jest jednym z podstawowych twiedzeń teoii pola i bzmi: stumień wektoa indukcji elektycznej D pzez dowolną powiezchnię zamkniętą S ówny jest sumie algebaicznej ładunków swobodnych Q, znajdujących się w obszaze oganiczonym tą powiezchnią: D d S ( ± Q) S Dla ładunku punktowego D [Q/4p ]. 1 indukcji ówna się : S Q 4πε 1 ds a stumień wektoa
.7. Twiedzenie Gaussa Wyażenie 1 ds/ ds dw pzedstawia kąt byłowy. Jeżeli wiezchołek byłowy umieścimy w punkcie, w któym znajduje się ładunek Q to element powiezchni widzimy pod katem dw. Kąt byłowy pod któym jest widziana cała powiezchnia S wynosi 4p steadianów. A więc podstawiając watość kąta byłowego otzymamy: S A ponieważ D εe to: εe ds Q, a jeżeli ε const to: D ds S Q 4π E ds S S dω Q ε
.7. Twiedzenie Gaussa Dowolny układ ładunków może być ozłożony na ładunki elementane dq, z któych każdy można taktować jako punktowy. W odniesieniu do każdego ładunku punktowego spełnione jest pawo Gaussa. Sumując elementane ładunki znajdujące się w obszaze oganiczonym powiezchnią S otzymamy: S D ds Gdzie Q jest sumą algebaiczną wszystkich ładunków wewnątz obszau oganiczonego powiezchnią S. Jeżeli ładunek jest umieszczony poza ozpatywanym obszaem to stumień wektoa indukcji elektycznej D pzez tą powiezchnię ówny jest zeu. Q
.8. Twiedzenie Gaussa w postaci óżniczkowej Pzekształćmy stumień wektoa indukcji elektycznej zgodnie z twiedzeniem Ostogadzkiego-Gaussa: D ds divddv tw. Stokesa S V W pzypadku objętościowego ozkładu ładunku, ładunek Q Q V ρdv. V D ds S Q E dl ote l S ds divddv V V ρdv
.8. Twiedzenie Gaussa w postaci óżniczkowej Obsza V został wybany dowolnie i dlatego popzednia zależność słuszna jest dla wszystkich watości V. pzy takim założeniu, funkcje pod znakiem całek powinny być sobie ówne: div D ρ Otzymana zależność pzedstawia twiedzenie Gaussa w postaci óżniczkowej. Twiedzenie to wyaża fakt, że źódła pola elektycznego znajduję się tylko w tych miejscach w któych znajdują się ładunki elektyczne. W śodowisku o stałej pzenikalności elektycznej div E ρ/ε Podane zależności są słuszne ównież w pzypadku pola elektomagnetycznego zmiennego w czasie.
.9. Równanie Poissona i Laplace a W pzypadku ogólnym obliczenie pola polega na ozwiązaniu ównań Poissona i Laplace a. Aby otzymać te ównania wykozystujemy następujące zależności: div E ρ/ε i E -gadj Podstawiając E do piewszej zależności otzymamy: div gadj - ρ/ε Dywegencję gadientu pzyjęto nazywać laplasjanami oznaczać Można więc zapisać: j - ρ/ε Zależność ta pzedstawia ównanie Poissona. W tych punktach pola gdzie nie ma ładunku: j i to jest ównanie Laplace a. dive ϕ ϕ + x ϕ + y ϕ z
.9. Równanie Poissona i Laplace a Rozwiązanie powyższych ównań można pzedstawić w postaci całki: ϕ V ρ dv 4πε Wpowadzenie pojęcia potencjału ułatwia wyznaczenie pola elektostatycznego. Spowadza się to do obliczenia jednej funkcji skalanej potencjału j. Gdy znamy ten potencjał można w łatwy sposób obliczyć natężenie pola elektycznego E z zależności: E -gadj
.1. Twiedzenie o jednoznaczności ozwiązania ównań pola elektycznego Równania Poissona i Laplace a są ównaniami o pochodnych cząstkowych; dopuszczają one istnienie wielu, liniowo od siebie niezależnych ozwiązań. Z ozwiązań tych w każdym obliczanym pzypadku należy wybać jedno, spełniające waunki bzegowe opisujące pole na ganicach między dielektykami czy między dielektykami a pzewodnikami. Wyznaczenie tych ozwiązań jest zwykle zadaniem tudnym, jedynie w szczególnych pzypadkach, pzy postych kształtach ganic pola, udaje się otzymać ozwiązania analityczne. W badaniach paktycznych często stosuje się obliczenia pzybliżone.
.11. Pole elektostatyczne na ganicy dwóch dielektyków Pole elektostatyczne na ganicy między dwoma dielektykami, o pzenikalności dielektycznych ε 1 oaz ε okeślone jest następującymi waunkami bzegowymi: Składowa styczna wektoa natężenia pola E t jest ciągła. Stąd: E t1 E t Składowa nomalna wektoa indukcji (pzesunięcia dielektycznego) jest ciągła, jeżeli na powiezchni ganicznej nie ma ładunków swobodnych. D 1n D n W wyniku otzymamy wzoy: D t D t1 ε / ε 1 i E n E n1 ε 1 / ε Łatwo zauważyć, że na ganicy dwóch dielektyków następuje załamanie linii natężenia pola elektycznego E i linii indukcji D.
.1. Waunki bzegowe w polu elektostatycznym Na ganicy dwóch óżnych śodowisk wektoy chaakteyzujące pole powinny spełniać okeślone waunki, któe nazywamy waunkami bzegowymi.
.13. Pzewodniki w polu elektostatycznym Jeżeli do pzewodnika zostanie dopowadzony ładunek, to pod wpływem sił odpychających ładunki pzemieszcza się w pzewodniku i skupią w pewnej wastwie na jego powiezchni. Wastwę tą można taktować jako nieskończenie cienką. Wewnątz pzewodnika pole elektostatyczne nie może istnieć. Wekto natężenia pola elektostatycznego E wewnątz pzewodnika musi być ówny zeu. Linie natężenia pola elektostatycznego na powiezchni pzewodnika są do niej postopadłe. Wszystkie punkty pzewodnika muszą mieć ten sam potencjał. Oznacza to, że powiezchnia pzewodnika jest powiezchnią ekwipotencjalną.
.13. Pzewodniki w polu elektostatycznym Jeżeli piewsze śodowisko jest dielektykiem o pzenikalności elektycznej bezwzględnej ε a dugie jest pzewodnikiem, wtedy waunki bzegowe można pzedstawić następująco: E ; D ; j const D 1n D 1 σ lub ε E 1 σ E 1t lub D 1t
.14. Enegia pola elektostatycznego W polu elektostatycznym istnieje pewien zasób enegii. Można ją pzedstawić za pomocą zależności: W e ϕρ dv + V ϕσ d Pzyjmijmy, że w śodku małej objętości dv znajduje się punkt m. Ładunek zawaty w objętości dv ówny jest ρdv, pzy czym ρ jest gęstością objętościową ładunku. Załóżmy, że potencjał pola w nieskończoności ówny jest zeu zaś w punkcie m niech wynosi j. Zasób enegii w małej objętości dv jest ówny: S 1 dw ϕσ dv S
.14. Enegia pola elektostatycznego Zgodnie z twiedzeniem Gaussa ρ D dokonajmy pzekształcenia wynikającego z oli opeatoa óżniczkowego: j D (jd)- D( j) (jd) + DE (ponieważ E - j) lub [j divd div(jd) - D gad j] Jest to pzekształcenie tego typu co wzó na óżniczkowanie iloczynu. Całkowitą enegię w polu elektostatycznym można wyznaczyć jako sumę całek po całej objętości pola V W ( ϕd) dv + V V DE dv
Pzykład I [ C m] An infinitely long line chage of unifom density is situated along the z axis. We wish to obtain the electic field intensity due to this line chage in the obsevation point P. Fist we divide the line into a numbe of infiniesmal segments each of length dz, as it is shown in figue. Such chages in each segment can be consideed as a point chage. The electic field intensity due to each point chage is diected adially away fom that point chage and vaies invesely as the squae of the distance fom that chage. ρ L /
Pzykład I To detemine the magnitude of E, let us conside the segment at the point A at a distance z above O. The electic field intensity at point P due to this segment is equal to: ρ Ldz 4 πε + i ( z ) AP The component of this electic field intensity along OP is ρ dz i i ρ cosα dz L L L 4πε + 4πε + z dz ( ) AP ( z 4πε + z ) ( ) 3/ We need not conside the component nomal to OP since it gets cancelled fom the contibution due to anothe segment at the point B at a distance z below O. ρ
Pzykład I The component along OP is, on the othe hand, doubled fom the contibution due to this second segment. E de de 4 The magnitude of the electic field intensity at P due to the entie line chage is now given by the integal of de whee the integation is to be pefomed between the limits z and z. ρ πε ρ ( ) + z 3/ L ( ) z 4πε + z z L dz dz 3/
Example I Intoducing z tan α E ρ L cos α dα πε πε π / α ρ L Recalling that E is diected adially away fom the line chage, we have ρ L E i πε
Pzykład II ρ s C/m A sheet chage of unifom density extends ove the entie xy plane as shown in figue below. We wish to obtain the electic field intensity due to this infinite sheet chage. Let us conside a point P at a distance z fom the xy plane, with the pojection of the point P on the xy plane being. The field intensity at point P due to the chage on the Entie ing of adius and width d is diected omally away fom the sheet chage.
Pzykład II To find the magnitude of E, we note that the component along OP of the field intensity at P, due to the infinitesmal chage ρ s ddφ at point A, is given by de ρs 4πε d dφ cosα ρ s ( + z ) ( 4πε + z ) z d dφ 3/ E π Φ de π Φ ρ s 4πε z d dφ ( + z ) 3/ ρsz ε d ( + z ) 3/
Pzykład II Intoducing z tan α we obtain / ρ π s E sin α dα ρ s ε ε α Recalling that E is diected nomally away fom the sheet chage, we have E ρ s s i n ε ε ρ i z
Pzykład III The expession fo E fo an electic dipole of moment p oiented along the positive z axis is E E p i 3 4πε p cos Θ 3 4πε ( cos Θ i + sin Θ ) It is desied to obtain the equation fo the diection lines fo this field. Noting that We have p p sin Θ 3 4πε EΘ EΦ d cosθ / ( 3) ( 3 4πε p sin Θ / 4πε ) dθ Θ sin Θ dφ
Pzykład III o d cot Θ dθ ln ln cos sec Θ + constant dφ Φ constant cosec Θ constant Φ constant A few diection lines in constant Φ plane ae sketched in this figue.
Pzykład IV ρ L C / m An infinitely long line chage of unifom density is situated along the z axis. It is desied to find the electic field flux cutting the potion of the plane x1 m lying between the planes z m and z1 m as shown in this figue. We have to note that E due to the line chage is given by ρ L πε i Whee is the adial distance fom the line chage andi is the unit vecto diected adially away fom the line chage.
Pzykład IV Consideing an infinitesimal aea dy dz at the location (l,y,z) on a given plane, the infinitesimal amount of flux cutting this aea is given by E ds ρ i dy dz dy dz L L x πε 1 + y πε y i ρ ( 1 + ) Than the total flux is equal to 1 1 π / ρ L dy dz ρ ρ L L E ds dφ πε y z y z Φ π / ( 1 + y ) πε ε
Pzykład V An infinitely long line chage of unifom densityρ L C / m is situated along the z axis as it is shown in the figue. We wish to obtain the electic field intensity due to this line chage using Gauss law. The electic field intensity fom the line chage is E E ( ) i Choosing the Gaussian suface S as the Suface of a cylinde of adius with the line chage as its axis we have suface of cylinde, S E ds cuved suface S E ds + plane face S su S 1, E ds 3
Pzykład V The second integal on the ight side is zeo since E is tangential to the sufaces. Noting that field intensity is consant on the cuved suface, we find that the fist integal can be witten as cuved suface E ds Ei ds1 i E ds1 E S 1 S 1 S 1 ( πl ) Thus S E d s πl But, fom Gauss law S E E ds chage enclosed ε by S ρ Ll ε So ρ πε E L i
Pzykład VI ρ s C / m A sheet chage of unifom density extends ove the entie xy plane as shown in figue bellow. We wish to obtain the electic field intensity due to this infinite sheet chage using Gauss law.
Pzykład VI W pzykładzie II założono, że E due to nieskończenie cienka chage of unifom density is diected nomally away fom the sheet chage and that is unifom in planes paallel to the sheet chage. Choosig the Gaussian suface S as the suface of a ectangula pill box of sides l, w and t (see figue above), such that half of the box is above the sheet chage and the othe half below it, we have E ds E ds + E ds + E ds S top suface bottom suface side sufaces The last integal on the ight side is equal zeo since E is paallel to the side sufaces and hence E ds. is zeo thoughout these sufaces. Because field intensity is constant and is the same on both the top and bottom sufaces, than above equation educes to
Pzykład VI w l E ds E ds E d d n suface top n suface top n n n suface top S i i s E s E But fom Gauss law, n s s S lw d i E s E ε ρ ε ρ And finally we have