KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe
|
|
- Kamila Wieczorek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji Gaussa Własności metody Test χ2 Obszary ufności i błędy niesymetryczne Pomiary zależne Metoda elementów Metoda mnożników Lagrange'a 1
2 Przypadek nieliniowy W ogólności gdy zależności nie są liniowe, piszemy f j x,= j h j x=0, czyli f x,=0 Sprowadzamy go do przypadku liniowego poprzez rozwinięcie w szereg Taylora i wzięcie tylko wyrazów liniowych. Punkt x 0 =(x 10, x 20,..., x r0 ) wokół którego dokonujemy rozwinięcia musi być w praktyce zbliżony do oczekiwanego minimum. =x x 0 = x1 x10 x 2 x 20 f j x,= f j x 0, f j x 1 x 0 x 1 x 10 f j x r x 0 x r x r0 x r x r0 a jl= f j x l x 0 c j = f j x 0, y=y j h j x 0 2
3 Przypadek nieliniowy iteracje Dalej postępujemy analogicznie do p. liniowego: f j x 0, = f j x 0, y = f j x 0, y, i mamy warunek minimalizacyjny: M=cA T G y ca=min Rozwiązujac go otrzymujemy wynik: = A' c' Jest to jednak tylko kolejne przybliżenie. Bierzemy x 1 =x 0 jako kolejny punkt, wokół którego dokonujemy rozwinięcia i procedurę powtarzamy. Procedura ta jest usprawiedliwiona tylko, gdy zależność jest dobrze przybliżana przez pierwsze pochodne w okolicy punktu x i ±Δx i. Δx i wyznaczamy z macierzy: f =Ac =0, =Ac G x = A T G y A = A' T A' 3
4 Omówienie przypadku nieliniowego Procedura wymaga możliwości podania pochodnej po każdym z parametrów Różniczkowanie można w ogólności wykonać numerycznie, jednak wiąże się to z komplikacjami programistycznymi i wydłużeniem obliczeń. Funkcja M nie jest nie jest prostą formą kwadratową nieznanych parametrów, stąd minimalizacja musi następować iteracyjnie. Zbieżność procedury jest także zależna od wyboru wielkości początkowej. Procedurę kończymy, gdy wielkość M nie zmniejsza się w kolejnych krokach. 4
5 Procedura z redukcją kroku iteracji Często po i-tym kroku nie jest spełnione: M x i =M x i M x i Wtedy rozważamy wyrażenie: M x i s, gdzie 0 s 1 Otrzymujemy zmodyfikowany wzór: M=cs A T G y cs A =c's A' 2 który różniczkujemy ze względu na s: M '=2 c's A' T A' =2s T A' T A' I otrzymujemy, że M'(s=0)<0 dla dodatnio określonej macierzy A' T A', czyli krzywizny funkcji M. W okolicy minimum to powinno być zawsze prawdziwe. M jest f. ciągłą, więc istnieje λ które: M ' s0, 0 s 5
6 Implementacja redukcji kroku Czyli w przypadku, gdy nie jest spełniona nierówność: M x i =M x i M x i wybieramy dowolną liczbę s taką, że 0<s<1 i sprawdzamy, czy zachodzi: M x i s M x i Jeśli tak, to przyjmujemy, że x i =x i s Jeżeli nie, to ponownie przeprowadzamy całą procedurę, tzn. tym razem czynnik przez który mnożymy wynosi s 2, potem ewentualnie s 3 itd. 6
7 Dopasowanie eksponenty Próbujemy dopasować do danych funkcję wykładniczą z ujemnym wykładnikiem: h j x=x 1 exp x 2 t j czyli poszukiwane parametry to x 1 i x 2. Dalej: f j = j h j x Elementy macierzy A liczymy analitycznie: a j1 = f = exp x 02 t j x 1 x 0 a j2 = f = x 01 exp x 02 t j t j =x 01 t j exp x 02 t j x 2 x 0 Zamiast wektora x używamy =x x 0 a Dalej procedura jest analogiczna do przypadku funkcji liniowej c j =y j h j x 0 7
8 Eksponenta rysunek 8
9 Analiza dopasowania Korzystając z macierzy (A' T A') -1 rysujemy elipsę kowariancji na tle mapy χ 2 Podobnie możemy graficznie przedstawić kolejny kroki procedury dopasowania 9
10 Dopasowanie Gaussa W podobny sposób możemy dopasować krzywą Gaussa. Formuła ma trzy parametry: 1 h j x=x 1 2 x 3 exp t j x x 3 Pochodne znów liczymy analitycznie: a j1 = a j2 = a j3 = f = 1 x 1 x 0 2 x 3 exp t j x x = h x j 0/ x f 1 = x 01 x 2 x 0 2 x 03 exp t j x t x x 03 2 x = h x t x02 2 j x 03 f = x 01 x exp t x j x 0 2 x 03 2 x 03 x 01 exp t x j x 03 2 x 03 t x 02 2 = h x j 0 h 3 j x 0 t x x 03 x 03 x 03 10
11 Dopasowanie Gaussa kroki 11
12 Dopasowanie Gaussa kowariancja Rysujemy rzut elipsoidy kowariancji na płaszczyznę (x 2, x 3 ). Elipsoida ma 3 wymiary. Widizmy poszczególne kroki dopasowania na tle mapy χ 2. 12
13 Test χ 2 a m. najmniejszych kwadratów Wyniki uzyskane metodą największej wiarygodności, z której wynika metoda najmniejszych kwadratów, mają następujące własności: Rozwiązanie x jest asymptotycznie nieobciążone E x i =x i, i=1, 2,,r Jest ono estymatorem o minimalnej wariancji 2 x i =E { x i x i 2 }=min Wielkość M ma rozkład χ2 o n-r st. swobody Jednak jeżeli rozkład błędów nie jest znany (a więc nie jest Gaussem) to rozwiązanie uzyskane metodą najmniejszych kwadratów mają mniej silne własności 13
14 Nieznany rozkład błędów Gdy nie znamy rozkładu błędów ε j, to x : Jest nieobciążone Ze wszystkich estymatorów x będących liniowymi kombinacjami y, x ma najmniejszą wariancję Wartość oczekiwana wielkości M wynosi E {M }=E { T G y }=n r czyli odpowiada wielkości oczekiwanej rozkładu χ 2 o liczbie stopni swobody n-r. Wielkość M jest często nazywana χ 2 i służy do oceny jakości dopasowania, choć w ogólności nie musi pochodzić z rozkładu χ 2. Liczba f=n-r jest liczbą stopni swobody dopasowania. 14
15 Analiza wielkości M Gdy błędy mają rozkład normalny, wielkość M utożsamiamy z χ 2 i stosujemy testy wiarygodności Zbyt duże M może oznaczać, że: Założenie, że dane są opisane przez f(x,η) jest błędne (postać funkcyjna lub niektóre parametry) M= T 2 G y 1 n r Ograniczenie rozwinięcia w szereg Taylora f(x,η) do pierwszego wyrazu nie wystarcza Źle dobrano punkt początkowy dopasowania x0 Macierz kowariancji wielkości mierzalnych Cy jest nieprawdziwa Gdy liczymy M dla wielu różnych zestawów danych, możemy sprawdzić jego zgodność z rozkładem χ 2 15
16 Obszar ufności Przypomnienie elipsoida ufności, to krzywa spełniająca równanie: g x= x x T C x x x=const Liczymy różnicę między wartością funkcji M w punkcie x i w minimum dopasowania x : M x M x= x x T A T G y A x x= x x T C x x x czyli elipsoida ufności odpowiada hiperpowierzchni na której M ma stałą wartość. W szczególności elipsoida kowariancji odpowiada krzywej: M x M x=1 M x=m x1 Elipsoida ufności odpowiadająca prawdopodobieństwu W jest hiperpowierzchnią: M x=m xg, gdzie g= W 2 f, gdzie f =n r 16
17 Obszar ufności równania nieliniowe Rozważania o obszarze ufności są ściśle prawdziwe dla równań liniowych i przybliżeniu dla równań nieliniowych. To przybliżenie jest dobre gdy funkcja jest prawie liniowa, lub gdy zmiany parametrów (czyli ich błędy) są małe. Gdy błędy są duże elipsoida kowariancji ma tę samą interpretację jako granica obszaru ufności, jednak błędy przestają być symetryczne. Zwróćmy jeszcze uwagę na różnicę w definicjach: M= T G y = y h x 0 A T 2 G y y h x 0 A 1 n r M x M x= x x T A T G y A x x= x x T C 2 x x x 1 n r Obie wartości porównujemy z tymi samymi kwantylami, jednak są to zupełnie różne zmienne! 17
18 Wyznaczenie błędów niesymetrycznych Gdy elipsoida kowariancji ma skomplikowany kształt, mamy błędy niesymetryczne: x i = x i x i x i = x i x i czyli wartości dla których pionowe i poziome linie są styczne do tej elipsoidy. Formalnie zapisujemy to: min {M x ; xi=x i± }=M xg, lub min {M x ; xi=x i± } M xg=0 3,8cm 2,15cm 2,49cm 3,42cm 18
19 Pomiary zależne Pomiary nie muszą być całkowicie niezależne. Np. mierząc 3 kąty w trójkącie musimy uzyskać sumę równą 180. Szukamy estymatorów wielkości η j : y j = j j, j=1, 2,, n E { j }=0 E { j 2 }= j 2 Oprócz tego mamy też równania więzów: f k =0, k=1, 2,,q Najprostszy przypadek to równania liniowe: lub w notacji macierzowej b 10 b 11 1 b 12 2 b 1 n n =0 b q0 b q1 1 b q2 2 b qn n =0 B b 0 =0 19
20 Metoda elementów Rozwiązujemy q równań więzów aby wyeliminować z równań q z n wielkości η. Pozostałe n-q wielkości α i (i=1,2,...,n-q) nazywamy elementami. Mogą to być pierwotne pomiary n lub ich kombinacje liniowe: j = f j0 f j1 1 f j2 2 f j, n q n q, j=1, 2,, n lub =F f 0 Rozwiązanie znajdujemy podobnie jak wcześniej: =F T G y F F T G y y f 0 Macierz kowariancji wynosi wtedy: G =F T G y F zaś poprawione wyniki pomiarów i ich macierz kowariancji wynoszą: =F f 0 =F F T G y F F T G y y f 0 f 0 G =F G F T 20
21 Metoda mnożników Lagrange'a Metoda elementów wymaga wyboru zmiennych α. Metoda mnożników Lagrange'a podchodzi inaczej do problemu. Przepiszmy równanie więzów: B y B b 0 =0 Wprowadzamy wektor c i otrzymujemy równanie: c=b yb 0 c B =0 Wprowadzamy wektor mnożników Lagrange'a: T = 1 2 q i z jego pomocą rozszerzamy funkcję M do L: L=M2 T c B = T G y 2 T c B Jest to funkcja Lagrange'a. Teraz rozwiązujemy problem minimalizacji M przy jednoczesnym spełnieniu równań więzów. 21
22 Mnożniki Lagrange'a rozwiązanie Pochodna zupełna funkcji L musi znikać: dl=2 T G y d 2 T B d =0 T G y T B=0 Przekształcając otrzymujemy rozwiązanie na μ: T G y = T B =G y B T c B G y B T =0 =B G y B T c I możemy wyliczyć estymatory błędów pomiarowych =G y B T B G y B T c oraz najlepszy estymator dla wektora η: = y = y G y B T B G y B T c I ostatecznie piszemy macierze kowariancji: G =B G y B T G B G =G y G y B T G B B G y 22
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarygodności
Metoda największej wiarygodności Próbki w obecności tła Funkcja wiarygodności Iloraz wiarygodności Pomiary o różnej dokładności Obciążenie Informacja z próby i nierówność informacyjna Wariancja minimalna
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów, przedziały ufności etc
Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI
WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów, przedziały ufności etc
Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,
Bardziej szczegółowo7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej
7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11, środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii ekonometrii. Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe
Wprowadzenie do teorii ekonometrii Wykład 1 Warunkowa wartość oczekiwana i odwzorowanie liniowe Zajęcia Wykład Laboratorium komputerowe 2 Zaliczenie EGZAMIN (50%) Na egzaminie obowiązują wszystkie informacje
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoRegresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metody kierunków poparwy (metoda Newtona-Raphsona, metoda gradientów sprzężonych) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.03.2019 1
Bardziej szczegółowoEstymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym
Zakład Sieci i Systemów Elektroenergetycznych LABORATORIUM INFORMATYCZNE SYSTEMY WSPOMAGANIA DYSPOZYTORÓW Estymacja wektora stanu w prostym układzie elektroenergetycznym Autorzy: dr inż. Zbigniew Zdun
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów w modelu normalnym
Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoRÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoOznacza to, że chcemy znaleźć minimum, a właściwie wartość najmniejszą funkcji
Wykład 11. Metoda najmniejszych kwadratów Szukamy zależności Dane są wyniki pomiarów dwóch wielkości x i y: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ). Przypuśćmy, że nanieśliśmy je na wykres w układzie
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów.
Rozwiązywanie równań nieliniowych i ich układów. Wyznaczanie zer wielomianów. Plan wykładu: 1. Wyznaczanie pojedynczych pierwiastków rzeczywistych równań nieliniowych metodami a) połowienia (bisekcji)
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych 9a. Układy równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Układy równań algebraicznych Niech g:r N równanie R N będzie funkcja klasy co najmniej
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowoZakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 4. Metody kierunków poprawy (metoda spadku wzdłuż gradientu) Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 21.03.2019 1 / 41 Plan wykładu Minimalizacja
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 27.04.2018 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 2017/2018 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa analiza danych doświadczalnych Wykład 9 7.04.09 dr inż. Łukasz Graczykowski lukasz.graczykowski@pw.edu.pl Semestr letni 08/09 Metoda największej wiarygodności ierównosć informacyjna Metoda
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoPOD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych dla studentów Chemii (2018) Autor prezentacji :dr hab. Paweł Korecki dr Szymon Godlewski e-mail: szymon.godlewski@uj.edu.pl
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoUkłady równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona) f(x) = 0, gdzie. dla n=2 np.
Układy równań nieliniowych (wielowymiarowa metoda Newtona-Raphsona f(x 0, f ( f, f,..., f n gdzie 2 x ( x, x 2,..., x n dla n2 np. f ( x, y 0 g( x, y 0 dla każdej wielowymiarowej rozwinięcie w szereg Taylora
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA KLASY DRUGIEJ
MATEMATYKA WYKAZ UMIEJĘTNOŚCI WYMAGANYCH NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1. SUMY ALGEBRAICZNE DLA KLASY DRUGIEJ 1. Rozpoznawanie jednomianów i sum algebraicznych Obliczanie wartości liczbowych wyrażeń algebraicznych
Bardziej szczegółowoRuch jednostajnie zmienny prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoKomputerowa Analiza Danych Doświadczalnych
Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 34 58 5 konsultacje: poniedziałek: 0-, środa: - www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowo5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA
Algorytmy rozpoznawania obrazów 5. Analiza dyskryminacyjna: FLD, LDA, QDA dr inż. Urszula Libal Politechnika Wrocławska 2015 1 1. Liniowe funkcje dyskryminacyjne Liniowe funkcje dyskryminacyjne mają ogólną
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowo1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)
1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji
Bardziej szczegółowo2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26
Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne
Bardziej szczegółowoEkonometria. Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator KMNK. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej
Ekonometria Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego Estymator Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 1 Estymator 1 / 16 Agenda 1 Literatura Zaliczenie przedmiotu 2 Model
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 9
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Wykład 9 1 1. Dodatkowe założenie KMRL 2. Testowanie hipotez prostych Rozkład estymatora b Testowanie hipotez prostych przy użyciu statystyki t 3. Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne
Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego
Bardziej szczegółowoZadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.
tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Rozwiazywanie równań algebraicznych P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2010 Co to znaczy rozwiazać równanie? Przypuśmy, że postawiono przed nami problem rozwiazania
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Bardziej szczegółowoModele zapisane w przestrzeni stanów
Modele zapisane w przestrzeni stanów Modele Przestrzeni Stanów (State Space Models) sa to modele, w których część parametrów jest nieobserwowalna i losowa. Zachowanie wielowymiarowej zmiennej y t zależy
Bardziej szczegółowoINTERPOLACJA I APROKSYMACJA FUNKCJI
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Wprowadzenie Na czym polega interpolacja? Interpolacja polega
Bardziej szczegółowoPakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych
ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy
Bardziej szczegółowoSPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization
Wrocław University of Technology SPOTKANIE 6: Klasteryzacja: K-Means, Expectation Maximization Jakub M. Tomczak Studenckie Koło Naukowe Estymator jakub.tomczak@pwr.wroc.pl 4.1.213 Klasteryzacja Zmienne
Bardziej szczegółowo1 Równania nieliniowe
1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoMetoda największej wiarogodności
Wprowadzenie Założenia Logarytm funkcji wiarogodności Metoda Największej Wiarogodności (MNW) jest bardziej uniwersalną niż MNK metodą szacowania wartości nieznanych parametrów Wprowadzenie Założenia Logarytm
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
Bardziej szczegółowoNatalia Neherbecka. 11 czerwca 2010
Natalia Neherbecka 11 czerwca 2010 1 1. Konsekwencje heteroskedastyczności i autokorelacji 2. Uogólniona MNK 3. Stosowalna Uogólniona MNK 4. Odporne macierze wariancji i kowariancji b 2 1. Konsekwencje
Bardziej szczegółowoDefinicja pochodnej cząstkowej
1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 1. Optymalizacja funkcji jednej zmiennej Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 28.02.2019 1 / 54 Plan wykładu Optymalizacja funkcji jednej
Bardziej szczegółowoElementy statystyki wielowymiarowej
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Elementy statystyki wielowymiarowej 1.1 Kowariancja i współczynnik korelacji 1.2 Macierz kowariancji 1.3 Dwumianowy rozkład normalny 1.4 Analiza składowych
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka
Bardziej szczegółowoMetoda najmniejszych kwadratów
Metoda najmniejszych kwadratów Przykład wstępny. W ekonomicznej teorii produkcji rozważa się funkcję produkcji Cobba Douglasa: z = AL α K β gdzie z oznacza wielkość produkcji, L jest nakładem pracy, K
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć
Bardziej szczegółowoODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW
ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną
Bardziej szczegółowo