Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Alina Kondraiuk-Janyska Maksyminowe sraegie immunizacji porfela rozprawa dokorska Promoor: dr hab. Leszek Zaremba Kaedra Meod Ilościowych Wyższa Szkoła Zarządzania- The Polish Open Universiy Wydział Fizyki Technicznej, Informayki i Maemayki Sosowanej Poliechnika Łódzka Łódź 26

Spis reści Wsęp 2 Preliminaria 6 1 Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela 9 2 Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia 15 2.1 Sraegie ypu DD............................ 16 2.2 Model wielomianowy wolny od arbirażu.............. 19 2.3 Badania empiryczne........................... 23 3 Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia 3 4 Różne kryeria wyboru porfela obligacji 37 4.1 Kryerium maksyminowe........................ 38 4.2 Kryerium bayesowskie......................... 4 4.3 Kryerium Γ-maksyminowe...................... 42 4.4 Kryerium Markowiza......................... 42 Spis lieraury 46

Wsęp Ważnym zagadnieniem dla inwesorów jes zarządzanie ryzykiem sóp procenowych i konrolowanie zmian przyszłych warości w srumieniach pieniężnych. Rozważmy syuację, kiedy inwesor ma zaciągnięy dług L PLN, kóry musi spłacić w momencie m, przy czym inwesor dysponuje w chwili obecnej pewną kwoą B PLN mniejszą niż L PLN. Pojawia się nauralne pyanie jak ją zainwesować, by w chwili spłay zobowiązania posiadać pieniądze na jego pokrycie i czy kwoa B PLN jes dosaecznie duża, aby można było z niej spłacić dług w chwili m. Idealnym rozwiązaniem byłoby, gdyby kwoa B PLN reprezenująca na przykład warość obecną porfela akywów wysarczyła do spłay długu w przyszłości bez względu na zachowanie się sóp procenowych. Jeśli na rynku byłaby dosępna odpowiednia ilość obligacji zerokuponowych wygasających w erminie horyzonu inwesycji, o aki porfel spełniałby powyższe kryerium. Zazwyczaj jednak inwesor musi podjąć decyzję wyboru obligacji kuponowych, czyli musi się zmierzyć, obok ryzyka warości, z ryzykiem reinwesycji. Właśnie sraegia immunizacyjna pozwala na konsrukcję opymalnego porfela. Według niej, porfel powinien być ak zbudowany, że jeśli sopy procenowe wzrosną, o sray wynikające ze spadku cen insrumenów finansowych będą w pełni rekompensowane wyższymi niż przewidywano dochodami z reinwesycji srumieni pieniężnych pojawiających się przed końcem horyzonu inwesycyjnego. Jeśli naomias sopy procenowe spadną, o dodakowe dochody ze sprzedaży insrumenów po cenie wyższej od zaplanowanej powinny być nie mniejsze niż sray z reinwesowania akywów według sóp niższych od prognozowanych. Porfel akywów skonsruowany w en sposób nazywa się porfelem idealnie uodpornionym. Pierwsze prace doyczące uodpornienia opierały się na definicji średniego okresu (ang. average period) sformułowanego przez Hicksa (1939) i wyrażonego przez elasyczność warości insrumenu finansowego względem zmian czynnika dyskonującego oraz 2

Wsęp na pojęciu czasu rwania (ang. duraion) zdefiniowanego przez Macaulaya (1938) jako średnia ważona erminów wypła dochodów. Średni okres Hicksa jes równy czasowi rwania Macaulaya. Niezależnie od siebie Samuelson (1948) i Redingon (1952) określili sposoby zabezpieczenia się przed zmianą sóp procenowych wprowadzając pojęcie porfela idealnie uodpornionego. Dowiedli, że jeśli czasy rwania Macaulaya akywów i pasywów są równe, o porfel jes zabezpieczony przeciwko niewielkim zmianom sóp procenowych. Przyjęli założenie, że krzywa erminowej srukury sóp procenowych jes płaska, a jej zmiany są równoległymi przesunięciami. Pomimo ych rezulaów, prakycy i eoreycy nie rozwijali ego zagadnienia. Dopiero praca Fishera i Weila (1971), w kórej uogólniono wcześniejsze wyniki formułując warunki, przy kórych porfel jes idealnie uodporniony przeciw równoległym zmianom sóp procenowych dla dowolnej erminowej srukury sóp procenowych, zapocząkowała lawinę badań w ym kierunku. Główny rezula pracy Fishera i Weila (1971) mówi, że porfel jes idealnie uodporniony, jeśli czas rwania Fishera-Weila porfela jes równy długości planowanego okresu inwesycyjnego. Uogólnienienie wyników Fishera i Weila (1971) można znaleźć w pracy Monrucchio i Peccai (1991), gdzie dowiedziono, że jeśli zbiór K zaburzeń sóp procenowych zawiera wszyskie funkcje k akie, że exp ( m k(s)ds) jes funkcją wypukłą, o każdy porfel z dopasowanym czasem rwania do długości horyzonu inwesycyjnego jes idealnie uodporniony. Teoria, w kórej rozważa się idealne uodpornienie porfela nosi nazwę klasycznego podejścia (zobacz Fabozzi, 1993, Panjer, 1998). Klasyczne podejście rozwijano dla różnych modeli zachowań sóp procenowych, w ym akże sochasycznych (parz np.: Cox, Ingersoll i Ross, 1979, Khang, 1979, Bierwag i Kaufman, 1977, Bierwag, 1987, Chambers, Carleon i McEnally, 1988, Prisman i Shores, 1988, Crack i Nawalkha, 2). Wobec różnych założeń co do kszału srukury sóp procenowych, a akże charakeru jej przekszałceń (na przykład addyywnych, muliplikaywnych) powsały różne miary na bazie czasu rwania Macaulaya (parz na przykład Rządkowski i Zaremba, 2, Shiu, 1987, Reiano, 1991, 1992, Zaremba, 1998, Zaremba i Smoleński, 2ab). Jednakże Ingersoll, Skelon i Weil (1978) zarzucili klasycznemu podejściu, że klasy zachowań sóp procenowych są wąskie, przez co model jes niezgodny z warunkami równowagi na rynku finansowym, a klasyczne sraegie immunizacyjne dopuszczają arbiraż, czyli gwaranują inwesorowi zysk bez ryzyka. Zaczęo zaem rozszerzać klasy zaburzeń i poszukiwać nowego podejścia w sformułowaniu problemu. 3

Wsęp Pionierska praca Fonga i Vasička (1984) proponuje, by dopuścić możliwość poniesienia sray w chwili rozliczenia, a jako sraegię immunizacyjną zasosować maksymalizację dolnego oszacowania na względną zmianę końcowej warości porfela. Fong i Vasiček (1984) przyjęli założenie o dowolnym kszałcie funkcji zmian sóp procenowych z ograniczoną i ciągłą pochodną oraz rozważyli porfel z dopasowanym czasem rwania Fishera-Weila. Wykazali, że dolne oszacowanie względnej zmiany warości porfela można przedsawić w posaci iloczynu dwóch czynników: konrolowanego i poza konrolą inwesora. Czynnik, na kóry ma wpływ inwesor jes związany ze srukurą porfela i funkcjonuje w lieraurze jako miara M 2. Nawalkha i Chambers (1996), Balbás i Ibáñez (1998), Balbás, Ibáñez i López (22), Nawalkha, Soo i Zhang (23) w swoich pracach rozwinęli o podejście i uzyskali różne dolne oszacowania na względną zmianę końcowej warości porfela, co doprowadziło do uzyskania różnych sraegii minimalizujących sraę inwesora lub równoważnie maksymalizujących jego zysk. Przegląd współczesnego sanu wiedzy można znaleźć na przykład w książce Nawalkhi i Chambersa (1999) oraz Jackowicza (1999). Ponieważ inwesor zabezpiecza się przed najgorszym scenariuszem rozwoju syuacji na rynku, więc budując opymalny porfel ma do rozwiązania problem maksyminowy. W większości przypadków nie isnieją jego jawne rozwiązania i dlaego poszukuje się dolnych oszacowań na warość maksyminową. W niniejszej rozprawie opierając się na podejściu Fonga i Vasička, Nawalkhi i Chambersa, Balbása i Ibáñeza uzyskano różne dolne ograniczenia względnej zmiany warości końcowej porfela rozważając różne ypy obligacji wchodzące w jego skład. Zawaro również empiryczne badania ilusrujące prakyczne zasosowanie uzyskanych rezulaów. W końcowej części pracy przedsawiono jawne rozwiązania problemu uodpornienia w różnych modelach wolnych od arbirażu. Zaproponowano przy ym nowe kryeria wyboru porfela. Preliminaria mają za zadanie wprowadzić czyelnika w omawianą problemaykę oraz zapoznać z oznaczeniami i pojęciami wysępującymi w dalszej części pracy. W rozdziale 1 przedsawiono nową sraegię uodpornienia porfela obligacji bez opcji wykupu przysługującej emienowi (ang. noncallable) i wolnych od ryzyka niewykupienia przez emiena obligacji (ang. defaul free). Sraegia polega na minimalizacji miary, kóra jes liniową kombinacją luki czasu rwania i miary rozrzuu przy różnych klasach zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej (ang. insananeous forward rae). Ponado uogólniono nierówności Fonga i Vasička (1984), Nawalkhi i Chambersa 4

Wsęp (1996) oraz Balbása i Ibáneza (1998). W rozdziale 2 rozważono innowacyjne klasy zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej i zaproponowano dwie sraegie uodpornienia porfela. Pierwszą z nich łączącą czas rwania Fishera-Weila z miarą M-Absolue zdefiniowaną przez Nawalkhę i Chambersa porównano empirycznie ze sraegiami Fishera-Weila oraz Nawalkhi i Chambersa. Druga sraegia polega na minimalizacji kombinacji liniowej czasu rwania, miary M-Absolue i miary M 2 Fonga i Vasička. Nasępnie uogólniono uzyskane rezulay rozważając model wielomianowy zachowań sóp procenowych. Głównym celem rozdziału 3 jes przedsawienie nowej definicji czasu rwania porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu przysługującej emienowi (ang. noncallable) i obarczonych ryzykiem niewykupienia przez emiena obligacji (ang. defaulable). W szczególności, jeśli porfel składa się z obligacji bez ryzyka niewykupienia, o jego czas rwania saje się czasem rwania Fishera-Weila. Dla rozważonego porfela zaproponowano sraegię uodpornienia. Rozdział 4 poświęcono analizie wolnych od arbirażu modeli uodpornienia porfela obligacji pod kąem porównania rezulaów z wynikami uzyskanymi w klasycznym podejściu. Rozważono model rzyokresowy i podano jawne rozwiązania problemu uodpornienia przy różnych kryeriach opymalizacyjnych akich jak: kryerium maksyminowe, bayesowskie, gamma-maksyminowe, Markowiza. Przy pewnych kryeriach orzymano, że wszyskie sraegie inwesowania są opymalne. Kryerium Markowiza nie generuje powyższej anomalii i ponado, sosując je orzymano, że opymalnym porfelem jes porfel z dopasowanym czasem rwania. Powyższe rozważania doyczą problemu spłay pojedynczego zobowiązania. Nauralnym rozszerzeniem badań jes przypadek wielu zobowiązań rozważany np.: w pracach Gajka (25), Gajka i Osaszewskiego (24), czy Hürlimanna (22). Oczywiście ema nie jes wyczerpany, wymaga dalszego zgłębiania eoreycznego jak i szerokich badań empirycznych. O wadze problemu uodpornienia świadczy powszechne sosowanie przez prakyków sraegii immunizacyjnych. Prisman i Tian (1993) podają, że na począku la 9-ych akywa amerykańskich funduszy emeryalnych o warości 1 miliardów dolarów miały posać zimmunizowanych porfeli. W ym miejscu pragnę podziękować prof. dr hab. Lesławowi Gajkowi za uwagi, kóre sały się inspiracją do dalszych badań. 5

Preliminaria Wprowadźmy oznaczenia: [, T ] jes przedziałem czasu, gdzie chwila = oznacza chwilę worzenia porfela, czyli momen zakupu obligacji. m jes momenem spłay zobowiązania akim, że < m < T. f(, s) jes chwilową erminową sopą procenową (ang. insananeous forward ineres rae) na przedziale czasu [, s], o znaczy jeśli zainwesujemy jednoskę w chwili, o orzymamy w chwili s warość exp( s f(, u)du). Zbiór chwilowych erminowych sóp procenowych {f(, s) : < s} generuje losową srukurę sóp procenowych zdefiniowaną na przesrzeni probabilisycznej (Ω, F, P). W chwili =, funkcja s f(, s) jes deerminisyczna. C jes srumieniem pieniężnym wypła z porfela obligacji w chwilach T ( = 1,..., N ). Zakładamy, że dla dowolnego, C sprzedaż., czyli wykluczamy króką V () jes warością porfela liczoną na chwilę m przy bieżącej srukurze erminowej f(, s). k(s) jes funkcją zaburzenia chwilowej erminowej sopy procenowej. V (k) jes warością porfela liczoną na chwilę m, jeśli pojawiło się zaburzenie k(s). = C exp( m f(,u)du) C (m) jes warością względną wypłay C V () w odniesieniu do całego porfela liczoną na chwilę m. 6

Preliminaria W klasycznym podejściu do problemu uodpornienia porfela poszukuje się akiego składu porfela, dla kórego V (k) V () inf, k K V () gdzie K jes klasą zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej. Cel pracy W modelu arbirażowym uodpornienie polega na rozważeniu możliwości poniesienia sray przez inwesora, przy czym porfel opymalny o aki, że V (k) V () inf k K V () max, gdzie K jes klasą zaburzeń chwilowej erminowej sopy procenowej. Jednak podanie rozwiązania ego problemu jes rudne, a czasami niemożliwe. Dlaego poszukuje się dolnego ograniczenia na względną zmianę warości porfela zależącego ylko od jego składu. Nasępnie proponuje się jako sraegię posępowania dobór obligacji w chwili = spośród dosępnych na rynku, ak aby dolne ograniczenie było maksymalne. W pionierskiej pracy, Fong i Vasiček (1984) założyli, że funkcja zaburzenia chwilowej erminowej sopy procenowej należy do klasy K F V = {k : dk() d λ, T }, gdzie λ jes dodanią liczbą. Dowiedli, że jeśli wykluczymy króką sprzedaż i czas rwania porfela obligacji jes równy momenowi spłay zobowiązania m (mówimy wedy o dopasowanym czasie rwania), o V (k) V () inf λm 2, k K V () 2 F V gdzie czas rwania jes zdefiniowany w wierdzeniu 1 oraz M 2 = ( m) 2 C (m) jes miarą rozrzuu. Konsekwencją powyższej nierówności, z punku widzenia inwesora, jes nasępujący problem opymalizacyjny: wybierz porfel z dopasowanym czasem rwania, kóry minimalizuje M 2. To podejście zosało poddane kryyce na przykład w pracy Bierwaga, Fooladiego i Robersa (1993), gdzie dowiedziono, że porfel zawierający obligacje wygasające w 7

Preliminaria chwili m jes lepiej uodporniny niż en z minimalną M 2. Nawalkha i Chambers (1996) badali zaburzenia należące do klasy K NCH = {k : k 1 k() k 2, T }, gdzie k 1, k 2 są liczbami rzeczywisymi i udowodnili, że V (k) V () inf k k K V () 3 M A, NCH gdzie M A = m C (m) i k 3 = max k 1 k 2. Sraegia dla inwesora polega na wyborze porfela, kóry minimalizuje M A. Balbás i Ibánez (1998) rozważyli klasę K BI = {k : k( 2 ) k( 1 ) λ, 1 < 2 T }, w kórej dla porfela z dopasowanym czasem rwania prawdziwa jes nierówność V (k) V () inf λñ, k K V () 2 BI gdzie Ñ = m C (m). Zauważmy, że Ñ = M A. Sraegia inwesowania o dobór porfela z dopasowanym czasem rwania, kóry minimalizuje Ñ. 8

Rozdział 1 Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela W ym rozdziale zamieszczono główne rezulay pracy Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (24a). Inwesor konsruując porfel ponosi ryzyko związane z reinwesowaniem dochodów z wypła uzyskanych przed chwilą m. Rozważmy aką syuację, że w chwili = nie ma wysarczającej ilości obligacji zerokuponowych m-lenich, by pokryć zobowiązanie w chwili m, naomias w chwili pierwszej wypłay z porfela jes o już możliwe. Zaem inwesor sprzedaje w chwili 1 porfel, a za orzymaną kwoę nabywa (m 1 )-lenie obligacje zerokuponowe. Załóżmy, że srukura erminowa sóp procenowych ulega addyywnemu zaburzeniu przed pierwszą wypłaą z porfela, choć analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla innych zachowań. Wówczas V (k) = m C exp( f(1, s)ds) = m C exp( (f(, s) + k(s))ds). Niech A będzie funkcjonałem, czyli odwzorowaniem działającym z przesrzeni liniowej ych wszyskich funkcji określonych na przedziale [, T ], nazwanych w pracy zaburzeniami srukury erminowej sóp procenowych, w zbiór liczb rzeczywisych i niech A mierzy przecięny poziom zaburzenia srukury erminowej sóp procenowych oraz posiada własność, że A() =. Zdefiniujmy klasę zaburzeń K(W, a) = {k; m (k(s) A(k))ds W (), T, A(k) a}, (1.1) gdzie a i W jes nieujemną, wypukłą funkcją, aką że W (m) =. Przyjmuje się, że =. 9

1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela W dowodach wszyskich wierdzeń pojawiających się w pracy korzysa się z nierówności Jensena (parz Durre, 1996). Fak 1. Niech f : (a, b) R, a < b, będzie dowolną funkcją wypukłą, X zmienną losową o warościach z przedziału (a, b), dla kórej isnieją EX i Ef(X). Wówczas zachodzi nierówność Ef(X) f(ex). Twierdzenie 1. Dolne oszacowanie zmiany warości porfela w chwili rozliczenia wynosi gdzie V (k) V () inf exp( a m D M W ) 1, (1.2) k K(W,a) V () D = C (m) jes czasem rwania Fishera-Weila, M W = C (m) W (). Dowód. Zauważmy, że V (k) V () V () = = m C (m) exp( k(s)ds) 1 C (m) exp(a(k)(m ) + m (k(s) A(k))ds) 1. Ponieważ wykluczono króką sprzedaż, więc ciąg C (m) 1,..., C (m) N jes rozkładem prawdopodobieńswa na przedziale [, T ]. Korzysając z nierówności Jensena orzymujemy V (k) V () V () exp(a(k) C (m) (m ) + = exp(a(k)(m D) Korzysając z definicji klasy K(W, a) C (m) m (k(s) A(k))ds) 1 C (m) (k(s) A(k))ds) 1. m V (k) V () inf exp( inf (A(k)(m D)) k K(W,a) V () k K(W,a) = exp( a m D M W ) 1. Z podanego oszacowania wynika sraegia inwesowania: C (m) W ()) 1 wybierz porfel, kóry minimalizuje a m D + M W. (1.3) Zauważmy, że M W jes miarą rozrzuu, ponieważ 1

1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela na mocy wypukłości W i z nierówności Jensena (przyjmując f = W ) M W = C (m) W () W ( C (m) ), jeśli W jes ściśle wypukła, o miara M W jes równa wedy i ylko wedy, gdy porfel składa się z obligacji zerokuponowych o erminie zapadalności w chwili m. Z (1.3) wynika, że im większa jes warość a, ym mniejsza powinna być różnica między m, a D nazywana luką czasu rwania. Jeśli naomias a =, wówczas podejście (1.3) jes równoważne sraegii: wybierz porfel, kóry minimalizuje M W. Przedyskuujemy eraz szczególne przypadki klasy K(W, a) zdefiniowanej wzorem (1.1): 1. Rozważmy klasę K a (w) = {k; k( 2 ) k( 1 ) w( 2 1 ), 1 2 T, k(m) a}, gdzie a, w = w() jes niemalejącą i nieujemną funkcją aką, że w() =. Zauważmy, że K a (w) zawiera również wszyskie równoległe zaburzenia przyjmujące warości nie większe niż a. Klasa K a (w) zawiera się w klasie K(W, a) przy A(k) = k(m) i W () = m w(s)ds. Z wierdzenia 1 orzymujemy oszacowanie V (k) V () inf k K V () a(w) exp( a m D m C (m) w(s)ds) 1 i sraegię dla inwesora zbuduj porfel, kóry minimalizuje a m D + m C (m) w(s)ds. Jeśli w = i uda się sworzyć porfel z czasem rwania równym momenowi pokrycia zobowiązania, o inf k Ka(w) V (k) V () V () i porfel jes idealnie uodporniony bez względu na charaker zmian srukury erminowej. Ciekawą funkcją jes w() = λ p dla λ > i dowolnego p (, 1 ), ponieważ realizacje procesu Browna są funkcjami ciągłymi w sensie Höldera z wykładnikiem 2 p 11

1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela dla < p < 1 (parz np.: Durre, 1996, sr. 379). Prowadzi o do nasępującego 2 problemu n n minimalizuj a m q i D i + q i M i n przy warunkach q i P i = C, q i, i = 1, 2,..., n, gdzie q i oznacza ilość i-ej obligacji w porfelu, P i jes ceną rynkową i-ej obligacji w chwili =, C zdyskonowaną na chwilę warością zobowiązania L, D i = 1 L c (m) λ i i M i = (p+1)l m p+1 c (m) i, o czas rwania i miara rozrzuu, odpowiednio, i-ej obligacji. Ten przypadek jes szczegółowo rozważany w pracy Balbása i Ibáñeza (1998) z konkluzją, że najlepsze miary rozrzuu o akie, że p 1. 2. Kolejna klasa sanowi rozszerzenie klasy rozważanej przez Fonga i Vasička (1984). Niech A(k) := k(m) i niech KF V (a) = {k; (k(s) k(m))ds λ( 2 m)2, T, λ >, k(m) a}. m Zauważmy, że K F V (a) = K( λ 2 ( m)2, a). Z wierdzenia 1 mamy: V (k) V () inf exp( a m D λm 2 ) 1 k KF V (a) V () 2 oraz dla porfeli z dopasowanym czasem rwania V (k) V () inf exp( λm 2 ) 1. (1.4) k KF V (a) V () 2 Ponado klasa K F V rozważana przez Fonga i Vasička (1984) zawiera się w klasie KF V ( ). Isonie, dla dowolnego k K F V jeśli s m o k(s) k(m) = jeśli s < m o k(s) k(m) = Sąd dla dowolnego, m s m s m k ()d λ(s m), k ()d λ(s m). (k(s) k(m)) λ 2 ( m)2, k K F V ( ) = K( λ 2 ( m)2 ). Ponieważ exp x 1+x i K F V KF V ( ), więc nierówność (1.4) jes uogólnieniem nierówności Fonga i Vasička (1984). 12

1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela 3. Teraz podamy uogólnienie nierówności Balbása i Ibáñeza (1998). Niech A(k) = = 1 2 (inf T k() + sup T k()). Zdefiniujmy nasępującą klasę funkcji K BI = {k; m (k(s) A(k))ds λ m, T, λ > }. 2 Oczywiście K BI = K( λ 2 m, ). Pokażemy eraz, że klasa K BI rozważana przez Balbása i Ibáñeza (1998) zawiera się w klasie K BI. Dla dowolnego k K BI jeśli m o k() A(k) + λ 2 i m jeśli m o k() A(k) λ 2 i m Dla każdego T orzymujemy m k(s)ds A(k)(m ) λ ( m), 2 k(s)ds A(k)(m ) λ (m ). 2 k(s)ds A(k)(m ) λ m, 2 co dowodzi ezy, że K BI K BI. Z wierdzenia 1 orzymujemy nierówność prawdziwą dla porfeli, dla kórych czas rwania jes równy chwili spłay zobowiązania posaci V (k) V () inf exp( λ Ñ) 1. (1.5) k KBI V () 2 Z faku, że K BI K BI i exp x 1 + x, nierówność (1.5) jes uogólnieniem nierówności Balbása i Ibáñeza (1998). 4. Aby poprawić nierówność Nawalkhi i Chambersa (1996) należy zmodyfikować klasę (1.1) i rozważyć K NCH (W, a) = {k; m (k(s) A)ds W ()}, gdzie A jes dowolną liczbą rzeczywisą, W jes funkcją nieujemną i wypukłą aką, że W (m) =. W konsekwencji wierdzenie 1 ulega modyfikacji. Twierdzenie 2. V (k) V () inf exp(a(m D) M W ) 1, k K NCH (W,a) V () gdzie M W = C (m) W (). 13

1. Dolne oszacowania maksyminowej zmiany warości porfela Dowód. Dowód jes analogiczny jak w wierdzeniu 1. Twierdzenie 2 implikuje sraegię inwesowania zminimalizuj A(D m) + M W. (1.6) Rozważmy eraz klasę K NCH(A, B) = {k; m (k(s) A)ds B m, T }, gdzie A = 1 2 (k 1 + k 2 ) i B = 1 2 (k 2 k 1 ) i k 1 < k 2. Zauważmy, że klasa K NCH K NCH(A, B) = K NCH(B m, ). Isonie, dla dowolnego k K NCH jeśli m o k() k 2 = A + B, czyli m (k(s) A)ds B( m), jeśli < m o k() k 1 = A B, czyli m (k(s) A)ds B(m ), co daje m (k(s) A)ds B m dla dowolnego. Z wierdzenia 2 orzymujemy zaem, że V (k) V () inf exp(a(m D) BM A ) 1, (1.7) k KNCH (A,B) V () gdzie M A = C (m) m. A ponado, ponieważ A(m ) B m max ( k 1, k 2 ) m dla wszyskich, więc gdzie k 3 V (k) V () inf exp( k k KNCH (A,B) V () 3 M A ) k 3 M A, = max ( k 1, k 2 ), co dowodzi, że nierówność (1.7) jes uogólnieniem nierówności Nawalkhi i Chambersa (1996). 14

Rozdział 2 Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Ten rozdział jes opary na wynikach opublikowanych w pracy Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (24b). Syuacja na rynku i scenariusz posępowania inwesora jes aki sam jak w rozdziale 1. Równoległe przesunięcia srukury erminowej zakładane w klasycznym modelu odgrywają w rzeczywisości znaczącą rolę (parz Ilmanen, 1992). Choć podejście Fonga i Vasička jes nowaorskie, ponieważ rozważyli oni zaburzenie jako dowolną funkcję z pewnej klasy, o zarówno niewielkie zmiany jak i duże równoległe przesunięcia srukury erminowej są ak samo prawdopodobne. Nawalkha i Chambers wykluczyli duże warości równoległych ruchów. Dlaego eż, aby wziąć pod uwagę wszyskie możliwe warości zaburzeń równoległych, ale z odpowiednimi wagami proponujemy sochasyczny model zachowań srukury erminowej sóp procenowych. Załóżmy, że k(s, ω) jes mierzalnym procesem sochasycznym na przesrzeni (Ω, F, P) i uśrednione zaburzenie (parz założenie (i) poniżej) jes zmienną losową o warości przecięnej µ oraz że funkcje zaburzeń odchylają się od swojej średniej warości o nie więcej niż sała λ z prawdopodobieńswem 1. 15

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia 2.1 Sraegie ypu DD Załóżmy, że: (i) 1 T T k(s)ds jes zmienną losową z warością oczekiwaną µ. k(s)ds λ dla każdego, gdzie λ jes nieujemną liczbą rzeczy- (ii) k() 1 T wisą. T Rozważana przez nas klasa chwilowych erminowych sóp procenowych zawiera wszyskie równoległe przesunięcia, a z drugiej srony duże warości przecięnego zaburzenia są mało prawdopodobne, co wynika z reguły 3σ. Twierdzenie 3. Dolne ograniczenie na warość przecięną zmiany końcowej warości porfela przy założeniach (i) (ii) wyraża się wzorem gdzie G = m D jes luką czasu rwania, V (k) V () E exp(µg λm A ) 1, (2.1) V () D = C (m) jes czasem rwania Fishera-Weila dla porfela, M A = m C (m) jes miarą M-Absolue Nawalkhi i Chambersa. Dowód. Połóżmy δ = 1 T T k(s)ds. Przypomnijmy, że V (k) V () V () = = m C (m) exp( k(s)ds) 1 C (m) exp(δ(m ) + m (k(s) δ)ds) 1. (2.2) Z założenia (ii) wynika, że k(s) δ λ dla m, sąd m Jeśli > m, o k(s) δ λ. W konsekwencji m (k(s) δ)ds = (k(s) δ)ds λ(m ) dla m. (2.3) m (k(s) δ)ds λ( m) dla > m. (2.4) 16

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Z (2.3) i (2.4) mamy m (k(s) δ)ds λ m dla. (2.5) Ze wzorów (2.2) i (2.5) orzymujemy V (k) V () ( ) C (m) V () exp δ(m ) λ m 1. (2.6) Sosując nierówność Jensena i korzysając z założenia (i) mamy V (k) V () E ( ) C (m) V () E exp δ(m ) λ m 1 (2.7) ( ) C (m) exp (m )Eδ λ m 1 = ( ) C (m) exp (m )µ λ m 1. Zauważmy, że ciąg C (m) 1,..., C (m) N definiuje rozkład prawdopodobieńswa na przedziale [, T ] ponieważ C (m) i C (m) = 1. Sosując ponownie nierówność Jensena orzymujemy co kończy dowód. V (k) V () E exp(µg λm A ) 1, V () Jako wniosek z wierdzenia 3 orzymujemy nasępującą sraegię, kórą nazwiemy DD sraegią jako skró od angielskiego określenia Duraion-Dispersion: wybierz porfel, kóry maksymalizuje µg λm A. (2.8) Uwaga 1. Jeśli µ jes nieznanym paramerem, o inf µ E V (k) V () V () exp( λm A ) 1 przy warunku, że G =. Dlaego inwesor powinien budować swój porfel według sraegii minimalizacja M A przy ograniczeniu D = m. (2.9) W wielu eoreycznych rozważaniach zakłada się, że funkcja zaburzenia srukury erminowej sóp procenowych jes procesem gaussowskim. Jeśli badania empiryczne powierdzają ezę, że przecięne zaburzenie 1 k(s)ds ma rozkład normalny z warością oczekiwaną µ i wariancją σ 2, wówczas sraegię (2.8) można zmodyfikować T zasępując założenie (i), założeniem 17 T

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia T (i ) 1 k(s)ds jes zmienną losową o rozkładzie normalnym z warością oczekiwaną T µ i wariancją σ 2 (jeśli σ 2 =, o brak losowości). Zarówno warość oczekiwana jak i wariancja mogą zależeć od T. Twierdzenie 4. Jeżeli spełnione są założenia (i ) (ii), o gdzie V (k) V () E exp(µg + 1 V () 2 σ2 M 2 λm A ) 1 (2.1) M 2 = (m ) 2 C (m) jes miarą Fonga i Vasička, G i M A są zdefiniowane w wierdzeniu 1. Dowód. Analogiczne rozumowanie jak w dowodzie wierdzenia 3 daje nam nierówność (2.6). Na mocy założenia (i ) zmienna losowa δ ma rozkład normalny z warością oczekiwaną µ i wariancją σ 2 ak więc E exp(δa) = exp(µa+σ 2 a 2 /2) dla każdego a R. Uwzględniając en fak mamy V (k) V () E V () ( ) C (m) exp µ(m ) + 1 2 σ2 (m ) 2 λ m 1. Dalej dowód przebiega analogicznie jak dowód wierdzenia 3. Ponieważ C (m) C (m) i = 1, ciąg C (m) 1,..., C (m) N generuje rozkład prawdopodobieńswa na przedziale [, T ]. Sąd i z nierówności Jensena dosajemy, że co kończy dowód. V (k) V () E exp(µg + 1 V () 2 σ2 M 2 λm A ) 1, Jako wniosek z wierdzenia 4 orzymujemy zmodyfikowaną DD sraegię posępowania dla inwesora: wybierz porfel, kóry maksymalizuje µg + 1 2 σ2 M 2 λm A. (2.11) Uwaga 2. Jeśli µ jes nieznanym paramerem, o inwesor powinien wybrać porfel, kóry maksymalizuje 1 2 σ2 M 2 λm A przy ograniczeniu D = m. (2.12) 18

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Zauważmy, że jeśli σ = wówczas sraegia wyboru porfela polega na doborze jego składników ak, aby zminimalizować M A przy ograniczeniu D = m. Rozwiązaniem powyższego problemu jes porfel ypu bulle zn. porfel generujący srumienie pieniężne skupione wokół jednego punku w czasie, u nas m. Z drugiej srony, jeśli λ =, o mamy sraegię: wybierz porfel, kóry maksymalizuje M 2 przy ograniczeniu D = m. Wiadomo, że porfel ypu barbell, czyli generujący srumienie pieniężne skupione wokół dwu punków w czasie, skrajnie położonych w sosunku do m, ma maksymalną warość M 2 (Zaremba, 1998, Zaremba i Smoleński, 2a). Jednakże powyższy rezula różni się od wyniku Fonga i Vasička (1984) ponieważ oni proponują minimalizować M 2 przy warunku D = m. Naomias nasz wynik jes bliski wynikowi uzyskanemu w klasycznym podejściu do problemu uodpornienia wykorzysującym rozwinięcie w szereg Taylora końcowej warości porfela w punkcie m przy założeniu płaskiego przebiegu sóp procenowych i ich równoległych ruchów. 2.2 Model wielomianowy wolny od arbirażu W wierdzeniach 3 i 4 zakłada się, że nieznana funkcja zaburzenia jes rozwinięa w szereg przy czym brany jes pod uwagę pierwszy wyraz rozwinięcia, kóry mierzy średni poziom zaburzenia. Zakłada się, że jes on zmienną losową. Resza jes oszacowana przez sałą λ. Powsaje pyanie jak zmienia się rozwiązanie problemu uodpornienia, jeśli weźmiemy pod uwagę dalsze wyrazy z rozwinięcia w szereg funkcji zaburzenia sóp procenowych. Niech a 1 (),..., a d () będą znanymi funkcjami. Zdefiniujmy klasę zaburzeń: d S = {k; k() = δ i a i (), T, dla pewnych rzeczywisych δ 1,..., δ d } (2.13) (parz Rządkowski i Zaremba, 2). Szczególne przypadki klasy (2.13) rozważane w lieraurze, o: 19

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia a) model wielomianowy d k() = δ i i 1, (2.14) (parz Chambers, Carleon i McEnally, 1988, Prisman i Shores, 1988, Crack i Nawalkha, 2), b) model wielokronych zaburzeń d k() = δ i I i (), (2.15) gdzie I i () = 1 dla [τ i 1, τ i ), i I i () = w przeciwnym razie oraz = τ < τ 1 <... < τ d = T (parz Reiano, 1991), c) model Khanga (parz Khang, 1979). Wprowadzimy eraz nasępującą klasę zaburzeń: i założymy, że k() = δ ln(1+α) α gdzie α R + (2.16) d S = {k; k() = δ i a i () + ɛ(), T } (2.17) (iii) (δ 1,..., δ d ) jes wekorem losowym o warości oczekiwanej (µ 1,..., µ d ). (iv) ɛ() λ dla wszyskich. Twierdzenie 5. Przy założeniach (iii)-(iv), orzymujemy że gdzie V (k) V () E V () d exp( µ i G i λm A ) 1 (2.18) G i = C (m) m a i (s)ds jes i-ą luką czasu rwania dla i = 1,..., d, 2

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia M A jes zdefiniowane w wierdzeniu 3. Dowód. Dowód przebiega analogicznie jak w wierdzeniu 3. Oczywiście V (k) V () V () = C (m) d m m ( d exp( δ j a j (s)ds + k(s) j=1 j=1 ) δ j a j (s) ds) 1. Z założenia (iv) V (k) V () V () C (m) d m exp( δ j a j (s)ds λ m ) 1. j=1 Sosując nierówność Jensena orzymujemy co kończy dowód. V (k) V () E d m C (m) V () E exp( δ j a j (s)ds λ m ) 1 j=1 d m C (m) exp(e δ j a j (s)ds λ m ) 1 j=1 d exp( µ i G i λm A ) 1, Twierdzenie analogiczne do wierdzenia 4 wymaga nasępującego założenia: (ii ) (δ 1,..., δ d ) jes wekorem losowym o rozkładzie normalnym z wekorem warości oczekiwanych (µ 1,..., µ d ) i macierzą kowariancji Σ = (σ ij ). Twierdzenie 6. Przy założeniach (iii ) (iv), mamy gdzie V (k) V () E V () d d exp( µ i G i + 1 σ 2 ij Mij 2 λm A ) 1, (2.19) i,j=1 G i = C (m) m a i (s)ds jes i-ą luką czasu rwania dla i = 1,..., d, M 2 ij = C (m) m M A jes zdefiniowane w wierdzeniu 3. a i (s)ds m a j (u)du jes zmodyfikowaną miarą Fonga i Vasička, 21

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Dowód. Dowód przebiega jak w wierdzeniu 5. Korzysa się z faku, że E exp(b 1 X 1 +... + b d X d ) = exp(µb T + 1 2 bσbt ) dla b = (b 1,..., b d ), jeśli (X 1,..., X d ) ma wielowymiarowy rozkład normalny z wekorem warości oczekiwanych µ = (µ 1,..., µ d ) i macierzą kowariancji Σ = (σ ij ). Twierdzenie 6 implikuje nasępującą sraegię inwesowania: wybierz porf el, kóry maksymalizuje d d µ i G i + 1 σ 2 ij Mij 2 λm A, (2.2) i,j=1 kóra jes uogólnieniem sraegii (2.11). Jes ona również ława do implemenacji, ponieważ prowadzi do liniowego problemu opymalizacyjnego przy liniowych ograniczeniach. Przykład 1. Weźmy pod uwagę model wielomianowy (2.14). Poważnym ograniczeniem ego modelu jes o, że jeśli d 1, o nie isnieje porfel bez krókiej sprzedaży, co wynika z faku, że wariancja zmiennej losowej jes nieujemna, a równa się ylko wedy, gdy rozkład prawdopodobieńswa jes skupiony w jednym punkcie. Naomias zauważmy, że rozwiązanie problemu (2.2) zawsze isnieje. W modelu wielomianowym, gdzie a i () = i 1 dla i = 1,..., d: G i = 1 i (mi D i ) dla i = 1,..., d, i D i = C (m) i jes zdefiniowane w wierdzeniu 5. Elemenarne przekszałcenia prowadzą do M 2 ij = 1 ij (mi+j m i D j m j D i + D i+j ) dla wszyskich i, j. Przyjmując µ 1 = µ 2 =... = µ d = w wierdzeniu 6 orzymujemy sraegię: wybierz porfel, kóry maksymalizuje 1 2 d i,j=1 σ ij M 2 ij λm A. Kładąc d = 1 dosajemy M 2 11 = m 2 2mD + D 2 = M 2 i sraegia sprowadza się do sraegii (2.11) z µ =. 22

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia 2.3 Badania empiryczne W ym podrozdziale esuje się empirycznie efekywność różnych sraegii posępując według scenariusza zaproponowanego w pracy Nawalkhi i Chambersa (1996). Zakładamy, że dosępnych jes 31 różnych obligacji wypłacającyh z dołu roczne kupony przy 7 okresach wygaśnięcia (1, 2, 3,..., 7) i 5 różnych sopach kuponów (6%, 8%, 1%, 12%, 14%) dla każdego okresu wygaśnięcia. Ceny obligacji są wyznaczane na podsawie danych doyczących zwroów obligacji zero kuponowych dosarczonych przez McCullocha i Kwona, a wcześniej już wykorzysywanych między innymi w pracach Nawalkhi i Chambersa (1996), Nawalkhi, Soo i Zhanga (23) oraz Chrisiansena (23). Zakłada się, że inwesor ma pokryć swoje zobowiązanie za 4 laa. 31 grudnia 1951 roku konsruuje się rzy porfele według: sraegii (2.8) rozwiązując problem maksymalizacji funkcji przy ograniczeniach µ( J n i p i I D i m) λ J n i p i I M A i (2.21) J n i p i = I, n i dla wszyskich i = 1, 2..., J, gdzie J=31 jes liczbą dosępnych obligacji, I jes począkową kwoą inwesycji, p i oznacza cenę i-ej obligacji, n i jes ilością i-ej obligacji w porfelu oraz D i, M A i są odpowiednio czasem rwania oraz miarą M-Absolue i-ej obligacji, sraegii M Absolue (Nawalkha i Chambers, 1996) minimalizując J n i p i I M A i (2.22) przy warunkch J n i p i = I, n i dla wszyskich i = 1, 2..., J, radycyjnej sraegii Fishera-Weila (Nawalkha i Chambers, 1996) minimalizując J (p i n i ) 2 (2.23) przy ograniczeniach J J n i p i I D i = m, n i p i = I. 23

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Rozwiązania problemów (2.21), (2.22) i (2.23) zosały wyznaczone przy użyciu Microsof Excel 2 Solver. Oczywiście nie można dać jednoznacznej odpowiedzi, kóra ze sraegii jes najlepsza ponieważ przeanalizowany scenariusz jes jednym z wielu. Naomias widać, że implemenacja sraegii (2.8) przez inwesora jes możliwa. Na podsawie przeprowadzonych badań widać, że sraegia (2.8) nie jes obojęna na paramery rynku µ, λ. Ponieważ zmienność sóp procenowych jes inna w laach 5 i 6 od zmienności w laach 7 i 8 ak więc podzielono orzymane wyniki na 2 grupy: 1951-197 i 1967-1986 (parz Tabela 3.1 i 3.2). Przyjmując, jako kryerium opymalności warość bezwzględną sumy różnic oraz sumę ujemnych odchyłek pomiędzy warościami orzymanymi sosując sraegie (2.21), (2.22) i (2.23), a warością idealnego porfela widać, że sraegia (2.8) jes lepsza niż sraegia (2.23) i gorsza od (2.22). Jednak w prakyce inwesor, jeśli ma więcej pieniędzy niż wynosi jego zobowiązanie, o nadwyżkę umieszcza w banku, w przeciwnym razie musi pożyczyć pieniądze, aby spłacić swój dług. Dlaego proponuje się nowe kryerium oceny sraegii (2.21), (2.22) i (2.23) polegające na analizie sanu kona bankowego, na kóry wpłacane są nadwyżki bądź, z kórego pożyczane są pieniądze. Przyjmuje się okresy rozliczeniowe od roku 1955 do roku T, gdzie T = 1962, 197, 1978, 1986 (parz wykresy 1-4). Zakłada się, że sopa procenowa oszczędności i jes w granicach od % do 8% na przedziale [1955, T ], a sopa pożyczki jes równa i + 3%. Ten przykład pokazuje, że sraegia (2.22) jes zdecydowanie lepsza niż sraegia (2.23) oraz czasami lepsza od sraegii (2.21). Jednakże przy obliczaniu sanu kona użyo eoreycznych warości sóp procenowych. Zaem powsaje pyanie jak zmienią się wnioski, jeśli użyjemy realnych sóp (podanych przez McCullocha i Kwona). Rozważono, więc kono ze sanem począkowym z końca roku 1955 (parz Tabela 3.1). Nasępnie, jeśli a wielkość jes dodania, o jes kapializowana czynnikiem 1 + i, a jeśli jes ujemna, o 1 + i + 3%, gdzie i jes roczną sopą procenową podaną przez McCullocha i Kwona w chwili. Ta zakumulowana warość jes dodawana do odchylenia warości porfela na koniec roku 1956 (parz Tabela 3.1). Procedura jes powarzana do końca roku 1986. Rezulay są przedsawione na wykresie 5. W rakcie badań empirycznych zauważono, że poddając akim samym kryeriom oceny sraegię (2.11) rezulay są bardzo bliskie do orzymanych dla (2.8). 24

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Tablica 2.1: Odchylenia Realnych Warości od Warości Idealnych w Laach 1951-7 w Alernaywnych Sraegiach Okres Cel Sra. (4.23) Sra. (4.22) Sra. (4.21) 1951-55 1.955 -.615 -.112 -.252 1952-56 1.9825 -.642 -.147 -.188 1953-57 1.8898.89.71.251 1954-58 1.8676.743.243.331 1955-59 1.12183 -.752.143.2 1956-6 1.15984.1216 -.94.16 1957-61 1.11918.445.381.48 1958-62 1.16193 -.151 -.37 -.47 1959-63 1.21327 -.896 -.62 -.665 196-64 1.14129 -.234 -.61 -,145 1961-65 1.1677 -.459 -.131 -.52 1962-66 1.14747.252.199.26 1963-67 1.17473.354.173.375 1964-68 1.17746.28.419.464 1965-69 1.22336 -.678.233.51 1966-7 1.2188.2245.678.95 Suma odchyleń warości bezwględnych.9979.3743.5411 Suma ujemnych odchyleń -.4427 -.122 -.179 25

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia Tablica 2.2: Odchylenia Realnych Warości od Warości Idealnych w laach 1967-86 w Alernaywnych Sraegiach Okres Cel Sra. (4.23) Sra. (4.22) Sra. (4.21) 1967-71 1.26319.179.44.525 1968-72 1.296 -.68.95 -.678 1969-73 1.37537 -.2751 -.1178 -,144 197-74 1.26587 -.348 -.219 -.42 1971-75 1.2356.2415.313.45 1972-76 1.27476.1369.242.289 1973-77 1.3567 -.1146.34 -.291 1974-78 1.33434 -.3743 -.368 -.768 1975-79 1.33771 -.1697 -.39.144 1976-8 1.26592.421.1115.1828 1977-81 1.34291.242.1448.2245 1978-82 1.43838.297.167.2541 1979-83 1.499.174.1494.1471 198-84 1.62671.1764 -.117 -.141 1981-85 1.739 -.1827 -.2611 -.284 1982-86 1.5212 -.1478 -.424 -.1136 Suma odchyleń warości bezwględnych.2864.12158.1853 Suma ujemnych odchyleń -.14534 -.537 -.856 26

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia San kona bankowego, na kóre wpłacane są zyski lub z kórego pożyczane są pieniądze posępując według różnych sraegii inwesowania w zależności od sopy procenowej Wykres 1. Okres 1955-1962,4,2 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,2 -,4 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21) 27

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia,25 Wykres 2. Okres 1955-197,15,5 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,5 -,15 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21),3 Wykres 3. Okres 1955-1978,1 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,1 -,3 -,5 -,7 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21) 28

2. Uodpornienia porfela obligacji bez opcji wcześniejszego wykupu i ryzyka niewykupienia,1 Wykres 4. Okres 1955-1986,5 % 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% -,5 -,1 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21),12 Wykres 5. Okres 1955-1986,1,8,6,4,2 -,2 1955 196 1965 197 1975 198 1985 -,4 -,6 -,8 Sraegia (3.23) Sraegia (3.22) Sraegia (3.21) 29

Rozdział 3 Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Wyniki prezenowane w ym rozdziale opublikowano w pracy Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (25a). Choć znaczna część lieraury jes poświęcona obligacjom pozbawionych ryzyka niewykupienia, na rynku pojawia się coraz większa ilość obligacji obarczonych ych ryzykiem (ang. defaulable). Dopasowanie klasycznego modelu uodpornienia porfela zawierającego obligacje uwzględniające ryzyko niedorzymania warunków przez emiena (ang. defaul risk) sało się celem szeregu prac. Bierwag i Kaufman (1988) zdefiniowali czas rwania dla obligacji z ryzykiem niewykupienia zakładając przy ym płaską srukurę erminową. Fooladi, Robers i Skinner (1997) wyprowadzili ogólny wzór na dopasowany czas rwania w modelu Jonkhara srukury erminowej (Jonkhar, 1979). Jacoby (23), Jacoby i Robers (23) uogólnili wcześniejsze wyniki podając model wyceny korporacyjnych obligacji kuponowych. Jednak, żadna z prac nie rozważa zmiany warości porfela z obligacjami obarczonymi ryzykiem niewykupienia. Dlaego nasze zaineresowanie objęło en kierunek badań. Wprowadźmy oznaczenia wykorzysywane w dalszej części rozdziału: p i oznacza prawdopodobieńswo warunkowe przerwania okresu dla i-ego emiena pod warunkiem, że przeżył on 1 okresów, c i jes kwoą, jaką uzyskamy z i-ej obligacji w chwili, jeśli jej emien przeżyje okres ; zakładamy, że c i, c (m) i = c i exp( m f(, u)du) jes kwoą liczoną na chwilę m, jaką uzyskamy z i-ej 3

3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia obligacji w chwili, jeśli emien przeżyje okres, F i (s()) wyraża wysokość kwoy, jaką i-y emien wypłaci w chwili + s w przypadku, gdy w chwili nie pokrył on swoich zobowiązań; s() jes opóźnieniem czasowym akim, że + s() T, F (m) i (s()) = F i (s()) exp( m +s() f(, u)du) wyraża wielkość kwoy liczonej na chwilę m, jaką i-y emien wypłaci w chwili + s, jeśli w chwili nie pokrył on swoich zobowiązań, k(, s) := s [f( s, u) f(, u)]du, gdzie a b = min(a, b). Dla uproszczenia zapisu przyjmujemy, że każda kwoa uzyskiwana z porfela w chwili < m jes reinwesowana w obligacje zerokuponowe wygasające w chwili m. Zakładamy ponado, że zmiany srukury erminowej są niezależne od ryzyka niedorzymania warunków przez emiena (Fooladi, Robers i Skinner, 1997, Jacoby, 23, Jacoby i Robers, 23b). Wówczas warość przecięna i-ej obligacji w chwili m równa się V i (k) = E m [c i exp( + F i (s()) exp( = E m f( m, u)du)p i +s() f(( + s()) m, u)du)(1 p i )] τ< [c (m) i exp(k(, m))p i + F (m) i (s()) exp(k( + s(), m))(1 p i )] p iτ τ< (parz Fooladi, Robers i Skinner, 1997), wzór (1)), gdzie τ<1 p iτ p iτ (3.1) := 1 oraz suma wzięa jes po wszyskich warościach τ ze zbioru {1, 2,..., 1}. W szczególności dla k(, m) =, czyli gdy nie ma zaburzenia srukury erminowej V i () = [c (m) i p i + F (m) i (s())(1 p i )] p iτ τ< dla każdego. Oznaczmy przez q = (q 1,..., q n ) porfel inwesora złożony z q i obligacji. W chwili m mamy pokryć zobowiązanie sprzedając porfel obligacji, z kórego przecięnie uzyskujemy warość n q i V i (k) przy zaburzeniu k. Będziemy ak dobierać skład porfela, aby dolne oszacowanie 1 inf k K L n q i V i (k) 31

3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia było jak największe, gdzie K = {k : k(, s) = s [f( s, u) f(, u)]du, s, } jes klasą zaburzeń, L = n q i V i () jes zobowiązaniem płanym w chwili m. Zakładamy eraz, że srukura erminowych sóp procenowych {f(, s), s } jes polem losowym (Kimmel, 22) spełniającym nasępujące założenie: (iv) Dla dowolnego m sup s f(, s) f(, s) δ() λ, gdzie {δ(), } jes procesem sochasycznym o średniej µ(), a λ < jes usaloną liczbą. Posać procesu δ zależy od wiedzy i preferencji inwesora. My proponujemy, aby δ() = 1 T T (f(, s) f(, s))ds, co oznacza, że δ() jes średnią warością zaburzenia na przedziale [, T ]. Wobec powyższych założeń wprowadzimy eraz zmodyfikowaną definicję czasu rwania porfela. Definicja 1. Zmodyfikowanym czasem rwania porfela obligacji q = (q 1, q 2,..., q n ) dososowanym do ryzyka ich niewykupienia nazywamy wielkość D(q) = n q i [µ( m)c (m) i p i + ( + s())µ(( + s()) m)f (m) i (s())(1 p i )] τ< p iτ = n q i [µ( m)c (m) i p i + µ(( + s()) m)f (m) i (s())(1 p i )]. τ< p iτ (3.2) Zauważmy, że jeśli przyjmiemy, że µ() jes funkcją sałą, o ponieważ n D(q) = 1 q L i [c (m) i p i + ( + s())f (m) i (s())(1 p i )] p iτ, τ< n n L = q i V i () = q i [c (m) i p i + F (m) i (s())(1 p i )] p iτ. τ< W przypadku, gdy p i = 1, F (m) i = dla wszyskich i,, czyli gdy porfel składa się ylko z obligacji wolnych od ryzyka niewykupienia wówczas jes czasem rwania Fishera-Weila. n D(q) = 1 q L i c (m) i 32

3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Definicja 2. Zmodyfikowaną miarą M-Absolue porfela obligacji q = (q 1, q 2,..., q n ) dososowaną do ryzyka ich niewykupienia nazywamy liczbę n M(q) = 1 q L i [ m c (m) i p i + m s() F (m) i (s())(1 p i )] p iτ. (3.3) τ< Jeśli w porfelu są ylko obligacje bez ryzyka niewykupienia, o (3.3) ma posać n M(q) = 1 q L i m c (m) i. Jes o definicja miary M-Absolue wprowadzonej przez Nawalkhę i Chambersa (1996). Twierdzenie 7. Przy założeniu (iv) spełniona jes nasępująca nierówność gdzie 1 inf k K L n q i V i (k) exp( λm(q) + (m D(q)) Lµ ), (3.4) L K = {k : k(, s) = s (f( s, u) f(, u))du, s, }, D(q), M(q) są zdefiniowane odpowiednio w (3.2) i (3.3), L µ = n q i [µ( m)c (m) i p i + µ(( + s()) m)f (m) i (s())(1 p i )] τ< p iτ. Dowód. Połóżmy gdzie L = n C (, q) = s C 1 (, q) = s n q i c (m) i p i p iτ, L 1 = τ< n q i L c (m) i p i τ< p iτ, q i L 1 F (m) i (s())(1 p i ) p iτ, τ< n q i F (m) i (s())(1 p i ) τ< p iτ. Oczywiście n L + L 1 = q i V i () = L. Ponieważ wykluczono króką sprzedaż, więc dla dowolnego q = (q 1, q 2,..., q n ) funkcje C (, q) oraz C 1 (, q) są dysrybuanami pewnych miar prawdopodobieńswa na przedziale [, T ]. Sąd i ze wzoru (3.1) orzymujemy 1 L n T T q i V i (k) = E exp(k(, m))dc (, q) L + E exp(k( + s(), m))dc L 1 (, q) L 1. L (3.5) 33

3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia F Z założenia (iv) wynika, że f(, s) f(, s) δ() λ dla dowolnego m oraz s. Zaem k(, m) δ()(m ) = m (f(, s) f(, s) δ())ds λ(m ) dla m. (3.6) Ponado f(m, s) f(, s) δ(m) λ dla s m. Sąd dla > m k(, m) δ(m)(m ) = m = (f(m, s) f(, s) δ(m))ds m (f(m, s) f(, s) δ(m))ds λ( m) dla m. (3.7) Podsumowując, ze wzorów (3.6) i (3.7) oraz z nierówności Jensena wynika, że T E exp(k(, m))dc (, q) T E exp (δ( m)(m ) λ m ) dc (, q) ( T T ) E exp δ( m)(m )dc (, q) λ m dc (, q) ( T T ) exp Eδ( m)(m )dc (, q) λ m dc (, q) (3.8) Analogicznie ( T T E exp(k( + s(), m))dc 1 (, q) exp Eδ(( + s()) m)(m s())dc 1 (, q) ) T λ m s() dc 1 (, q) (3.9) Z (3.5), (3.8) i (3.9) mamy 1 L n q i V i (k) L L exp ( T ) T µ( m)(m )dc (, q) λ m dc (, q) ( T + L 1 exp µ(( + s()) m)(m s())dc L 1 (, q) ) T λ m s() dc 1 (, q). 34

3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Ponieważ L + L 1 = L, więc z nierówności Jensena mamy 1 L ( n T q i V i (k) exp T + T λ Korzysając z (3.2) i (3.3) dosajemy 1 inf k K L co kończy dowód. µ( m)(m )dc (, q) L L µ(( + s()) m)(m s())dc 1 (, q) L 1 L m dc (, q) L L λ T ( n T q i V i (k) exp λm(q) + (m D(q))( ) T + µ(( + s()) m)dc 1 (, q) L 1 ), L m s() dc 1 (, q) L 1 L µ( m)dc (, q) L L Sraegia uodpornienia porfela polega na wyborze akiego wekora q = (q 1, q 2,..., q n ) spośród dopuszczalnych i spełniających ograniczenie budżeowe L = i q i V i (), kóry maksymalizuje prawą sronę nierówności (3.4). Rozważmy eraz przypadki szczególne: 1. Załóżmy, że µ() := µ w założeniu (iv). Wówczas 1 inf k K L n q i V i (k) exp( λm(q) + (m D(q))µ), gdzie D(q) i M(q) dane są, odpowiednio, wzorami (3.2) i (3.3). W ym przypadku, sraegia uodpornienia polega na n maksymalizacji (m D(q))µ λm(q) przy warunku L = q i V i (). (3.1) 2. Jeśli µ() µ jes nieznane, o wówczas uodpornienie porfela polega na n minimalizacji M(q) przy warunkach D(q) = m, L = q i V i (). (3.11) W ym przypadku opymalny porfel minimalizuje miarę M-Absolue w klasie wszyskich porfeli z dopasowanym czasem rwania, kóre mają zadaną warość oczekiwaną L w chwili m. Jeśli ponado λ :=, o należy przyjąć D(q) = m co implikuje fak, że porfel jes idealnie uodporniony ze względu na warość oczekiwaną wypłay. 35 ).

3. Uodpornienia porfela obligacji z ryzykiem niewykupienia Uważna analiza dowodu wykazuje, że założenie (iv) można zasąpić nasępującym słabszym założeniem (iv ) y(, m) y (, m) + δ() λ dla dowolnego m oraz y(m, ) y (m, ) + δ(m) + λ dla > m, gdzie y(, s) = 1 s F (, s)ds dla, s oraz y (, m) = F (, s)ds. Oczywiście y(, s) jes sopą zwrou do erminu wykupu (yield 1 s m m o mauriy) na przedziale (, s), a y (, s) jes sopa zwrou do erminu wykupu obliczą przy założeniu, że nie zmieni się srukura erminowa sóp procenowych. Przykład 2. Rozważmy syuację, w kórej inwesor ma zobowiązanie w wysokości 1,,$ w chwili m = 2. Aby spłacić swój dług w chwili = chce kupić obligacje. Dla uproszczenia załóżmy, że na rynku są dosępne obligacje roczne bez ryzyka i 3- lenie obarczone ryzykiem niewykupienia, roczne sopy kuponowe wynoszą, odpowiednio, 1% i 6%, warość nominalna jes aka sama i wynosi 1$. Ponado zakładamy, że odseki wypłacone przed chwilą m są reinwesowane w roczne ogołocone obligacje (srippedbonds, srips). Przewiduje się, że ryzyko niedorzymania warunków przez emiena 3-lenich obligacji w drugim roku wynosi, 1, przy czym emien zobowiązuje się wypłacić należne kupony w wysokości 8$ z każdej obligacji w chwili = 4. Inwesor chce skonsruować ak swój porfel, aby w chwili = 2 uzyskać z niego największą z najmniejszych przecięnych warości. Wekor q = (q 1, q 2 ) oznacza liczbę zakupionych jednosek obligacji w chwili =. Niech srukura erminowa będzie płaska, sopa zwrou do erminu wykupu wynosi 4% i µ() = µ =, 2%, a λ = 3%. Ławo sprawdzić, że dla rocznej obligacji V 1 () = 1144 i dla 3-leniej V 2 () = 1141.77, D(q) = 1144q 1+3241.85q 2 1 6, M(q) = 1144q 1+183q 2 1 6. Wówczas zgodnie ze sraegią (3.1), porfel q = (874.126, ) jes opymalny. Jeśli paramer µ jes nieznany, o sosując sraegię (3.11) inwesor powinien zakupić porfel q = (398.88, 476.16). s 36

Rozdział 4 Różne kryeria wyboru porfela obligacji Ten rozdział powsał na podsawie publikacji Kondraiuk-Janyska i Kałuszka (25b). W modelu 3-okresowym poszukuje się jawnych rozwiązań problemu uodpornienia porfela proponując różne kryeria opymalności. Rozważmy model, w kórym w chwili = można kupić dowolną liczbę rocznych i rzylenich obligacji zerokuponowych ypu def aulable i noncallable. Oznaczmy przez a 1, a 3 kwoy wydane na zakup obligacji, odpowiednio, rocznych i rzylenich w chwili =, f(, s) chwilową sopę erminową w chwili =, f(1, s) chwilową sopę erminową w chwili = 1, k i = i+1 i (f(1, s) f(, s))ds, gdzie i = 1, 2 zaburzenie chwilowej sopy procenowej A 1 = a 1 exp 2 f(, s)ds, A 3 = a 3 exp 2 f(, s)ds - warości a 1, a 3 na chwilę 2. Oczywiście gdzie L jes zobowiązaniem inwesora lub równoważnie A 1 + A 3 = L, (4.1) a 1 + a 3 = L exp( 37 2 f(, s)ds).

4. Różne kryeria wyboru porfela obligacji Warość porfela sprzedanego w chwili = 2 zależy od sraegii reinwesowania przyjęej w chwili = 1, ponieważ srukura erminowa sóp procenowych ciągle się zmienia. Rozważmy nasępujący sposób posępowania w = 1. Zakładamy, że inwesor w chwili = 1 sprzedaje swój porfel i całą kwoę reinwesuje w roczne obligacje zerokuponowe. Wówczas w chwili = 2 orzyma kwoę V (k) = = [a 1 exp( = A 1 exp( 1 2 1 3 f(, s)ds) + a 3 exp( f(, s)ds (f(1, s) f(, s))ds) + A 3 exp( 3 1 3 2 2 f(1, s)ds)] exp( f(1, s)ds) 1 (f(1, s) f(, s))ds) = A 1 e k 1 + A + 3 k 2. (4.2) W klasycznej eorii uodpornienia zakłada się, że zaburzenia srukury erminowej są płaskie o znaczy f(1, s) = f(, s) + ɛ dla dowolnego s, gdzie ɛ jes dowolną liczbą rzeczywisą. Wówczas warość porfela w chwili = 2 wynosi V (k) = A 1 e ɛ + A 3 e ɛ i porfel jes idealnie uodporniony na zmianę sóp procenowych, jeśli V (k) ɛ =, czyli gdy A 1 = A 3. Jes o sraegia, w kórej czas rwania porfela obligacji liczony w chwili = jes równy 2 a liczony w = 1 wynosi 1. Jednak założenie o płaskim przebiegu zaburzeń srukury erminowej prowadzi do możliwości arbirażu, co jes sprzeczne zarówno ze współczesną eorią finansów jak i z danymi empirycznymi. Przyjmiemy zaem, że zaburzenia k 1, k 2 mogą być różne. Pojawia się jednak problem jak je modelować. Jes wiele możliwych modeli i ylko badanie empiryczne mogą rozsrzygnąć, kóry jes bliższy rzeczywisości. Poniżej podamy kilka modeli zaburzeń sóp procenowych wraz z różnymi kryeriami opymalnego wyboru porfela. 4.1 Kryerium maksyminowe Informacja o k 1 i k 2 sprowadza się do usalenia podzbiorów, w kórych zaburzenia mogą się znaleźć. Na przykład załóżmy, że k 1 ɛ 1, k 2 ɛ 2. Wówczas maksyminowe kryerium wyboru polega na rozwiązaniu prosego problemu opymalizacyjnego: max A i W szczególności min k 1,k 2 V (k) = max A i (A 1 e ɛ 1 + A 3 e ɛ 2 ) = max A 1 L (A 1(e ɛ 1 e ɛ 2 ) + Le ɛ 2 ). (4.3) 38