O współczynniku dynamiczności obciążenia generującego ekspandującą kulistą falę naprężenia w ośrodku sprężystym

Transkrypt

1 Bi u l t y n WAT Vo l. LX, N, 011 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę napężnia w ośodku spężystym Edwad Włodaczyk, Maiusz Zilnkiwicz 1 Wojskowa Akadmia Tchniczna, Wydział Mchatoniki, Waszawa, ul. S. Kaliskio 1 Wojskowy Instytut Tchniczny Uzbojnia, Zakład Uzbojnia Atylyjskio, 05-0 Zilonka, ul. Pymasa Stfana Wyszyńskio 7 Stszczni. W nioaniczonym, liniowo-spężystym i ściśliwym ośodku izotopowym znajduj się kulista kawna. Jj ścianka obciążona jst ciśninim zminnym w czasi, któ nuj w ośodku kspandującą z kawny kulistą falę napężnia. Zbadano wpływ chaaktu obciążnia na chaaktystyki paamtów fali, pzy czym za łówn kytium poównawcz pzyjęto współczynnik dynamiczności obciążnia. Z wzlędu na kulistą dywncję fali, jj paamty malją odwotni popocjonalni do duij i tzcij potęi odlłości od cntum kawny, tak więc ich maksymaln bzwzlędn watości występują na ścianc kawny i dlato tż analizę pzpowadzono w tym mijscu. Znalziono dwi paktyczn aniczn watości czasu liniowo naastania ciśninia do stałj watości, wyznaczając tzy obszay chaaktu takio obciążnia. W piwszym z nich, dla kótkich czasów, moż być ono taktowan jako skokow, dla któo współczynnik dynamiczny jst największy. W tzcim, dla czasów dłuich, obciążni to można taktować jako quasi-statyczn, pomijając jo skutki dynamiczn. Natomiast w obszaz duim ma ono chaakt pzjściowy i paamty fali nim wywołanj nalżałoby opisywać wzoami dokładnymi zapzntowanymi w atykul. Wyznaczono ówniż maksymalną dłuość czasu działania impulsu stało ciśninia, dla któj paamty fali ni pzkaczają jszcz watości statycznych. Zaobswowano jdnak znaczn zmnijszani się pominia kawny poniżj watości początkowj na skutk odciążnia. Słowa kluczow: kspandująca kulista fala napężnia, izotopowy ośodk spężysty, współczynnik dynamiczności obciążnia 1. Wpowadzni W litatuz naukowo-tchnicznj dużo uwai poświęcono poblmom popaacji plastyczno-spężystych zabuzń, powstałych od sił pzyłożonych na ściani

2 8 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz kulistj kawny. Obszny pzląd takich badań, zastosowanych do ciąliwych ośodków mtalowych, jst pzdstawiony w pacy [1]. Poblmy, któ zostały zbadan i są pzntowan w litatuz [-6], moą być oólni sklasyfikowan pod dwoma nałówkami: zaadninia popaacji fal, w któych matiał jst naażony tylko na mał odkształcnia, i poblmy jdnowymiaowych wybuchów, w któych ciśninia wytwozon w kawni są dostatczni wysoki, aby dopowadzić do dużych odkształcń sąsiadująco ośodka. W zaksi piwszo poblmu w pacach [7] i [8] pzdstawiono w zamkniętj analitycznj postaci ozwiązani poblmu dynamicznj kspansji kulistj fali napężnia w liniowo-spężystym ośodku izotopowym. Falę wynowano pzz stał ciśnini wytwozon w sposób nały w kulistj kawni. Dokonano obsznj jakościowj i ilościowj analizy zmiany dynamicznych paamtów mchanicznych w ośodku otaczającym kawnę. Wykyto między innymi zonansow oddziaływani liczby Poissona na paamty fali. Ilościowym minikim dynamicznych paamtów popaujących się zabuzń jst współczynnik dynamiczności obciążnia nująco falę napężnia. Jak wiadomo [9], maksymalna jo watość zalży od chaaktu zmian obciążnia konstukcji w funkcji czasu. W litatuz tchnicznj omawiany paamt nazywa się w skóci współczynnikim dynamicznym. Ma on kluczow znaczni pzy pojktowaniu konstukcji naażonych na udaow obciążnia. Mając na uwadz tn fakt, w ninijszj pacy podjęto póbę obsznj jakościowj i ilościowj analizy to paamtu dla kspandującj kulistj fali napężnia w liniowo-spężystym ośodku izotopowym.. Sfomułowani poblmu Rozpatzmy popaację spężystj fali napężnia w nioaniczonym ośodku izotopowym w amach liniowj toii spężystości [10]. Fala nowana jst pzz ciśnini p(t) wytwozon w kulistj kawni o początkowym pominiu a. Z wzlędu na kulistą symtię ozwiązani poblmu będzi zalżało tylko od dwóch zminnych nizalżnych, współzędnj Laan a i czasu t. Stany napężnia i odkształcnia w ośodku otaczającym kawnę pzntowan są pzz następując składow łówn: σ napężni pominiow (adialn), σ φ σ θ napężni obwodow (styczn), ε odkształcni pominiow (adialn), ε φ ε θ odkształcni obwodow (styczn). Pozostał składow tnsoów napężnia i odkształcnia w tym układzi współzędnych są ówn zu.

3 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę... 9 Zodni z liniową toią spężystości i uoólnionym pawm Hook a [10] mamy: u u,, E 1 u u, + + ( )( ) ( ) 1 1 E u u +, + ( 1 )( 1 ) (.1) (.) (.3) dzi u jst pzmiszcznim adialnym, a E i ν oznaczają odpowidnio moduł Youna i liczbę Poissona. Dla niskończni mało lmntu ośodka liniowo-spężysto ównani uchu moż być zapisan w postaci: u + 0, t (.4) dzi ρ 0 oznacza początkową ęstość matiału ośodka. Eliminując napężnia σ i σ φ z ównania (.4) za pomocą wyażń (.) i (.3), otzymuj się: dzi u u u 1 u +, c t 1 E c nc0, n, c0. ( 1+ )( 1 ) 0 (.5) (.6) Wilkość c oznacza pędkość popaacji kulistj fali napężnia w ośodku liniowo-spężystym. Równani (.5) ozwiązujmy dla następujących waunków bzowych: ( ) u t, 0 dla a+ ct, (.7) ( ) ( ) ( ) ( t) t, pt, pt 0 dla a,, 0 dla. (.8)

4 10 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz 3.1. Rozwiązani oóln 3. Rozwiązani poblmu Rozwiązani oóln ównania (.5) waz z spłninim waunków anicznych (.7) i (.8) ma postać [5, 7]: dzi (, ) ut ( act) ( act) ' (3.1) ( ) ( ) ' 0 0 0, (3.) a ct (3.3a) jst tajktoią uchu czoła fali napężnia popaującj się od powizchni pustki w łąb ośodka (ys. 1). Symbol ' oznacza pochodną funkcji wzlędm jj aumntu. Zminn i t występując w ozwiązaniu (3.1) zawat są w pzdziałach: ( ) a, t a c. (3.3b) Rys. 1. Gaficzny schmat ozpatywano zaadninia początkowo-bzowo Po podstawiniu wyażnia (3.1) do waunku bzowo (.8) 1 otzymuj się następując ównani óżniczkow, któ musi spłniać funkcja (x), a mianowici: a x 0 '' ( x0) h' ( x0) + ( ha) ( x0) p, ne c (3.4)

5 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę dzi 1 1 h 0, x0 ct. 1 a (3.5) Rozwiązani to ównania z jdnoodnymi waunkami początkowymi (3.) pzntowan jst pzz następując wyażni: x0 a y x 0 hy x0 p y dy n E c 0 ( ) sin, (3.6) dzi 1. 1 a ( ) Funkcja (x 0 ) i jj pochodn jdnoznaczni dtminują wszystki paamty kspandującj kulistj fali napężnia, a mianowici: ( ) ( act) ( act) ' ut,, " ' +, 3 ', 3 " ' ( + ) 4 + 4, 3 " ' +, 3 " ' 6 6, z + 3 (3.7) dzi E, E ( 1+ )( 1 ) 1 ( + ) oznaczają stał Lamo, a symbol ' i '' oznaczają odpowidnio piwszą i duą pochodną funkcji wzlędm jj aumntu. Wilkość z jst intnsywnością napężnia. W litatuz tchnicznj nazywana jst ówniż napężnim zastępczym.

6 1 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz 3.. Rozwiązani statyczn Jśli wwnątz kulistj kawny wytwozon jst ciśnini w sposób statyczny (naastając w totyczni niskończonym czasi) o watości p 0, to pzmiszczni lmntów ośodka jst funkcją tylko zminnj pzstznnj i ównani (.5) można zdukować do postaci: d us 1 dus us + 0, d d (3.8) z waunkami bzowymi dus us ( a) ( + ) + p0, p0 > 0, d a ( ) 0. a (3.9) Całka oólna ównania (3.8) ma postać: D u ( ). s C+ (3.10) Z waunków (3.9) i ozwiązania (3.10) wynika, ż: 1+ p C D a E 0 3 0,. Ostatczni statyczn paamty poblmu można okślić wzoami: ( ) 1+ p a, E 0 us a s ( ) ( ) s 3 p0 a 1, + E ( ) s s 3 1+ p0 a ( ) ( ) E 3 a 0, p 3 p0 a,, (3.11) (3.1) (3.13) (3.14) (3.15)

7 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę a zs( ) s( ) s( ) p0. (3.16) 3.3. Rozwiązani dla impulsu stało ciśninia o skończonym czasi działania Rozpatzmy ozwiązani poblmu dla nal pzyłożono stało ciśninia p 0 o skończonym czasi działania t (ys. ), tj.: ( ) ( ) pt p0 dla 0 t< t, pt 0 dla t t. (3.17) Rys.. Schmat impulsu stało ciśninia o oaniczonym czasi działania W piwszym pzdzial zmiany czasu (3.17) 1 ozwiązani pokywa się z wynikami uzyskanymi dla stało ciśninia p 0 pzyłożono nal do ścianki kawny i działająco w nioaniczonym czasi. Pzypadk tn został szczółowo opisany i pzanalizowany w pacach [7, 8]. Uzyskano następując wyażnia dla funkcji i jj pochodnych: a p0 d ( x) + ( hsin xcos x), n ( h + ) E a p0 ' d ( x) sin x, n E a p0 h '' d ( x) sin x cos x, + n E (3.18)

8 14 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz dzi 1 ct 1 ct x n n 1 a a 1 a a 0 0 1, 1. (3.19) Paamty chaaktyzując to ozwiązani idntyfikujmy dolnym indksm d, któy imituj dynamiczn (udaow) działani ciśninia na ściankę kawny. Dynamika badano ośodka opisana jst liniowym ównanim óżniczkowym (.5) waz z liniowymi waunkami anicznymi. Dlato ozwiązani ozpatywano zaadninia w duim pzdzial czasowym (3.17) można otzymać pzz suppozycję powyższych wyników z ozwiązanim uzyskanym dla idntyczno ciśninia z pzciwnym znakim, pzyłożono nal do powizchni kawny po upływi czasu t. Zatm dla uzyskania ozwiązania w pzdzial t > t wystaczy znajomość wyników (3.18) i (3.19) Rozwiązani dla ciśninia quasi-statyczno Najpostszym matmatycznym modlm opisującym ciśnini quasi-statyczn (osiąając stałą watość w skończonym czasi) jst funkcja liniowo naastająca w oksi t do watości p 0 (ys. 3): t pt ( ) p0 dla 0 t< t, t ( ) pt p dla t t. 0 (3.0) W piwszj koljności okślono za pomocą ozwiązania (3.6) postaci: funkcji i jj pochodnych ' oaz '' dla ciśninia zminiająco się z upływm czasu w sposób liniowy (3.0) 1. Mają on następując kształty: { 1 p0 a l ( x) h+ xh ( + ) + 3 ( ) E ct n h + 0 ( ) sin cos } + h x h x, 1 p0 a ' l ( x) + ( hsin xcos x), 3 n ( h + ) E ct 0 1 p0 a '' l ( x) sin x. 3 n E ct 0 (3.1) Paamty uzyskan dla takio obciążnia wyóżniamy dolnym indksm l.

9 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę Podobni jak w pzypadku skończono impulsu stało ciśninia, ozwiązani dla pzdziału zmiany czasu (3.0) otzymuj się za pomocą suppozycji wyników (3.1) z ozwiązanim uzyskanym dla idntycznj zmiany ciśninia z pzciwnym znakim i pzyłożonym do ścianki kawny po upływi czasu t (ys. 3). Rys. 3. Schmatyczna zmiana w czasi ciśninia quasi-statyczno 3.5. Wyban paamty fali napężnia Aby upościć ilościową analizę paamtów fali napężnia, wpowadzono następując wilkości bzwymiaow: ct ct 0 0 u us x,,, U, U s, S, a a a a a p 0 s s z zs p0 S s, S, S s, Sz, Szs, P. p0 p0 p0 p0 p0 E (3.) Zodni z (3.3b) i (3.) bzwymiaow zminn nizalżn ξ i η zawat są w następujących pzdziałach: x 1 1 x,. (3.3) n Wykozystując wyażnia (3.7) i (3.18), paamty kspandującj fali napężnia wywołanj skończonym impulsm stało ciśninia w pzdzial (3.17) 1 można zapisać w wilkościach bzwymiaowych w następującj postaci:

10 16 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz { } 1+ P U1p( x, ) Ud( x, ) 1 A 1( x) sin x cos x, x + 1 h x S1 p( x, ) Sd( x, ) 3 { 1 + A( x) sin x+ A3( x) cos x }, x 1 S 1 p( x, ) S d( x, ) 3 { 1 A4( x) sin x+ A5( x) cos x }, x 3 Sz1 p( x, ) Szd( x, ) 1 A 3 { + 6( x) sin x+ A7( x) cos x } x, (3.4) dzi x ( x1 ), ( x1 ), A1( x) 1( x 1 ), A( x) 1( x 1 ), A3( x) x 1, 4( ) A x 1 x + x 1, A5( x) x + 1, ( ) 1 ( ) A6( x) 1 x x+ 1, A7( x) x ( ) 31 ( ) (3.5) (3.6) Oznaczamy j dolnym indksm p. Zminn bzwymiaow ξ i η zawat są w pzdziałach: x1 x1 1 x, < +. (3.7) n n Z omówionj wczśnij suppozycji ozwiązań wynika, ż paamty fali napężnia, wynowanj pzz skończony impuls stało ciśninia dla t > t, można wyazić następującymi funkcjami:

11 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę... ( x, ) ( x, ) x, ( ) Up Ud Ud 1+ P { A1( x) ( S A1( x) C) E sin x x ( A1 ( x) S + C) E cos x}, S p( x, ) Sd ( x, ) S d x, ( ) 1 3{ A( x) ( A3( x) S A( x) C) E sin x x + + A3( x) ( A( x) S A3( x) C) E + + cos x}, S p( x, ) Sd ( x, ) S d x, ( ) 1 { A4( x) ( A5( x) S 3 A4( x) C) E sin x x A5( x) ( A4( x) S A5( x) C) E + cos x}, Sz p( x, ) Szd ( x, ) S zd x, ( ) 3 3{ A6( x) ( A7( x) S A6( x) C) E sin x x A7( x) ( A6( x) S A7( x) C) E + cos x}, 17 (3.8) dzi oaz 1 E S C xp, sin, cos (3.9) x 1 1 x, +. (3.30) n W analoiczny sposób okśla się paamty kspandującj fali napężnia wytwozonj w ośodku liniowo-spężystym pzz ciśnini quasi-statyczn, któ dla czasu 0 < t < t (3.0) 1 można wyazić za pomocą następujących funkcji:

12 18 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz 1+ P 1+ U1 q( x, ) Ul( x, ) + B1( x) sin x B( x) cos x, x h x S 1q ( x, ) S l ( x, ) B 3 3( x) sin x+ B( x) cos x, x 1 (3.31) 1 1+ S 1q ( x, ) Sl ( x, ) B 3 + 4( x) sin x B( x) cos x x 1, 3 1+ Sz 1q ( x, ) Szl ( x, ) B 3 5( x) sin x + B( x) cos x, x 1 dzi B B B ( x) ( 1 x ) +, B ( x) 1x ( 1 ), ( ) ( )( ) ) B ( ) ( ) x x1 1 x+, x x + 1 x+, x 1 x 1 x. 3 ( ) ( ) ( ) (3.3) Oznaczamy j dolnym indksm q. Natomiast dla czasu t > t (3.0) otzymuj się:

13 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę ( x, ) ( x, ) x, ( ) U q Ul Ul B x B x S + B x C E sin x+ 1 P ( 1( ) ( ( ) 1( ) ) ) x ( B( x) ( B1( x) S B( x) C) E) cos x }, + ( x, ) ( x, ) x, ( ) S q Sl Sl + 1 B x + B x S B x C E sin x ( 3( ) ( ( ) 3( ) ) ) x 1 + ( B( x) ( B3( x) S + B( x) C) E) cos x }, ( x, ) ( x, ) x, ( ) S q Sl Sl B x B x S + B x C E sin x+ x 1 3 ( 4( ) ( ( ) 4( ) ) ) ( B( x) ( B4( x) S B( x) C) E) cos x }, + ( x, ) ( x, ) x, ( ) Sz q Szl Szl ( B5( x) + ( B( x) S B5( x) C) E) sin x+ 3 x 1 + ( B ( x) ( B ( x) S + B ( x) C) E) x } 5 cos. (3.33) 4. Analiza paamtów kspandującj fali napężnia Jak wiadomo, z wzlędu na pzstznną dywncję paamtów fali, ich bzwzlędn maksymaln watości występują na ścianc kawny i dlato analizujmy j w tym mijscu. Ponadto, pzy analizi zjawisk używa się wzlędnych (bzwymiaowych) watości paamtów fali. Dla skócnia opisów pomijany jst wyaz wzlędny i stosuj się nazwę paamtu mianowano.

14 0 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz 4.1. Analiza paamtów fali dla obciążnia quasi-statyczno Na ysunku 4 pzdstawiono zmianę pzmiszcznia ścianki kawny U( 1, ) / P w funkcji czasu η, spowodowaną ciśninim osnącym liniowo do stałj watości p 0 w oksi 10, pzy óżnych watościach paamtu ν. Na ysunku zamiszczono ówniż, w chaaktz tła poównawczo, wyksy wilkości U( 1, ) / P dla pzypadku aniczno 0 (lini pzywan), tj. dla nało obciążnia powizchni kawny stałym ciśninim p 0. Jak widać, pzntowan wyksy mają podobny chaakt dla szokio zaksu zmian watości liczby Poissona ν. W pzdzial liniowo naastania ciśninia pzmiszczni ośni ówniż w pzybliżniu liniowo. Po ustaniu naastania ciśninia, na skutk działania siły incyjnj ośodka, wilkość U( 1, ) / Pjszcz pzz kótką chwilę kontynuuj wzost, pzkaczając watość statyczną (1 + )/ (3.11) i osiąa maksimum lobaln, a następni tłumionym uchm oscylacyjnym dąży do wyminionj watości statycznj. W podobny sposób zminia się wilkość U/P dla pzypadku aniczno, tj. dla 0, z tym ż pzy nałym obciążniu ścianki kawny stałym ciśninim p 0 wpływ incji ośodka jst o wil większy w poównaniu z obciążnim quasi-statycznym. Na ysunku 5 pzdstawiono, w analoicznym układzi jak dla pzmiszcznia, wyksy zmiany napężnia zdukowano S z. Pzbii wyksów są podobn, z tym ż w odóżniniu od pzmiszcznia, watość statyczna S zs 1,5 Rys. 4. Zmiana pzmiszcznia (U/P) ścianki kawny (x 1) obciążonj ciśninim quasi-statycznym w funkcji η dla h 10 oaz wybanych watości ν

15 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę... 1 Rys. 5. Zmiana napężnia zdukowano S z na ścianc kawny (x 1) obciążonj ciśninim quasi-statycznym w funkcji η dla h 10 oaz wybanych watości ν (3.16) nizalżni od ściśliwości ośodka (paamtu ν). Z wzlędu na czytlność wyksów oaniczono liczbę watości paamtu ν do dwóch skajnych. Miaą wpływu incji ośodka na badan paamty fali jst współczynnik dynamiczności obciążnia Ψ dfiniowany jako stosunk maksymalno pzmiszcznia do jo watości statycznj, tj.: ( ) ( 1) U q 1, Ψ, (4.1) U dzi jst mijscm zowym pochodnj funkcji pzmiszcznia ścianki kawny wyznaczającym jo watość maksymalną. Watość paamtu okśla ównani: ( ) U q 1, 1 P 1 xp 1 ( ) 1 + S 1 C E sin + 1 ( ) 1 1 S C E cos 0, 1 s (4.)

16 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz z któo otzymuj się: ( ) ( S C) E 1 + S 1 C E act k, < < + 1. (4.3) Statyczn pzmiszczni ścianki kawny, zodni z (3.11), wynosi: Us + 1 P. (4.4) ( ) 1 Wzoy (4.1), (4.3), (4.4) oaz (3.33) pozwalają na jakościowy i ilościowy opis wpływu czasu naastania obciążnia na współczynnik dynamiczny Ψ. Wyniki pzdstawiono na ysunku 6 w postaci wyksów wykonanych dla wybanych watości liczby Poissona ν. Aby ułatwić analizę wyników dla óżnych zędów wilkości czasu naastania, do opisu osi użyto skali loaytmicznj. Rys. 6. Zmiana współczynnika dynamiczności obciążnia Ψ na ścianc kawny (x 1) obciążonj ciśninim quasi-statycznym w funkcji h dla wybanych watości ν

17 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę... 3 Jak widać na wyksi, w miaę wzostu paamtu ν, czyli zmnijszania się ściśliwości ośodka, wpływ incji na pzbi pzmiszcznia ośni. Jst to związan z faktm, ż dla wyższych watości liczby Poissona, pomimo wzostu pędkości czoła kulistj fali napężnia, tmpo pzkazywania nii zabuznia do dalszych sfycznych wastw ośodka jst wolnijsz, czyli nia ta ozłożona jst na większym obszaz za czołm fali [8]. Jdnakż óżnic t dla badano zaksu paamtu ν ni pzkaczają 0%. Można tż zaobswować, ż nizalżni od watości paamtu ν, dla mnijszych od ok. 1 zmiany współczynnika dynamiczno w stosunku do watości dla obciążnia udaowo są niznaczn, natomiast właśni w tym obszaz óżnic pomiędzy wynikami dla badanych watości liczby Poissona są największ. Powyżj watości 1 zaówno współczynnik dynamiczny, jak i óżnic zaczynają intnsywni malć. W bliskim sąsidztwi 10 watość współczynnika malj poniżj 1,05 i następni monotoniczni dąży do 1. Współczynnik dynamiczny Ψ 1,05 oznacza, ż maksymalna watość pzmiszcznia pzkoczyła o 5% jo watość statyczną, co już można uznać za óżnicę zanidbywalni małą. Dlato tż watość czasu naastania ciśninia 10 pzyjęto jako umowną anicę, powyżj któj obciążni można nazwać quasi-statycznym. Dla poównania pzpowadzono oblicznia ówniż dla skajno pzypadku (linia pzywana). W ośodku takim zanika falowy chaakt popaacji jo paamtów, poniważ staj się on niściśliwy i zachowuj się jak układ mchaniczny o jdnym stopniu swobody [7, 8, 11]. Po obciążniu pzyłożonym nal stałym ciśninim o nioaniczonym czasi działania wszystki pzkoj sfyczn ośodka oscylują uchm nitłumionym w jdnj fazi wokół watości statycznj z amplitudą ówną tj watości. Z to powodu, jak można oczkiwać, Ψ dla h 0 na wyksi. Odpowidź takio ośodka na obciążni quasi-statyczn ówniż jst chaaktystyczna dla układu mchaniczno o jdnym stopniu swobody. Jdnakż, poniważ oscylacj są nitłumion, paamty ni dążą asymptotyczni do watości statycznych. Jdyni w szczólnym pzypadku, kidy czas naastania ciśninia jst wilokotnością oksu dań własnych ośodka, paamty ustalają się na poziomi statycznym od azu w momnci ustalnia ciśninia, stąd watości Ψ 1 dla tych czasów i chaaktystyczny kształt wyksu z niciąłościami pochodnj w tych punktach. Pwin zays tj tndncji można zaobswować już na pzbiu pzmiszcznia dla 0, Analiza ozwiązania dla impulsu stało ciśninia o skończonym czasi działania Na ysunku 7 pzdstawiono wyksy pzmiszcznia ścianki kawny obciążonj nal stałym ciśninim o oaniczonym czasi działania dla dwóch skajnych analizowanych watości liczby Poissona ν. Czasy twania impulsów tak

18 4 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz Rys. 7. Zmiana pzmiszcznia (U/P) ścianki kawny (x 1) obciążonj ciśninim impulsowym o oaniczonym czasi działania w funkcji η dla h h st oaz wybanych watości ν dobano, aby maksymalna watość pzmiszcznia ni pzkoczyła watości statycznych zaznaczonych na wyksi poziomymi liniami pzywanymi. Liniami pzywanymi pzdstawiono ówniż pzbii pzmiszcznia dla impulsu nioaniczono w czasi. Watości czasu twania impulsów można wyznaczyć, mając funkcję opisującą pzbi pzmiszcznia ścianki kawny dla nioaniczono impulsu: 1+ 1 U( 1, ) P sin cos xp, (4.5) watość pzmiszcznia statyczno (4.4) i ozwiązując ównani: U ( 1, st) Us ( 1 ). Stąd mamy poszukiwaną watość czasu twania impulsu (4.6) st 1 act. 1 1 (4.7) Jak widać na wyksi oaz z wzoów (3.4) i (3.8), po pzyłożniu nal stało ciśninia o nioaniczonym czasi działania (h ) pzmiszczni dąży

19 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę... 5 asymptotyczni do watości statycznj wyznaczonj pzz to ciśnini. Natomiast jżli po skończonym czasi nastąpi odciążni impulsm o pzciwnym znaku (likwidacja ciśninia, p 0 0), pocs tn zostaj pzwany i pzmiszczni dąży do watości statycznj wyznaczonj pzz now ciśnini, czyli w tym wypadku do za. Można tż zaobswować, ż dla analizowanych watości liczby Poissona aniczn czasy twania impulsu st są to samo zędu 1, jdnakż óżnic pomiędzy nimi ni można zanidbać. Z wzlędu na szybki czas naastania pzmiszcznia powodowałoby to pzkoczni watości statycznych nawt o 15%, co jst już watością znaczącą. Nalży ówniż zauważyć, ż obciążni o takim chaaktz powoduj z koli po odciążniu wystąpini ujmnych pzmiszczń ścianki kawny nawt do 30% watości statycznj, czyli zmnijszni pominia kawny poniżj watości początkowj. Zodni z analizą pzpowadzoną w popzdnim paaafi wynika to z znaczno udziału bzwładności pzy obciążniu udaowym, a wpływ incji ośni waz z zmnijsznim ściśliwości. Podobny chaakt wykazują wyksy napężnia zdukowano pokazan na ysunku 8, z tym ż w chwilach początkowj i odciążnia występują niciąłości funkcji j opisujących. Różnica watości funkcji w mijscu niciąłości malj waz z spadkim ściśliwości ośodka. Rys. 8. Zmiana napężnia zdukowano S z ścianki kawny (x 1) obciążonj ciśninim impulsowym o oaniczonym czasi działania w funkcji η dla h h st oaz wybanych watości ν

20 6 E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz 5. Wnioski Z powyższj analizy można wyciąnąć następując wnioski: 1. Dla kulistj kawny w nioaniczonym, liniowo-spężystym, ściśliwym ośodku izotopowym obciążonj naastającym liniowo w oaniczonym czasi do stałj watości wwnętznym ciśninim istnij wyaźna anica czasu naastania obciążnia, powyżj któj można j taktować jako quasistatyczn, pomijając czynnik dynamiczny. Za ointacyjną watość aniczną można pzyjąć 10. Z koli dla czasów naastania ciśninia < 1 pzypadk taki można w uposzczniu ozpatywać jako obciążni udaow. Natomiast dla czasów z pzdziału 1 < < 10 wskazan byłoby zastosowani wzoów dokładnych, zapzntowanych w atykul.. Dla ośodka stalowo o paamtach E 10 GPa, 0,3, 7800 k/m 3 z kulistą kawną o pominiu a [m] zczywisty czas aniczny naastania ciśninia pzy h 10 wynisi t 0,00a [s], czyli ośni wpost popocjonalni do pominia. Dla kawny o pominiu 1 m będzi to t ms. Jst to czas wystaczająco kótki, aby uznać za quasi-statyczn obciążni typu wytwozono pzz dtonację azowj miszaniny wybuchowj, natomiast ni można to założnia stosować dla wysokontycznych matiałów wybuchowych. 3. Obciążni kawny stałym ciśninim impulsowym o dostatczni kótkim czasi twania ni powoduj wpawdzi pzkocznia pzz pzmiszczni watości statycznj, jdnak jo dynamiczny chaakt wywołuj po odciążniu ujmn pzmiszcznia ścianki kawny dochodząc do 30% tj watości. Sytuacja ta moż być w pwnych pzypadkach nidopuszczalna. Atykuł wpłynął do dakcji Zwyfikowaną wsję po cnzji otzymano w listopadzi 010. Litatua [1] H. G. Hopkins, Dynamic xpansion of sphical cavitis in mtals [in:] Poss in Solid Mchanics, Snddon J. N., Hill R. (dit),, Noth-Holland Publishin Company, Amstdam, [] P. Chadwick, Popaation of sphical plastic-lastic distubancs fom an xpandd cavity, Joun. Mch. and Applid Math., 5, pt. 3, 196. [3] H. Kolsky, Stss wavs in solids, Clandon Pss, Oxfod, [4] N. Cistscu, Dynamic plasticity, Noth-Holland Publishin Company, Amstdam, [5] J. D. Achnbach, Wav popaation in lastic solids, Noth-Holland Publishin Company, Amstdam Oxfod, [6] S. Kaliski t al., Wavs, Elsvi, Amstdam Oxfod Nw Yok Tokyo, 199. [7] E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz, Influnc of lastic matial compssibility on paamts of an xpandin sphical stss wav, Shock Wavs, 18, 6, 009.

21 O współczynniku dynamiczności obciążnia nująco kspandującą kulistą falę... 7 [8] E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz, Analysis of th paamts of a sphical stss wav xpandin in lina isotopic lastic mdium, Jounal of Thotical and Applid Mchanics, 47, 4, 009. [9] S. Kaliski t al., Vibations, Elsvi, Amstdam Oxfod Nw Yok Tokyo, 199. [10] W. Nowacki, Toia spężystości, PWN, Waszawa, E. Włodaczyk, M. Zilnkiwicz Dynamic cofficint of load natin an xpandin sphical stss wav in lastic mdium Abstact. In an unboundd, linaly-lastic, compssibl and isotopic mdium th is a sphical cavity. Its wall is loadd by th tim-dpndnt pssu which nats, in th mdium, a sphical stss wav xpandin fom th cavity. Th influnc of th load chaact on th wav paamts was studid and th dynamic cofficint of load was add as th main compad paamt. Bcaus of th sphical divnc of th wav, its paamts dcas in invs popotion to th squa and th cub of th distanc fom cavity cnt, so thi maximum absolut valus appa at th cavity wall and thfo th analysis was conductd th. Fo th pssu, linaly incasin to th constant valu, two pactical limitin valus of incas in tim w found, which dtminat th ans of th load chaact. In th fist, fo shot tims, th load can b considd as su, fo which th dynamic cofficint is th hihst. In th thid, fo lon tims, th load can b considd as quasi-static, nlctin its dynamic ffcts. Howv, in th scond an, th load has tansitional chaact and th paamts of th wav natd by it should b dtmind with th us of pcis fomula psntd in th pap. Th maximum tim of actin of th constant pssu puls, fo which th wav paamts do not xcd thi static valus yt, was also dtmind. Howv, th sinificant dcas in cavity adius was obsvd as th ffct of unloadin. Kywods: xpandin sphical stss wav, isotopic lastic mdium, dynamic cofficint of load

22