Zdyskotowae pzepływy pieięŝe - Pzepływy pieięŝe płatości ozłoŝoe w czasie - Pzepływy występujące w kilku óŝych okesach ie są poówywale z uwagi a zmiaę watość pieiądza w czasie - śeby poówywać pzepływy pieięŝe musimy spowadzić je do wspólego miaowika, tz. zdyskotować kaŝdy pzepływ a chwilę obecą lub policzyć ich watość pzyszłą a okeśloy dzień w pzyszłości. - Jedyie pzepływy spowadzoe do wspólego miaowika moŝa do siebie dodawać. Stosując zasadę dodawaia watości zdyskotowaych, moŝemy apisać wzó a obliczaie watości obecej pzepływów pieięŝych geeowaych w kolejych latach: C1 C2 PV 1 (1 ) gdzie 2 C3 (1 ) C 1 pzepływ pieięŝy w oku 1 3 C... (1 ) Jest to wzó a obliczeie watości zdyskotowaych pzepływów pieięŝych (Discouted Casch Flow DCF). Wzó te moŝa teŝ zapisać w skócoej postaci: PV C 1 t 1 (1 ) t Zad. Zdyskotowae pzepływy pieięŝe Wygaa ofeowaa w loteii liczbowej wyosi 1,5 ml PLN i będzie wypłacoa w tzech ówych latach po tys. PLN a koiec piewszego, dugiego i tzeciego oku. Jaka jest watość obeca wygaej jeŝeli: a) stopa pocetowa we wszystkich tzech latach jest jedakowa i wyosi 10%w skali oku; b) stopa pocetowa we wszystkich kolejych latach wyosi odpowiedio: 10%, 9% 8%? Rozwiązaie: a) dla stopy pocetowej we wszystkich latach ówej 10% watość obeca wyosi: PV 1 0,1 (1 0,1) (1 0,1) 1,1 1,21 1,331 1243,43 b) jeŝeli w kolejych latach stopy pocetowe wyoszą odpowiedio 10%, 9% i 8%, wówczas watość obeca jest ówa: PV 1 0,1 (1 0,1) (1 0,09) (1 0,1) (1 0,09) (1 0,08) 1,1 1,99 1,295 1257,68 Idąc a skóty ety ocze: JeŜeli w stałych odstępach czasu płacoa jest stała suma pieięŝa (pzy czym po zapłaceiu tej sumy dochody są kapitalizowae) i we wszystkich okesach stopa pocetowa jest jedakowa, wówczas mamy do czyieia z tzw. etą. Do okeśleia watości obecej ety stosuje się wzó: - 1 -
PV 1 1 PMT (1 ) PMT stała suma pieięŝa płacoa a koiec okesu ZauwaŜmy, Ŝe w ćw dotyczącym loteii liczbowej w pukcie a) mamy do czyieia etą oczą wyoszącą tys. PLN i płatą a koiec tzech kolejych lat. Podstawiając do wzou obeca eta wyosi: PV 1 1 PMT (1 ) 1 0,1 1 (10 7,51) 1243,43 3 0,1 (1 0,1) Watość pzyszłą jedakowych płatości wypłacaych w ówych odstępach czasu (eta) liczy się ze wzou: ( 1 ) 1 PV PMT PMT stała suma pieięŝa płacoa a koiec okesu Rety ocze ćwiczeie: Bak ofeuje lokatę opocetowaą a 8% w skali oku, pzy czym odsetki są kapitalizowae półoczie. Dokoujemy systematyczego iwestowaia wpłacając pzez 3 lata a koiec kaŝdego półocza kwotę 100 PLN. Ile wyosi watość pzyszła iwestycji? Rozwiązaie: PV (1 ) PMT 1 (1 0,04) 100 0,04 6 1 0,265 100 663,29 0,04 Wzoy a watość obecą i pzyszłą ety mają zastosowaie tylko wówczas, gdy występuje zgodość okesu płatości z okesem kapitalizacji, w kaŝdym okesie wypłacaa jest wypłacaa jedakowa suma pieiędzy, pieiędzy stopa pocetowa we wszystkich okesach jest stała. Idąc a skóty ety wieczyste JeŜeli jedakowe płatości wypłacae są w ówych odstępach czasu do ieskończoości a stopa pocetowa jest stała we wszystkich okesach, wówczas mamy do czyieia ze zjawiskiem zw. ety wieczystej. Do okeślaia ile wate jest pawo otzymywaia ety wieczystej stosowaie jest wzó: PMT PV PMT suma pieięŝa płacoa a koiec okesu. Pzykład: Istieje moŝliwość zakupu obligacji pepetualej (okes twaia obligacji ieskończoy), któa gwaatuje otzymywaie sumy 100 PLN a koiec kaŝdego oku. Ią moŝliwością iwestowaia jest lokata bakowa opocetowaa a 8% z oczą kapitalizacja odsetek. Ile pzy poówaiu z lokatą bakową powia kosztować obligacja?(tz. ile wyosi watość obeca takiego stumieia płatości?) Rozwiązaie: - 2 -
100 Cea obligacji 1250 0,08 W pzypadku kiedy płatości wypłacae do ieskończoości osą w kaŝdym okesie o te sam pocet, wówczas wzó a etę wieczystą pzyjmuje postać: PMT PV g g ocza stopa pzyostu płatości (pzy czym g<) JeŜeli w popzedim pzykładzie załoŝymy, Ŝe obligacja pepetuala gwaatuje w piewszym oku wypłatę ówą 100 PLN i w kaŝdym kolejym oku płatość ośie o 2% aŝ do ieskończoości, wówczas cea obligacji wyosi: 100 0,08 0,02 Cea obligacji 1666, 67 Cechy watości pieiądza w czasie Watość pzyszła sumy pieięŝej jest tym wyŝsza, im: - wyŝsza jest watość początkowa; - wyŝsza jest stopa pocetowa; - większa jest liczba lat: - częstsza jest kapitalizacja odsetek. Watość obeca sumy pieięŝej jest tym wyŝsza, im: - wyŝsza jest watość końcowa; - iŝsza jest stopa pocetowa; - miejsza jest liczba lat; - zadsza jest kapitalizacja odsetek. Zastosowaie watości pieiądza w czasie Techiki dyskotowaia i kapitalizowaia zajdują zastosowaie m.i. do: - obliczaia etowości lokat bakowych; - obliczaia kosztu kedytu bakowego; - ocey opłacalości pojektów iwestycyjych; - wycey i obliczaia etowości obligacji; - wycey akcji. Obligacje Obligacja jest istumetem fiasowym, któego spzedaŝ umoŝliwia zaciągięcie poŝyczki u abywców obligacji. W ajczęściej spotykaych obligacjach kedyt te jest spłacay jako aleŝość pieięŝa w ściśle okeśloym czasie waz z odsetkami, któych sposób aliczaia jest okeśloy w waukach emisji obligacji. Zakup obligacji moŝa taktować jako szczególy pzypadek pojektu iwestycyjego, gdzie odpowiedikiem akładów iwestycyjych jest cea, po któej kupujemy obligacje, a kozyściami czepaymi z pojektu są odsetki pzez emitea obligacji i watość omiala płata w diu wygaśięcia obligacji. Słowiczek: - 3 -
Watość omiala suma pieiędzy któą fima poŝyczyła i obiecuje spłacić w jakimś momecie w pzyszłości. Cea obligacji bieŝąca watość obligacji otzymaa w wyiku zdyskotowaia a day dzień wszystkich pzyszłych pzepływów pieięŝych związaych z obligacją. Kupo odsetkowy opocetowaie obligacji wypłacae w okeśloych jedostkach czasu p. co ok. Temi wykupu obligacji temi, w któym watość omiala obligacji musi być spłacoa. Ryek obligacji w Polsce W zaleŝości od tego kto jest emiteem obligacji wyóŝiamy: - obligacje skabu państwa; - obligacje kopoacyje. W zaleŝości od temiów wykupu (czyli czasu upływającego od emisji do temiu wykupu) i watości omiale wyóŝiamy astępujące obligacje skabu państwa: - obligacje 2-letie, o watości omialej 1000 PLN; - obligacje 3-letie, o watości omialej 100 PLN; - obligacje 5-letie, o watości omialej 1000 PLN; - obligacje 10-letie, o watości omialej 1000 PLN; W zaleŝości od opocetowaia obligacje skabu państwa moŝemy podzielić a papiey z opocetowaiem : - zmieym; - stałym; - obligacje zeokupoowe (spzedawae z dyskotem) Watość obligacji jest opata a watości obece j pzepływu śodków pieięŝych, któe obligacje ma pzyieść. Pzepływy śodków pieięŝych składają się z płatości odsetek w okesie waŝości obligacji i ze zwotu sumy poŝyczoego kapitału (watości omialej) w momecie temiu wykupu obligacji. - 4 -
Kupo watość omiala Kupo Kupo % 1 ok 2 lata 3 lata Watość obeca Cea obligacji Kupo Kupo (1 ) Kupo No mi al 3 (1 ) 2 1 Ogóla fomuła a wyceę obligacji pzybiea postać: PV P C t t 1 (1 ) P watość obligacji otzymaa w wyiku wycey; liczba okesów posiadaia obligacji; C t dochód uzyskay w okesie posiadaia obligacji; tzw. wymagaa stopa dochodu okeśloa w skali okesu płatości odsetek. p. jeśli odsetki płacoe są co pół oku to jest to stopa półocza. Wzó okeśla watość obligacji w zaleŝości od wymagaej stopy dochodu iwestoa. Stopę tę iwesto ustala a podstawie yku tz. a podstawie stóp dochodu obligacji podobego typu (zbliŝoe odsetki, zbliŝoy temi wykupu). Ifomacje a te temat podawae są w dzieikach fiasowych p. w sewisie giełdowym. Obliczoa watość obligacji P jest taktowaa jako tzw. watość wewętza obligacji. Poówuje się ją z ceą ykową obligacji i dokouje zakupu, gdy jest większa iŝ cea (mówi się wówczas iedoszacowaiu obligacji ) lub dokouje spzedaŝy gdy jest iŝsza iŝ cea (mówi się wówczas o pzeszacowaiu obligacji) Ćwiczeie: Obligacje o stałym opocetowaiu opocetowaie tych obligacji jest iezmiee pzez cały czas twaia obligacji aŝ do wykupu. Obligacje te są kozystą lokatą w pzypadku oczekiwaego spadku stóp pocetowych. Iwesto ozwaŝa zakup obligacji o stałym opocetowaiu z tzyletim temiem wykupu, o watości omialej 100. Opocetowaie obligacji wyosi 10% (kupo odsetkowy) a odsetki płacoe są co oku. Wymagaa stopa dochodu iwestoa wyosi 8%. Pzy jakiej ceie iwestycja w obligacje jest opłacala? Jaka jest watość bieŝąca pzyszłych pzepływów związaych z obligacją? 10 10 P 1 0,08 (1 0,08) 110 (1 0,08) 105,15 Zadaie to moŝe ówieŝ ozwiązać stosując wzó a obliczeie ety oczej do ustaleie watości wypłat kupoowych, a astępie dodać watość zaktualizowaą końcowej płatości (omiału obligacji) - 5 -
1 1 100 P 10 10 (12,5 9,92) 79,38 25,77 79,38 105,15 0,08 0,08 (1 0,08) (1 0,08) Obligacje o zmieym opocetowaiu w poszczególych okesach Ŝycia obligacji czyli tzw. okesach odsetkowych, opocetowaie obligacji moŝe ulegać zmiaie w zaleŝości kształtowaie się okeśloego wskaźika fiasowego, p. iflacji. Wskaźikiem baym pod uwagę pzy ustalaiu opocetowaia dla 3-letich i 10-letich obligacji Skabu Państwa jest etowość (dochodowość) boów skabowych. Iwesto ozwaŝa zakup 3-letiej obligacji o zmieym opocetowaiu z temiem wykupu za 2 lata o watości omialej 100. Opocetowaie w skali oku jest o 1 pukt pocetowy wyŝsze od stopy etowej 26-tygodiowych boów skabowych. W kolejych czteech okesach popzedzających płatość odsetek, ocza stopa etowości tych boów wyiosła 12%, 11%, 10% i 9%. Pzy jakiej ceie iwestycja w obligacje jest opłacala jeŝeli wymagaa stopa dochodu iwestoa jest 10%? Podpowiedź: - poszę zwócić uwagę a częstotliwość wypłaty kupoów odsetkowych; - w piewszej kolejości aleŝy ustalić wysokość kupoów odsetkowych w poszczególych okesach (pzepływy pieięŝe) - aieść pzepływy pieięŝe a liie czasu; - zdyskotować pzepływy a dzień dzisiejszy i zsumować Gaficzie moŝa pzedstawić w sposób astępujący: 6,5 6 5,5 5100 5% Watość obeca 0,5 oku 1 ok 1,5 oku 2 lata PV 6,5 6 P 1 0,05 (1 0,05) 5,5 (1 0,05) 105 (1 0,05) 6,19 5,44 4,75 86,38 4 102,77-6 -